Beszámolók

Javaslom, hogy december 15.-én, hétfőn és/vagy január 19.-én hétfőn délután legyenek a kiselőadások (kb. 20 perc). Előtte 1 héttel szeretném megkapni az alapul szolgáló dolgozatot/notebookot stb.-t. Kérem, hogy mindenki (elsősorban persze, aki kreditet szeretne :)) adja meg, melyik dátumot választja.

A házi feladatok megoldása

1. Feladat

Király Márton

Sajnos nem sok fogalmam van ezek alapján a stabilitásról, nekem mind instabilisnak tűnik...

StreamPlot[{2x+5y,-3x+3y},{x,-10,10} ,{y,-10,10}]

Eigensystem[{{2,5},{-3,3}}]

StreamPlot[{2x-5y,-3x+3y},{x,-10,10} ,{y,-10,10}]

Eigensystem[{{2,-5},{-3,3}}]

StreamPlot[{-2x-5y,-3x-3y},{x,-10,10} ,{y,-10,10}]

Eigensystem[{{-2,-5},{-3,-3}}]

StreamPlot[{2x+y,2y},{x,-10,10} ,{y,-10,10}]

Eigensystem[{{2,1},{0,2}}]

Oláh Judit

Hyperlink["OJdenemSimpson","C:\\Users\\jtoth\\Documents\\bme1415\\FelsMma\\Hazik\\OlahJudit_hf10_slideshow_output.nb"]

2. Feladat

Király Márton

StreamPlot[{y,-x},{x,-10,10} ,{y,-10,10}]

StreamPlot[{-(x^2)+y,-x-(y^2)},{x,-10,10} ,{y,-10,10}]

StreamPlot[{(x^2)+y,-x+(y^2)},{x,-10,10} ,{y,-10,10}]

Oláh Judit

Hírek

Ajánlott hallgatmány

Ez egy háromrészes előadás első része SW régi munkatársától. Én már másfelet megnéztem :)

Hyperlink["Gaylord","https://www.youtube.com/watch?v=H-rnezxOCA8"]

Student certificate

Hyperlink["Student certificate","http://www.wolfram.com/training/certification/students/"]

Having this in your CV may not deteriorate your chances. Please let me (and the others) know if you have tried it.

Bevezetés a közönséges differenciálegyenletek kvalitatív elméletébe 2.

Stacionárius pontok

Létezés

Lehet, hogy nincsenek is!

x´[t]==1

FindInstance[{0==x,0==(x^2)+(y^2)-(z^2)+1,0==(z^2)-2x+5 y},{x,y,z}]

Solve[{0==x,0==(x^2)+(y^2)-(z^2)+1,0==(z^2)-2x+5 y},{x,y,z}]

NSolve, Reduce,Refine,FindRoot,LinearSolve

Egyértelműség

Lehet, hogy több is van.

eq=x´[t]==1-((x[t])^2)

(Last@eq)/.cc_[t]->cc

Solve[%==0,x]

Solve[{0==x-y,0==y-x},{x,y}]

Több stacionárius pont van, de csak az érdekel bennünket, amelyiknél a tömeg megmarad (amelyik rajta van egy első integrálon is, ld. alább).

Solve[{0==x-y,0==y-x,x+y==x0+y0},{x,y}]

Pozitív? Valós?

A változók jelentése miatt esetenként csak a valós vagy csak a pozitív stacionárius pontok érdekelnek bennünket.

Solve[{1-(x^2)==0,x>0},x]

Solve[{0==x,0==(x^2)+(y^2)+(z^2)+1,0==(z^2)-2x+5 y},{x,y,z}]

Solve[{0==x,0==(x^2)+(y^2)+(z^2)+1,0==(z^2)-2x+5 y},{x,y,z},Reals]

Solve[{-10+5 x-10 (x^2)+5 (x^3)-2 y+x y-2 (x^2) y+(x^3) y==0,-50+25 x-50 (x^2)+25 (x^3)-20 y+10 x y-20 (x^2) y+10 (x^3) y-2 (y^2)+x (y^2)-2 (x^2) (y^2)+(x^3) (y^2)==0},{x,y}]//Quiet

Solve[{-10+5 x-10 (x^2)+5 (x^3)-2 y+x y-2 (x^2) y+(x^3) y==0,-50+25 x-50 (x^2)+25 (x^3)-20 y+10 x y-20 (x^2) y+10 (x^3) y-2 (y^2)+x (y^2)-2 (x^2) (y^2)+(x^3) (y^2)==0},{x,y},Reals]//Quiet

Simplify[%]

Tétel (Volpert, 1972): Tömeghatás típusú kinetika esetén a kinetikai differenciálegyenletek megoldása nemnegatív.

(Sokkal általánosabban is igaz.)

Előállítás

Polinomiális (algebrai) egyenletrendszerek a lineáris algebrai egyenletrendszerekhez hasonlóan triangularizálhatók (Bruno Buchberger, mondjuk google: buchberger groebner, vagy:

Hyperlink["Szili-Tóth","http://www.math.bme.hu/~jtoth/pubtexts/SziliTothMma.pdf"]

is.)

GroebnerBasis[{(x^2)-2(y^2),x y-3},{x,y}]

Solve[{(x^2)-2(y^2)==0,x y-3==0},{x,y}]

sy=Solve[-9+2 (y^4)==0,y]

eqsimple=3 x-2 (y^3)/.sy

Solve[#==0,x]&/@eqsimple

Solve,Refine, Reduce, FindInstance ezt használja.

GroebnerBasis[{0==x,0==(x^2)+(y^2)-(z^2)+1,0==(z^2)-2x+5 y},{x,y,z}]

Az eredmény függhet a változók sorrendjétől.

GroebnerBasis[{0==x,0==(x^2)+(y^2)-(z^2)+1,0==(z^2)-2x+5 y},{z,x,y}]

Stabilitás

Lineáris rendszereknél: sajátértékek

Minden sajátérték negatív valós részű: az origó aszimptotikusan stabilis

Valós sajátértékek

A = -{{2,1}, {0,2}};StreamPlot[A.{x,y},{x,-2,2},{y,-2,2},PlotLabel->TraditionalForm[N@Eigenvalues[A]]]

sp[a_?MatrixQ]:=StreamPlot[a.{x,y},{x,-2,2},{y,-2,2},PlotLabel->TraditionalForm[N@Eigenvalues[a]]]

sp[-{{2,1}, {0,2}}]

Stabilis csomó

Komplex sajátértékek

sp[-{{2,5}, {-3,3}}]

Stabilis fókusz

Van pozitív valós részű sajátérték: az origó instabilis

Valós sajátértékek

sp[{{2,-5}, {-3,3}}]

Nyereg

Komplex sajátértékek

sp[{{2,5}, {-3,3}}]

Instabilis fókusz

Van nulla valós részű sajátérték

Az origó biztosan nem aszimptotikusan stabilis.

Van annyi független sajátvektor, amennyi a sajátérték multiplicitása: stabilis (pl. egyszeresek a sajátértékek)

sp[{{0,1},{-1,0}}]

Eigenvectors[{{0,1},{-1,0}}]

Centrum vagy örvénypont.

Nincs annyi független sajátvektor, amennyi a sajátérték multiplicitása: instabilis (a nulla valós részű sajátérték többszörös)

Eigenvectors[{{0,1},{0,0}}]

Ha a nulla vektort is megkapjuk sajátvektorként, az azt jelenti, hogy kevesebb sajátvektorunk van. (Itt a Mathematica nincs összhangban a matematikusok szokásaival.)

sp[{{0,1},{0,0}}]

Elfajult eset.

Nemlineáris rendszerek

Linearizálás

A durva esetek egyszerűek

ClearAll[nsp];
nsp[fval_,xfrom_,xto_,yfrom_,yto_,xs_,ys_,opts___]:=StreamPlot[fval,{x,xfrom,xto},{y,yfrom,yto},PlotLabel->Eigenvalues[(D[fval,{{x,y},1}])/.{x->xs,y->ys}],opts]

A jobb oldal stacionárius pontban vett Jacobi-mátrixának sajátértékei között van pozitív valós részű: a nemlineáris rendszernek is instabilis a stacionárius pontja (nemcsak a linearizáltjának)

Valós sajátértékek, 1 pozitív, 1 negatív

rhs[x_,y_]:={2x+y-5(y^2),3x+y+((x^3)/2)}

stac=Solve[rhs[x,y]==0,{x,y}]//N

stac=Solve[rhs[x,y]==0,{x,y},Reals]
%//N

nsp[rhs[x,y],-1,1,-1,1,0.,0]

Még egy példa

Solve[{x+2 y-Sin[(y^2)]==0,-x+(E^x) x-3 y==0},{x,y}]

FindRoot[{x+2 y-Sin[(y^2)]==0,-x+(E^x) x-3 y==0},{x,y}]

FindInstance[{x+2 y-Sin[(y^2)]==0,-x+(E^x) x-3 y==0},{x,y}]

n2=Plot[(x (E^x)-x)/3,{x,-2,2},Epilog->First@ParametricPlot[{Sin[(y^2)]-2y,y},{y,-3,3}],PlotRange->All]

Lássuk be, hogy nincs másik stacionárius pont.

nsp[{x+2y-Sin[(y^2)],-x-3y+x((E^x))},-1,1,-1,1,0.,0]

Valós sajátértékek, 2 pozitív

st=N[{x,y}/.stac[[2]]]

nsp[rhs[x,y],-1,1,-1,1,First@st,Last@st]

nsp[rhs[x,y],-.01,.01,-.01,.01,First@st,Last@st,StreamPoints->50]

Komplex sajátértékek

Kiegészítendő!

A jobb oldal stacionárius pontban vett Jacobi-mátrixának sajátértékei negatív valós részűek: a nemlineáris rendszernek is aszimptotikusan stabilis a stacionárius pontja (nemcsak a linearizáltjának)

ClearAll[f];f[x_,y_]:={-(x^2)+(y^2)+1,-2y}

sol=Solve[f[x,y]==0,{x,y}]

stp={x,y}/.sol[[1]]

sp={x,y}/.sol[[2]]

{sol[[1,1]],sol[[1,2]]}

nsp[f[x,y],-1,2,-1,1,1,0,StreamPoints->50]

És a másik stac. pont milyen?

Ljapunov-függvények

Mi a helyzet, ha a valós részek nullák?

nsp[{-(x^3)+y,-x-(y^3)},-1,1,-1,1,0,0]

Stabilisnak tűnik.

nsp[{(x^3)+y,-x+(y^3)},-1,1,-1,1,0,0]

nsp[{(x^3)+y,-x+(y^3)},-.1,.1,-.1,.1,0,0]

Instabilisnak tűnik.

Mindkét állítást be fogjuk bizonyítani.

Hyperlink["Ljapunov","http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Lyapunov.html"]

nyomán bevezetünk egy vektorváltozós, skalárértékű függvényt, ebbe belerakjuk (Composiiton) a megoldásokat, és megpróbálunk következtetéseket levonni a stabilitásról.

Legyen

V[p_,q_]:=(p^2)+(q^2)

ez pozitív, kivéve az origót. Számítsuk ki annak az összetett függvénynek a deriváltját, amelyet ebből és a

ClearAll[f];f[x_,y_]:={-(x^3)+y,-x-(y^3)}

jobboldalú egyenlet megoldásaiból kapunk:

V@@{x[t],y[t]}

Composition?

D[V@@{x[t],y[t]},t]

D[V@@{x[t],y[t]},t]/.Thread[{x'[t],y'[t]}->{-((x[t])^3)+y[t],-x[t]-((y[t])^3)}]//Simplify

Ljapunov tétele szerint ez azt jelenti, hogy az origó aszimptotikusan stabilis.

Tétel: Legyen az x'[t]=f[x'[t]]  egyenlet stacionárius pontja (SuperStar[x]), és tegyük fel, hogy a folytonosan differenciálható, pozitív értékeket felvevő V függvény rendszer szerinti deriváltja negatív (kivéve a stacionárius pontot). Ekkor a stacionárius pont aszimptotikusan stabilis.

A második állítást nem bizonyítottuk be, hogyan lehetne?

Def. A V  függvény deriváltja a fenti rendszer szerint az x pontban: V'(x).f(x)

Első integrálok

De honnan vegyünk Ljapunov-függvényeket? Energia, entrópia, művészet. (Anapolszkij: Módszerek Ljapunov-függvények konstruálására, Alk. Mat. Lapok)

Def. A V  függvény a fenti rendszer első integrálja, ha V rendszer szerinti deriváltja nulla. Ekkor a fent definiált összetett függvény a megoldások mentén állandó.

Pl. össztömeg, öszenergia.

Mutassuk meg, hogy a harmonikus oszcillátor egyenletének a

V[p_,q_]:=(p^2)+(q^2)

függvény első integrálja. A def. szerint:

D[V[p,q],{{p,q},1}].{q,-p}

De igazából bennünket ez érdekel:

D[V@@{x[t],y[t]},t]/.Thread[{x'[t],y'[t]}->{y[t],-x[t]}]//Simplify

Periodikus megoldások

A létezés elégséges feltételei

Alkalmas szintvonalakkal bíró első integrál létezése

A trajektóriák az első integrál szintvonalain haladnak, ha ez zárt görbe, akkor a rendszernek periodikus megoldása van. Pl. a harmonikus oszcillátor, ld. fent.

ClearAll[vlrhs,W];
vlrhs[x_,y_]={x-x y,x y-y};
W[p_,q_]:=Log[p]+Log[q]-p-q

D[W[p,q],{{p,q},1}].vlrhs[p,q]//Simplify

ContourPlot[W[p,q],{p,0,3},{q,0,3}]

Hogyan találtuk ki?

Bendixson-zsák

rhsb={x-y-(x^3),x+y-(y^3)};

Nullavonalak

p1=Plot[x-(x^3),{x,-2,2}]

p2=ParametricPlot[{-y+(y^3),y},{y,-2,2},PlotStyle->Red]

Show[p1,p2,PlotLabel->"Az origó az egyetlen stacionárius pont"]

Show[p1,p2,PlotLabel->"Az origó az egyetlen stacionárius pont",Epilog->First@Graphics[{Thick,Brown,Circle[{0,0},1],Circle[{0,0},(Sqrt[2])]}],AspectRatio->Automatic]

StreamPlot[rhsb,{x,-2,2},{y,-2,2}]

Show[%139,%140]

Egyenlőtlenségek, Poincaré leképezés.

Hopf-bifurkáció

Manipulate[Module[{nds,x,y},nds=NDSolve[{x'[t]==1+a ((x[t])^2)y[t]-(b+1)x[t],y'[t]==a(b x[t]-a ((x[t])^2)y[t]),x[0]==8,y[0]==3},{x,y},{t,0,100}][[1]];
ParametricPlot3D[Evaluate[{{90,x[t],y[t]},{t,x[t],0},{t,4,y[t]}}/.nds],{t,90,100},BoxRatios->{1,1,1},PlotPoints->100,PlotRange->{{90,100},{0,4},{0,8}},AxesLabel->{Style["t",Italic],Row[{Style["x",Italic],"(",Style["t",Italic],")"}],Row[{Style["y",Italic],"(",Style["t",Italic],")"}]}, PlotStyle->Directive[Thick,RGBColor[.49,0,0]],ImageSize->{400,400},PlotLabel->"Trajectory and coordinate functions of the solutions\n\n"]],
{a,1.9,2.03,0.001,Appearance->"Labeled"},
{b,4.8,6.0,0.001,Appearance->"Labeled"}]

Házi feladatok

1. Hogyan függ az origó stabilitása a p paraméter értékétől az x'[t]=A x[t] rendszer esetén, ha

A = {{2,p}, {-3,3}}

A = {{2,-5}, {-3,p}}

Használjuk ezeket:

StreamPlot, Eigenvalues, Eigenvectors, Eigensystem, Animate, Locator, Manipulate

2. Írjuk át elsőrendű rendszerré a

x''[t] + 2α x'[t] + (β^2)x[t]=0

egyenletet, majd vizsgáljuk meg, hogyan függ az origó stabilitása a paraméterek értékétől.

3. Döntsük el, hogy egy adott függvény első integrálja-e egy autonóm közönséges differenciálegyenletnek.

V[p_,q_]:=y+((x^2)/4)
f[x_,y_]:={-x,2y+(x^2)}

W[p_,q_,r_]:=z+((x^2)/3)
g[x_,y_,z_]:={-x,-y+(x^2),z+(x^2)}

4. Összetett ábra!!!