Tematika és segédletek a Matematika A1 című tárgyhoz

A Villamosmérnöki és Informatikai Kar villamosmérnök hallgatói számára indított tárgy, (4 óra előadás, 2 óra gyakorlat, ?? kredit, BMETE????)

Az előadások anyaga

1-2. Előadás

Halmazok: eleme, részhalmaz, únió, metszet, különbség (csak definíció).

Egész és racionális számok, $\sqrt{2}$ irracionális. A valós számok axiómái (tulajdonságként; a Cantor-axióma helyett azzal, hogy felső korlátok között van legkisebb). Infimum, supremum. Példa az 1/n-ek halmazára.

Komplex szám, Re, Im, |z|. Algebrai és exponenciális alak. Alapműveletek. Szorzás és hatványozás az exponenciális alaknál.

Sík- és térvektorok, egyenes és sík egyenletei, skaláris és vektori szorzás.

3-4. Előadás

A 2. heti előadáson volt: Vektoralgebra befejezés (egyenes és sík a térben). Sorozat, megadása képlettel ill. rekurzióval. Határérték, hibakorláthoz tartozó küszöbindex. Végtelenhez, -végtelenhez divergens sorozat (Thomas így mondja). Határérték és alapműveletek felcserélhetők (végtelen határértékre is a határozatlan eseteket kivéve). Részsorozat határértéke ugyanaz. Számtani-mértani, Bernoulli-egyenlőtlenség. Binomiális tétel. Rendőrszabály, végtelen limeszre is. Ha a_n>=0 és tart A-hoz, akkor a k-ik gyöke tart k-ik gyök A-hoz. Ha a_{n+1}/a_n abszolút értéke tart egy 1-nél kisebb számhoz, akkor a_n tart 0-hoz. Nevezetes határértékek: n-ik gyök n, n-ik gyök a, a az n-ediken, a az n-iken per n!, n a k-adikon per a az n-iken ha a>1, log n per n.

5-6. Előadás

Növő sorozatnak van limesze. 1+1/n az n-ediken típusú sorozatok monotonitása, limesze. Egyéb hatérérték-példak, pl. gyöktelenítés. Függveny, ért. tart, értékkészlet, grafikon. Periodikus, páros, ptlan, monoton, konvex, konkáv fv. Injektív függvény, inverz függvény, közvetett fv. Függvényhatárérték. Epszilonhoz delta konkrét példán. Átviteli elv. Következmények: limesz és alapműveletek, rendőrszabály. Sin, cos limesze 0-ban, sin(x)/x.

7-8. Előadás

Féloldali határértékek, határérték a végtelenben. Általános határérték-fogalom (féloldali) környezettel. Minden határértékre átviteli elv, alapműveletek, rendőrszabály. Polinom, rac. törtfüggvény limesze a végesben és végtelenben. Folytonosság pontban és intervallumon, féloldali folytonosság. Folytonos, ha felcserelhető a limesszel. Alapműveletek, közvetett és inverz függvény folytonossága. Polinom, trig. függvények, hatványfüggvény, exp. függvény, logaritmusfüggvény folytonos.
Gyakorlat: Úgy tervezem, hogy a 8. hét pénteki zh-ban már egy kis deriválás is legyen. Vagyis a 7. heti gyakorlaton már el kéne kezdeni deriválni, hogy csak kis új anyag jusson a 8. hétre a zh-ból. Akiknek most csütörtökön elmaradt egy óra, legyenek szívesek pótolni, vagy részletes megoldásokkal írásos anyagot készíteni az elmaradt óra anyagából.

9-10. Előadás

Monoton függvénynek van féloldali limesze, tehát csak szakadása lehet. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény korlátos, felveszi sup, infját, és minden közbülső értéket is. (Egyenletes folytonosságról nem volt szó.) A feltételek szükségesek. Példán bemutatva, hogyan igazoljuk, hogy egy függvénynek egy szakaszon gyöke van. Derivált, iránytangens, érintőegyenes, mint a szelők határhelyzete. A grafikon belesimul az érintőegyenesbe. Deriválható=kicsiben lineáris. Az epszilon(x)-es derivált-definíció. Féloldali derivált, a grafikon töréspontjai. Ha f diffható, akkor folytonos. Az |x| függveny.

11-12. Előadás

Összeg, szorzat, hányados, közvetett és inverz függvény deriválása. x az alfa-adikon, a az x-ediken, ln x, sin, cos, tan, cot deriváltja. 1. zh utáni anyag: Rolle, Lagrange, Cauchy középértéktétele. A függvény konstans acsa, ha a derivált belül 0. Monotonitás tesztje deriválással (pl. f szig. mon. növő acsa, ha f'>=0 belül és nincs olyan részintervallum, ahol f'=0). Még korábban volt nevezetes határérték: ln(1+x)/x, (1+x) az 1/x-ediken, (e az x-ediken-1)/x (ha x tart 0-hoz).

13-15. Előadás

Hiperbolikus függvények inverzei, ezek deriváltja. Inverzek felírása logaritmussal. Konvexitás, tesztje az első ill. 2. deriválttal. Számtani-mértani közép egyenlőtlensége kijön ln konkávitásábol. l'Hospital-szabály 0/0 és akármi/végtelen hányadosokra. Példák. Lokális és abszolut szélsőérték, tesztje f' előjelváltásával, f" előjelével (nem szükséges feltétel, ellenpélda volt). Alkalmazás: fénytöres két közeg határán. Inflexios pont, tesztje f" előjelváltásával (ez szuks. és elégs.), f'" előjelével. Aszimptota (függőleges is), kiszámítása. Függvényvizsgálat. Differenciál: df(a)(x)=f'(a)(x-a). $\delta f$ közelítése df-fel, a hiba 1/2f"(c)(x-a)^2. Példák.

16-17. Előadás

Newton-modszer f(x)=0 megoldasara: keplet, konvergenciasebesseg (egyszeres gyoknel a gyok kozelebol inditva lepesenkent kb. duplazodik a pontos jegyek szama). Peldak divergenciara. Lassu, de biztosan konvergens: felezeses modszer (10 lepesenkent 3 jegy javulas). Komplex valtozos Newtonnal generalhatok fraktalok, majd igyekszem notebookrol kivetiteni. Primitiv fuggveny; +c erejeig egyertelmu. Szamolasi szabalyok: f(ax+b) integralja, f'-szor (f az alfadikon), f'/f integralja, helyettesiteses es parcialis integralas. Minden tipusra legalabb 3 pelda kiszamolva. Riemann integral. Heurisztikus bevezeto: gorbe alatti teruletek also es felso becslese teglalapokkal. Javulo becsles szemleltetese a felosztas finomitasaval. Ilyen alapon x negyzet 0 es 1 kozotti, ill. sin x 0 es pi kozotti integraljanak kiszamitasa limesszel. Integral definicioja integralkozelito osszegek hatarertekekent, ha a finomsag tart 0-hoz. Integral leirasa also es felso kozelito osszegekkel.

17-18. Előadás

A Riemann-integral nehany tulajdonsaga: additivitasok, egyenlotlenseg integralasa, abszolut ertek bevitele, szorzat, hanyados integralhatosaga. Pelda nem integralhato korlatos fuggvenyre. Folytonos fv, monoton fv, ilyen darabokbol allo fv. integralhato. Newton-Leibniz-formula. Peldak. Integralfuggveny folytonossaga, diffhatosaga. Peldak. Helyettesiteses es parc. integralas. Peldak. Polinom maradekos osztasa rac. tortfv. integralasa kapcsan, kiegeszites teljes negyzette. Peldak.

A gyakorlatok anyaga

  • Az első gyakorlat anyaga.
  • A második gyakorlat anyaga.
  • A harmadik gyakorlat anyaga.
  • A negyedik gyakorlat anyaga.
  • Az ötödik gyakorlat anyaga.
  • A hatodik gyakorlat anyaga.
  • A hetedik gyakorlat anyaga.
  • A kilecedik gyakorlat anyaga.
  • A tizedik gyakorlat anyaga.
  • A tizenegyedik gyakorlat anyaga.
  • A tizenkettedik gyakorlat anyaga.

    • Hogy állunk?

    A mellékelt listában a röpzárthelyikért és a gyakorlaton való szereplésért kapott pontok szerepelnek; ezek a vizsgán szerzett eredményeket pozitív irányban befolyásolhatják; hogy hogyan, arra egyelőre algoritmus nincs.

    Követelmények

    az előadó honlapján. A hivatalos tankönyvünk, a Thomas' Calculus fordítódik, tanárok számára egy példányban megvan Claudiánal. Néhány dolog itt elérhető, avagy itt. Itt meg vannak a könyvhöz használható, letölthető és olvasható Mathematica jegyzetfüzetek és Maple munkafüzetek. Aranyos kis számolóka (matematikai programcsomag) meg itt van. (Online Demos.)

    Kiegészítő irodalom

    Ha valaki tud és akar rengeteg időt szánni az anyagra, akkor olvasgassa az alábbi kíméletlenül részletes könyveket, amelyek 1300 oldalon az anyag kétharmadát tárgyalják:
  • Kósa A.: Útban a felsőbb matematikához, LSI Oktatóközpont, Budapest, 1995.
  • Kósa A.: Kezdeti lépések a felsőbb matematikában. 1. Differenciálszámítás, LSI Oktatóközpont, Budapest, 2000.
    • Ha viszont valaki elég erős lelkűnek érzi magát, hogy gyorsan haladjon, akkor 300 oldalon több anyagot kap, mint amiről nálunk szó eshet:
  • Leindler, L., Schipp F.: Analízis I., (Egységes jegyzet), Természettudományi Karok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977.
    • Példatárként pedig több mint elegendő a már jól bevált jegyzetünk:
  • Babcsányi, I., Gyurmánczi, J., Szabó,L., Wettl, F.: Matematika feladatgyűjtemény I., (075001), Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1997.
    • A kiegészítő irodalom alkalmazási példákat alig tartalmaz!
    Tóth János
     

    A Matematika A1 c. tantárgy gyakorlatvezetője
    Vissza a magyar nyelvű változat elejére