Számok

Kerekítés

Round

Ceiling

Floor

IntegerPart[x]+FractionalPart[x]==x//FullSimplify

Számrendszerek

{2^^101,16^^FFFF,BaseForm[2^^10101010,16]}

16^^A0+16^^AF

16^^A0+16^^AF//BaseForm[#,16]&

FullForm[2^^3]

Hash["Hello, world!"]//BaseForm[#,16]&

Hash["Hello, world!" ,"MD2"]//BaseForm[#,16]&

Számjegyek

IntegerDigits

A Cantor - halmaz konstrukciója

IntegerDigits[7,3]

IntegerDigits[27,3]

Ugyanis

BaseForm[{7,27},3]

Table[FreeQ[IntegerDigits[n-1,3],1],{n,27}]

Table[If[FreeQ[IntegerDigits[n-1,3],1],1,0],{n,27}]

Table[Boole[FreeQ[IntegerDigits[n-1,3],1]],{n,27}]

Készítsünk rajzsorozatot!

RealDigits

RealDigits[Sin[(Sqrt[2])],10,12]

Tally[First[%]]

Histogram[First[RealDigits[Sin[(Sqrt[2])],10,120000]]]

Table[RealDigits[Sin[x(Sqrt[2])],10,12][[1,1]],{x,0,(π/(Sqrt[2])),(10^(-2))}]

Histogram[%]

t[n_]:=Histogram[Table[RealDigits[Sin[x(Sqrt[2])],10,12][[1,1]],{x,0,(π/(Sqrt[2])),(10^(-n))}]]

Timing[t[5]]

r[n_]:=Rest[Tally[Table[RealDigits[Sin[x(Sqrt[2])],10,12][[1,1]],{x,0,(π/(Sqrt[2])),(10^(-n))}]]]

Timing[ListPlot[r[5],PlotStyle->Directive[{PointSize[Large],Red}],AxesOrigin->{0,0},PlotLabel->"A kezdő számjegyek eloszlása\n nem egyenletes"]]

Picit ez a gyorsabb.

Hyperlink["Benford-eloszlás, tapasztalati adatokra","http://en.wikipedia.org/wiki/Benford%27s_law"]

Valós és egész számok: különböző számrendszerekben is.

Rómaiak

IntegerString[2010,"Roman"]

FromDigits["MMX","Roman"]-22

Elavult feladat: írjunk átváltó függvényt ide, oda.

Intervallumok

error1=0.01;error2=0.005;
mass=Interval[{1.10-error1,1.10+error1}];
velocity=Interval[{7.50-error2,7.50+error2}];
kinerg=(1/2)mass (velocity^2)

error3=Subtract@@kinerg[[1]]

Interval[{4,3},{2,1}]

Interval[{1,2}]Interval[{3,4}]

(Sqrt[Interval[{1,2}]])

Limit[Sin[x]+(1/2)Cos[x],x->+∞]

Maximize[Sin[x]+(1/2)Cos[x],x]//N

Minimize[Sin[x]+(1/2)Cos[x],x]//N

Túl óvatos. És itt?

Limit[2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x],x->0]

Minimize[2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x],x]

Maximize[2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x],x]

Minimize[Boole[-1<x<1](2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x]),x]

Maximize[Boole[-1<x<1](2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x]),x]

Minimize[(E^(-(x^2)))(2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x]),x]

Maximize[(E^(-(x^2)))(2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x]),x]

NMinimize[2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x],x]

Ez a megoldás - még ha közelítő is.

NMinimize[2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x],x]

Vizsg'ljuk meg numerikusan, hogy az ötletek mennyire voltak pontosak a függvényértéket és az argumentumot illetően.

Plot[2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x],{x,-2,2},Exclusions->{0}]

Plot[2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x],{x,-0.02,0.02},Exclusions->{0},PlotRange->All]

Plot[2Sin[1/x]+(1/2)Cos[x],{x,-0.0002,0.0002},Exclusions->{0},PlotRange->All]

Ki tud jobb becslést adni?

Az itervallumaritmetika fontos numerikus módszereknél, egzakt számítógépes bizonyításoknál.

Átalakítások

Rationalize[3.14159]

Rationalize[π,0.1]

Rationalize[π,0.002]

Ugye, milyen jó a (22/7) érték?

Rationalize[π,0.00005]

N[(Sqrt[69]),8]

Zseniális kókler:

RootApproximant[N[(Sqrt[69]),8],2]

Vigyázat :

Table[RootApproximant[N[(Sqrt[69]),n],2],{n,8}]

(((5+(Sqrt[11])))^2)//Expand//N

Formák

Egyenletek megoldása

Legyen a és b olyan, hogy 3(x^2)+a x+b gyökeit f-be írva g gyökeit kapjuk.

f[x_]:=((5x+2)/(2x-1))

y=f[x]/.Solve[3(x^2)+a x+b==0,x]

g[y_]:=7(y^2)-5y-11

sol=Solve[g/@y==0,{a,b}]

Ellenőrzés

s=Solve[3(x^2)+a x+b==0,x]/.sol//Simplify//Union[Flatten[#,1]]&

f[x]/.s//Simplify

g/@%//Simplify

Mit ad eredményül? (Néhány gyakorló feladat kezdőknek)

Mielőtt végrehajtanánk, próbáljuk meg kitalálni!

a=1;b=2;c=3;d=4;e=5;
Print[a+b,b+c,c+d,d+e,e+a]

Tanh[Log[x]]

(Sqrt[3+4I])

Cos[ArcSin[((x^2)/(1+(x^2)))]]

Power[aa,bb,cc]

?*crement

Új házi feladatok

1. Keressünk valóságos adatokat (pl. KSH, vagy ?*Data), olvassuk be azokaz (szükség esetén az Import függvénnyel), és igazoljuk vagy cáfoljuk azokon a Benford-törvényt.

2. Hol fordul elő először π számjegyei között a 2010 számjegysorozat?

3. Határozzuk meg mindazokat a P polinomokat, amelyekre Δ u=0 esetén a v:=u ◦ P összefüggéssel értelmezett függvényre Δ v=0 is fennáll.

4. Milyen módon lehet előállítani a (q^2) egész számot pontosan k egész szám négyzeteinek összegeként?

5. Mutassuk meg, hogy ha (x^3)-3(x^2)+1 legnagyobb gyöke α, akkor [(α^1993)]≡4 (mod 17).

Ez mg nem elég:

PowerMod[1+2 Cos[(π/9)],1993,17]

PowerMod-nál: RSA