Eloszlásvizsgálat, folytatás

Most vizsgáljuk meg, hogy az alábbi adatok származhatnak-e normális eloszlásból. Először ismét a  (χ^2)-eloszlást alkalmazzuk.

Data={54.41,52.79,52.13,49.63,49.42,48.13,47.87,47.79,46.06,45.95,45.90,
45.84,44.82,43.66,43.36,42.63,42.06,41.15,41.05,40.47,40.43,40.42,40.00,
39.14,38.80,38.37,37.83,37.78,35.45,35.20,34.95,34.04,33.40,33.27,33.03,32.20,29.88,29.43};

Mean[Data]

Variance[Data]

StandardDeviation[Data]

ClearAll[φ];φ[x_]:=PDF[NormalDistribution[Mean[Data],StandardDeviation[Data]],x]

Plot[φ[x],{x,20,60}]

Előzetes kép:

<<Histograms`

Histogram[Data]

Mondjuk ilyen kupacokat csinálunk:

bcd=BinCounts[Data,{osztopontok={-Infinity,35,40,42,45,48,Infinity}}]

A megfelelő halmazok valószínűségei:

(Subscript[p, 1])=(∫_(-∞)^35)φ[x]\[DifferentialD]x

Partition[osztopontok,2]

par=Partition[osztopontok,2,1]

(∫_(#1)^(#2))φ[x]\[DifferentialD]x&@@@par

Egy kis ellenőrzés sosem árt:

Total[%]

Átírjuk kicsit:

ClearAll[chisq,f,p];
chisq[adat_,p_,osztopontok_]:=Module[{f,bcd,r,M},f=BinCounts[Data,{osztopontok}];
r=Length[f];M=Total[f];{r,M,1.-CDF[ChiSquareDistribution[r-3],Total[((((f-M p))^2)/(M p))]]}]

chisq[Data,(∫_(#1)^(#2))φ[x]\[DifferentialD]x&@@@par,{-Infinity,35,40,42,45,48,Infinity}]

Tehát 6 kupacunk volt, mindegyikben van elég adat, kívülről, előre kiszámítottuk a valószínűségeket, összesen 38 adattal számoltunk, a szabadsági fokból még kettőt levontunk, mert két paramétert becsültünk, végül pedig a statisztika értéke olyan, ami gyakran fordul elő, tehát az adatok nemmondanak ellenta nullhipotézisnek, amely szerint adataink normális eloszlásúak.

További módszerek normalitásvizsgálatra, felületesen

A grafikus normalitásvizsgálat is jó első tájékozódásra.

dist=NormalDistribution[Mean[Data],StandardDeviation[Data]]

Plot[CDF[dist,InverseCDF[dist,q]],{q,0,1}]

Ha tehát az egyik helyre az empirikus eloszlásfüggvényt tesszük, akkor közelítőleg egyenest kell kapnunk.

Képezzünk részletösszegeket

F[x_]:=((Length[Cases[Data,y_?(#<x&)]])/(Length[Data]))

Plot[{F[x],CDF[dist,x]},{x,0,80},PlotLabel->"Szépen együtthaladunk",Frame->True]

Plot[{q,F[InverseCDF[dist,q]]},{q,0,1}]

Kolmogorov—Szmirnov-próba

Mégse, nézzenek utána.

Függetlenségvizsgálat

(({{\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder], MATB1, \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], átment, bukott, összesen}, {\[Placeholder], átment, 416, 23, 439}, {MIKRO, bukott, 16, 5, 21}, {\[Placeholder], összesen, 432, 28, 460}}))

M (((((Subscript[ν, 11])(Subscript[⋁, 22])-(Subscript[ν, 12])(Subscript[ν, 21])))^2)/((Subscript[ν, 1.])(Subscript[ν, 2.])(Subscript[ν, .1])(Subscript[ν, .2])))

Ez 1 szabadságfokú,   (χ^2)-eloszlású valószínűségi változó, ha igaz a nullhipotézis.

Outer[List,{All},Range[2]]

ν={{416,23},{16,5}};

nev1=Flatten[ Outer[Total[ν[[#1,#2]]]&,{All},Range[2]]]

nev2=Flatten[ Outer[Total[ν[[#1,#2]]]&,Range[2],{All}]]

Times@@nev1

Total[ν,2]

((Det[ν])^2)

460((((416 5-16 23))^2)/(432 28 21 439))//N

Times@@nev1 Times@@nev2

stat=Total[ν,2](((Det[ν])^2)/(Times@@nev1 Times@@nev2))//N

Plot[CDF[ChiSquareDistribution[1],x],{x,0,15}]

CDF[ChiSquareDistribution[1],stat]

Elvetjük a függetlenséget.

FindRoot[1-CDF[ChiSquareDistribution[1],x]==0.05,{x,5}]

Manipulate[(b=23;c=16;d=5;N[Total[{{a,b},{c,d}},2]((((a d-b c))^2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)))]),{a,20,120,10}]

Becslések, megbízhatósági intervallum

Módszerek

A legnagyobb valószínűség módszere

A momentumok módszere

A legkisebb négyzetek módszere

Megbízhatósági intervallumok

Needs["HypothesisTesting`"]

NormalCI[40,6]

MeanCI[Data]

MeanTest[Data,40,FullReport->True]