Több egyensúlyi állapot kialakulásának lehetősége komplex kémiai reakciókban: Az SR gráf

2011. április 20.

Kémiai reakciók során meglepően kevés esetben tapasztalható, hogy a reakció azonos anyagbevitel mellett különböző állapotokban stabilizálódna. Speciálisan mi most a CFSTR modellt fogjuk tekinteni. Ebben a modellben feltételezzük, hogy van egy tartályunk, amibe állandó sebességgel adagolunk állandó koncentrációjú keveréket (bemenet), és ugyanolyan sebességgel vonunk el belőle keveréket (kimenet). A tartályt konstans hőmérsékleten, térfogaton tartjuk, és folyamatosan keverjük. ezáltal feltételezzük, hogy a benne lévő anyag homogénen oszlik el. Így a kimenetben az anyagok pillanatnyi koncentrációja megegyezik a tartályon belüli pillanatnyi koncentrációjukkal. Ekkor a bemenet összetétele, és a lejátszódó reakciók (valamint a tartály mérete és bemenet/kimenet sebessége) szerint idővel kialakul(hat) egy egyensúlyi állapot, amikor is stabilizálódik a kimenetben az anyagok koncentrációja. Azt fogjuk megvizsgálni, milyen esetekben egyértelmű ez a stabil helyzet. A gyakorlatban problémát okoz az, hogy a különböző reakciókhoz tartozó állandókat nehéz pontosan kimérni. Ezért ugyan adott egy módszer ami ezen állandók ismeretében magmondja, hogy lehetséges-e a többszörös egyensúlyi állapot, de ez sokszor nem használható. Ezért a következőkben egy olyan meglepő eredményt fogunk ismertetni, ami ezen állandók ismerete nélkül is elég sok esetben el tudja dönteni a kérdést. Ehhez először is definiáljuk az SR gráfot:

• A gráf csúcsai legyenek a következők: Minden anyagnak és minden reakciónak feleljen meg egy csúcs.

• A gráf élei: Minden anyagcsúcsot kössünk össze azon reakciócsúcsokkal, amely reakciók valamely oldalán az az anyag megjelenik.

Ekkor látható hogy egy páros gráfot kapunk. Ez után minden élet címkézzünk meg két adattal: Egyrészt írjuk rá hogy a reakcióban amihez kötődik, milyen komponensben jelenik meg az anyag amit összeköt vele. Pl, ha A+M↔C a reakció, és az él A és ezen reakció közöttt húzódik, akkor címkézzük meg A+Mel (komplex label). Másrészt címkézzük meg azzal, hogy az A anyag a komponensben hányszor jelenik meg (sztoichiometrikus együttható), a fenti példában 1-el. De például ha 2A+M lett volna akkor 2-vel. Ezek után definiáljunk a gráfra bizonyos fogalmakat, amikkel ki lehet majd fejezni a megfelelő feltételt:

1. két csúcsot c-párnak nevezünk, ha szomszédosak, és ugyanazon komplex label szerepel rajtuk.

2. egy kört prtl-körnek vagy prs-körnek (páratlan illetve páros kör) nevezünk, attól függően, hogy a benne szereplő c-párok száma páratlan illetve páros.

3. egy él sztoichiometrikus eggyütthatóján azt a számot értjük, amivel a fenntebb leírt módon már megcímkéztük.

4. azokat a köröket, amik mentén a sztoichiometrikus együtthatókat felváltva szorozva és osztva egymással az eredmény 1 lesz, s-köröknek nevezzük. (pl ha a sztoichiometrikus együtthatók sorban: 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 1 akkor 1 ∗ (1/1) ∗ 2 ∗ (1/3) ∗ 1 ∗ (1/2) ∗ 1 ∗ (1/1) = 1/3. Tehát ez nem lenne egy s-kör)

5. azt mondjuk, hogy két kör S-R metszi egymást, ha a metszetük egy olyan utat (vagy diszjunkt utakat) alkot, ami egy anyagcsúcsnál kezdődik, és egy reakció csúcsnál ér véget.

Ekkor megfogalmazható az alábbi tétel:

1. Tétel. Tekintsünk egy reakció hálózatot, aminek az SR gráfjára teljesül, hogy:

1. minden kör prtl-kör, vagy s-kör,

2. nincs két olyan prs-kör aminek S-R metszete lenne

Ekkor a fenti feltételezésekkel élve, a reakció hálózatban nem alakulhat ki több, különböző egyensúlyi állapot.

Célom ezen feltételeket ellenőrző program írása Mathematicában.