Paradoxonok

Hudáky Zsuzsanna
LN541G
matematikus szak
III.évfolyam
2006/2007, őszi félév

"Nem biztos csak a kétes a szememnek
s ami világos, mint a nap: titok;
hiszek a véletlennek, hirtelennek,
s gyanúm az igaz körül sompolyog."
(Villon: Ellentétek)

Tartalomjegyzék

1. Előszó


2. Klasszikus paradoxonok a valószínűségszámításban

„A kockadobásos paradoxon”
De Méré lovag paradoxona
A függetlenség paradoxona
Ajándékozási paradoxon
Pétervári paradoxon
Villámparadoxonok
    1. Nagy és kis valószínűségek paradoxona
    2. Születésnapok paradoxona
    3. Fej vagy írás paradoxon


3. Paradoxonok a matematikai statisztikában

Villámparadoxonok
    1. A tipikus és az átlag paradoxona
    2. A valószínűség becslésének paradoxona


4. Zárszó


5. Irodalomjegyzék

1. Előszó

A matematika ugyanazt az ellentmondásos világot tükrözi, mint bármely más tudomány, így természetes, hogy a matematika története is bővelkedik érdekes, izgalmas paradoxonokban, sőt igen gyakran éppen a paradoxonok lettek a későbbi nagy változások kiindulópontjai.
E dolgozatban nemcsak tudományos érdekességekről lesz szó, amelyek távol esnek a tudomány fő fejlődési vonalától, hanem éppen azokról az ellentmondásokról, amelyek legtöbbje alapvető tévhiteket ingatott meg.
    
A paradoxon állítások (premisszák) egy olyan csoportja, amely látszólag ellentmondásra vezetnek, vagy igaz állítások egy olyan halmaza (premisszák), amely a józan észnek ellentmondó következtetésre látszik vezetni. 
W. V. Quine 1962-ben háromféle paradoxont különböztetett meg:
    * Az igaz paradoxon olyan abszurdnak tűnő következtetésre vezet, ami mégiscsak igaz.
    * A hamis paradoxon (fallácia) olyan tényt bizonyít, amely nemcsak hamisnak tűnik, hanem valóban az is; a hiba a paradoxon bizonyításában rejlik valahol, egy hibás logikai következtetésben vagy valótlan feltételezésben. Ide tartoznak a klasszikus érvénytelen bizonyítások (pl. 1 = 2), amelyek valamilyen rejtett, nem megengedett matematikai műveletet (pl. nullával való osztást) végeznek el.
    * A valódi ellentmondások: a valóságról alkotott kép, a paradoxon alapját képező rendszer, modell hibás voltára hívják fel a figyelmet. Ezek a leghasznosabbak, mivel többnyire a rendszer finomítását, továbbfejlesztését eredményezik.
    
A paradoxonokat legtöbbször négy részben fogom ismertetni. Az első rész a paradoxonok történetét, a második a megfogalmazását, a harmadik a magyarázatát, a negyedik pedig az esetleges megjegyzéseket tartalmazza.

2. Klasszikus paradoxonok a valószínűségszámításban

<< Statistics`DiscreteDistributions`

<< Statistics`ContinuousDistributions`

A véletlennel kapcsolatos matematikai megfontolások igen hosszú múltra tekinthetnek vissza, de valószínűségszámítási kérdések és paradoxonok írásba foglalása csak az újkor hajnalán kezdődött.
A legelső paradoxonokat a széles körben elterjedt szerencsejátékok szülték.


2.1. „A kockadobásos paradoxon”

2.1.1. Története:
A szerencsejátékok közül a középkor végéig a kockázás volt a legelterjedtebb. A legrégibb valószínűségszámítással foglalkozó könyvnek (Gerolamo Cardano: "De Ludo Aleae") is jelentős részben a kockajáték a témája.

2.1.2. Megfogalmazása:
Szabályos dobókockával ugyanolyan eséllyel dobhatjuk az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számok bármelyikét. Két kocka feldobásakor a pontok összege 2 és 12 között változhat. Közülük például a 9 és a 10 is ugyanannyiszor, mégpedig kétféleképpen tehető össze a számokból: 9=3+6=4+5 és 10=4+6=5+5. Három kocka pontszámaiból is ugyanannyiszor, mégpedig hatféleképpen kombinálható össze a 9 és a 10 is. Hogyan lehetséges mégis, hogy két kocka dobásakor gyakrabban kapunk 9-et, három kocka dobásakor pedig 10-et?

ket := 
      Table[(Random[Integer, {1, 6}] + 
            Random[Integer, {1, 6}]), {1000}]

Length[Select[ket, (# == 9)  &]]

Length[Select[ket, (# == 10)  &]]

harom := 
      Table[Random[Integer, {1, 6}] + Random[Integer, {1, 6}] + 
          Random[Integer, {1, 6}], {1000}]

Length[Select[harom, (# == 9)  &]]

Length[Select[harom, (# == 10)  &]]

2.1.3. Magyarázata:
Az esélyek kiszámításakor figyelemmel kell lenni a dobások sorrendjére is.(Egyébként az egyes lehetőségek nem lennének egyforma valószínűségűek.) Két kockánál:9=3+6=4+5=5+4=6+3 (4 eset) és 10=4+6=5+5=6+4 (3 eset),azaz két kockával dobva annak az esélye, hogy az összeg 9: 4/36=24/216; annak pedig, hogy 10: 3/36=18/216. Három kockánál 9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=1+5+3=1+6+2=2+1+6=..., összesen 25-féleképpen,10=1+3+6=1+4+5=1+5+4=1+6+3=2+2+6=...,összesen 27-féleképpen kapható meg.Azaz három kockával dobva annak a valószínűsége,hogy az összeg 9: 25/216,annak pedig,hogy 10: 27/216.

2.1.4. Megjegyzések:
Bár e paradoxon megoldása nagyon egyszerű,mégis évszázadok során kiváló matematikusok egész sora hagyta figyelmen kívül a dobások sorrendjét: pl. Leibniz, d'Alembert (akinek érvelése még nyomtatásban is megjelent).

2.2. De Méré lovag paradoxona

2.2.1. Története:
A hagyományos történet szerint egy híres XVII. századi francia szerencsejátékos, de Méré lovag, miközben birtokára, Poitouba utazott, megismerkedett Pascallal, akinek két szerencsejátékkal kapcsolatos kérdést is feltett, közülük az egyik éppen a szóban forgó paradoxon volt. Valójában a lovag nem is volt szenvedélyes szerencsejátékos, a paradoxonok sokkal inkább elvileg érdekelték, ezért is nem elégedett meg azzal, hogy Pascal „csak” megoldotta a problémát. Ebből ugyanis nem látta még, hogyan oldódik fel az ellentmondás.
    
2.2.2. Megfogalmazása:
Ha egy szabályos dobókockát 4-szer dobunk fel, akkor több, mint 1/2 valószínűséggel valamelyik dobás hatos lesz. Ugyanakkor, ha két kockát 24-szer dobunk fel, akkor kevesebb, mint 1/2 valószínűséggel kapunk (legalább egyszer) dupla hatost (ez ekvivalens azzal, hogy a dobott két szám összege 12). Hogyan lehetséges ez, hiszen a dupla hatosnak 1/6-annyi az esélye, mint egyetlen hatosnak, és 24=6*4 éppen?

szimpla := Table[Random[Integer, {1, 6}], {4}]

szimpla

t = Table[szimpla, {5}]

Sign[Mod[t[[1]], 6]]

1 - Sign[Mod[t, 6]]

Total[%]

Total[%%]/5

relgyak[n_] := 
      Total[1.  - Sign[Mod[Table[szimpla, {n}], 6]]]/n

relgyak[5]

relgyak[100000]

dupla := 
      Table[Random[
          Integer, {1, 6} + Table[Random[Integer, {1, 6}]]], {24}]

dupla

u = Table[dupla, {5}]

Sign[Mod[u[[1]], 6]]

1 - Sign[Mod[u, 6]]

Total[%]

Total[%%]/5

relgyak2[m_] := 
      Total[1.  - Sign[Mod[Table[szimpla, {m}], 6]]]/m

relgyak2[5]

relgyak2[100000]

2.2.3. Magyarázata:
Ha egy szabályos kockát k-szor dobunk fel, akkor a lehetséges kimenetelek száma 6(^"k"). Ezek közül 5\(TraditionalForm\`\^\*""k"\) esetben egy hatos sem fordul elő a dobások között, tehát annak az esélye, hogy a k dobás közül legalább egyszer hatost dobunk: (6(^k)-5(^k))/6(^k).

valseg1[k_]:=N[((6^k) - (5^k))/(6^k)]

Ha k=4, akkor:

valseg1[4]

Hasonlóan gondolkozva, ha két szabályos kockát k-szor dobunk fel, akkor a lehetséges kimenetelek száma 36\(InputForm\`\^k\). Ezek közül 35\(InputForm\`\^k\) esetben nem fordul elő dupla hatos a dobások között, tehát annak az esélye, hogy a k dobás közül legalább egyszer dupla hatost dobunk: (36\(InputForm\`\^k\)-35\(InputForm\`\^k\))/36\(InputForm\`\^k\).

valseg2[k_] := N[((36^k) - (35^k))/(36^k)]

Ha k=24, akkor:

valseg2[24]

2.2.4. Megjegyzések:
Érdekes, hogy de Méré paradoxonának magyarázata nem vált túlzottan közismertté, ugyanis közel negyven évvel Pascal megoldása után, 1693-ban Samuel Pepys (a Royal Society akkori elnöke) teljesen hasonló problémával fordult Newtonhoz. Newton is megtalálta a helyes megoldást, amivel azonban neki sem sikerült meggyőznie Pepyst.

2.3. A függetlenség paradoxona

2.3.1. Története:
  Mindenekelőtt értelmeznünk kell azt, hogy mikor nevezünk két eseményt függetlennek. Jelölje az A és B véletlen esemény bekövetkezési valószínűségét P(A) és P(B), az együttes bekövetkezésük valószínűségét pedig P(AB). Ha P(B)>0, akkor az A esemény bekövetkezési valószínűségét, feltéve, hogy B biztosan bekövetkezik, azaz A feltételes valószínűségét B-re vonatkozóan a P(AB)/P(B) hányadossal értelmezzük, és e két eseményt akkor tekintjük függetlennek, ha P(A|B)=P(A). Ha ezt az egyenlőséget átalakítjuk P(AB)=P(A)P(B) alakra, akkor még azt sem kell feltételezni, hogy P(B)>0, így A és B függetlenségét végül is ezzel az egyenlőtlenséggel értelmezzük. Összefoglalva: az A és B eseményeket függetleneknek nevezzük, ha együttes bekövetkezésük valószínűsége egyenlő az egyenként vett valószínűségük szorzatával.
  A függetlenség e definíciója igen jó összhangban van azzal, amit általában a függetlenségről gondolunk. A harmónia azonban nem mindig látszott tökéletesnek. A következő paradoxonra S. N. Bernstein hívta fel a figyelmet.
    
 2.3.2. Megfogalmazása:
Dobjunk fel két szabályos pénzérmét, és legyen A az az esemény, hogy az első dobás eredménye fej, B az az esemény, hogy a második dobás fej, C pedig jelentse azt, hogy a két dobás közül az egyik fej, az egyik írás. Ekkor az A, B és C események közül bármelyik kettő független egymástól, ugyanakkor bármelyik kettő meg is határozza a harmadikat.
A valószínűségek (itt az M esemény bekövetkezési valószínűségét PM-mel jelöljük, kivéve ABC bekövetkezését, amit ABC-vel):

PA := 1/2
PB := 1/2
PC := 1/2
PAB := 1/4
PAC := 1/4
PBC := 1/4
ABC := 0

Ellenőrizzük a függetlenségeket!

List[PA*PB - PAB, PA*PC - PAC, PB*PC - PBC, PAB*PC - ABC, PAC*PB - ABC, 
      PBC*PA - ABC]

2.3.3. Magyarázata:
Látható, hogy A, B és C páronként függetlenek. Viszont mindhárom eseményt figyelve; AB és C, AC és B, BC és A nem. Könnyen végiggondolható, hogy A  is, B is és C is pontosan akkor következik be, ha a másik két esemény közül pontosan az egyik teljesül, így bármely kettő valóban meghatározza a harmadikat. Ez a paradox jelenség azt mutatja, hogy az események közül páronkénti függetlensége egyáltalán nem jelenti azt, hogy az események összességükben is függetlenek. Ha ez utóbbit akarjuk kifejezésre juttatni, akkor - mint láttuk - a páronkénti függetlenségnél többet kell feltételezni. Események valamilyen halmazát akkor nevezzük teljesen függetlennek, ha akárhogyan választunk is ki közülük véges sokat, például az A1, A2, ..., An eseményeket, ezekre mindig teljesül a P(A1*A2*...*An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An) egyenlőség, vagyis az együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik a külön-külön vett valószínűségeik szorzatával.

2.4. Ajándékozási paradoxon

2.4.1. Története:
A valószínűségszámítás kezdeti periódusát a kombinatorikus típusú (főleg szerencsejátékokkal kapcsolatos) kérdésfeltevések jellemezték. Ezekben a problémákban a véletlen események lehetséges kimeneteleinek száma véges volt, és minden kimenetel egyformán valószínű. Az ilyen esetekben a valószínűségek meghatározása egyszerűen úgy történhet, hogy vesszük a „kedvező” és az „összes” kimenetelek számának hányadosát. (Ilyenkor klasszikus valószínűségi mezőről beszélünk.)

2.4.2. Megfogalmazása:
Valamely ünnep alkalmából egy társaság tagjai kölcsönösen meg akarják ajándékozni egymást oly módon, hogy mindenki visz egy ajándékot, ezeket összegyűjtik, majd véletlenszerűen kisorsolják a jelenlévők között.Ez a sorsolásos eljárás valóban igazságos, és abban a reményben szokták alkalmazni, hogy (nagy társaság esetén) igen kicsi annak a valószínűsége, hogy bárki is visszakapná a saját ajándékát. Paradox módon azonban lényegesen nagyobb annak az esélye, hogy lesz valaki, aki visszakapja az ajándékát, mint annak, hogy senki sem kapja vissza. (Kivéve, ha a "társaságnak" két tagja van, amikor is 50 % az esély.)

2.4.3. Magyarázata:
Legyen a társaságnak x tagja, ekkor persze az ajándékok száma is x. Az x ajándékot x! különböző módon lehet szétosztani.

osszes := x!

Másképpen:

Binomial[x, 0]*(x - 0)!*(((-1))^0)

Azon esetek száma pedig, amikor senki nem kapja vissza az ajándékát: 

A legegyszerűbben az „összes-rosszak”-módszerrel számolhatjuk ki. Azaz: megnézzük, hány esetben kapja vissza legalább egy ember az ajándékát, ezt kivonjuk az összes esetből (x!), és ezzel megkapjuk a jó esetek számát.

„Rossz” esetek száma: 
Azon esetek száma, amikor legalább egy ember visszakapja a saját ajándékát: a szitaformulát használjuk.
Kiszámoljuk azon esetek számát, amikor legalább egy ember visszakapja, ebből kivonjuk azon esetszámot, amikor legalább két ember visszakapja, ehhez hozzáadjuk azon esetszámot, amikor legalább három visszakapja...és így tovább. Azaz azon esetek száma, amikor legalább egy ember visszakapja, tehát a „rossz” esetek száma:

rossz := -(∑_(k = 1)^x) Binomial[x, 
              k]*(x - k)!*(((-1))^k)

Látható, hogy az összes esetszámot leíró képlet ugyanolyan alakú, mint a rossz esetek számát leíró képlet minden egyes tagja. Azaz az „összes-rosszak” (tehát a jó esetek száma) így is felírható:

jo := (∑_(k = 0)^x) Binomial[x, 
            k]*(x - k)!*(((-1))^k)

Tehát annak a valószínűsége, hogy senki nem kapja vissza az ajándékát (egy maximum 20 fős társaságban):

valoszinuseg:=Table[N[jo/osszes], {x, 1, 20}]

ListPlot[valoszinuseg, 
        PlotRange -> {0, 
            0.6},   AxesLabel -> {"vendégek \n létsz\
áma",  "P(senki nem kapja vissza \n a saját \
ajándékát)"},  
        PlotStyle -> PointSize[0.02],  
        TextStyle -> {FontSize -> 14},  
        Background -> RGBColor[0, 1, 1]];

Nézzük meg, milyen értékhez konvergál ez a valószínűség.
A jó esetek számát másképp így írhatjuk fel:

jo := (∑_(k = 0)^x) 
                  x!/(x - k)!/k!*(x - 
                  k)!*(((-1))^k) = (∑_(k = 0)^x) 
                x!/k!*(((-1))^k)

Tehát ha elosztunk az összes esetek számával,  akkor az x! kiesik,  
      tehát ez marad:

valoszinuseg2 := (∑_(k = 0)^x)(((-1))^k)/k!

Limit[valoszinuseg2,  x -> ∞]

Tehát annak a valószínűsége, hogy senki nem kapja vissza a saját ajándékát,1/e-hez konvergál.

2.4.4. Megjegyzés:
Ez a paradoxon azért meglepő, mert újból azt igazolja, hogy sok kicsi sokra mehet: hiába kicsi nagy társaság esetén annak a valószínűsége, hogy egy-egy kiválasztott ember visszakapja a saját ajándékát, mégis közel 2/3 valószínűséggel lesz valaki, akivel ez előfordul.

2.5. Pétervári paradoxon

2.5.1. Története:
A szerencsejátékok vizsgálatából kifejlődött valószínűségszámítás a XVII. század második felében az élet egyre több területén hódított teret. Egyre többen gondolták úgy, hogy a valószínűség nem más, mint számokba tömörített józan ész. Az 1700-as évek elején azonban a Pétervári Tudományos Akadémia folyóirata egy olyan valószínűségszámítási cikket közölt, amelyben a matematikai számítások egyáltalán nem voltak összahangban a józan ésszel. A cikket Daniel Bernoulli írta, és a paradoxon e cikk által vált ismertté.

2.5.2. Megfogalmazása:
Egy szabályos pénzérmével addig dobunk, amíg fejet nem kapunk. Ha már az első dobás eredménye fej, akkor kapunk a banktól 2 Ft-ot, ha csak a második fej, akkor 4 Ft-ot, ha csak a harmadik, akkor 8 Ft-ot, stb. Minden újabb dobásnál megkétszereződik a nyeremény. Kérdés: mennyi az a pénzösszeg, amennyit méltányos játék esetén fizetnünk kellene ahhoz, hogy egy ilyen játékot végigjátszhassunk? Ha a méltányosságot úgy értelmezzük, hogy a tiszta nyeremény átlagos értéke (várható értéke) 0 legyen, akkor ez a természetes követelmény arra a paradox eredményre vezet, hogy akármilyen (véges) sok pénzt is fizetünk a banknak, a játék mindig hátrányos lesz a bank számára.

2.5.3. Magyarázata:
A bank vesztesége valóban végtelen, hiszen annak a valószínűsége, hogy a k-adik dobás után ér véget a játék: (0.5^k), és ez esetben a bank (2^k) Ft-ot fizet. Így a bank átlagos vesztesége:

(∑_(k = 1)^∞)(1/((2^k)))*(2^k)

tehát végtelen. Azaz méltányos játék esetén nekünk is végtelen sok pénzt kellene fizetnünk a játékért. 

Többen javasoltak olyan módosításokat, amelyeknél már a „józan ész” számára is elfogadható eredmény adódik.

Buffon, Cramér és mások annak a természetes feltételnek az elfogadását javasolták, hogy a banknak csak előre megadott (véges sok) pénz áll a rendelkezésére. Legyen ez pl. 1 000 000 Ft. Ha a szabályok szerint a játékosnak ennél több járna, akkor is csak ennyit kap. Ekkor a játékos nyereményének várható értéke (- figyelembe véve, hogy (2^20)>1 000 000):

N[(∑_(k = 1)^19)(1/((2^k)))*(2^k)+(∑_(k = 20)^∞)(1/((2^k)))*1000000]

Tehát ha 21 Ft-ot fizetünk egy játékért, még egy kicsit jól is jár a bank. Ez az eredmény teljesen elfogadható.

2.5.4. Megjegyzések:
Buffon a XVIII. században 2084 játék eredménye alapján azt tapasztalta, hogy kb. 20 Ft befizetése esetén lesz a játék méltányos.
A pétervári paradoxonnal szoros kapcsolatban áll az a gyakran alkalmazott halmozási (más néven „martingál”) stratégia, amelyben mindmáig sok szerencsejátékos hisz (és megy tönkre). Akárcsak a pétervári játékban, most is a bank ellen játszunk egy igazságos játékot (minden játszmában 50% eséllyel nyerünk). Ha az első játszmában vesztünk, akkor megkétszerezzük a tétet, és mindaddig kétszer többet teszünk, mint az előző alkalommal, amíg végre az nem jön ki, amire tippelünk.Ha a legelső tétünk 1 Ft volt, és az n-edik játszmában sikerül először nyernünk, akkor összesen 1+2+4+...+(2^(n - 1)) Ft-ot vesztettünk, és (2^n) Ft-ot nyertünk, azaz összesen 1 Ft a tiszta nyereségünk. Minthogy 1 valószínűséggel valamikor bejön a tippünk, a halmozási stratégia szinte biztos nyerő módszernek látszik. A látszat azonban csal, mert általában még mielőtt valamit is nyernénk, már elfogyott a (véges sok) pénzünk. Másrészt, a kaszinók mindenütt maximalizálják a tétek nagyságát, ami hatástalanítja a „martingál” típusú stratégiákat.

2.6. Villámparadoxonok

A villámparadoxonok ismertetése nem tagolódik részekre. Tárgyalásuk nem azért rövidebb, mert kevésbé érdekesek vagy kevésbé fontosak, hanem mert nem illettek bele a téma fő irányába.

2.6.1. Nagy és kis valószínűségek paradoxona

Egy véletlen esemény 99%-os és 99,99%-os bekövetkezési valószínűségét is hajlamosak vagyunk egyszerűen úgy értékelni, hogy mindkét esemény szinte biztosan bekövetkezik, és úgy érezzük, hogy a két valószínűség egymástól alig megkülönböztethetően ugyanazt fejezi ki. Pedig a különbség bizonyos esetekben nagyon is számottevő. Ha például egy esemény az év bármely napján 99%-os, illetve 99,99%-os valószínűséggel következik be, akkor annak az esélye, hogy az év minden napján bekövetkezik:

(0.99^365)

(0.9999^365)

Tehát az első esetben 3%-nál is kisebb, míg a másodikban már közel 97% az esélye, hogy ez az esemény az év minden napján bekövetkezik.

A kis valószínűségű események azonosítása a gyakorlatilag lehetetlen eseményekkel számos paradoxonhoz vezethet. Ilyenekkel például J. Neyman amerikai statisztikus is foglalkozott, aki szerint például, ha egy repülőgép lezuhanását gyakorlatilag lehetetlennek vesszük, akkor megmagyarázhatatlanná válik a biztosítások kötése, az ellenkező esetben viszont az, hogy miért ülünk fel a repülőgépre.

2.6.2. Születésnapok paradoxona

Ha egy csoportban legfeljebb 365 ember gyűlik össze, akkor előfordulhat, hogy mindegyiküknek más napra esik a szülinapja, de ha már 366-an vannak, akkor biztosan lesz közöttük kettő, akiknek közös a születésnapjuk. (A szökőévektől most eltekintünk.) Meglepő módon azonban már 55 ember is elegendő ahhoz, hogy közel 99%-os biztonsággal állíthassuk: lesz közöttük két olyan, akiknek közös a születésnapjuk; 68 ember esetén pedig már 99,9%-os a biztonság. Szinte hihetetlenül hangzik, hogy ilyen óriási különbség lehet 99%-os (illetve 99,9%-os) és a 100%-os biztonság között, pedig éppen ez az egyik pillére a valószínűségszámítás széles körű alkalmazhatóságának.
Számoljunk utána ennek a meglepő eredménynek! Mi a valószínűsége annak, hogy k ember esetén van közöttük két olyan, akiknek közös a születésnapjuk?

vs[k_] := 
      1 - ((∏_(i = 0)^(k - 1))(365 - i))/(365^
              k)

N[TableForm[vs /@ {23, 55, 68}]]

Tehát valóban, már kevés ember esetén is meglehetősen nagy bizonyossággal állítható, hogy van közöttük két olyan, akiknek közös a születésnapjuk.

2.6.3. Fej vagy írás paradoxon

Szabályos érmével fej vagy írás játékot játszunk, az érmét 100-szor dobjuk fel. Melyik valószínűbb  a következő két esemény közül:
a) pontosan 50 fejet dobunk
b) legalább 60 fejet dobunk ?
Az a) eset valószínűsége:

N[Binomial[100, 50]*(1/2)^50*(1/2)^50]

A b) eset valószínűsége:

N[(∑_(k = 0)^40)(Binomial[100, 
              60 + k]*(1/2)^(60 + k)*(1/2)^(40 - 
                  k))]

Tehát meglepő módon az a) esemény a valószínűbb!

3. Paradoxonok a matematikai statisztikában

A statisztika eredetileg államszámtan volt. Az ókortól kezdve arról tájékoztatta az államok vezetőit, mekkora adókat vethetnek ki az alattvalóikra és hány katonára számíthatnak egy eljövendő háborúban. 
A statisztika csak a polgári forradalmak után vált igazi tudománnyá. Úttörői John Graunt és William Petty voltak. 
A XVII. század óta a matematikai statisztika fokozatosan a matematika önálló ágává fejlődött, amelynek fő célja: minél megbízhatóbb hasznosítható információt nyerni a felmérési, megfigyelési és mérési adatokból: a statisztikai mintából.
A tapasztalat szerint kevés tudományterületet övez annyi félreértés és paradoxon, mint a statisztikát. Egy tréfa szerint, 1901-ben a Harvard egyetem hallgatónőinek 33 százaléka professzoraihoz ment férjhez. Igaz is, mindössze három lány járt akkor az egyetemre, s közülük egy valóban professzorné lett. Helyes az állítás, de félrevezető a beállítás. Ezek után nem csodálkozhatunk Benjamin Disraeli, a XIX. század egyik legsikeresebb angol miniszterelnöke híres mondásán, miszerint „3 féle hazugság van: hazugság, átkozott hazugság és statisztika.” Talán éppen a matematikai statisztika paradoxonainak megértése segít ahhoz, hogy a statisztikai ködösítéseken átlássunk, megértsük a valóban hasznos, sőt nélkülözhetetlen statisztikai következtetéseket, és megtaláljuk a kulcsfontosságú információkat.

Ebből a fejezetben két villámparadoxonról esik szó.

3.1. A tipikus és az átlag paradoxona

Az átlagot, például az átlagfizetést igen gyakran abban az értelemben használják, hogy tipikus, pedig ha egy országban viszonylag kevés rendkívül nagy jövedelmű család él, és viszonylag sok kis jövedelmű, akkor az országban az átlagjövedelem egyáltalán nem tipikus. Sokkal reálisabb képet ad például a jövedelmek mediánja (az a jövedelem, melynél kisebb ugyanannyi van, mint nagyobb).

3.2. A valószínűség becslésének paradoxona

Egy esemény ismeretlen bekövetkezési valószínűségének szokásos becslése a relatív gyakoriság, így ha egy pénzdarabot 100-szor feldobunk, és 47-szer kapunk írást, akkor az írás valószínűségét 47/100-dal becsüljük. Nyilvánvaló azonban, hogy ha egy többé-kevésbé szabályos érmét 10-szer feldobunk, és egyszer sem kapunk írást, akkor ennek ellenére nem tekintjük 0-nak az írás valószínűségét. Ha tehát van valami előzetes információnk (például az, hogy az érme többé-kevésbé szabályos), akkor a relatív gyakoriság általában nem megfelelő becslés. 

Ha például egy többé-kevésbé szabályos (szabályosnak tekinthető) pénzérmét dobálunk 10-szer, illetve 1000000-szor, akkor a fejek száma egy kísérlet során: (fej=0, írás=1)

kiserlet1 = Table[(Random[Integer, {0, 1}]), {10}];

Length[Select[kiserlet1, (# == 0)  &]]

kiserlet2 = 
        Table[(Random[Integer, {0, 1}]), {100000}];

Length[Select[kiserlet2, (# == 0)  &]]

Ha a dobások száma egy 1 és 1000000 közötti véletlen egész szám:

q = Random[Integer, {1, 10000}]

kiserlet3 = Table[(Random[Integer, {0, 1}]), {q}];

Length[Select[kiserlet3, (# == 0)  &]]

Ugyanakkor tudjuk, hogy szabályos pénzérménél (és most ilyennek tekintjük ezt az érmét is) n dobásból a legnagyobb valószínűséggel n/2 fej lesz:

n = Random[Integer, {1, 10000}]

Table[Binomial[q, k]*0.5^q, {k, q/2 - 5, q/2 + 5}]

Az átlagtól való eltérés 10, illetve 1000000 mérés esetén:

N[(Abs[5 - Length[Select[kiserlet1, (# == 0)  &]]])/
        5]

N[(Abs[500000 - Length[Select[kiserlet2, (# == 0)  &]]])/
        500000]

Az átlagtól való eltérés q mérés esetén (q a fentebb szereplő véletlenszám):

N[(Abs[q/2 - Length[Select[kiserlet3, (# == 0)  &]]])/
          q/2]

4. Zárszó

A legtöbb tudomány története - így a matematikáé is - paradoxonok története. A legnagyobb felfedezések általában a legnagyobb paradoxonokat oldják meg (gondolhatunk itt akár Darwinra, akár Einsteinre), és eközben újabbakat szülnek. A középkor legnagyobb paradoxona, hogy a „semmit”, a nullát is célszerű „valaminek” tekinteni és jelölni is valamivel, mert ezáltal válik lehetővé a számolás lényeges leegyszerűsítése: az indiai-arab helyiértékes számolás. Az újkor hajnalán a negatív, majd a komplex számok okozták a legtöbb paradoxont. Az újkor a matematika minden ágában seregnyi paradoxont szült az algebrai egyenletek megoldhatóságától kezdve a Bolyai-féle geometriáig. 
Einstein paradox megfogalmazása szerint „a világban az a legérthetetlenebb, hogy érthető”. Annyi minden bizonnyal igaz, hogy egyre érthetőbb, és ez a véletlen világára, a véletlen matematikájára is érvényes.

5. Irodalomjegyzék

1. Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában (Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1982)
2. http://hu.wikipedia.org/wiki/Paradoxon