Reakciókinetika....

Fekete Balázs Samu

University of [...] sfekete@math.bme.hu

2011. május 2.

1 A CFSTR modell és az injektivitás

Alapfogalmak Példa

2 Az SR gráf

3 Bezárt-enzim modell

A CFSTR modell

Főbb jellemzői: a tartályt folyamatosan keverjük, ezért az anyagfajták tartályon belüli homogén eloszlását feltételezzük a bemenet és kimenet (térfogat/idő) sebessége ugyanakkora konstans a tartályt konstans hőmérsékleten és térfogaton tartjuk a kimenetben az egyes anyagfajták koncentrációja megegyezik a tartályon belüli koncentrációjukkal

ábra..

A modell matematikai leírása

az anyagfajtákat nagybetűkkel, pl: A,B,C,D,…, az anyagfajták halmazát S-el jelöljük. a tartályon belüli (és a kimenetben lévő) anyagfajták koncentrációját pl: c_{A}, c_{B} -vel jelöljük, a bemenetben lévőkét: c_{A}^{f}, c_{B}^{f} -vel. Ezeket általában c(t), c^{f} (t) oszlopvektor formájában kezeljük, és erre fogjuk felírni a differenciálegyenleteket. minden reakcióhoz létezik egy nemnegatív valós értékű függvény, ami a koncentrációvektor függvényében meghatározza a reakció lejátszódásának gyakoriságát (mol/térfogat-ban). Jelölése: K_{A+B→C}(c)

Feltesszük hogy:

K_{2A+B→C} = k_{2A+B→C}c_{A}^{2}c_{B}

valamilyen k pozitív állandóra.

Egy példa

Az anyagfajták: S := {A, B, C, D, W , X , Y , Z}; A reakciók:

A + B ⇌ C,  X ⇌ 2A + D ⇌ Y ,  D ⇌ C + W ,  B + D ⇌ Z.

                                                         (1) reakt:1

Ekkor a diffegyenletek (g-vel jelöljük a bemenet térfogat/idő sebességét, V-vel a tartály össztérfogatát):

ċ_{A} = \frac{g}{V}(c_{A}^{f} − c_{A}) − k_{A+B→C} · c_{A}c_{B} + k_{C→A+B} · c_{C} − 2k_{2A+D→X} · c_{A}^{2}c_{D}

+ 2k_{x→2A+D} · c_{X} − 2k_{2A+D→Y} · c_{A}^{2}c_{D} + 2k_{Y →2A+D} · c_{Y},

ċ_{B} = \frac{g}{V}(c_{B}^{f} − c_{B}) − k_{A+B→C} · c_{A}c_{B} + k_{C→A+B} · c_{C}

+ k_{Z→B+D} · c_{Z} − k_{B+D→Z} · c_{B}c_{D}, …

Fekete Balázs Samu (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem  ) Kutatási Feladat 2. Bemutató  2011. május 2.  5 / 24

Példa

A kérdés az, hogy a felírt differenciálegyenleteknek létezik-e több egyensúlyi pontja. Ezzel ekvivalens kérdés, hogy a bal oldali deriváltakat 0-vá téve (és kicsit átrendezve), a kapott polinomiális egyenletrendszernek létezik-e több megoldása (a továbbiakban az egyszerűség kedvéért tegyük fel hogy \frac{g}{V} = 0):

c_{A}^{f} = c_{A} + k_{A+B→C} · c_{A}c_{B} − k_{C→A+B} · c_{C} + 2k_{2A+D→X} · c_{A}^{2}c_{D}
− 2k_{x→2A+D} · c_{X} + 2k_{2A+D→Y} · c_{A}^{2}c_{D} − 2k_{Y →2A+D} · c_{Y},
c_{B}^{f} = c_{B} + k_{A+B→C} · c_{A}c_{B} − k_{C→A+B} · c_{C}
− k_{Z→B+D} · c_{Z} + k_{B+D→Z} · c_{B}c_{D},
…

Példa

Jelöljük a k_{A+B→C}, … paraméterekből képzett vektort k-val. Ekkor az egyenletrendszer jobb oldalát p(c, k)-val jelöljük, és az 1 reakcióhálózathoz rendelt polinomfüggvénynek nevezzük. Ezt egy vektor értékű függvénynek tekintjük, aminek az értéke a c, és k vektoroktól függ. Ekkor látható, hogy ha a diffegyenleteknek több egyensúlyi pontja van, akkor létezik olyan k_{0}, hogy a c → p(c, k_{0}) függvény nem injektív! Tehát az injektivitás elégséges feltétele az egyensúlyi pont egyértelműségének. A továbbiakban ezen injektivitás fennálásának feltételeit vizsgáljuk.

Konklúzió

Két fontos megfigyelést tehetünk:

1 A reakcióhálózat injektív, ha a megfelelő p polinomfüggvényre teljesül, hogy det(\frac{∂p(c,k)}{∂c}) nemszinguláris minden pozitív c-re és k-ra.

2 A gyakorlatban megfigyelték, hogy nagyon sok reakció osztályra igaz, hogy a det(\frac{∂p(c,k)}{∂c}) kiszámításakor a tagok együtthatói mind pozitívak.

Ugyan az 1. pont nem igaz minden polinom függvényre, de belátható, hogy a reakcióhálózatokból származó polinomfüggvényekre teljesül. A 2. pont-ból következik, hogy a determináns nem tünik el, és így injektív a rendszer. Megmutatható, hogy az együtthatók pozitivitása szükséges is ehhez.

Bevezető

Species-Reaction graph, vagy SR gráf (irányítatlan változata). Egy alternatív módja az injektivitás vizsgálatának.

Definíció

A gráf csúcsai legyenek a következők: Minden anyagfajtának és minden reakciónak feleljen meg egy csúcs. A gráf élei: Minden anyagfajtának megfelelő csúcsot (továbbiakban anyagcsúcsok) kössünk össze azon reakciócsúcsokkal, amely reakciók valamely oldalán az az anyag megjelenik. Minden élet címkézzünk meg egyrészt azzal a komplexszel amiben szerepel, és a sztoichiometrikus együtthatójával.

Egy példa

Tekintsük az alábbi reakciókat:

A + M ⇌ X , B + N ⇌ Y ← 2A + N, B + X ⇌ Z ← R + M. (2)?\underline{reakt:2}?

ábra...

Fekete Balázs Samu (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem  ) Kutatási Feladat 2. Bemutató  2011. május 2.  10 / 24

Definíciók

1 két csúcsot c-párnak nevezünk, ha szomszédosak, és ugyanazon

komplex-el lettek megcímkézve. 2 egy kört prtl-körnek vagy prs-körnek (páratlan illetve páros kör)

nevezünk, attól függően, hogy a benne szereplő c-párok száma páratlan illetve páros.

3 egy él sztoichiometrikus eggyütthatóján azt a számot értjük, amivel a

fenntebb leírt módon megcímkéztük. 4 azokat a köröket, amik mentén a sztoichiometrikus együtthatókat

felváltva szorozva és osztva egymással az eredmény 1 lesz, s-köröknek nevezzük. (pl ha a sztoichiometrikus együtthatók sorban: 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 1 akkor 1 · (1/1) · 2 · (1/3) · 1 · (1/2) · 1 · (1/1) = 1/3. Tehát ez nem lenne egy s-kör)

5 azt mondjuk, hogy két kör S-R metszi egymást, ha a metszetük egy olyan utat (vagy diszjunkt utakat) alkot, ami egy anyagcsúcsnál kezdődik, és egy reakció csúcsnál ér véget.

Fekete Balázs Samu (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem  ) Kutatási Feladat 2. Bemutató  2011. május 2.  11 / 24

Tétel

Ekkor megfogalmazható a következő tétel:

Tétel

Tekintsünk egy reakció hálózatot, aminek az SR gráfjára teljesül, hogy: 1 minden kör prtl-kör, vagy s-kör, 2 nincs két olyan prs-kör aminek S-R metszete lenne

Ekkor a fenti feltételezésekkel élve, a reakcióhálózatban nem alakulhat ki több, különböző egyensúlyi állapot.

...

Példa gráf

A fenti példa páros körei: ábra... Tehát a gráfra teljesül 1. és 2., tehát a rendszernek egyértelmű pozitív egyensúlyi állapota van.

Fekete Balázs Samu (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem  ) Kutatási Feladat 2. Bemutató  2011. május 2.  13 / 24

Konklúzió

Láttunk tehát két módszert is egy reakcióhálózat egyensúlyi állapotának egyértelműségének vizsgálatára (a megfelelő polinomfüggvény injektivitásán keresztül). De csak a CFSTR esetén. A következőkben egy olyan modellt fogunk vizsgálni, aminek jelentős biológiai vonatkozása van, és megfolgalmazunk egy tételt, amivel a fenti eredményeinket erre a modellre is ki tudjuk terjeszteni.

A modell jellemzői:

A bezárt-enzim modell:

bemenet/kimenet: a szabadon közlekedő anyagok a sejten belüli és sejten kívüli koncentrációjuk különbségének függvényében diffundálnak a sejtfalon keresztül. belső reakciók úgy játszódnak le mint a CFSTR modellben

Gondoljunk arra, hogy van egy sejtünk (a tartály), egy időben állandó koncentrációjú közegben, és néhány anyagfajta elég kicsi ahhoz hogy szabadon diffundáljon a sejtfalon keresztül, míg az enzimek és ahhoz kötött anyagok túl nagyok.

Matematikai leírása

Definíció

Egy reakcióhálózatot egy, anyagfajta-komplex-reakció hármassal definiálunk: {S, C, R}.

1 S az anyagfajták véges halmaza

2 C ⊂ ℝ_{+,0}^{S} a komplexek véges halmaza

3 R ⊂ C × C egy "reagál" reláció az alábbi tulajdonságokkal:

1 (y, y) ∉ R, ∀y ∈ C

2 ∀y ∈ C, ∃y′ ∈ C : (y, y′) ∈ R or (y′, y) ∈ R

Egy anyagfajta moláris koncentrációját továbbra is c_{s}, s ∈ S módon jelöljük, illetve c-vel az ezekből képzett vektort. Minden y → y′ ∈ R reakcióhoz van egy K_{y→y′}(·) függvény, ami a reakció gyakoriságát határozza meg, c függvényében. Ez általában:

K_{y→y′}(c) = k_{y→y′} ∏_{s∈S} c_{s}^{y_{s}}

További definíciók

Definíció

r(c)-vel jelöljük azt a függvényt ami meghatározza milyen sebességgel termelődnek az egyes anyagok:

r(c) = ∑_{y→y′∈R}K_{y→y′}(c)(y′ − y)

a reakcióhálózat sztoichiometrikus alterének nevezzük a reakciók által meghatározott vektorok által kifeszített alteret:

S := Span{y′ − y ∈ ℝ^{S} | y → y′ ∈ R}

Ekkor ha eltekintünk a be és kimenettől:

ċ = r(c)

egyenletet kapjuk. Vegyük észre hogy ekkor a ċ vektor a sztoichiometrikus altérben van.

Fekete Balázs Samu (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem  ) Kutatási Feladat 2. Bemutató  2011. május 2.  17 / 24

Még több definíció

Definíció

S -et felbontjuk két diszjunkt halmazra: E legyen azon anyagfajták halmaza ami nemtud átmenni a sejtfalon, míg M a szabadon diffundáló anyagfajtákat jelölje. α_{m} jelölje az m ∈ M anyagfajta tömeg-transzfer (nem nulla) együtthatóját c_{m}^{0} jelölje az m ∈ M anyagfajta sejt körüli közegbeli koncentrációját.

Ekkor a differenciálegyenleteink a következőképpen néznek ki:

ċ = g(c), ahol g(·) : ℝ_{+,0}^{S} → ℝ^{S} g(c) := r(c) + ∑_{m∈M}α_{m}(c_{m}^{0} − c_{m})m

Figyeljük meg, hogy g(·) értékkészlete benne van a következőben:

S̄ := Span({y′ − y ∈ ℝ^{S} | y → y′ ∈ R} ∪ M)

A probléma

A c kompozícióbol c′ kompozíció elérhető, ha c′ − c ∈ S̄. Ez alapján ℝ_{+,0}^{S} felbontható kompatibilitási osztályokra.

Általában minden egyes ilyen kompatibilitási osztályban lesz egy vagy több egyensúlyi pont, ezért az egyensúlyi pontok általában egy felületet határoznak meg ℝ_{+}^{S}-ban Általában ha c^{∗} egy egyensúlyi pont, akkor g′(c^{∗}) szinguláris lesz, mert ker(g′(c^{∗})) tartalmazni fog egy, a fent említett felületet érintő vektort.

Definíció

A bezárt-enzim modell-ben, egy c^{∗} ∈ ℝ_{+}^{S} egyensúlyi pontot rendesnek nevezünk, ha (ker(g′(c^{∗}))) ∩ S̄ = {0}. Azt mondjuk, hogy egy rendszer több rendes pozitív egyensúlyi ponttal rendelkezik, ha van legalább két olyan különböző (c^{∗∗}, c^{∗}) rendes egyensúlyi pontja, amik ugyanazon kompatibilitási osztályban vannak. Azaz: c^{∗∗} − c^{∗} ∈ S̄

?⟨def:multeq⟩?

Fekete Balázs Samu (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem  ) Kutatási Feladat 2. Bemutató  2011. május 2.  19 / 24

Összefüggés a teljesen diffuzív modellel

Ha M = S, azaz minden anyagfajta diffundálhat, akkor teljesen diffuzív modellről beszélünk. Ekkor tipikusan egy, vagy legfeljebb néhány egyensúlyi pont lesz, és a korábbi, CFSTR-ekre kapott eredményeink alkalmazhatóak. Ezért fontos a következő tétel:

Tétel

Tegyük fel, hogy adott egy {S, C, R, K} rendszerünk, amire igaz hogy a rendszernek nem lesz több pozitív egyensúlyi pontja, semmilyen c̄^{0} ∈ ℝ_{+,0}^{S}, ᾱ ∈ ℝ^{S} értékekre. Ekkor bármilyen S = E ∪ M partícionálását véve az anyagfajtáknak, a kapott bezárt-enzim modellnek, a korábbi definíció értelmében véve nem lesz több, rendes pozitív egyensúlyi pontja.

Bizonyítás

Indirekt bizonyítunk: tegyük fel, hogy egy α ∈ ℝ_{+}^{M} és c^{0} ∈ ℝ_{+,0}^{M}-ra létezik c^{∗}, c^{∗∗} ∈ ℝ_{+}^{S} hogy:

c^{∗∗} − c^{∗} ∈ S̄,
g(c^{∗}) = 0, g(c^{∗∗}) = 0,
(kerg′(c^{∗})) ∩ S̄ = {0}, és (kerg′(c^{∗})) ∩ S̄ = {0}.

Legyen c_{E}^{∗} = P_{E}(c^{∗}).

h(c, θ) := g(c) + θ ∑_{e∈E}(c_{e}^{∗} − c_{e})e = ∑_{y→y′∈R}K_{y→y′}(c)(y′ − y) + ∑_{m∈M}α_{m}(c_{m}^{0} − c_{m})m + θ ∑_{e∈E}(c_{e}^{∗} − c_{e})e (3)

Bizonyítás

Célunk: mutatni olyan θ^{†} > 0, c̃^{∗}, c̃^{∗∗} paramétereket amire h(c̃^{∗∗}, θ^{†}) = 0, h(c̃^{∗}, θ^{†}) = 0. Legyen Ω a 0 egy nyílt környezete S̄-ben úgy, hogy c^{∗} + γ és c^{∗∗} + γ ℝ_{+}^{S} -ben legyenek ∀γ ∈ Ω-ra. Ekkor

h^{∗}(γ, θ) = g(c^{∗} + γ) + θ ∑_{e∈E}(c_{e}^{∗} − (c_{e}^{∗} + γ_{e}))e

Ekkor h^{∗}(·, ·) ∈ S̄ és h^{∗}(0, 0) = g(c^{∗}) = 0. Ezen fölül d_{γ}h^{∗}(0, 0)σ = dg(c^{∗})σ, ∀σ ∈ S̄. Ekkor az implicit-függvény tétel alkalmazható: ∃θ^{∗} > 0 hogy ∀θ ∈ (−θ^{∗}, θ^{∗})∃γ^{∗}(θ) : c̃^{∗}(θ) = c ∗ +γ^{∗}(θ) jelöléssel:

0 = h^{∗}(γ^{∗}(θ), θ) = g(c^{∗} + γ^{∗}(θ)) + θ ∑_{e∈E}(c_{e}^{∗} − (c_{e}^{∗} + γ_{e}^{∗}))e = h

Ekkor legyen h^{∗∗} : Ω × ℝ → S̄ az alábbi:

h^{∗∗}(γ, θ) = g(c^{∗∗} + γ) + θ ∑_{e∈E}(c_{e}^{∗} − (c_{e}^{∗∗} + γ_{e}))e

Bizonyítás

Ekkor kicsit bonyolultabban ugyan, de lehet látni, hogy h^{∗∗}(·, ·) ∈ S̄. Hasonlóan a h^{∗}-nál látott érveléshez belátható, hogy ∃θ^{∗∗} > 0 : ∀θ ∈ (−θ^{∗∗}, θ^{∗∗}), ∃y^{∗∗}(θ) :

0 = h^{∗∗}(γ^{∗∗}(θ), θ) = g(c^{∗∗} + γ^{∗∗}(θ)) + θ ∑_{e∈E}(c_{e}^{∗} − (c_{e}^{∗∗} + γ_{e}^{∗∗}(θ)))e

= h(c̃^{∗∗}(θ), θ) (4)

Ekkor egy θ^{†} ∈ (0, θ^{∗}) ∩ (0, θ^{∗}∗) -ot választva megkapjuk a kívánt eredményt.

References

Author’s name (1987) Title of the paper. Journal Name 55(4), 765 – 799.