2. Házi feladat

1. feladat
Határozzuk meg az alábbi függvény összes aszimptotáját:
ℝ\{-5,1}∋x↦((2(x^3)-3x+5)/((x-1)(x+5))).

f[x_]=((2(x^3)-3x+5)/((x-1)(x+5)));

Vertikális aszimptota

asymp=Solve[Denominator[f[x]]==0,x];
Column[Table[asym[i]=x/.asymp[[i]],{i,Length[asymp]}]]

Egyszerűbb:

Column[x/.asymp]

Horizontális asszimptota nincs, mert a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé.
Ferde aszimptota egyenlete (y = kx + b)

A horizontális speciálsi esete a nemfüggőlegesnek.

k1=Limit[f[x]/x,x->-Infinity];
k2=Limit[f[x]/x,x->Infinity];
b1=Limit[f[x]-k1 x,x->-Infinity];
b2=Limit[f[x]-k2 x,x->-Infinity];

Kirajzolás

Plot[{f[x],k1 x+b1,k2 x+b2},{x,-25,25},PlotStyle->{Blue,Red,Red},Exclusions->{(x-1)(x+5)==0},ExclusionsStyle->Red]

Érdemes megfigyelni az opciókat!

2. feladat
Állítsuk elő minél többféle módon a Hilbert-mátrixokat!

Hilb[rows_:1,cols_:1]:=Table[(1/(i+j-1)),{i,1,rows},{j,1,cols}];
Hilb[3,4]//MatrixForm

Ez miért is?

h3[r_,c_]:=(1/(Outer[Plus,Range[r],Range[c]-1]))

h3[3,3]//MatrixForm

h3[3,4]//MatrixForm

3. feladat
Vizsgáljuk meg a Hilbert-mátrixok többi sajátértékének a mérettől való függését! 

4x4-es Hilbert mátrix sajátértéke

Eigenvalues[N[Hilb[4,4]]]

A szimmetrikus Hilbert mátrix sajátérték feladata jól kondicionált, viszont a Hilbert mátrixú lineáris egyenletrendszer megoldása  rosszul kondicionált feladat.

Én ilyesmire gondoltam:

ClearAll[ev];
ev[nmax_]:=Flatten[Table[Eigenvalues[HilbertMatrix[n,WorkingPrecision->2 n+20]][[-1]],{n,nmax}]];
ListLogPlot[ev[32],AxesLabel->{n,(Subscript[λ, max])[n]}, PlotLabel->"Ez a legkisebb sajátérték.\nÉs a többi?"]