A GROWTH CYCLE

Richard M. Goodwin

KÉSZÍTETTE : VERESS ÁRON | xhrfy5 -- Differenciálegyenletek műszaki és közgazdasági alkalmazásai [BMETE925313]

I. Bevezetés

A következőkben kísérletet teszek arra, hogy bemutassam Richard M. Goodwin 1967-ben írott munkájának, a Growth Cycle-nek matematikai alapjait. Arra kívánok rávilágítani, hogy mennyiben befolyásolták Goodwin munkáját a Lotka és Volterra féle egyenletek, egyben láthatóvá tenni, a biológiai és gazdasági modell eltéréseit és hasonlóságait. Bemutatom a modell egyenleteit, illetve azt hogy egyenként milyen változóktól függenek és hogyan alakulnak. A dolgozat második felében általam választott paraméterek alapján rajzoltatom ki, illetve oldom meg az egyenletrendszert.

II. Paraméteres áttekintése a modellnek

1.1 Párhuzam a Lotka - Volterra egyenletekkel

Alfred Lotka és Vito Volterra az 1920-as évek közepén egymástól függetlenül dolgozták ki empirikus biológiai megfigyelések nyomán, ragadozó és zsákmánypopulációk ciklikus, egymást követő növekvő és csökkenő állományokra vonatkozó matematikai modelljeiket. A rendszer két egymásba ágyazott differenciálegyenletre épül az alábbiak szerint:

(Subscript[(OverDot[Y]), 1])=(Subscript[Y, 1])(-c+d (Subscript[Y, 2]))  és   (Subscript[(OverDot[Y]), 2])=(Subscript[Y, 2])(a-b (Subscript[Y, 1]))

ahol, a (Subscript[Y, 1])(t) a ragadozó állomány nagyságát és (Subscript[Y, 2])(t) a zsákmány populáció nagyságát jelöli és a, b, c, d > 0.

Az egyenletek levezetését követően megállpították a ciklus körforgásának tengelyét, azaz kritikus pontjait,

(Overscript[x, -]) = (c/d)   és   (Overscript[y, -]) = (a/b)

valamint a ciklus időtartamát,

T = ((2π)/(Sqrt[ac]))

amely mind a két állományra egyaránt vonatkozik, azonban a zsákmány populáció 1/4-ed periódussal a ragadózó populáció előtt halad. A körforgást az alábbi ábra mutatja:

Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];
Needs["DifferentialEquations`InterpolatingFunctionAnatomy`"];

system = GetNDSolveProblem["LotkaVolterra"];
invts = system["Invariants"];
time = system["TimeData"];
vars = system["DependentVariables"];
step = 3/25;

LotkaVolterraPlot[sol_,vars_,time_,opts___?OptionQ]:=
Module[{data,data1,data2,ifuns,lplot,pplot},
ifuns=First[vars/.sol];
data1=Part[ifuns,1,0]["ValuesOnGrid"];
data2=Part[ifuns,2,0]["ValuesOnGrid"];
data=Transpose[{data1,data2}];
commonopts=Sequence[Axes->False,Frame->True,FrameLabel->Join[Map[TraditionalForm,vars],{None,None}],RotateLabel->False];
lplot=ListPlot[data,Evaluate[FilterRules[{opts},Options[ListPlot]]],PlotStyle->{PointSize[0.02],RGBColor[0,1,0]},Evaluate[commonopts]];
pplot=ParametricPlot[Evaluate[ifuns],time,Evaluate[FilterRules[{opts},Options[ParametricPlot]]],Evaluate[commonopts]];
Show[lplot,pplot]
];

pfesol = NDSolve[system, Method -> {Projection, Method -> "ExplicitEuler", Invariants -> invts}, StartingStepSize -> step];

LotkaVolterraPlot[pfesol, vars, time]

Goodwin tehát a fent említett modell alapján dolgozta ki saját növekedési ciklusát. Elsősorban annak a marxi tézisnek bizonyítására, hogy a kapitalizmust állandó gazdasági hullámzások jellemzik. A Lotka-Volterra modellel párhuzamosan ragadozó és zsákmány állományokat állított fel a foglalkoztatottsági ráta és a munkások tőkerészesedésének megfelelően. A két tényezőt a következő pontban kifejtetteknek megfelelően vezette le és határozta meg a ciklus tulajdonságait és idejét.

1.2 Általános feltevések

- állandó, egyenletes technikai haladás

- állandó, egyenletes munkaerő növekedés

- összesen kettő, homogén, nem speciális termelési tényező: munka és tőke

- valós és nettó mennyiségek

- valamennyi bér elfogyasztása

- valamennyi brofit megtakarítása és újrabefektetsée

1.3 Foglalkoztatottsági ráta (v) meghatározása

Alap kiinduulási pontnak az alábbi egyenletet tekintette:

((OverDot[q])/q)=α+((OverDot[v])/v)+β

ahol, q = kibocsátás (nemzeti jövedelem), α = termelékenység növekedése, v = foglalkoztatottsági ráta és β = munkakínálat növekedési üteme.

E mellett szükség van a következő összefüggésre, mely szerint a nemzeti jövedelem a munkások részesedésétől és a termelékenységtől függ:

((OverDot[q])/q)=((1-u)/σ)

ahol, u = a munkások részesedése a nemzeti jövedelemből (u + p = 1) és q = tőke-kibocsátás arány (a tőketermelékenység inverze).

Így az átrendezés után kapjuk a foglalkoztatottság változásának függvényét, mely a Lotka-Volterra féle modell zsákmány populációjának felel meg és az alább egyenlet írja le:

(OverDot[v])=v[((1/σ)-(α+β))-((1/σ)u)]

1.4 Munkások részesedése a tőkéből (u)

A biológiai modellel párhuzamosan Goodwin a „ragadozó” állományt egy tükrözött Phillips-görbéből vezette le. Ennek, lényege hogy a foglalkoztatási ráta és a nominális munkabérváltozás üteméből fejezte ki a munkások részesedéséd a teljes tőkenagyságból [u]. A tükrözött Phillips-görbét - mivel empirikus megfigyeléseken alapult, illetve a matematika sem állt megfelelő szinten akkoriban szinten - csak egy lineáris közelítésessel tudta becsülni. Megtehette, hiszen csak a görbe 1-hez közeli, meredek szakasza volt számára releváns.

((OverDot[w])/w)=-γ+p v

ahol, w = bérszint, γ = y-tengely metszéspontja, p = görbe meredeksége.

Az alábbi árbra mutja a kiinduláshoz szükséges tükrözött Phillips-görbét - azaz a nominálbérek növekedési üteme és a foglalkoztatottsági ráta közötti összefüggést - és a lineáris közelítéshez használt egyenest, a szemléltetéshez válaszott paraméterek mellett:

Show[
Plot[{p[z_]=(1000^z)-100},{z,0,1},PlotStyle->{Red}],
Plot[{With[{γ=1400,p=2000,v=z},{l[z_]=-γ+p*v}]},{z,0,0.97},PlotStyle->{Blue}],
ParametricPlot[{0.97,t},{t,-100,600},PlotStyle->{Black,Thick}],
AxesLabel->{Foglalkozatottsági ráta [v],Nominálbérek növekedési üteme [w'/w]},
Ticks->{{1},None},
ImageSize->{500},
PlotLabel->Style[Framed[Tükrözött_Phillips-görbe],Bold,12]]

A végleges, második differenciálegyenlet kialakításához egy további feltétellel bővítette az imént bemutatott lineáris közelítést. Felhasználta az alábbi egyenletet,

((OverDot[u])/u)=((OverDot[w])/w)-α

mely a változók ismeretében kimondja, hogy a munkások tőkerészesedésének változása megegyezik a nominális munkabér változás és a termelékenység növekedésének különbségével. A (7) és (8) egyenletek kombinációjával kapta a ragadozónak megfeletethető [u] differenciálegyenletet:

(OverDot[u])=u[-(α+γ)+(p v)]

1.5 Rendszer kritikus pontjai

Ezekből már könnyen kalkulálható az egyenlet kritikus pontjai, azaz amikor lokális maximumot, vagy minimumot érnek el a függvények és az állományok tendenciái változni kezdenek. Ezek valamivel komplikáltabbak mint a Lotka-Volterra féle egyenletekben, de ahhoz hasonlóan paramétereikben függetlenek egymástól:

(Overscript[v, -])=((α+γ)/p)   és   (Overscript[u, -])=(1/σ)-(α+β)

1.6 Ciklus ideje

Végezetül, a kritikus pontoknak megfelelőenez is bonyolúltabban, az alábbi képlettel irható le a ciklus körforgásának időtartama:

T=((2π)/(Sqrt[(α+γ)((1/σ)-(α+β))]))

III. Elemzés választott paraméterek esetén

3.1 Választott paraméterek

A fentiekben tehát vázoltam a Goodwin ciklus működését leíró általános egyenleteket. Ahhoz azonban, hogy a Mathematica-val az egyenleteket megoldjuk, és ábárzolni tudjuk, a paraméteres változókat természetes számokra kell cseréljük. Ez temészetesen csak egy fiktív számolás, a valóságtól elrugaszkodott gazdasági eseményt ábrázol, de a cél most a modell matematikai működésének bizonyítása. Ehhez az alábbi paramétereket váalsztottam (ismét: jelentőségük nincs), melyeket végigvezetek a teljes modellen:

({{paraméter, érték}, {tőke-kibocsátás arány (σ), 0.3}, {termelékenység(α), 1.3}, {munkakínálat növekedése(β), 1.02}, {technikai paraméter (γ), 6}, {technikai paraméter (p), 13}})

3.2 Egyenletrendszer megoldása

Először a differenciálegyenletrendszer numerikus megoldását (NDSolve) végzem el a Mathematica-val a választott paraméterek mellett, mely az alábbi eredményt adja:

goodwin=With[{σ = 0.3, α = 1.3, β = 1.02, γ =6, p = 13},NDSolve[{v'[x] == v[x] ((((1/σ) - (α + β)) - (1/σ)*u[x])), u'[x] == u[x] (-(α + γ) + p*v[x]),v[0]==1,u[0]==1}, {v[x], u[x]}, {x,0,10}]]

A megoldást ábrázoló függvénypár jól szemlélteti a Lotka-Volterra egyenletkre is jellemző, a zsákmány (jelen esetben foglakoztatottság [v]) és ragadozó (munkások részesedésée a tőkéből [u]) populációk, az idő függvényében egymást követő ingadozását. Az is látható, hogy a [v] állomány egy 1/4-ed periódussal megkésve követi az [u]-t.

Show[
Plot[Evaluate[v[x] /. goodwin], {x, 0, 10},PlotRange->All,PlotStyle->Red],Plot[Evaluate[u[x] /. goodwin], {x, 0, 10},PlotRange->All,PlotStyle->Blue],
AxesLabel->{{t},{u,v}},
ImageSize->500]

Show[
 ParametricPlot[Evaluate[{u[x],v[x]}/. goodwin], {x, 0, 1.99}, PlotRange -> All, PlotStyle -> Red],
 AxesLabel -> {{t}, {u, v}},
 ImageSize -> 500]

3.3 Oszcilláció kritikus pontjai

Az oszcilláció kritikus pontjainak meghatározásához, a Mathematica-ban már csak egy egyszerű számításra van szükség és előáll az eredmény:

With[{σ = 0.3, α = 1.3, β = 1.02, γ =6, p = 13},{a=(α+β)/p,b=(1/σ)-(α+β)}]

3.4 Ciklus időtartama

Hasonló képpen a körforgás időtartamának meghatározása is:

With[{σ = 0.3, α = 1.3, β = 1.02, γ =6, p = 13},T=2π/Sqrt[(α+γ)((1/σ)-(α+β))]]

3.5 Változók viselkedése

Végezetül az alábbi táblázat szemlélteti a paraméterek növelésének hatását a fenti számíásokra. Tehát amennyibn a választott paramétereinken módosítunk, az alábbiak szerint fognak változni a [v], [u] és [T] eredményeink:

({{tényezők növelése, munkások részaránya a tőkéből (u), foglalkoztatottság (v), periódus (T)}, {termelékenység  (α), -, +, +}, {munkakínálat  (β), -, nincs, +}, {tőke-kibocsátás arány (σ), -, nincs, +}, {Phillips-görbe eltolása (γ), nincs, +, -}, {Phillips-görbe meredeksége (p), nincs, -, nincs}})

IV. Összefoglalás

A fentiekben célom az volt, hogy röviden bemutassam Goodwin növekedési modelljénk alapvető matematikai téziseit, annak gyökereit és működését valósan megválasztott paraméterek mellett. Nem szándékoztam a gazdasági hipotézisek, sem alátámasztására, sem cáfolatára, ahhoz egy jóval nagyobb hangvételű és mélyébre menő elemzésre lenne szükség. Ugyanakkor még a matematikai része is hordoz magában bőven érdekességeket, melyek átfogó vizsgálatához kiváló lenne a Mathematica.

Forrásjegyzék:

[1] Richard M. Goodwin: A Growth Cyle (1967)

[2] Lars Weber: A Contribution To Goodwin's Growth Cycle Model From A System Dynamics Perspective

[3] Mathematica Documentation Center

[4] http://mathworld.wolfram.com/