Az SL(2,R) tér geometriája

Geodetikusok és geodetikus gömbök

Az SL(2,R) geometriában három geodetikust különböztetünk meg, függően a kiindulási szögtől. A geodetikusokat leíró differenciálegyenletek megoldása nem egyszerű, így ezeket nem számoljuk ki, hanem az alábbi cikkre hivatkozunk: Geodesics and geodesicspheres in SL^(2;R) geometry, Blazenka Divjak, Zlatko Erjavec, Barnabás Szabolcs,  Brigitta Szilágyi, MATHEMATICAL COMMUNICATIONS, Math. Commun., Vol. 14, No. 2, pp. 413-424 (2009)
A következőkben az ott kiszámolt eredményekkel dolgozunk. Felírjuk a geodetikusok egyenleteit, és kirajzoljuk a geodetkus gömböket.

π/4<a<π/2

Vr[a_,s_]:=ArcSinh[Cos[a]/Sqrt[-Cos[2*a]]*Sinh[s*Sqrt[-Cos[2*a]]]]
Vtheta[a_,s_]:=-ArcTan[Sin[a]/Sqrt[-Cos[2*a]]*Tan[s*Sqrt[-Cos[2*a]]]]
Vphi[a_,s_]:=s*2*Sin[a]-ArcTan[Sin[a]/Sqrt[-Cos[2*a]]*Tan[s*Sqrt[-Cos[2*a]]]]
Vx[a_,s_]:=Tan[Vphi[a,s]]
Vy[a_,s_]:=Tanh[Vr[a,s]]*Cos[Vtheta[a,s]-Vphi[a,s]]/Cos[Vphi[a,s]]
Vz[a_,s_]:=Tanh[Vr[a,s]]*Sin[Vtheta[a,s]-Vphi[a,s]]/Cos[Vphi[a,s]]

0<a<π/4

Wr[a_,s_]:=ArcSinh[Cos[a]/Sqrt[Cos[2*a]]*Sinh[s*Sqrt[Cos[2*a]]]]
Wtheta[a_,s_]:=-ArcTan[Sin[a]/Sqrt[Cos[2*a]]*Tanh[s*Sqrt[Cos[2*a]]]]
Wphi[a_,s_]:=s*2*Sin[a]-ArcTan[Sin[a]/Sqrt[Cos [2*a]]*Tanh[s*Sqrt[Cos[2*a]]]]
Wx[a_,s_]:=Tan[Wphi[a,s]]
Wy[a_,s_]:=Tanh[Wr[a,s]]*Cos[Wtheta[a,s]-Wphi[a,s]]/Cos[Wphi[a,s]]
Wz[a_,s_]:=Tanh[Wr[a,s]]*Sin[Wtheta[a,s]-Wphi[a,s]]/Cos[Wphi[a,s]]

a=π/4

Zr[s_]:=ArcSinh[s/Sqrt[2]]
Ztheta[s_]:=-ArcTan[s/Sqrt[2]]
Zphi[s_]:=s*Sqrt[2]-ArcTan[s/Sqrt[2]]
Zx[s_]:=Tan[Zphi[s]]
Zy[s_]:=Tanh[Zr[s]]*Cos[Ztheta[s]-Zphi[s]]/Cos[Zphi[s]]
Zz[s_]:=Tanh[Zr[s]]*Sin[Ztheta[s]-Zphi[s]]/Cos[Zphi[s]]

A következőkben a gömb sugarát megadhatjuk az s paraméterrel, amely egy 0 és π/2 közötti szám kell legyen. A három geodetikushoz tartozó gömbrészleteket láthatjuk lentebb, kékkel a fibrumszerű, pirossal a H^2-szerű és sárgával a fényszerű részeket.

s:=1
t1:=ParametricPlot3D[{{Sqrt[Vy[a, s]^2+Vz[a, s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Vy[a, s]^2+Vz[a, s]^2]*Sin[omega],Vx[a,s]}, {Sqrt[Vy[a, s]^2+Vz[a, s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Vy[a, s]^2+Vz[a, s]^2]*Sin[omega],-Vx[a,s]}},{a, π/4, π/2}, {omega, -π, π }, PlotStyle->{{LightBlue,Specularity[White,40], Opacity[0.7]},{ LightBlue,Specularity[White,40], Opacity[0.7]}}, Mesh->None]
t2:=ParametricPlot3D[{{Sqrt[Wy[a, s]^2+Wz[a, s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Wy[a, s]^2+Wz[a, s]^2]*Sin[omega],Wx[a,s]}, {Sqrt[Wy[a, s]^2+Wz[a, s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Wy[a, s]^2+Wz[a, s]^2]*Sin[omega],-Wx[a,s]}},{a, 0, π/4}, {omega, -π, π },
PlotStyle->{{Orange,Specularity[White,10], Opacity[0.7]},{ Orange,Specularity[White,10], Opacity[0.7]}}, Mesh->None]
t3:=ParametricPlot3D[{{Sqrt[Zy[ s]^2+Zz[s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Zy[ s]^2+Zz[ s]^2]*Sin[omega],Zx[s]}, {Sqrt[Zy[s]^2+Zz[ s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Zy[ s]^2+Zz[ s]^2]*Sin[omega],-Zx[s]}}, {s, 0,π/2}, {omega, -π, π }, PlotStyle->{{Yellow,Specularity[White,10], Opacity[0.6]},{Yellow,Specularity[White,10], Opacity[0.6]}}, Mesh->None]

t1
t2
t3

Show[t1,t2,t3]

Eltolások

Az x vektor adja meg az eltolás irányát, a T mátrix pedig a 3 dimenziós eltolás mátrixa  % itt majd lesz hivatkozás...%, a legelső komponens a homogén koordinátázásból adódik. Alkalmazzuk ezt az eltolást ez előbbi gömb pontjaira, ekkor a következő ábrák adódnak. Az utolón látható a gömb az SL(2,R) tér euklideszi modelljében, ami egy egyköpenyű hiperboloid.

x:={1,0.2,0.2,0}
T={{x[[1]],x[[2]],x[[3]],x[[4]]},{-x[[2]],x[[1]],x[[4]],-x[[3]]},{x[[3]],x[[4]],x[[1]],x[[2]]},{x[[4]],-x[[3]],-x[[2]],x[[1]]}};

MatrixForm[T]

v1:={1,Vx[a,s],Sqrt[Vy[a,s]^2+Vz[a,s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Vy[a,s]^2+Vz[a,s ]^2]*Sin[omega]}
v2:={1,-Vx[a,s],Sqrt[Vy[a,s]^2+Vz[a,s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Vy[a,s]^2+Vz[a,s ]^2]*Sin[omega]}
Vu1:=v1.T
Vu2:=v2.T
w1:={1,Wx[a,s],Sqrt[Wy[a,s]^2+Wz[a,s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Wy[a,s]^2+Wz[a,s ]^2]*Sin[omega]}
w2:={1,-Wx[a,s],Sqrt[Wy[a,s]^2+Wz[a,s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Wy[a,s]^2+Wz[a,s ]^2]*Sin[omega]}
Wu1:=w1.T
Wu2:=w2.T
z1:={1,Zx[s],Sqrt[Zy[s]^2+Zz[s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Zy[s]^2+Zz[s ]^2]*Sin[omega]}
z2:={1,-Zx[s],Sqrt[Zy[s]^2+Zz[s]^2]*Cos[omega],Sqrt[Zy[s]^2+Zz[s ]^2]*Sin[omega]}
Zu1:=z1.T
Zu2:=z2.T

a:=a
omega:=omega

kortefa:=ParametricPlot3D[{{Vu1[[3]]/Vu1[[1]],Vu1[[4]]/Vu1[[1]],Vu1[[2]]/Vu1[[1]]},{Vu2[[3]]/Vu2[[1]],Vu2[[4]]/Vu2[[1]],Vu2[[2]]/Vu2[[1]]}},{a, π/4, π/2}, {omega, -π, π }, PlotStyle->{{LightBlue,Specularity[White,40], Opacity[0.7]},{ LightBlue,Specularity[White,40], Opacity[0.7]}}, Mesh->None]
almafa:=ParametricPlot3D[{{Wu1[[3]]/Wu1[[1]],Wu1[[4]]/Wu1[[1]],Wu1[[2]]/Wu1[[1]]},{Wu2[[3]]/Wu2[[1]],Wu2[[4]]/Wu2[[1]],Wu2[[2]]/Wu2[[1]]}},{a, 0, π/4}, {omega, -π, π }, PlotStyle->{{Orange,Specularity[White,10], Opacity[0.7]},{ Orange,Specularity[White,10], Opacity[0.7]}}, Mesh->None]
cseresznyefa:=ParametricPlot3D[{{Zu1[[3]]/Zu1[[1]],Zu1[[4]]/Zu1[[1]],Zu1[[2]]/Zu1[[1]]},{Zu2[[3]]/Zu2[[1]],Zu2[[4]]/Zu2[[1]],Zu2[[2]]/Zu2[[1]]}}, {omega, -π, π }, PlotStyle->{{Yellow,Specularity[White,10], Opacity[0.6]},{Yellow,Specularity[White,10], Opacity[0.6]}}, Mesh->None]

kortefa
almafa
cseresznyefa

Show[kortefa, almafa, cseresznyefa]

Ve:={1,t,0,0}
Ve1:=Ve.T
g:=Ve1/Ve1[[1]]
barackfa:=ParametricPlot3D[{g[[3]],g[[4]],g[[2]]}, {t,-2,2}]

szilvafa:=ParametricPlot3D[{Cosh[u]*Cos[v], Cosh[u]*Sin[v], Sinh[u]},{u, -3, 3},{v, 0, 2*π},  PlotStyle->{Green,Specularity[White,10], Opacity[0.35]},  Mesh->None]

Show[szilvafa]

Show[kortefa, almafa, cseresznyefa, szilvafa, barackfa]

Show[szilvafa, kortefa, almafa, cseresznyefa, barackfa]

Háromszögek és hasábok

A tér hiperboloid modelljét egy vízszintes síkkal elmetszve a szokásos Cayley-Klein modellt kapjuk vissza. Ezen szeretnénk megadni egy háromszöget, aminek a szögei a következők: (π/2), (π/4) és (π/5), valamint egy origó középpontű kör érintő háromszöge. A megadott szögekkel rendelkező háromszög beírt körének sugara az alábbi képlet alapján számolható. Sin[r]=(1/(Sqrt[-∑(Subscript[b, j,k])])), ahol (Subscript[b, j,k]) a B, a háromszög Coxeter-mátrixának megfelelő eleme. Ezen a téren a metrikus tenzor egy (-1,+1,+1) szignatúrájú szemi-Riemann-metrika.

B:={{1,-Cos[Pi/4],0},{-Cos[Pi/4],1,-Cos[Pi/5]},{0,-Cos[Pi/5],1}};
MatrixForm[B]

r:=ArcSinh[1/Sqrt[-Sum[Sum[B[[i]][[j]], {i,1,3}], {j,1,3}]]]

Orig:={1,0,0}

g={{-1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}};
MatrixForm[g]

Határozzuk meg a háromszög oldalait! Az egyik oldalt választhatjuk úgy, hogy euklideszi értelemben párhuzamos legyen az x tengellyel. Ennek az egyenesnek az egyenlete a következő: (Subscript[u, 1]): y=-Tanh[r]. Ebből számolható a hozzá tartozó forma, amit az (OverBar[(Subscript[u, 1])]) szimbólummal jelölünk, és teljesíti az ⟨ (OverBar[(Subscript[u, 1])]),(Subscript[u, 1])⟩=0 egyenletet. Az (Subscript[u, 2]) és (Subscript[u, 3]) egyenesek formái legyenek értelemszerűen (OverBar[(Subscript[u, 2])]) és (OverBar[(Subscript[u, 3])]).

(OverBar[(Subscript[u, 1])])={1,0,1/Tanh[r]};
(OverBar[(Subscript[u, 2])])={1,(Subscript[w, 1]), (Subscript[w, 2])};
(OverBar[(Subscript[u, 3])])={1,(Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2])};

Tudjuk, hogy az (Subscript[u, 1]) és (Subscript[u, 2]) egyenes által bezárt szög (π/2). Az egyenesek által bezárt szögek számolhatók az alábbi képlet alapján: Cos[(π/2)]=((-⟨(OverBar[(Subscript[u, 1])]), (OverBar[(Subscript[u, 2])])⟩)/(Sqrt[⟨(OverBar[(Subscript[u, 1])]),(OverBar[(Subscript[u, 1])])⟩⟨(OverBar[(Subscript[u, 2])]), (OverBar[(Subscript[u, 2])])⟩])). Ebből következik, hogy az ⟨(OverBar[(Subscript[u, 1])]), (OverBar[(Subscript[u, 2])])⟩=0.

Solve[(OverBar[(Subscript[u, 1])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 2])])==0,(Subscript[w, 2])]

(Subscript[w, 2]):=(1/(Sqrt[(-3+(Sqrt[2])+(1/2) (1+(Sqrt[5]))) (1+(1/(-3+(Sqrt[2])+(1/2) (1+(Sqrt[5])))))]))

A további koordináták meghatározásához az origó és az (Subscript[u, 2]) egyenes távolsága szükséges, amihez az origó (Subscript[u, 2]) egyenesre való merőleges vetületét kell kiszámolnunk. Legyen ez a pont T és az (Subscript[u, 2]) pólusa (Subscript[U, 2]). Ezt megtehetjük a következő képlet felhasználásával: (UnderBar[t]) =Orig-(({Orig, (Subscript[U, 2])})/(⟨(Subscript[U, 2]),(Subscript[U, 2])⟩))(Subscript[U, 2]).

(Subscript[U, 2]):={-1,(Subscript[w, 1]), (Subscript[w, 2])}
t:=Orig-((Orig.g.(Subscript[U, 2]))/((Subscript[U, 2]).g.(Subscript[U, 2])))(Subscript[U, 2])

T:=t/t[[1]]

Solve[Cosh[r]==((-Orig.g.T)/(Sqrt[Orig.g.Orig *T.g.T])), (Subscript[w, 1])]

(Subscript[w, 1]):=(Sqrt[(1/6) (-8+5 (Sqrt[2])+2 (Sqrt[5])-(Sqrt[10]))])

Az (Subscript[u, 3]) és  az (Subscript[u, 2]) valamint a az (Subscript[u, 3]) és (Subscript[u, 1]) egyenesek által bezárt szöget szintén tudjuk, tehát a hiányzó két koordinátára van még két egyenletünk.

Solve[Cos[Pi/4]==((-(OverBar[(Subscript[u, 1])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 3])]))/(Sqrt[(OverBar[(Subscript[u, 1])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 1])]) (OverBar[(Subscript[u, 3])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 3])])])), (Subscript[v, 1])]

(Subscript[v, 1]):=√(16+11 (Sqrt[2])+7 (Sqrt[5])+5 (Sqrt[10])-22 (Sqrt[-3+2 (Sqrt[2])+(Sqrt[5])]) (Subscript[v, 2])-15 (Sqrt[2 (-3+2 (Sqrt[2])+(Sqrt[5]))]) (Subscript[v, 2])-10 (Sqrt[5 (-3+2 (Sqrt[2])+(Sqrt[5]))]) (Subscript[v, 2])-7 (Sqrt[10 (-3+2 (Sqrt[2])+(Sqrt[5]))]) (Subscript[v, 2])+16 (Subscript[v, 2]^2)+11 (Sqrt[2]) (Subscript[v, 2]^2)+7 (Sqrt[5]) (Subscript[v, 2]^2)+5 (Sqrt[10]) (Subscript[v, 2]^2))

Solve[Cos[Pi/5]==((-(OverBar[(Subscript[u, 2])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 3])]))/(Sqrt[(OverBar[(Subscript[u, 2])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 2])]) (OverBar[(Subscript[u, 3])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 3])])])), (Subscript[v, 2])]

FindRoot[Cos[Pi/5]==((-(OverBar[(Subscript[u, 2])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 3])]))/(Sqrt[(OverBar[(Subscript[u, 2])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 2])]) (OverBar[(Subscript[u, 3])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 3])])])), {(Subscript[v, 2]),1}]

N[((-(OverBar[(Subscript[u, 2])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 3])]))/(Sqrt[(OverBar[(Subscript[u, 2])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 2])]) (OverBar[(Subscript[u, 3])]).g.(OverBar[(Subscript[u, 3])])]))]

Plot[-((5.568671894152329` (-1.`+0.9842559965138866` (Subscript[v, 2])-0.25196762579634296` (Sqrt[63.02021332944447`-126.02455773520795` (Subscript[v, 2])+63.02021332944447` (Subscript[v, 2]^2)])))/(Sqrt[62.02021332944447`-126.02455773520795` (Subscript[v, 2])+64.02021332944447` (Subscript[v, 2]^2)])), {(Subscript[v, 2]),-5,5}]