Az 1. házi feladat megoldásairól

Általános tanulságok

Használják a legális 9-es változatot!

Formázási lehetőségek. Slide - OK

És: semmiképpen ne formázzunk kézzel! (Tehát azt ne csináljuk, hogy kijelölünk egy címet, és átváltoztatjuk a színét pirosra, a méretét nagyobbra stb.) A logikai formázást használjuk, ne a fizikait (még WORDben is!)

Cell|Delete All Output

Mindig másik opciót próbáljunk ki.

A definícióval azons cellába: ClearAll[f,g,A]

ClearAll[f];
f[x_]:=2x+9;
f[3]

szam=45/π

szam π

%4 π

% veszélyes, %12 jobb, nev= még jobb

Utasítások külön cellába, hogy lássuk az eredményt (csak javaslat)

Ha az adatállományokat ugyanoda akarjuk tenni, ahová a jegyzetfüzetet:

SetDirectory[NotebookDirectory[]]

Egy helyesírási megjegyzés : Bessel-függvény

Ábrázolja az x↦3(e^(-2x))-5(e^(-x)) függvényt és végezzen részletes függvényvizsgálatot. Használja a D (az első és a második derivált kiszámítására) és a Solve függvényt a deriváltak nullahelyeinek meghatározására, az Options[Plot] utasítást az ábra szépítésére.

Bánóczy Gergely

f[x_]:=3Exp[-2x]-5Exp[-x]
Plot[f[x],{x,-6,-3},Background->LightYellow,PlotLabel->f[x]]
g[x_]:=D[f[x],x]
g[x]
h[x_]:=D[f[x],{x,2}]
h[x]
Solve[g[x]==0,x]
Solve[h[x]==0,x]
Options[Plot]

Enkhbold Enkhbyamba

Plot[3(E^(-2x))-5(E^(-x)),{x,-1,9}]

iterátor

D[3(E^(-2x))-5(E^(-x)),x]

D[D[3(E^(-2x))-5(E^(-x)),x],x]

D[3(E^(-2x))-5(E^(-x)),{x,2}]

Solve[D[3(E^(-2x))-5(E^(-x)),x]==0,x,Reals]

Plot[3(E^(-2 x))-5(E^(-x)),{x,-1,9},AspectRatio->1/2]

Holló Gábor

1. Függvényvizsgálat

f[y]

ClearAll[f];
f[x_]:=3 Exp[-2 x]-5 Exp[-x]
Plot[f[x],{x,-1,5}]

df[x_]=D[f[x],{x,1}]
Solve[df[x]==0,x,Reals]
extr=N[%]

df[y]

Plot[3 Exp[-2 x]-5 Exp[-x],{x,-1,5},AspectRatio->Automatic,
ColorFunction->Function[{x,y},If[Evaluate[df[x]]<0,Red,Black]],ColorFunctionScaling->False,PlotStyle->Thick]

ddf[x]=D[f[x],{x,2}]
Solve[ddf[x]==0,x,Reals]
N[%]
Plot[3 Exp[-2 x]-5 Exp[-x],{x,-1,5},AspectRatio->Automatic,
ColorFunction->Function[{x,y},If[%%%<0,Red,Black]],ColorFunctionScaling->False,PlotStyle->Thick]

Tóth Krisztián

Legyen f függvény a megadott hozzárendelés, df az első deriváltja, df2 pedig a második deriváltja.

ClearAll[f,df,df2]
f[x_]=3(E^(-2x))-5×(E^(-x))
df[x_]= D[f[x],x]
df2[x_]= D[f[x],{x,2}]

Ábrázoljuk f függvényt a (-2,5) intervallumon!

Plot[{f[x]},{x,-1,5.5},ImageSize->Large, PlotLegends->"Expressions",Frame-> True, AxesLabel->{"x","f(x)"},PlotStyle->Thick, Prolog->{Pink,Disk[{0.4,-1.1},1.1]}]

Plot[{f[x]},{x,-1,5.5},ImageSize->Large, PlotLegends->"Expressions",Frame-> True, FrameLabel->{"x","f(x)"},PlotStyle->Thick, Prolog->{Pink,Disk[{0.4,-1.1},1.1]}]

Plot[{f[x]},{x,-1,5.5},ImageSize->Large, PlotLegends->"Expressions",Frame-> True, FrameLabel->{"x","f(x)"},PlotStyle->Thick, Epilog->{Pink,Disk[{0.4,-1.1},1.1]}]

Keressük meg f lokális szélsőértékeit! Deriváljuk és keressük meg a gyökét.

Clear[sze]

sze=x/. Solve[Evaluate[df[x]]==0,x,Reals]

N[sze,8]

Ebben a pontban lokális szélsőértéke lehet! van f(x)-nek.

ClearAll[err]

err=0.09

Interval[N[df[sze-err],4],N[df[sze+err],4], Off[Interval::nvld] ]

Ezek szerint df(sze-err)<0 és df(sze+err)>0, tehát f(sze) lokális minimum.

Ezután keressünk inflexiós pontokat f(x)-en.

Inflexiós pontok

Clear[infl]
infl=x/. Solve[Evaluate[df2[x]]==0,x,Reals]

N[infl,8]

Clear[df3]
df3[x_]=D[f[x],{x,3}]

N[df3[infl],4]

Mivel f’’(infl)=0 és f’’’(infl)!=0 ezért f(x) infl pontban inflexiós pontja van.

Plot[{f[x],df[x],df2[x]},{x,-1,4},ImageSize->Large,PlotLegends->"Expressions",Frame-> True, AxesLabel->{"x","f(x)"},PlotStyle->Thick]

Hogyan változik a x↦A (e^(a x))+B (e^(b x)) függvény alakja a paraméterek változtatásával? Használja a Manipulate függvényt minél több opcióval.

Bánóczy Gergely

Manipulate[c*Exp[a*x]+d*Exp[b*x],{a,-2,2,1},{{d,-1}-2,2,1}]
Animate[Plot[c*Exp[a*x]+d*Exp[b*x],{x,-6,10}],{a,-1,1},{b,-1,1},{c,-1,1},{d,-1,1},AnimationRunning->False]

Enkhbold Enkhbyamba

2.Feladat

Manipulate[Plot[A×(E^(a×x))-B×(E^(b×x)),{x,-2,2},PlotRange->{-10,10}],{A,1,4},{B,1,4},{a,1,5},{b,1,5}]

Holló Gábor

2. Manipulate függvény használata

Manipulate[Plot[A Exp[a x]+B Exp[b x],{x,-2,2}],{A,-1,1,0.2},{a,-1,1,0.2},{B,-1,1,0.2},{b,-1,1,0.2}]

Manipulate[Plot[a[[1]] Exp[a[[2]] x]+b[[1]] Exp[b[[2]] x],{x,-2,2}],{a,{-1,-1},{1,1},{0.1,0.1}},{b,{-1,-1},{1,1},{0.1,0.1}}]

Manipulate[Plot[a[[1]] Exp[a[[2]] x]+a[[3]] Exp[b x],{x,-2,2}],{a,{-1,-1,-1},{1,1,1},{0.1,0.1,0.1}},{b,-1,1,0.1}]

Nagy Gábor

Manipulate[Plot[A*(E^(a*x))+B*(E^(b*x)),{x,0,5}], {{A,-1.4,"A"},-5,5}, {{B,1.2,"B"},-5,5}, {{a,-1.55,"a"},-5,5}, {{b,-0.83,"b"},-5,5}]

Tóth Krisztián

Clear[g]
g[x_,a,A,b,B]= A×(E^(a×x))+B×(E^(b×x))

Manipulate[Plot[A×(E^(a×x))+B×(E^(b×x)),{x,-1,4}],{a,-4,4},{A,-4,4},{b,-4,4},{B,-4,4}]

Keressen és röviden ismertessen egy olyan (matematikai, kémiai, informatikai) demonstrációt, amit érdekesnek tart. Mi a jó benne?

Bánóczy Gergely

Érdekes, hogy Hyperlink nélkül is odaugrik:

A választott demonstrációm: http://demonstrations.wolfram.com/GlobalAndLocalSequenceAlignmentAlgorithms/
Az alkalmazás a DNS- és fehérjeszekvencia-összerendelések két fajtáját szemlélteti, szimpla angol szavakkal, közérthetőbben, a szekvenciák is betűk ismétléses permutációjának eredményei ilyen szempontból. Sokszor szeretnénk tudni két szekvencia hasonlóságát, erre alapvetően két típusú algoritmus van: a globális és a lokális. A beillesztések/törlések, egyezések és nem egyezések külön-külön más pontértéket kapnak, melyek összege látható az ábrán, és változtatva ezen értékeket maga az illesztés is változik, ezért fontos a valódi alkalmazásokban ennek pontos, statisztikai alapon való meghatározása, melyekre az idők során többféle hasonlósági mátrixot dolgoztak ki.

Holló Gábor

3. Érdekességek. 
Különböző kezdeti feltételek esetén látható a Briggs-Rauscher reakció viselkedése -- a jelenleg feltételezett mechanizmus alapján.

Hyperlink["Reakció","http://demonstrations.wolfram.com/BriggsRauscherMechanismTheChemicalColorClock/"]

Tóth Krisztián

Hyperlink["http://demonstrations.wolfram.com/VibrationsOfAHangingString/"]

Egy megfigyelt jelenséget, esetünkben egy csillapodó rezgést, általánosított a demonstráció készítője. Tehát az a szép az egészben, ha valamit már fizikailag letudunk írni azt a Mathematica segítségével könnyedén változtatható paraméterekkel tudunk modellezni. Ennek a programnak csak a képzelet szabhat határokat...

Ez a függvény ami a demonstráció hátterében áll:
w(x,t)=(∑_(k=1)^∞)[((Subscript[C, k])cos (Subscript[ω, k])t+(Subscript[S, k])sin (Subscript[ω, k])t)(Subscript[J, 0])(2(Subscript[ω, k])(Sqrt[((l-x)/g)]))]

Keresse meg a Bessel-függvények definícióját. Keressen alkalmazást rájuk. Ábrázoljon néhány Bessel-függvényt.

Bánóczy Gergely

A Bessel-függvények a Bessel-féle differenciálegyenlet kanonikus megoldásai. Két fajta megoldásuk létezik: ezek szerint megkülönböztetünk I. (Jα) és II. fajú (Yα) Bessel függvényeket. A III. fajú függvényt Hankel-függvénynek hívják. Alkalmazási területeik: elektromágneses hullámok megoldása hengerkoordináta-rendszerben, hővezetés hengerkoordináta redszerben, vékony akusztikus membránok rezgéseinek elemzése, diffúziós problémák rácsszerkezetekben stb...

A differenciálegyenlet:

x^2f''[x]+xf'[x]+(x^2-α^2)f[x]==0

Az első(J) és másod(Y) fajú Bessel függvények ábrázolása:

Plot[BesselJ[0,x],{x,0,50}]
Plot[BesselY[0,r],{r,0,15}]

Holló Gábor

4. Bessel függvények :
  Elektromágneses hullámok (elektromágneses sugárzás) megoldása hengerkoordináta - rendszerben,
Hővezetés hengerkoordináta - rendszerben,
Vékony akusztikus membránok rezgéseinek elemzése
Diffúziós problémák rácsszerkezetekben
A radiális Schrödinger - egyenlet megoldásai szabad részecskékre

Plot[BesselJ[0,x],{x,0,50}]

DSolve[ (x^2)y''[x]+x y'[x]+(x-n)(x+n)y[x]==0,y[x],x]

Hyperlink["Demo","http://demonstrations.wolfram.com/BesselFunctionsInTheComplexPlane/"]

Nagy Gábor

A matematikában a Bessel-függvények a Bessel-féle differenciálegyenlet kanonikus megoldásai. A Bessel-féle differenciálegyenlet:

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha^{2})y=0.

Alkalmazásai: Diffúziós problémák rácsszerkezetben, akusztikus sugárzás megoldásai.

Hyperlink["Bessel","http://hu.wikipedia.org/wiki/Bessel-f%C3%BCggv%C3%A9ny"]

Plot[{BesselJ[0,x],BesselJ[1,x],BesselJ[2,x]},{x,0,20}]
Plot[{BesselY[0,x],BesselY[1,x],BesselY[2,x]},{x,0,20}]

Többféleképpen határozza meg egy lista elemeinek átlagát.

Bánóczy Gergely

Az 1,2,3,4,5,6 sor átlaga kétféleképpen:

v=Range[6]
Mean[v]
Total[v]/Length[v]

Holló Gábor

4. Átlag

a={1.21,3.4,2.15,4,1.55};

Mean[a]

Total[a]/Count[a,_]

Total[a]/Length[a]

Nagy Gábor

Mean[{1,2,3,4,5,6}]

Tóth Krisztián

Clear[list]
list={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Total[list]/Count[list,_Integer]

Sort[list]

Median[%]

Mean[list]

Készítsen háromdimenziós ábrát egy alkalmas nyeregfelületről. Milyen ábrákat tud még készíteni ugyanerről?

Bánóczy Gergely

ContourPlot3D[z/2==(y^2)/3-(x^2)/6,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}]

Enkhbold Enkhbyamba

6.feladat

Plot3D[(x^2)-(y^2),{x,-1,9},{y,0,9}]

Holló Gábor

6. Nyeregfelület

Plot3D[x^2-y^2,{x,-1,1},{y,-1,1}]

ContourPlot[x^2- y^2,{x,-1,1},{y,-1,1}]

ContourPlot[{x^2- y^2==0.2,x^2- y^2==-0.2},{x,-1,1},{y,-1,1}]

Nagy Gábor

Plot3D[{x^2+y^2,-x^2-y^2},{x,-2,2},{y,-2,2},ColorFunction->"RustTones"]

Szintaxis (nyelvtani szabályok)

Függvények neve

A beépítetteké (built-in) NAGYBETŰVEL kezdődik (nem nagy betű!), rövidítések alig.

FactorInteger[120]

Factorial[5]

?*Factor*

Az argumentumok szegletesbe: g[x]
Közéjük vessző: f[x,y],
A pontosvessző elnyomja a kiírást (nem a számolást). Mivégre?

Timing[N[Pi,50000];]

Timing[N[Pi,150000];]

Elemi aritmetika

Szokásos jelölések használhatók, de inkább matematikai alakot használunk.
xy új jel, különbözik x y-től (és az utóbbival azonos jelentésű x*y kifejezéstől).

x=2;y=3;xy=15;
{x,y,x y,xy,3 4,3+4,0*x,x+z+z,6/2}

Automatikus egyszerűsítések.

Gömbölyű, szegletes, kapcsos, kettős szegletes, sőt.

A precedencia megtöréséhez

2(3+5)

Argumentumokhoz

Cos[π/2]

Listákhoz

v={1,2,3,4,2,-2,2,5,0,0};

Union[v]

DeleteDuplicates[v]

NEM halmaz, inkább vektor.

Listák elemeihez/komponenseihez

v[[3]]

m={v,2v+5}

m[[2,4]]

Megjegyzésekhez

(*This text is not interpreted as a command. Use comments, but sparingly.*)

Listából halmaz?

w=Union[v]

v[[3]]

3

w[[3]]

Esc

Görög betűk α,β,γ

Speciális jelek e,ϵ,∞,d,i, ☺

E

∞

∞

Listák kompnensei szebben: v[[3]]

v[[3]]

v[[

História

%

%%%

%23

Out[23]

%,%%,%23, Out[23]

Inkább adjunk nevet az eredménynek:

asdf=Sin[π/12]

(((2(Sqrt[2])asdf+1))^4)

Ezért jó, hogy megmaradt a szimbolikus alak.

N[%]

2 asdf -(Sqrt[3/2])

Simplify[%]

A legfurcsább és -sokoldalúbb jel: @ (funkc. proghoz)

Wikipedia: The at sign @ is also commonly called the at symbol, ampersat, apetail or commercial at in English—and less commonly a wide range of other terms [1][2][3][4]. The fact that there is no single word in English for the symbol has prompted some writers to use the French arobase [5] or Spanish and Portuguese arroba—or to coin new words such as asperand, [3] ampersat [6]—but none of these has achieved wide currency.

f@g[3]

f@g@h@r[w]

v=Range[0,9,2]

Map[f,v]

Map[f,v]==f/@v

Apply[f,v]

Apply[f,v]==f@@v

f@@@{a,f,r,{2,3,r}}

Típusok

A nulladik komponens (vagy Head) típusnak tekinthető.

{5[[0]],π[[0]],(1/2)[[0]],I[[0]],{1,2,3}[[0]]}

FullForm[{1,2,3}]

{Head[5],Head[π]}

Többezernyi típus van :)

Súgók

?Plot (*Gyorssegély*)

??Plot (*Részletesebben*)

De igazából elég ez: F1

?*Plot*

(*Rokon függvények, illetve nem emlékszem az egész névre*)

Házi feladatok

Készítsen 100 elemű véletlen listát. Határozza meg minél több lokációs (közepek, medián, módusz) és szóródási paraméter (mintaterjedelem, szórási együttható, szórás és szórásnégyzet,  interkvartilis félterjedelem, csúcsosság, átlagos abszolút eltérés stb.) értékét ennél a listánál.

Rajzolja föl az empirikus eloszlásfüggvényt és hisztogrammot az előző lista esetében.

Határozza meg a Q(a):=(∑_(n=1)^N)(((a (Subscript[x, n])-(Subscript[y, n])))^2) függvény minimumát!

Keressen adatokat a hálón, és olvassa be az Import függvénnyel.

Milyen adatok vannak készen a programban? ?*Data

Mekkora a standard normális eloszlás interkvartilis félterjedelme?