\documentclass{article}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphics}
\newtheorem{theorem}{Tétel}
\newtheorem{defin}{Definíció}
\newtheorem{megj}{Megjegyzés}
\title{Programozási feladat beszámoló: Injektivitás és multistacionaritás}
\begin{document}
\maketitle
\section{Az SR gráf}
Kémiai reakciók során meglepően kevés esetben tapasztalható, hogy a reakció azonos anyagbevitel mellett különböző állapotokban stabilizálódna. Speciálisan mi most a CFSTR modellt fogjuk tekinteni. Ebben a modellben feltételezzük, hogy van egy tartályunk, amibe állandó sebességgel adagolunk állandó koncentrációjú keveréket (bemenet), és ugyanolyan sebességgel vonunk el belőle keveréket (kimenet). A tartályt konstans hőmérsékleten, térfogaton tartjuk, és folyamatosan keverjük. ezáltal feltételezzük, hogy a benne lévő anyag homogénen oszlik el. Így a kimenetben az anyagok pillanatnyi koncentrációja megegyezik a tartályon belüli pillanatnyi koncentrációjukkal. Ekkor a bemenet összetétele, és a lejátszódó reakciók (valamint a tartály mérete és bemenet/kimenet sebessége) szerint idővel kialakul(hat) egy egyensúlyi állapot, amikor is stabilizálódik a kimenetben az anyagok koncentrációja. Azt fogjuk megvizsgálni, milyen esetekben egyértelmű ez a stabil helyzet.
A gyakorlatban problémát okoz az, hogy a különböző reakciókhoz tartozó állandókat nehéz pontosan kimérni. Ezért ugyan adott egy módszer ami ezen állandók ismeretében magmondja, hogy lehetséges-e a többszörös egyensúlyi állapot, de ez sokszor nem használható. Ezért a következőkben egy olyan meglepő eredményt fogunk ismertetni, ami ezen állandók ismerete nélkül is elég sok esetben el tudja dönteni a kérdést.
Ehhez először is definiáljuk az SR gráfot:
\begin{itemize}
\item A gráf csúcsai legyenek a következők: Minden anyagnak és minden reakciónak feleljen meg egy csúcs.
\item A gráf élei: Minden anyagcsúcsot kössünk össze azon reakciócsúcsokkal, amely reakciók valamely oldalán az az anyag megjelenik.
\end{itemize}
Ekkor látható hogy egy páros gráfot kapunk. Ez után minden élet címkézzünk meg két adattal: Egyrészt írjuk rá hogy a reakcióban amihez kötődik, milyen komponensben jelenik meg az anyag amit összeköt vele. Pl, ha A+M$\leftrightarrow$C a reakció, és az él A és ezen reakció közöttt húzódik, akkor címkézzük meg A+M-el (komplex label). Másrészt címkézzük meg azzal, hogy az A anyag a komponensben hányszor jelenik meg (sztoichiometrikus együttható), a fenti példában 1-el. De például ha 2A+M lett volna akkor 2-vel.
Ezek után definiáljunk a gráfra bizonyos fogalmakat, amikkel ki lehet majd fejezni a megfelelő feltételt:
\begin{enumerate}
\item két csúcsot c-párnak nevezünk, ha szomszédosak, és ugyanazon komplex label szerepel rajtuk.
\item egy kört prtl-körnek vagy prs-körnek (páratlan illetve páros kör) nevezünk, attól függően, hogy a benne szereplő c-párok száma páratlan illetve páros.
\item egy él sztoichiometrikus eggyütthatóján azt a számot értjük, amivel a fenntebb leírt módon már megcímkéztük.
\item azokat a köröket, amik mentén a sztoichiometrikus együtthatókat felváltva szorozva és osztva egymással az eredmény $1$ lesz, s-köröknek nevezzük. (pl ha a sztoichiometrikus együtthatók sorban: $1,1,2,3,1,2,1,1$ akkor 
$1*(1/1)*2*(1/3)*1*(1/2)*1*(1/1)=1/3$. Tehát ez nem lenne egy s-kör)
\item azt mondjuk, hogy két kör S-R metszi egymást, ha a metszetük egy olyan utat (vagy diszjunkt utakat) alkot, ami egy anyagcsúcsnál kezdődik, és egy reakció csúcsnál ér véget.
\end{enumerate}
Ekkor megfogalmazható az alábbi tétel:
\begin{theorem}
Tekintsünk egy reakció hálózatot, aminek az SR gráfjára teljesül, hogy:
\begin{enumerate}
\item minden kör prtl-kör, vagy s-kör,
\item nincs két olyan prs-kör aminek S-R metszete lenne
\end{enumerate}
Ekkor a fenti feltételezésekkel élve, a reakció hálózatban nem alakulhat ki több, különböző egyensúlyi állapot.
\end{theorem}
Végső eredmény: Abba a problémába ütköztem, hogy nem sikerült a feltételeket ellenőriznem anélkül, hogy rossz esetben az összes kört ne vizsgáljam. Nem tudom lehetne-e hatékonyabban megoldani a problémát, de ha nem tévedek a másodjára leírt algoritmus erősebb az SR gráfos-nál, olyan értelemben hogy ha a gráfos választ ad, akkor a másik is. A gráfos algoritmusomat megtartom annyiban, hogy a gráfot elkészíti és kirajzolja. Ha a későbbiekben még valami eszembe jut a témában, akkor implementálom.
\section{Injektivitás eldöntése a polinomfüggvény vizsgálatával}
Először néhány jelölést veszek, hogy érthető legyen miről beszélek. Továbbra is a CFSTR modellt tekintjük. Ez a fejezet teljes egészében a \cite{c-f1} alapján készült.
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item az anyagfajtákat nagybetűkkel, pl: A,B,C,D,\dots , az anyagfajták halmazát $\mathcal{S}$-el jelöljük.
\item a tartályon belüli (és a kimenetben lévő) anyagfajták koncentrációját pl: $c_A, c_B$ -vel jelöljük, a bemenetben lévőkét: $c^f_A, c^f_B$ -vel. Ezeket általában $c(t)$, $c^f(t)$ oszlopvektor formájában kezeljük, és erre fogjuk felírni a differenciálegyenleteket.
\item minden reakcióhoz létezik egy nemnegatív valós értékű függvény, ami a koncentrációvektor függvényében meghatározza a reakció lejátszódásának gyakoriságát (mol/térfogat-ban). Jelölése: $K_{A+B\rightarrow C}(c)$
\item $$K_{2A+B\rightarrow C}=k_{2A+B\rightarrow C}c_A^2c_B$$
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{defin}
Jelöljük a $k_{A+B\rightarrow C}, \dots$ paraméterekből képzett vektort $k$-val. Ekkor az egyenletrendszer jobb oldalát $p(c,k)$-val jelöljük, a reakcióhálózathoz rendelt polinomfüggvénynek nevezzük. Ezt egy vektor értékű függvénynek tekintjük, aminek az értéke a $c$, és $k$ vektoroktól függ, $p(\cdot,\cdot):\mathbb{R}_+^{\mathcal{S}}\times\mathbb{R}_+^{\mathcal{R}_t\cup\mathcal{R}_o}\rightarrow\mathbb{R}^\mathcal{S}$.
Ekkor látható, hogy ha a diffegyenleteknek több egyensúlyi pontja van, akkor létezik olyan $k_0$, hogy a $c\rightarrow p(c,k_0)$ függvény nem injektív!
A reakciókat három csoportba soroljuk: a bemenetet és kimenetet is reakcióként fogjuk fel, mint $A\rightarrow0$ és $0\rightarrow A$. Ezeket $\mathcal{R}_f$ és $\mathcal{R}_o$-vel jelöljük, és bemeneti (feed) vagy kimeneti (outflow) reakcióknak nevezzük. Ezen kívül természetesen még vannak a valódi (true) reakciók:$\mathcal{R}_t$.
\end{defin}
Ekkor az alábbi tételek fogalmazhatók meg (zárójelben odaírtam, hogy a cikkben milyen számmal szerepel, hogy könnyen meg lehessen találni):
\begin{theorem}[3.1-es tétel]
Egy $\mathcal{N}=(\mathcal{S},\mathcal{C},\mathcal{R})$ reakcióhálózat injektív (azaz a neki megfelelő polinomfüggvény injektív), akkor és csak akkor, ha $$\det\left(\frac{\partial p_\mathcal{N}}{\partial c}(c,k)\right)\ne0\,\forall c\in\mathbb{R}_+^\mathcal{S} \text{ és }\forall k\in\mathbb{R}_+^{\mathcal{R}_t\cup \mathcal{R}_o}.$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[3.2-es tétel]
Legyen $\mathcal{N}$ egy reakcióhálózat, és jelölje $n$ az anyagfajták számát. Ekkor a  $\det\left(\frac{\partial p_\mathcal{N}}{\partial c}(c,k)\right)$ kifejtésében keletkező minden együtthatóhoz (a $k_{y\rightarrow y^{'}}\cdot c^y$ alakú tagok együtthatói) létezik a reakciók (valódi és kimeneti reakciók) egy $n$ elemű $y_1\rightarrow y_1^{'},\dots,y_n\rightarrow y_n^{'}$ részhalmaza, hogy az együttható egyenlő az alábbival:
\begin{equation}
\det[y_1,\dots,y_n]\det[y_1-y_1^{'},\dots,y_n-y_n^{'}]
\label{eq::1}
\end{equation}
Fordítva, akárhogyan választunk ki n reakciót, ha a fenti szorzat nem nulla, akkor létezik egy együttható a determináns kifejtésében, ami megegyezik a fenti szorzattal.
\end{theorem}
\begin{theorem}[3.3-as tétel]
Egy $\mathcal{N}$ reakcióhálózat akkor és csakis akkor injektív, ha a $\det\left(\frac{\partial p_\mathcal{N}}{\partial c}(c,k)\right)$ kifejtésében minden együttható nemnegatív.
\end{theorem}
\begin{megj}
A fentiekből látható, hogy egy reakcióhálózat injektivitását (ami elégséges feltétele az egyensúlyi állapot egyértelműségének), igazolni lehet ezen együtthatók kiszámításával, amit pedig hatákonyan el lehet végezni párhuzamosan számolva a determinánsokat. Ezt teszi a programom *firstcheck* függvénye. A továbbiakban pedig látunk két tételt, amik elégséges feltételeket fogalmaznak meg egy reakcióhálózat multistacionaritására.
\end{megj}
\begin{theorem}[4.1-es tétel]
Tekintsük az $\mathcal{N}$ reakcióhálózatot (hozzávéve a kimeneti reakciókat is). Ekkor egy $\mu \in \mathbb{R}^{\mathcal{R}_t\cup\mathcal{R}_o}_+$-höz legyen $T_\mu:\mathbb{R}^\mathcal{S}\rightarrow\mathbb{R}^\mathcal{S}$ az alábbi:
$$T_\mu(\delta)=\sum_{y\rightarrow y^{'}\in\mathcal{R}_t\cup\mathcal{R}_o}\mu_{y\rightarrow y^{'}}<y,\delta>(y-y^{'})$$
és legyen $f(\mu)=\det(T_\mu).$ Tegyük fel hogy egy $\mu^*\in\mathbb{R}_+^{\mathcal{R}_t\cup\mathcal{R}_o}$-re:
\[
f(\mu^*)<0,\qquad \sum_{y\rightarrow y^{'}\in\mathcal{R}_t\cup\mathcal{R}_o}\mu^*_{y\rightarrow y^{'}}(y-y^{'})\in\mathbb{R}_+^\mathcal{S}.
\]
Ekkor $\mathcal{N}$ multistacionárius.
\label{tetel::4.1}
\end{theorem}
\begin{theorem}[4.2-es tétel]
A fenti jelölésekkel, tegyük fel hogy létezik a reakciók egy $n$ elemű halmaza, amire \eqref{eq::1} szorzat kisebb mint nulla, illetve
$$\sum_{i=1}^n\mu_i(y_i-y_i^{'})\in\mathbb{R}_+^\mathcal{S},$$ valamilyen $\mu_1,\dots,\mu_n$-ekre. Ekkor a reakcióhálózat multistacionárius.
\label{tetel::4.2}
\end{theorem}
\begin{megj}
A programomban a *firstcheck* függvény ellenőrzi a \ref{tetel::4.2} feltételeit, mivel a determinánsokat amúgy is ki kell számítani az egyértelműség bizonyításához. Ha pedig ez nem ad egyértelmű választ, akkor alkalmazom az erősebb *secondcheck* függvényt, ami a \ref{tetel::4.1} feltételeit ellenőrzi. Ebben a cikk útmutatásait követtem, amint azok a \emph{Remark 4.4} -ben le vannak írva.
\end{megj}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{c-f1}
  Gheorghe Craciun, Martin Feinberg,
  \emph{Multiple equilibria in complex chemical reaction networks: I. The injectivity property}.
  SIAM J. Appl. Math.
  Vol. 65, No. 5, pp. 1526-1546,
  2005

\bibitem{c-f2}
 Gheorghe Craciun, Martin Feinberg,
  \emph{Multiple equilibria in complex chemical reaction networks: II. The species-reaction graph}.
  SIAM J. Appl. Math.
  Vol. 66, No. 4, pp. 1321-1338,
  2006

\end{thebibliography}
\end{document}
