Nánássi Berta - PUAWFQ

Két életre szóló járadékok modellezése

A két életre szóló biztosítások esetén a biztosítók azzal az egyszerűsítéssel élnek, hogy a házaspárok halálozási valószínűségei függetlenek. Az elmúlt 40 évben azonban számos kutatás indult a témával kapcsolatban, miszerint a házaspárok életútjai nem függetlenek. Statisztika adatok alapján látszik, hogy függőség van a két életút között, melyet a nemzetközi irodalomban csak 'broken heart syndrome'-nak neveznek. Hosszú házasság után, ha elvesztik a társukat - ez különösen igaz a férfiakra -, akkor a túlélő fél halálozási valószínűsége megnő. Ezt a tényt fel lehetne használni mind az életbiztosítások, mind a járadékok árazásánál, így pontosabban lehetne árazni a termékeket, és a biztosítók is kisebb kockázattal működhetnének.

Ahhoz, hogy a statisztikai vizsgálatokat el lehessen végezni, olyan kétdimenziós adatbázisra van szükség, amelyben házaspáronként szerepelnek a születési és halálozási évszámok. Ilyen adatbázist egyetlen biztosító sem bocsátott rendelkezésemre, a Nyugdíjfolyósító Főigazgatóság pedig nem rendelkezik ilyen adatokkal, ezért saját gyűjtési adatbázissal dolgoztam. Az adathalmazom megközelítőleg 5000 adatból áll, melyek temetői adatbázisokból, illetve korábbi gyűjtésekből származnak. Az SPSS 18-cal történt kiértékelés után egyértelműen látszik a két életút közötti függés, hiszen ha férfi a túlélő, akkor a feleségük halála után 5 évben a túlélők 44%-a, 10 éven belül pedig a 69%-a hal meg. Nőknél 5 éven belül 27%, 10 éven belül 48% hal meg a férje halála után. 
Természetesen közrejátszik a halálozásoknál, hogy a férfiak várható élettartama alacsonyabb, de még ezen korreláció is fellép a két életút között. 
A biztosítások díjszámításához halandósági táblára van szükség, amelyet a biztosítók vagy a saját adatbázisukból készítenek vagy pedig a KSH által készített néphalandósági táblából dolgoznak. A saját készítésű táblákat a biztosítók nem hozzák nyilvánosságra, így a KSH 2003-as néphalandósági táblájával dolgozom.

Prno=Flatten[Import["http://www.math.bme.hu/~nberta/l_x_no.xls"]];
Prffi=Flatten[Import["http://www.math.bme.hu/~nberta/l_x_ffi.xls"]];

A számolásoknál figyelni kell arra, hogy a lista számozása 1-től kezdődik, míg a popoláció a 0 évesektől. Így például a 22 éves nők száma az induló populációból:

Prno[[23]]*100000

Elméleti bevezető az egyszemélyes  járadékokról

A járadékbiztosítás
A szerződő előzetes díjfizetése ellenében, a biztosító vállalja, hogy szerződés feltételei szerint rendszeres időközönként pénzt folyósít a biztosított, vagy az általa megnevezett kedvezményezett részére. A biztosítás szolgáltatása, azaz a járadék folyósítása – a szerződő választása szerint – történhet a biztosított élete végéig vagy egy előre rögzített időpontig (pl. a kedvezményezett 70 éves koráig) illetve egy meghatározott időtartamig (pl. 10 év). A járadékbiztosítás, a díjfizetés szerint lehet folyamatos díjas vagy egyszeri díjas. Az Ügyfél választhat, hogy a járadék folyósítására alapot teremtő biztosítási díjat évek alatt (folyamatos díjfizetéssel) vagy egy nagyobb összeg (egyszeri) megfizetésével teljesíti.
A járadékbiztosítást sok esetben nyugdíj-kiegészítésnek szánják, így a díjfizetési idő a biztosított nyugdíjkorhatáráig tart, a járadékfizetés pedig a nyugdíjba lépéstől a biztosított haláláig.

Egyszeri díjas azonnal induló életjáradék 
Nagyobb összegű befizetés ellenében a biztosító arra vállal kötelezettséget, hogy minden év elején egy előre meghatározott összeget fizet a biztosított haláláig.

Ez a járadéktípus az egyik legfontosabb, ugyanis az összes járadék díjszámítása levezethető belőle.
A biztosítás nettó díja:
(Subscript[ä, x])=((Subscript[N, x])/(Subscript[D, x]))=(((Subscript[l, x]) + (Subscript[l, x+1])υ + (Subscript[l, x+2])(υ^2)+ ... + (Subscript[l, x+ω]) (υ^ω))/(Subscript[l, x])) , ahol 
(Subscript[l, x]): x  éves biztosítással rendelkezők száma a kihalási rend szerint
ω : maximális életkor
(Subscript[D, x])=∑ (Subscript[l, x+j]) (υ^j)  j=0, 1...
(Subscript[N, x])= ∑ (Subscript[D, x+j ])  j=0, 1...
υ = 1/ (1+i ), ahol i a technikai kamat.

A biztosítási számításoknál általában 3 %-os technikai kamattal számolnak, ezért én is ezt használom:

i=0.03
v=1/(1+i)

A férfiakat jelöljük x-szel, a nőket pedig y-nal, így az előzőek alapján az egyszermélyes nettó díjak:

ax[x_]=Sum[Prffi[[x+1+j]]* v^j/Prffi[[x+1]],{j,0,100}];

ay[y_]=Sum[Prno[[y+1+j]]* v^j/Prno[[y+1]],{j,0,100}];

Kétszemélyes járadékok bemutatása

A kétszemélyes járadékoknak két biztosítottja van, általában egy házaspár két tagja, ahol a járadéktagot a két fél közösen halmozza fel. Ezeknél a biztosításoknál kétféleképpen alakulhat a biztosítási esemény. A egyik lehetőség, hogy a biztosítás az első halálkor szűnik meg és addig tart a járadékfizetés, illetve amikor a második halált tartjuk a biztosítási eseménynek. Amennyiben az első halálkor szűnik meg a biztosítás, akkor a túlélő fél már nem fog járadékot kapni, így azokkal foglalkozunk, amikor a második halálig tart a járadékkifizetés, így a túlélő házastársnak is tudunk járadékot biztosítani.
Az első halál után a túlélő fél a házastárs járadékának egy részét is megkaphatja, általánban 30%-ot, hiszen a társa halála után a kiadásai nem csökkennek olyan mértékben, mint a bevételei. Ilyen esetekben megkülönböztetünk szimmetrikus és aszimmetrikus járadékokat. A szimmetrikus járadékoknál a házaspár bármely tagjának halála esetén a túlélő fél számít özvegynek és a járadékfolyósítás folytatódik, az aszimmetrikus járadékoknál azonban a szerződéskötéskor megállapítják a járadékost és a társbiztosítottat. Amennyiben a társbiztosított nem éli túl a járadékost, akkor a járadék-kifizetés megszűnik.

Aszimmetrikus kétszemélyes járadékok
x éves belépési korú biztosított, y éves belépési korú társbiztosított, aki a járadékos halála után a a járadékos járadékának 30%-át megkapja. Ha a társbiztosított korábban meghal, akkor a járadék a járadékos halála utána megszűnik.

A járadék képlete: (Subscript[ä, x])+0.3(Subscript[ä, y])-0.3(Subscript[ä, xy]) vagy   0.3  (Subscript[ä, x])+(Subscript[ä, y])-0.3(Subscript[ä, xy])
ahol (Subscript[ä, x]),(Subscript[ä, y]) az egyszemélyes járadékok nettó díjai, (Subscript[ä, xy])pedig a kétszemélyes járadék nettó díja
Ez a képlet általánosítható úgy, hogy a túlélő fél a járadékos járadékának R-ed részét kapja meg. Amennyiben az x éves belépési koró biztosított halála után y A járadékot kap, y halála után x B járadékot, a közös járadék pedig C akkor a járadék a következőképpen számítható:
                              A (Subscript[ä, x])+B (Subscript[ä, y])-(A+B-C)(Subscript[ä, xy])

Független esetben a járadék nettó díja, az egyszermélyes járadékok szorzataként kapható:

axy[x_,y_]=Sum[Prffi[[x+1+k]]* Prno[[y+1+k]] * v^k /(Prffi[[x+1]]*Prno[[y+1]]),{k,0,100}];

Független nettó díj férfi járadékos és női kedvezményezett esetén, a kedvezményezett, amennyiben túléli a járadékos R hányadú járadékot kap:

függetlennettódíjffi[x_,y_,R_]=ax[x]+R*ay[y]-R * axy[x,y];

függetlennettódíjffi[50,50,0.3]

Független nettó díj női járadékos és férfi kedvezményezett esetén:

függetlennettódíjnő[x_,y_, R_]=R * ax[x]+ay[y]-R*axy[x,y];

függetlennettódíjnő[50,50,0.3]

MatrixForm[Table[függetlennettódíjffi[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[függetlennettódíjffi[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[függetlennettódíjnő[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[függetlennettódíjnő[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

Manipulate[{függetlennettódíjffi[x,y,0.3],függetlennettódíjnő[x,y,0.3],függetlennettódíjffi[x,y,0.3]/függetlennettódíjnő[x,y,0.3]},{x,50,80,1},{y,50,80,1}]

A könnyebb összehasonlíthatóság kedvéért a férfi és női díjak arányát is kiszámítom minden belépési életkor-párra:

MatrixForm[Table[függetlennettódíjffi[x,y,0.3]/függetlennettódíjnő[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

Látható, hogy az esetek döntő többségében drágább a női járadékosra számított díj.

Két életre szóló túlélési függvény

Ahhoz, hogy kiszámolhassunk a kétszemélyes túlélési valószínűségeket, az adathalmazból kell külön a férfiak és külön a nők túlélési éveire egy folytonos túlélési függvényt illeszteni. A témához kapcsolódó irodalomban mind a Gomperzt-, mind a Weibull-függvényt használják.
Az adathalmazból SPSS segítségével a következő paramétereket kaptam meg:

({{ , Férfi, Nő}, {Átlagéletkor, 71.63, 73.88}, {Szórás, 9.869, 10.110}})

Ezeket az adatokat felhasználva marginális túlélési függvényeket tudunk létrehozni a Weibull-függvény segítségével, amely az alábbi:
(Subscript[S, M])(x)=(e^(-((((x/(Subscript[m, m]))))^((Subscript[m, m])/(Subscript[σ, m])))))

(Subscript[S, F])(y)=(e^(-((((y/(Subscript[m, f]))))^((Subscript[m, f])/(Subscript[σ, f])))))

Férfiak túlélési függvénye a Weibull alapján:

Sffi[x_]=E^(-(x/71.63)^(71.63/9.869))

A halálozási függvény:

ferfi[x_]=1-Sffi[x]

Nők túlélési függvénye:

Sno[y_]=E^(-(y/73.88)^(73.88/10.110))

A halálozási függvény pedig:

noi[y_]=1-Sno[y]

Ezeket a függvényeket ábrázolva összehasonlíthatóak a nemek közötti különbségek a túlélésre vonatkozóan.

Plot[{Sffi[i],Sno[i]},{i,0,100}]

Ezeket a marginális eloszlásokat felhasználva előállítható a kétdimenziós túlélési függvény a Gumbel–Hougaard- és Clayton-kopula segítségével.

Kopula

Definíció: A C:(([0,1])^2)-> [0,1] kopulák bináris függvények, melyre teljesülnek az alábbiak:
- C(u,0)=C(0,u)=0    ∀ u ∈[0,1]
- C(u,1)=C(1,u)=u    ∀ u ∈[0,1]
- C ( [(Subscript[u, 1]), (Subscript[v, 1])]  × [(Subscript[u, 2]), (Subscript[v, 2])] ) = C ((Subscript[u, 2]), (Subscript[v, 2])) - C ((Subscript[u, 1]), (Subscript[v, 2])) - C ( (Subscript[u, 2]), (Subscript[v, 1])) + C ( (Subscript[u, 1]), (Subscript[v, 1])) ≥ 0.

Gumbel–Hougaard-kopula
α ≥ 1
(Subscript[C, GH])(u,v,α)= (e^(-(([(((-log u))^α)+(((-log v))^α)])^(1/α)) ])), ahol u és v helyére a Weibull-függvényből kinyert halálozási függvényeket helyettesítjük be, α pedig a függőséget jellemző paraméter.

Clayton-kopula
α > 0
(Subscript[C, C])(u, v, α)=(([(u^(-α))+(v^(-α))-1])^(-1/α))


A kopuláknál használt α függőségi paramétert a Kendall-féle τ segítségével lehet meghatározni, ezt az együtthatót pedig a saját gyűjtésű adatbázisomból számoltam ki SPSS segítségével.

tau=0.146

A Gumbel–Houugard-kopulánál a függőségi paramétert az alábbi összefüggés alapján számoljhatjuk ki:

alpha=1/(1-tau)

A Clayton-kopula paramétere pedig a következőképpen kapható meg:

alfa=(2 * tau)/(1-tau)

Ezt a paraméter felhasználva kiszámíthatjuk a nettó díjat a kopulák segítségével

gumbel[Sffi_,Sno_,alpha_]=E^(-((-Log[Sffi])^alpha+((-Log[Sno])^alpha))^(1/alpha))

clayton[Sffi_,Sno_,alfa_]=(Sffi^(-alfa)+Sno^(-alfa)-1)^(-1/alfa)

A kétszemélyes közös nettó díj kiszámolás kopulák segítségével:

(Subscript[ä, xy])= ∑ C(x + j, y + j)/C(x, y)(v^j)    j = 0, 1, ...

A kétszemélyes díj:

agumbel[x_,y_]=Sum[gumbel[Sffi[x+k],Sno[y+k],alpha]*v^k
,{k,0,51}]/gumbel[Sffi[x],Sno[y],alpha];

aclayton[x_,y_]=Sum[clayton[Sffi[x+k],Sno[y+k],alpha]*v^k
,{k,0,51}]/clayton[Sffi[x],Sno[y],alpha];

gumbelnettóffi[x_,y_,R_]=ax[x]+R* ay[y]-R* agumbel[x,y];

claytonnettóffi[x_,y_,R_]=ax[x]+R* ay[y]-R * aclayton[x,y];

Valamint női járadékos és férfi kedvezményezett eseteén a díj:

gumbelnettónő[x_,y_,R_]=R* ax[x]+ay[y]-R* agumbel[x,y];

claytonnettónő[x_,y_,R_]=R* ax[x]+ay[y]-R* aclayton[x,y];

Manipulate[{függetlennettódíjffi[x,y,0.3], gumbelnettóffi[x,y,0.3]},{x,50,80,1},{y,50,80,1}]

A várakozásokkal ellentétben drágább lett a nettó díj, mindez azért van, mert a második halálig tart a járadékkifizetés, így túlárazza a díjat. Azonban az első halálig tartó járadékoknál megfelelően áraz, de azokat a mindennapi életben nem lehetne jól használni járadékként. A második halálig tartó járadékoknál változtatni kell a kopulák használatán.

“Last survivor contract”

Ez a járadékfajta szintén a második halálig tart, a kedvezményezett a járadékos járadékának R-ed részét kapja meg a járadékos halála után. A számolásokhoz szükségünk van azokra a valószínűségekre, amikor mindkét fél életben van, illetve, hogy valamelyik fél életben van.

Ahhoz, hogy meg tudjuk határozni annak a valószínűségét, hogy valamelyik fél életben van, ki kell számolni a túlélési kopulát, amely marginálisai a férfi és nő halálozási függvények.

gumbel[1-Sffi[x] ,1-Sno[y],alpha]

clayton[1-Sffi[x] ,1-Sno[y],alfa]

Ezután meghatározható az a valószínűség, hogy valamelyik fél életben van:

gumbelvalakiéletben[x_,y_]=1-gumbel[1-Sffi[x] ,1-Sno[y],alpha]

claytonvalakiéletben[x_,y_]=1-clayton[1-Sffi[x] ,1-Sno[y],alfa]

Ezzel a valószínűséggel pedig megkaphatjuk annak a valószínűségét, hogy mindketten életben vannak:

gumbelkozosp[x_,y_]=Prffi[[x+1]]+Prno[[y+1]]-gumbelvalakiéletben[x,y];

claytonkozosp[x_,y_]=Prffi[[x+1]]+Prno[[y+1]]-claytonvalakiéletben[x,y];

Gumbel–Hougaard-kopula segítségével számolt nettó díj, amennyiben a 2. halálkor szűnik meg a járadékkifizetés:

Rgumbelnettódíjffi[x_,y_,R_]=Sum[v^k  * (Prffi[[x+k]] +R* Prno[[y+k]]- R *gumbelkozosp[x+k,y+k]),{k,0,100}];
Rgumbelnettódíjnő[x_,y_,R_]=Sum[v^k  * (R * Prffi[[x+k]] + Prno[[y+k]]- R *gumbelkozosp[x+k,y+k]),{k,0,100}];

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjffi[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjnő[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjffi[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjnő[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

Clayton kopula segítségével számolt nettó díjak:

Rclaytonnettódíjffi[x_,y_,R_]=Sum[v^k  * (Prffi[[x+k]] +R* Prno[[y+k]]- R *claytonkozosp[x+k,y+k]),{k,0,100}];
Rclaytonnettódíjnő[x_,y_,R_]=Sum[v^k  * (R * Prffi[[x+k]] + Prno[[y+k]]- R *claytonkozosp[x+k,y+k]),{k,0,100}];

MatrixForm[Table[Rclaytonnettódíjffi[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rclaytonnettódíjnő[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rclaytonnettódíjffi[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rclaytonnettódíjnő[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

Ezek a díjak már megfelelően árazottak, hiszen figyelembe vették, hogya  díjkifizetés a második halálig tart. Ekkor a nettó díjak aránya:

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjffi[x,y,0.3]/függetlennettódíjffi[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rclaytonnettódíjffi[x,y,0.3]/függetlennettódíjffi[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjnő[x,y,0.3]/függetlennettódíjnő[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rclaytonnettódíjnő[x,y,0.3]/függetlennettódíjnő[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjffi[x,y,0.6]/függetlennettódíjffi[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjnő[x,y,0.6]/függetlennettódíjnő[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rclaytonnettódíjffi[x,y,0.6]/függetlennettódíjffi[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjnő[x,y,0.6]/függetlennettódíjnő[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rclaytonnettódíjnő[x,y,0.6]/függetlennettódíjnő[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

A számolások során két kopulát is használtam, így meg tudom vizsgálni, hogy melyik áraz jobban:

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjffi[x,y,0.3]/Rclaytonnettódíjffi[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjnő[x,y,0.3]/Rclaytonnettódíjnő[x,y,0.3],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjffi[x,y,0.6]/Rclaytonnettódíjffi[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

MatrixForm[Table[Rgumbelnettódíjnő[x,y,0.6]/Rclaytonnettódíjnő[x,y,0.6],{x,50,80,5},{y,50,80,5}]]

Látható, hogy a mátrix mellékátlója fölött a Clayton-kopula áraz olcsóbban, alatta pedig a Gumbel–Hougaard-kopula, így a belépési korpárok függvényében lehetne alkalmazni a megfelelő kopulát. Az élethosszak közötti függőséget felhasználva új árazási módszert lehetne bevezetni a biztosítóknál, amellyel kedvezőbb áron tudnák kínálni a termékeiket, ezzel növelve a keresletet, illetve kisebb kockázattal, költséghatákonyabban működhetnének a biztosítók.
Sajnos itthon nincsen olya központi adatbázis, amelyben házaspárok szerepelnének, a biztosítók pedig titkosították ezeket az adatbázisaikat. Nagyobb adathalmazzal pedig valószínűleg nagyobb korrelációs együttható adódott volna, így még olcsóbb díjakat kaphatnánk.

Hivatkozások

- Banyár József: Életbiztosítás, AULA, 2006
- Ferguson, T. S. - Genest, C. - Hallin, M.: Kendall’s Tau for Serial Dependence, The Canadian Journal of Statistics, Vol. 28, 2000
- Frees, E. W. - Valdez, E. A.: Understanding Relationships Using Copulas, North American Actuarial Journal, Vol. 2, 1998
- Luciano, E. - Spreeuw, J. - Vigna, E: Cross-generational Comparison of Stochastic Mortality of Coupled Lives, Applied Stochastic Models in Business and Industry, 2010
- Shemyakin, A. - Youn, H.: Copula Models if Joint survival Analysis, Applied Stochastic Models in Business and Industry, 2006
- Youn, H. - Shemyakin, A.: Pricing Practices for Joint Last Survivor, Actuarial Reserach Clearing House, 2001.