\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{refcheck}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{} 
\usepackage{graphicx}
\title[Kutatási Feladat 2. Bemutató]{Reakciókinetika....}
\author{Fekete Balázs Samu}
\institute[Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem]
{
University of [...] \\
\medskip
{\emph{sfekete@math.bme.hu}}
}
\date{\today}
\newtheorem{theo}{Tétel}
\newtheorem{defin}{Definíció}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}
\section{A CFSTR modell és az injektivitás}
\subsection{Alapfogalmak}
\begin{frame}
\frametitle{A CFSTR modell}
Főbb jellemzői:
\begin{itemize}
\item a tartályt folyamatosan keverjük, ezért az anyagfajták tartályon belüli homogén eloszlását feltételezzük
\item a bemenet és kimenet (térfogat/idő) sebessége ugyanakkora konstans
\item a tartályt konstans hőmérsékleten és térfogaton tartjuk
\item a kimenetben az egyes anyagfajták koncentrációja megegyezik a tartályon belüli koncentrációjukkal
\end{itemize}
ábra..
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{A modell matematikai leírása}
\begin{itemize}
\item az anyagfajtákat nagybetűkkel, pl: A,B,C,D,\dots , az anyagfajták halmazát $\mathcal{S}$-el jelöljük.
\item a tartályon belüli (és a kimenetben lévő) anyagfajták koncentrációját pl: $c_A, c_B$ -vel jelöljük, a bemenetben lévőkét: $c^f_A, c^f_B$ -vel. Ezeket általában $c(t)$, $c^f(t)$ oszlopvektor formájában kezeljük, és erre fogjuk felírni a differenciálegyenleteket.
\item minden reakcióhoz létezik egy nemnegatív valós értékű függvény, ami a koncentrációvektor függvényében meghatározza a reakció lejátszódásának gyakoriságát (mol/térfogat-ban). Jelölése: $K_{A+B\rightarrow C}(c)$
\end{itemize}
Feltesszük hogy:
$$K_{2A+B\rightarrow C}=k_{2A+B\rightarrow C}c_A^2c_B$$
valamilyen $k$ pozitív állandóra.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Egy példa}
Az anyagfajták: $\mathcal{S} := \{A,B,C,D,W,X,Y,Z\}$; A reakciók:
\begin{equation}
A+B \rightleftharpoons C,\qquad X \rightleftharpoons 2A + D \rightleftharpoons Y,\qquad D \rightleftharpoons C + W,\qquad B+D \rightleftharpoons Z.
\label{reakt:1}
\end{equation}
Ekkor a diffegyenletek (g-vel jelöljük a bemenet térfogat/idő sebességét, V-vel a tartály össztérfogatát):
\begin{align*}
\dot{c}_A & =\frac{g}{V}(c_A^f-c_A)-k_{A+B\rightarrow C}\cdot c_Ac_B + k_{C\rightarrow A+ B}\cdot c_C -2k_{2A+D\rightarrow X}\cdot c_A^2c_D\\ & +2k_{x\rightarrow 2A+D}\cdot c_X-2k_{2A+D\rightarrow Y}\cdot c_A^2c_D+2k_{Y\rightarrow 2A+D}\cdot c_Y,\\
\dot{c}_B & =\frac{g}{V}(c_B^f-c_B)-k_{A+B\rightarrow C}\cdot c_Ac_B+k_{C\rightarrow A+B}\cdot c_C\\ & +k_{Z\rightarrow B+D}\cdot c_Z-k_{B+D\rightarrow Z}\cdot c_Bc_D,\\
\dots
\end{align*}
\end{frame}
\subsection{Példa}
\begin{frame}
\frametitle{Példa}
A kérdés az, hogy a felírt differenciálegyenleteknek létezik-e több egyensúlyi pontja. Ezzel ekvivalens kérdés, hogy a bal oldali deriváltakat 0-vá téve (és kicsit átrendezve), a kapott polinomiális egyenletrendszernek létezik-e több megoldása (a továbbiakban az egyszerűség kedvéért tegyük fel hogy $\frac{g}{V}=0$):
\begin{align*}
c_A^f & =c_A+k_{A+B\rightarrow C}\cdot c_Ac_B - k_{C\rightarrow A+ B}\cdot c_C +2k_{2A+D\rightarrow X}\cdot c_A^2c_D\\ & -2k_{x\rightarrow 2A+D}\cdot c_X+2k_{2A+D\rightarrow Y}\cdot c_A^2c_D-2k_{Y\rightarrow 2A+D}\cdot c_Y,\\
c_B^f & =c_B+k_{A+B\rightarrow C}\cdot c_Ac_B-k_{C\rightarrow A+B}\cdot c_C\\ & -k_{Z\rightarrow B+D}\cdot c_Z+k_{B+D\rightarrow Z}\cdot c_Bc_D,\\
\dots
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Példa}
Jelöljük a $k_{A+B\rightarrow C}, \dots$ paraméterekből képzett vektort $k$-val. Ekkor az egyenletrendszer jobb oldalát $p(c,k)$-val jelöljük, és az \ref{reakt:1} reakcióhálózathoz rendelt polinomfüggvénynek nevezzük. Ezt egy vektor értékű függvénynek tekintjük, aminek az értéke a $c$, és $k$ vektoroktól függ.
Ekkor látható, hogy ha a diffegyenleteknek több egyensúlyi pontja van, akkor létezik olyan $k_0$, hogy a $c\rightarrow p(c,k_0)$ függvény nem injektív!
Tehát az injektivitás \emph{elégséges} feltétele az egyensúlyi pont egyértelműségének.
A továbbiakban ezen injektivitás fennálásának feltételeit vizsgáljuk.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Konklúzió}
Két fontos megfigyelést tehetünk:
\begin{enumerate}
\item A reakcióhálózat injektív, ha a megfelelő $p$ polinomfüggvényre teljesül, hogy $\det\left(\frac{\partial p(c,k)}{\partial c}\right)$ nemszinguláris minden pozitív $c$-re és $k$-ra.
\item A gyakorlatban megfigyelték, hogy nagyon sok reakció osztályra igaz, hogy a $\det\left(\frac{\partial p(c,k)}{\partial c}\right)$ kiszámításakor a tagok együtthatói mind pozitívak.
\end{enumerate}
Ugyan az 1. pont nem igaz minden polinom függvényre, de belátható, hogy a reakcióhálózatokból származó polinomfüggvényekre teljesül. A 2. pont-ból következik, hogy a determináns nem tünik el, és így injektív a rendszer. Megmutatható, hogy az együtthatók pozitivitása \emph{szükséges} is ehhez.
\end{frame}
\section{Az SR gráf}
\begin{frame}
\frametitle{Bevezető}
Species-Reaction graph, vagy SR gráf (irányítatlan változata). Egy alternatív módja az injektivitás vizsgálatának.
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item A gráf csúcsai legyenek a következők: Minden anyagfajtának és minden reakciónak feleljen meg egy csúcs.
\item A gráf élei: Minden anyagfajtának megfelelő csúcsot (továbbiakban anyagcsúcsok) kössünk össze azon reakciócsúcsokkal, amely reakciók valamely oldalán az az anyag megjelenik.
\item Minden élet címkézzünk meg egyrészt azzal a komplexszel amiben szerepel, és a sztoichiometrikus együtthatójával.
\end{itemize}
\end{defin}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Egy példa}
Tekintsük az alábbi reakciókat:
\begin{equation}
A+M\rightleftharpoons X,\quad B+N\rightleftharpoons Y \leftarrow 2A+N, \quad B+X\rightleftharpoons Z \leftarrow R+M.
\label{reakt:2}
\end{equation}
ábra...
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Definíciók}
\begin{enumerate}
\item két csúcsot c-párnak nevezünk, ha szomszédosak, és ugyanazon komplex-el lettek megcímkézve.
\item egy kört prtl-körnek vagy prs-körnek (páratlan illetve páros kör) nevezünk, attól függően, hogy a benne szereplő c-párok száma páratlan illetve páros.
\item egy él sztoichiometrikus eggyütthatóján azt a számot értjük, amivel a fenntebb leírt módon megcímkéztük.
\item azokat a köröket, amik mentén a sztoichiometrikus együtthatókat felváltva szorozva és osztva egymással az eredmény $1$ lesz, s-köröknek nevezzük. (pl ha a sztoichiometrikus együtthatók sorban: $1,1,2,3,1,2,1,1$ akkor 
$1\cdot(1/1)\cdot2\cdot(1/3)\cdot1\cdot(1/2)\cdot1\cdot(1/1)=1/3$. Tehát ez nem lenne egy s-kör)
\item azt mondjuk, hogy két kör S-R metszi egymást, ha a metszetük egy olyan utat (vagy diszjunkt utakat) alkot, ami egy anyagcsúcsnál kezdődik, és egy reakció csúcsnál ér véget.
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Tétel}
Ekkor megfogalmazható a következő tétel:
\begin{theo}
Tekintsünk egy reakció hálózatot, aminek az SR gráfjára teljesül, hogy:
\begin{enumerate}
\item minden kör prtl-kör, vagy s-kör,
\item nincs két olyan prs-kör aminek S-R metszete lenne
\end{enumerate}
Ekkor a fenti feltételezésekkel élve, a reakcióhálózatban nem alakulhat ki több, különböző egyensúlyi állapot.
\end{theo}
...
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Példa gráf}
A fenti példa páros körei:
ábra...
Tehát a gráfra teljesül 1. és 2., tehát a rendszernek egyértelmű pozitív egyensúlyi állapota van.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Konklúzió}
Láttunk tehát két módszert is egy reakcióhálózat egyensúlyi állapotának egyértelműségének vizsgálatára (a megfelelő polinomfüggvény injektivitásán keresztül). De csak a CFSTR esetén. A következőkben egy olyan modellt fogunk vizsgálni, aminek jelentős biológiai vonatkozása van, és megfolgalmazunk egy tételt, amivel a fenti eredményeinket erre a modellre is ki tudjuk terjeszteni.
\end{frame}
\section{Bezárt-enzim modell}
\begin{frame}
\frametitle{A modell jellemzői:}
A bezárt-enzim modell:
\begin{itemize}
\item bemenet/kimenet: a szabadon közlekedő anyagok a sejten belüli és sejten kívüli koncentrációjuk különbségének függvényében diffundálnak a sejtfalon keresztül.
\item belső reakciók úgy játszódnak le mint a CFSTR modellben
\end{itemize}
Gondoljunk arra, hogy van egy sejtünk (a tartály), egy időben állandó koncentrációjú közegben, és néhány anyagfajta elég kicsi ahhoz hogy szabadon diffundáljon a sejtfalon keresztül, míg az enzimek és ahhoz kötött anyagok túl nagyok.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Matematikai leírása}
\begin{defin}
Egy reakcióhálózatot egy, anyagfajta-komplex-reakció hármassal definiálunk: $\{\mathcal{S},\mathcal{C},\mathcal{R}\}$.
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{S}$ az anyagfajták véges halmaza
\item $\mathcal{C} \subset \mathbb{R}_{+,0}^\mathcal{S}$ a komplexek véges halmaza
\item $\mathcal{R} \subset \mathcal{C} \times \mathcal{C}$ egy "reagál" reláció az alábbi tulajdonságokkal:
\begin{enumerate}
\item $(y,y) \notin \mathcal{R}, \quad \forall y \in \mathcal{C}$
\item $\forall y \in \mathcal{C}, \exists y^{'} \in \mathcal{C}: \quad (y,y^{'})\in \mathcal{R} \text{ or }(y^{'},y)\in \mathcal{R}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Egy anyagfajta moláris koncentrációját továbbra is $c_s, \, s\in \mathcal{S}$ módon jelöljük, illetve $c$-vel az ezekből képzett vektort. Minden $y \rightarrow y^{'} \in \mathcal{R}$ reakcióhoz van egy $K_{y\rightarrow y^{'}}(\cdot)$ függvény, ami a reakció gyakoriságát határozza meg, $c$ függvényében. Ez általában: $$K_{y\rightarrow y^{'}}(c)=k_{y\rightarrow y^{'}}\prod_{s\in \mathcal{S}}c_{s}^{y_s}$$
\end{defin}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{További definíciók}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item $r(c)$-vel jelöljük azt a függvényt ami meghatározza milyen sebességgel termelődnek az egyes anyagok:
$$r(c)=\sum_{y\rightarrow y^{'} \in \mathcal{R}}K_{y\rightarrow y^{'}}(c)(y^{'}-y)$$
\item a reakcióhálózat sztoichiometrikus alterének nevezzük a reakciók által meghatározott vektorok által kifeszített alteret:
$$\mathbf{S}:= \mathrm{Span}\{y^{'}-y \in \mathbb{R}^\mathcal{S} \mid y\rightarrow y^{'} \in \mathcal{R}\}$$
\end{itemize}
\end{defin}
Ekkor ha eltekintünk a be és kimenettől:
$$\dot{c}=r(c)$$
egyenletet kapjuk. Vegyük észre hogy ekkor a $\dot{c}$ vektor a sztoichiometrikus altérben van.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Még több definíció}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item $\mathcal{S}$ -et felbontjuk két diszjunkt halmazra: $\mathcal{E}$ legyen azon anyagfajták halmaza ami nemtud átmenni a sejtfalon, míg $\mathcal{M}$ a szabadon diffundáló anyagfajtákat jelölje.
\item $\alpha_m$ jelölje az $m \in \mathcal{M}$ anyagfajta tömeg-transzfer (nem nulla) együtthatóját
\item $c^0_m$ jelölje az $m \in \mathcal{M}$ anyagfajta sejt körüli közegbeli koncentrációját.
\end{itemize}
\end{defin}
Ekkor a differenciálegyenleteink a következőképpen néznek ki:
$$\dot{c}=g(c), \text{ ahol } g(\cdot): \mathbb{R}_{+,0}^S\rightarrow \mathbb{R}^S\qquad g(c):= r(c)+\sum_{m\in\mathcal{M}}\alpha_m(c_m^0-c_m)m$$
Figyeljük meg, hogy $g(\cdot)$ értékkészlete benne van a következőben:
$$\bar{\mathbf{S}}:=\mathrm{Span}(\{y^{'}-y \in \mathbb{R}^\mathcal{S} \mid y\rightarrow y^{'} \in \mathcal{R}\}\cup \mathcal{M})$$
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{A probléma}
\begin{itemize}
\item A $c$ kompozícióbol $c^{'}$ kompozíció \emph{elérhető}, ha $c^{'}-c \in \bar{\mathbf{S}}$. Ez alapján $\mathbb{R}_{+,0}^S$ felbontható kompatibilitási osztályokra.
\item Általában minden egyes ilyen kompatibilitási osztályban lesz egy vagy több egyensúlyi pont, ezért az egyensúlyi pontok általában egy felületet határoznak meg $\mathbb{R}^\mathcal{S}_+$-ban
\item Általában ha $c^*$ egy egyensúlyi pont, akkor $g'(c^*)$ szinguláris lesz, mert $\mathrm{ker}(g'(c^*))$ tartalmazni fog egy, a fent említett felületet érintő vektort.
\end{itemize}
\begin{defin}
A bezárt-enzim modell-ben, egy $c^* \in \mathbb{R}^S_+$ egyensúlyi pontot \emph{rendesnek} nevezünk, ha $(\mathrm{ker}(g'(c^*)))\cap\bar{\mathbf{S}}=\{0\}$. Azt mondjuk, hogy egy rendszer több rendes pozitív egyensúlyi ponttal rendelkezik, ha van legalább két olyan különböző ($c^{**},c^*$) rendes egyensúlyi pontja, amik ugyanazon kompatibilitási osztályban vannak. Azaz: $c^{**}-c^{*} \in \bar{\mathbf{S}}$
\label{def:multeq}
\end{defin}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Összefüggés a teljesen diffuzív modellel}
Ha $\mathcal{M}=\mathcal{S}$, azaz minden anyagfajta diffundálhat, akkor teljesen diffuzív modellről beszélünk. Ekkor tipikusan egy, vagy legfeljebb néhány egyensúlyi pont lesz, és a korábbi, CFSTR-ekre kapott eredményeink alkalmazhatóak. Ezért fontos a következő tétel:
\begin{theo}
Tegyük fel, hogy adott egy $\{\mathcal{S},\mathcal{C},\mathcal{R},\mathcal{K}\}$ rendszerünk, amire igaz hogy a rendszernek nem lesz több pozitív egyensúlyi pontja, semmilyen $\bar{c}^0 \in \mathbb{R}_{+,0}^\mathcal{S}, \bar{\alpha} \in \mathbb{R}^\mathcal{S}$ értékekre. Ekkor bármilyen $\mathcal{S}=\mathcal{E}\cup\mathcal{M}$ partícionálását véve az anyagfajtáknak, a kapott bezárt-enzim modellnek, a korábbi definíció értelmében véve nem lesz több, rendes pozitív egyensúlyi pontja.
\end{theo}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Bizonyítás}
Indirekt bizonyítunk: tegyük fel, hogy egy $\alpha \in \mathbb{R}_+^\mathcal{M}$ és $c^0\in \mathbb{R}_{+,0}^\mathcal{M}$-ra létezik $c^*,c^{**}\in \mathbb{R}_+^\mathcal{S}$ hogy:
$$c^{**}-c^* \in \bar{\mathbf{S}},$$
$$g(c^*)=0,\qquad g(c^{**})=0,$$
$$(\mathrm{ker}g'(c^*))\cap\bar{\mathcal{S}}=\{0\}, \text{ és }(\mathrm{ker}g'(c^*))\cap\bar{\mathcal{S}}=\{0\}.$$
Legyen $c^*_\mathcal{E}=P_\mathcal{E}(c^*)$.
\begin{multline}
h(c,\theta):=g(c)+\theta \sum_{e\in \mathcal{E}}(c_e^*-c_e)e
=\sum_{y\rightarrow y^{'}\in \mathcal{R}}K_{y\rightarrow y^{'}}(c)(y^{'}-y)\\
+\sum_{m\in\mathcal{M}}\alpha_m(c_m^0-c_m)m+\theta\sum_{e\in\mathcal{E}}(c_e^*-c_e)e
\end{multline}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Bizonyítás}
Célunk: mutatni olyan $\theta^\dagger>0, \tilde{c}^*, \tilde{c}^{**}$ paramétereket amire $h(\tilde{c}^{**},\theta^\dagger)=0, h(\tilde{c}^*,\theta^\dagger)=0$. Legyen $\Omega$ a 0 egy nyílt környezete $\bar{\mathbf{S}}$-ben úgy, hogy $c^*+\gamma$ és $c^{**}+\gamma \, \mathbb{R}^\mathcal{S}_+$ -ben legyenek $\forall \gamma \in \Omega$-ra. Ekkor
$$h^*(\gamma,\theta)=g(c^*+\gamma)+\theta \sum_{e\in \mathcal{E}}(c^*_e-(c^*_e+\gamma_e))e$$
Ekkor $h^*(\cdot,\cdot)\in \bar{\mathbf{S}} \text{ és } h^*(0,0)=g(c^*)=0$. Ezen fölül $\mathrm{d}_\gamma h^*(0,0)\sigma=\mathrm{d}g(c^*)\sigma, \forall \sigma \in \bar{\mathbf{S}}$. Ekkor az implicit-függvény tétel alkalmazható: $\exists \theta^*>0$ hogy $\forall \theta \in (-\theta^*,\theta^*) \exists \gamma^*(\theta): \tilde{c}^*(\theta)=c*+\gamma^*(\theta)$ jelöléssel:
$$0=h^*(\gamma^*(\theta),\theta)=g(c^*+\gamma^*(\theta))+\theta\sum_{e\in \mathcal{E}}(c_e^*-(c_e^*+\gamma_e^*))e=h$$
Ekkor legyen $h^{**}:\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow\bar{\mathbf{S}}$ az alábbi:
$$h^{**}(\gamma,\theta)=g(c^{**}+\gamma)+\theta\sum_{e\in\mathcal{E}}(c^*_e-(c^{**}_e+\gamma_e))e$$
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Bizonyítás}
Ekkor kicsit bonyolultabban ugyan, de lehet látni, hogy $h^{**}(\cdot,\cdot) \in \bar{\mathbf{S}}$. Hasonlóan a $h^*$-nál látott érveléshez belátható, hogy $\exists \theta^{**}>0: \forall \theta \in (-\theta^{**},\theta^{**}), \exists y^{**}(\theta)$ :
\begin{multline}
0=h^{**}(\gamma^{**}(\theta),\theta)=g(c^{**}+\gamma^{**}(\theta))+\theta\sum_{e\in\mathcal{E}}(c_e^*-(c_e^{**}+\gamma_e^{**}(\theta)))e\\
=h(\tilde{c}^{**}(\theta),\theta)
\end{multline}
Ekkor egy $\theta^\dagger\in(0,\theta^*)\cap(0,\theta^**)$ -ot választva megkapjuk a kívánt eredményt.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{References}
\footnotesize{
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem[Label1, 2010]{key1} Author's name (1987)
\newblock Title of the paper.
 \newblock \emph{Journal Name} 55(4), 765 -- 799.
\end{thebibliography}
}
\end{frame}
\end{document}