Info3 1. házi feladat

1. feladat

Ábrázolja az x↦x(x-1)(e^(-(x^2))) függvényt és végezzen részletes függvényvizsgálatot. Használja a D (az első és a második derivált kiszámítására) és a Solve függvényt a deriváltak nullahelyeinek meghatározására, az Options[Plot] utasítást az ábra szépítésére. (3 pont)

Antos Kató

Plot[x(x-1) E^(-x^2),{x,-3,3}]

D[x(x-1) E^(-x^2),x]

D[x(x-1) E^(-x^2),{x,2}]

Solve[D[x(x-1) E^(-x^2)==0,x]]

Solve[D[x(x-1) E^(-x^2),{x,2}]==0]

Plot[x(x-1) E^(-x^2),{x,-3,3},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.01]}]

Bartha Zsolt

Plot[x (x-1) (E^(-(x^2))) ,{x,-4,4},PlotRange->{-1,1},PlotStyle->{Red,Thickness[0.01]}]

A függvény (f) gyökei x=0 és x=1, mivel (e^(-(x^2)))mindig pozitív. x<0 és x>1 esetén f(x)>0, 0<x<1 esetén f(x)<0.
A derivált zérushelyei:

sol=Solve[D[x(x-1)(E^(-(x^2))),x]==0,x]

FullSimplify[x/.sol]

N[x/.sol]

Chop[%]

sol[[1,1,2]]

Im[%]//FullSimplify

Select[sol,FullSimplify[Im[#[[1,2]]]]==0&]

Az első zérushely előtt a f szigorúan monoton nő, az első és a második között szigorúan monoton csökken, a második és a harmadik között ismét nő, a harmadiknál nagyobb x-ekre csökken.
A második derivált zérushelyei:

Solve[D[x (x-1) (E^(-(x^2))),{x,2}]==0,x]

Az első zérushelytől balra, valamint a második és a harmadik zérushely között, illetve a negyedik zérushelytől jobbra f konvex, a többi helyen konkáv.

Dér Ervin

(*1. feladat*)
Plot [x(x-1)(E^(-(x^2))),{x,-10,10}]

D[x(x-1)(E^(-(x^2))),{x,1}]

D[x(x-1)(E^(-(x^2))),{x,2}]

Fekete Balázs Samu

Plot[x*(x-1)*Exp[-x^2], {x,-3,3}]

D[x*(x-1)*Exp[-x^2],x]

D[x*(x-1)*Exp[-x^2],{x,2}]

2 ((E^(-(x^2)))-2 (E^(-(x^2))) (-1+x) x)+x (-4 (E^(-(x^2))) x+(-1+x) (-2 (E^(-(x^2)))+4 (E^(-(x^2))) (x^2)))
N[Solve[(E^(-(x^2))) (-1+x)+(E^(-(x^2))) x-2 (E^(-(x^2))) (-1+x) (x^2)==0,x],2]

N[Solve[2 ((E^(-(x^2)))-2 (E^(-(x^2))) (-1+x) x)+x (-4 (E^(-(x^2))) x+(-1+x) (-2 (E^(-(x^2)))+4 (E^(-(x^2))) (x^2)))==0,x],2]

Forberger Klaudia

fg1= x*(x-1)*E^(-x^2)

zérushelyek:

Solve[{fg1 == 0},x]

határérték:

Limit[fg1,x-> Infinity]

Limit[fg1,x-> -Infinity]

ábra:

Plot[{fg1},{x, -3,3}]

D1 = D[fg1,x]

D2 = D[fg1,{x,2}]

D2 = Simplify[D[fg1,{x,2}]]

szélsőértékhelyek:

Solve[{D1 == 0},x]

Solve[{D2 == 0},x]

Options[Plot[{fg1},{x, -3,3}]]

Homoki Tibor

Plot[x*(x-1)*(E^(-(x^2) )), {x, -3,3},ColorFunction->"BlueGreenYellow", PlotLabel -> x*(x-1)*(E^(-(x^2) )), LabelStyle ->Black,ImageSize->{500,500}]

A függvény értelmezési tartománya: ℝ

A függvény zérushelyei:

Solve[x*(x-1)*(E^(-(x^2) ))== 0, x]

A függvény első deriváltja és annak zérushelyei:

D[x*(x-1)*(E^(-(x^2) )), x]

(E^(-(x^2))) (-1+x)+(E^(-(x^2))) x-2 (E^(-(x^2))) (-1+x) (x^2)

Factor[%]

Solve[-(E^(-(x^2))) (1-2 x-2 (x^2)+2 (x^3)) == 0, x]

red=Reduce[-(E^(-(x^2))) (1-2 x-2 (x^2)+2 (x^3)) == 0, x]

x==Root[1-2 #1-2 ((#1)^2)+2 ((#1)^3)&,1]||x==Root[1-2 #1-2 ((#1)^2)+2 ((#1)^3)&,2]||x==Root[1-2 #1-2 ((#1)^2)+2 ((#1)^3)&,3]

mm=List@@(#[[2]]&/@red)

Total[(mm^2)]//Simplify

FindRoot[-(E^(-(x^2))) (1-2 x-2 (x^2)+2 (x^3)) == 0,{x,0}]

FindRoot[-(E^(-(x^2))) (1-2 x-2 (x^2)+2 (x^3)) == 0, {x,1}]

FindRoot[-(E^(-(x^2))) (1-2 x-2 (x^2)+2 (x^3)) == 0 ,{x,-1}]

Monotonitás:   -∞-től -0,855-ig monoton nő, -0,855-től 0,403-ig monoton csökken, 0,403-tól 1,452-ig monoton nő, 1,452-től +∞-ig monoton csökken.

Képletek! Formázás!

Szélsőértékek:  x=-0,855-ben a függvénynek maximuma van, értéke 0,766. x=0,403-ban a függvénynek minimuma van, értéke -0,205. x=1,452-ben a függvénynek lokális maximuma van, értéke 0,08.

Ezek alapján a függvény értékkészlete: { x ϵ ℝ | -0,205 ⩽ f(x) ⩽ 0,766}

A második derivált és annak gyökei:

D[-(E^(-(x^2))) (1-2 x-2 (x^2)+2 (x^3)),x]

Factor[-(E^(-(x^2))) (-2-4 x+6 (x^2))+2 (E^(-(x^2))) x (1-2 x-2 (x^2)+2 (x^3))]

Elég a második tényezőt venni

Solve[2 (E^(-(x^2))) (1+3 x-5 (x^2)-2 (x^3)+2 (x^4)) ==0 ,x]

FindRoot[2 (E^(-(x^2))) (1+3 x-5 (x^2)-2 (x^3)+2 (x^4)),{x,-1}]

FindRoot[2 (E^(-(x^2))) (1+3 x-5 (x^2)-2 (x^3)+2 (x^4)),{x,0}]

FindRoot[2 (E^(-(x^2))) (1+3 x-5 (x^2)-2 (x^3)+2 (x^4)),{x,1}]

FindRoot[2 (E^(-(x^2))) (1+3 x-5 (x^2)-2 (x^3)+2 (x^4)),{x,2}]

A második derivált grafikonja alapján a konvexitás:

A második derivált pozitív -∞-től -1,39-ig és -0,245-től 0,799-ig valamint 1,836-tól +∞-ig, így ezeken a helyeken az eredeti függvény konvex. A többi helyen a második derivált negatív, így ott az eredti függvény konkáv.

Plot[2 (E^(-(x^2))) (1+3 x-5 (x^2)-2 (x^3)+2 (x^4)),{x,-4,4}]

A függvény határétéke végtelenben:

Limit[x*(x-1)*(E^(-(x^2) )), x->-∞]

Limit[x*(x-1)*(E^(-(x^2) )), x->∞]

Options[Plot]

Holubecz Judit

Plot[x (x-1) E^(-x^2),{x,-3,3},PlotStyle->{Green,Thickness[0.01]},AspectRatio->(0.5/GoldenRatio),Filling->Axis,LabelStyle->Blue]

D[x (x-1) E^(-x^2),{x}]

D[x (x-1) E^(-x^2),{x,2}]

Solve[D[x (x-1) E^(-x^2),{x}]==0,x]

Solve[D[x (x-1) E^(-x^2),{x,2}]==0,x]

Limit[x (x-1) E^(-x^2),{x->-Infinity}]

Limit[x (x-1) E^(-x^2),{x->Infinity}]

Picikét szószátyárabbul :)!

Indruck Balázs

Plot[x(x-1)E^(-x^2), {x, -2, 2}, PlotStyle->{Red, Thickness[0.01]}]

D[x(x-1)E^(-x^2), x]

D[x(x-1)E^(-x^2), {x,2}]

Solve[D[x(x-1)E^(-x^2), x]==0, x]

Solve[D[x(x-1)E^(-x^2), {x,2}]==0, x]

Plot3D[x y/(x^2+y^2), {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, PlotStyle->Directive[Green, Specularity[White, 50]]]

Geszler Döme

Ábrázolás

f[x_]:=x (x-1) (E^(-(x^2)))
Plot[f[x],{x,-3,3},PlotStyle->Directive[Orange,Thick,Dashed]]
Options[Plot]

Elválasztás

Zérushelyek

sols=Solve[f[x]==0,x]

Határértékek

Limit[f[x],x->+∞]
Limit[f[x],x->-∞]

Lokális szélsőértékek (f'(x)=0 és f''(x)>0 minimum, f''(x)<0 maximum)

Ls=NSolve[D[f[x],x]==0,x]
f''[Ls[[1,1,2]]]
f''[Ls[[2,1,2]]]
f''[Ls[[3,1,2]]]

f''[x]/.Ls

Abszolút szélsőértékek

Minimize[f[x],x]//N
Maximize[f[x],x]//N

Lehetséges!

Inflexiós pontok

Ls=NSolve[D[f[x],{x,2}]==0,x]

Kiss Ágnes

Plot[x(x-1)(E^(-(x^2))),{x,-3,3},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.005]}, Background-> LightGray]

Options[Plot]

Zérushelyek:

Solve[x(x-1)(E^(-(x^2)))==0,x]

?Limit

Határértékek:

Limit[x(x-1)(E^(-(x^2))),x-> ∞]

Limit[x(x-1)(E^(-(x^2))),x-> -∞]

Limit[x(x-1)(E^(-(x^2))),x-> 0]

D[x (x-1) (E^(-(x^2)))]

Lehetséges szélsőértékek:

Solve[D[x(x-1)(E^(-(x^2)))]==0]

Lehetséges inflexiós pontok

Solve[D[D[x(x-1)(E^(-(x^2)))]]==0]

Ésésés?

Kovács Luca Zsuzsanna

f = x (x-1) (E^(-(x^2)))

Csúf!

függvény ábrázolása:

Plot[fv, {x, -5, 5},ColorFunction->Function[{x,y},If[y>0,Blue,Pink]],ColorFunctionScaling->False,PlotStyle->Thick]

értelmezési tartomány: a függvény mindenhol értelmezve van

zérushely:

Solve[f == 0]

szélsőérték vizsgálata:

dfx = D[f,x]

Solve[%==0]

Minimize[f,x]

Maximize[f,x]

inflexiós pont:

D[dfx,x]

Solve[%==0]

határérték:

Limit[f, x-> ∞]

Limit[f, x-> -∞]

Nagy László

Plot[x(x-1)*E^(-x^2),{x,-4,4}]

Plot[x(x-1)*E^(-x^2),{x,-4,4},ColorFunction->Function[{x,y},If[y>0.3,"DarckRainbow",Black]],PlotStyle -> Thick]

Formázás!

Első derivált

D[x(x-1)*E^(-x^2),x]

Második derivált

D[D[x(x-1)*E^(-x^2),x],x]

D[x(x-1)*E^(-x^2),{x,2}]

Gradiens, Hesse-mátrix

Függvény nullhelyei.
Solve[x(x-1)*E^(-x^2)==0,x]

Első derivált nullhelyei.
Solve[(E^(-(x^2))) (-1+x)+(E^(-(x^2))) x-2 (E^(-(x^2))) (-1+x) (x^2)==0,x]
Második derivált nullehlyei.
Solve[2 (E^(-(x^2)))-6 (E^(-(x^2))) (-1+x) x-4 (E^(-(x^2))) (x^2)+4 (E^(-(x^2))) (-1+x) (x^3)==0,x]

Palej Gréta

(* 1. feladat *)
Plot[x (x-1) E^(-x^2),{x,-5.5,5.5},Frame->True, FrameStyle->Directive[Pink,12],Filling->Axis]

D[x (x-1) E^(-x^2),{x}]

D[x (x-1) E^(-x^2),{x,2}]

Solve[D[x (x-1) E^(-x^2),{x}]==0,x]

Solve[D[x (x-1) E^(-x^2),{x,2}]==0,x]

Pallag Mónika

Plot[x (x-1)E^(-x^2)==0,{x,-2,2}]
D[x (x-1)E^(-x^2)==0,{x}]

D[x (x-1)E^(-x^2)==0,{x,2}]

Solve[D[x (x-1)E^(-x^2)==0,{x}]]

Solve[D[x (x-1)E^(-x^2)==0,{x,2}]]

Plot[x (x-1)E^(-x^2),{x,-2,2}, PlotStyle->{Orange,Thickness[0.001]}]

Pap Máté

Table[Plot[x (x-1) E^(-x^2), {x, -3, 3},Frame->True,FrameLabel->{x,y},PlotLabel->x (x-1) E^(-x^2),LabelStyle->Orange,Filling->f],{f,{Bottom,Axis,0.3}}]

D[x (x-1) E^(-x^2), x]

D[D[x (x-1) E^(-x^2), x],x]

Solve[((E^(-(x^2))) (-1+x)+(E^(-(x^2))) x-2 (E^(-(x^2))) (-1+x) (x^2))==0, x]

Solve[(2 (E^(-(x^2)))-6 (E^(-(x^2))) (-1+x) x-4 (E^(-(x^2))) (x^2)+4 (E^(-(x^2))) (-1+x) (x^3))==0, x]
Limit[x (x-1) E^(-x^2),x->Infinity]

Papp János

f[x]=x*(x-1)*E^(-x^2)

Plot[f[x],{x,-5,5},PlotStyle->{Orange,Thick},Filling->Axis]

Zérushelyek:

Solve[f[x]==0,x]

Szélsőértékhelye:

Solve[D[f[x],x]==0,x]

Inflexiós pontok:

Solve[D[f[x],{x,2}]==0,x]

Torma Lídia Boglárka

D[x(x-1)(E^(-(x^2))), x]

Solve[D[x(x-1)(E^(-(x^2))), x]==0, x]

Az első derivált zérushelyeinél vált előjelet a függvény, ott lehet lokális szélsőértéke. A függvény folytonos, ugyanis minden pontban értelmezve van.

Solve[D[x(x-1)(E^(-(x^2))), {x, 2}]==0, x]

Plot[x(x-1)(E^(-(x^2))), {x, -3, 3}, PlotStyle->{Green,Thickness[0.02]},Background->Gray]

Limit[x(x-1)(E^(-(x^2))), {x -> -Infinity}]

Limit[x(x-1)(E^(-(x^2))), {x-> Infinity}]

Varga Gábor

Plot[x*(x-1)*E^(-x^2),{x,-2,2},Filling->Axis,FillingStyle->{Red,Blue}]

A függvény deriváltja:

D[x*(x-1)*E^(-x^2),x]

A függvény második deriváltja:

D[x*(x-1)*E^(-x^2),{x,2}]

A függvény lehetséges szélsőértékhelyei:

Solve[D[x*(x-1)*E^(-x^2),x]==0,x]

A függvény inflexiós pontjainak lehetséges x koordinátái:

Solve[D[x*(x-1)*E^(-x^2),{x,2}]==0,x]

A függvény zérushelyei:

Solve[x*(x-1)*E^(-x^2)==0,x]

Határértéke végtelenben:

Limit[x*(x-1)*E^(-x^2),x->Infinity]

Határértéke mínusz végtelenben:

Limit[x*(x-1)*E^(-x^2),x->-Infinity]

2. feladat - fvábr

Ábrázolja az (x,y)↦((x y)/((x^2)+(y^2))) függvényt alkalmas tartományon. Használja a Plot3D függvényt, esetleg további alkalmas ábrázolókat, a súgót, és az Options[Plot3D] utasítást. Mit mondhatunk a szélsőértékhelyekről? (2 pont)

Antos Kató

Plot3D[x y/(x^2+y^2),{x,-10,10},{y,-10,10},PlotStyle->Directive[Green,Specularity[White,40]],Mesh->None,PlotPoints->25]

Bartha Zsolt

Plot3D[x y/((x^2)+(y^2)),{x,-10,10},{y,-10,10}]

Solve[{D[x y/((x^2)+(y^2)),x]==0, D[x y/((x^2)+(y^2)),y]==0},{x,y}]

Képletek

Csak ott lehet szélsőérték, ahol az x és y szerinti parciális derivált is 0. Ez x=y és x=-y esetén foRdul elő. Előbbi esetben a függvényérték mindig 0,5, utóbbi esetben mindig -0,5. Így előbbi esetben mindenhol maximum, utóbbiban mindenhol minimum van, kivéve a két egyenes közös pontját, az x=y=0-t, mivel ott a függvény nincs értelmezve.

Det[D[x y/((x^2)+(y^2)),{{x,y},2}]]//Together//Factor

Dér Ervin

Plot3D[((x y)/((x^2)+(y^2))),{x,-5,5},{y,-5,5}]

Forberger Klaudia

f= ((x*y)/(x^2+y^2))

Plot3D[f,{x,-2,2},{y,-2,2}]

Options[Plot3D[f,{x,-2,2},{y,-2,2}]]

Plot3D[f,{x,-10,10},{y,-10,10}]

Options[Plot3D]

Geszler Döme

Ábrázolás

g[x_,y_]:=(x y)/(x^2+y^2)
Plot3D[g[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},PlotStyle->Directive[Orange,Specularity[Green,60]],Background->LightGray]
Options[Plot3D]

Szélsőértékek

Lx=NSolve[D[g[x,y],x]==0,{x,y}]
Ly=NSolve[D[g[x,y],y]==0,{x,y}]
L=Intersection[Lx,Ly]
g[( L[[1,1,2]]),(L[ [1,2,2]])]
Minimize[g[x,y],{x,y}]
Maximize[g[x,y],{x,y}]

Holubecz Judit

Plot3D[((x y)/(x^2+y^2)),{x,-10,10},{y,-10,10
},PlotStyle->Directive[Purple,Specularity[Purple,30]],Mesh->None,AxesStyle->{Red,Green,Blue},BoxStyle->Directive[Dashed]]

(*A 0-ban nem létezik határértéke.*)

Miért nem? És: mi volt a kérdés?

Homoki Tibor

A függvény ábrázolása:

Plot3D[(x y)/((x^2)+(y^2)), {x,-10,10},{y,-10,10}, Axes->False,BoundaryStyle->Directive[Blue,Thick],ImageSize->{500,500}]

Options[Plot3D]

Szélsőérték:  deriváljuk mindkét változó szerint és megkeressük a deriváltak zérushelyeit.

D[(x*y)/((x^2)+(y^2)),x]

D[(x*y)/((x^2)+(y^2)),y]

Solve[{-((2 (x^2) y)/((((x^2)+(y^2)))^2))+(y/((x^2)+(y^2)))==0, -((2 x (y^2))/((((x^2)+(y^2)))^2))+(x/((x^2)+(y^2))) ==0},{x,y}]

Ha x=y, akkor a függvény értéke 0,5, ami lokális maximum, ha x=-y, akkor a függvény értéke -0,5, ami lokális minimum.

Kiss Ágnes

Plot3D[((x y)/((x^2)+(y^2))),{x,0,10},{y,0,10},PlotStyle->Directive[White,Specularity[Blue,60]], Background-> LightGray]

Options[Plot3D]

?Plot3D

Kovács Luca Zsuzsanna

g=((x y)/((x^2)+(y^2)))
e = xy /( x^2 + y^2)

Plot3D[g,{x,-50,50},{y,-25,25},ColorFunction->Automatic]

Options[Plot3D]
Plot3D[xy / (x^2 + y^2),{x,-2,2},{y,-2,2},Background->Black,Mesh->None,AxesStyle->White,Boxed->False]
Plot3D[g, {x,-10,10}, {y,-5,5}, Background -> Blue, Mesh -> None, AxesStyle -> Pink, Boxed -> False]

?Plot3D

Nagy László

Plot3D[(x*y)/(x^2*y^2),{x,-2,2},{y,-2,2}]

Szélsőértékek a tengelyek mentén.Factor

Palej Gréta

(* 2. feladat *)

Plot3D[(x y)/(x^2+y^2),{x,-4.5,4.5},{y,-7.5,7.5},MeshStyle->Pink ]

(*A 0-ban nincs határértéke.*)

Pallag Mónika

Plot3D[x y/(x^2+y^2),{x,-9,9},{y,-9,9},PlotStyle->Directive[Red,Specularity[Blue,1]],Mesh->None,PlotPoints->4]

Pap Máté

Plot3D[(x y)/(x^2+y^2), {x, -5, 5}, {y, -5, 5},PlotStyle->Directive[Orange,Specularity[Black,40]],PlotPoints->50]

Papp János

Plot3D[x*y/(x^2+y^2),{x,-5,5},{y,-5,5},ColorFunction->Function[{x,y,z},RGBColor[x,y,0.]],BoundaryStyle->Thick]

Torma Lídia Boglárka

Plot3D[((x y)/((x^2)+(y^2))), {x, -15, 15}, {y, -15,15}, PlotStyle -> Directive[Brown, Specularity[White, 30]], Mesh -> None,Background->LightBlue,Lighting->Automatic, PlotPoints -> 10]

Varga Gábor

Plot3D[x*y/(x^2+y^2),{x,-1,1},{y,-1,1},Mesh->10,ColorFunction->Function[{x,y,z},Hue[.65(1-z)]]]

3. feladat - Manipulate

A Manipulate parancs felhasználásával készítsen egy egyszerű szemléltető ábrát a Cesaro-összeg meghatározására. (3 pont) Milyen tételeket talál ebből a témakörből?

Antos Kató

Manipulate[Plot[1/n(∑_(i=1)^n)1/i,{n,0,n/2},PlotLabel->{n}],{n,1,100,1}]

Manipulate[Plot[1/n(∑_(i=1)^n)1/i,{n,0,k/2},PlotLabel->{k}],{k,1,100,1}]

Limit[1/n(∑_(i=1)^n)1/i,n->+∞]

Hyperlink["Ezmiez?","http://www.youtube.com/watch?v=BvvC3BfMcZI"]

Bartha Zsolt

Egy (∑_(i=0)^∞)f(i)  sor Cesaro-összegén a lim_(k->∞)(1/(k+1))(∑_(j=0)^k)(∑_(i=0)^j)f(i) határértéket értjük (ha létezik). Ha az eredeti sor konvergens, és a határértéke A, akkor a Cesaro-összege is A. Viszont Cesaro-összeg akkor is létezhet, ha az eredeti sor nem konvergens. Például az {1,-1,1,-1,1,...}={(((-1))^n)} sorozatból képzett sor divergens, de Cesaro-összege mégis létezik (0). A Cesaro-összegzés konvergenciáját az alábbi ábra szemlélteti:

Manipulate[ListPlot[Table[(1/(k+1)) (∑_(j=0)^k)(∑_(i=0)^j)(((-1))^i),{k,n}]],{n,1,100}]

Forberger Klaudia

Manipulate[Limit[Sum[]/n,]n -> Infinity]

Geszler Döme

Manipulate[DiscretePlot[s,{m,10,p},PlotRange->{{10,p},{0.85,1}},Filling->(1/2) Cot[(1/2)],AxesOrigin->{10,0.85},ImageSize->{475,350},ImagePadding->25],{{p,100},100,2000,5},
Initialization:>{s=(((∑_(n=0)^m)((∑_(k=0)^n)Sin[k]))/(m+1))}]

Homoki Tibor

Cesaro szummázás:

Manipulate[Plot[s,{m,10,p},PlotRange->{{10,p},{0.85,1}},ImageSize->{475,350},AxesOrigin->{10,0.85},ImagePadding->25],{{p,100,"Cesaro-szummázás"},100,2000,5},
Initialization:>{s=(((∑_(n=0)^m)((∑_(k=0)^n)Sin[k]))/(m+1))}]

Tételek a témakörből: ha (Subscript[S, n]) =(Underoverscript[ ∑, (k=0), n])(Subscript[a, k]),   és (Subscript[σ, n]) =  (1/(n+1)) (Underoverscript[ ∑, (k=0), n])(Subscript[S, k]),  valamint (Subscript[P, a])(x) = (Underoverscript[ ∑, (k=0), n])(Subscript[a, k])(x^k)  és R a sor konvergenciasugara, akkor
     -  Abel-tétel:   ha  lim (Subscript[S, n ])=S, amint n→∞, akkor R⩾1, és S=lim (Subscript[P, a])(x), amint x→1-0
     -  Frobenius tétel:  ha lim (Subscript[σ, n ])=S, amint n→∞, akkor R⩾1, és S=lim (Subscript[P, a])(x), amint x→1-0
     - A sor Cesaro 1 összegezhető, ha ((Subscript[σ, n])^((1))) =  (1/(n+1)) (Underoverscript[ ∑, (k=0), n])(Subscript[S, k])
     - A sor Cesaro 2 összegezhető, ha ((Subscript[σ, n])^((2))) = (1/(n+1)) (Underoverscript[ ∑, (k=0), n])((Subscript[σ, k])^((1)))

Holubecz Judit

Manipulate[(∑_(k=1)^n)((∑_(i=1)^k)1/i)(1/n),{n,2,100}]
Limit[(∑_(k=1)^n)((∑_(i=1)^k)1/i^2)(1/n),{n->Infinity}]

Indruck Balázs

Manipulate[Plot[1/ x (∑_(k=1)^x)1/k^2, {x, , x}, PlotLabel->{x}], {x, 1, 100, 1}]

Kiss Ágnes

Manipulate[(1/m) (∑_(n=0)^m)(∑_(k=0)^n)Sin[k],{m,1,10,1}]

Limit[(1/m) (∑_(n=0)^m)(∑_(k=0)^n)Sin[k],m->∞]

Manipulate[Plot[s,{m,10,p},PlotLabel->{p}],{{p,100},100,500},
Initialization:>{s=(((∑_(n=0)^m)((∑_(k=0)^n)Sin[k]))/m)}]

Manipulate[(∑_(k=0)^n)(((-1))^k),{n,0,10,1}]

Manipulate[(1/m) (∑_(n=0)^m)(∑_(k=0)^n)(((-1))^k),{m,1,15,1}]

Limit[(1/m) (∑_(n=0)^m)(∑_(k=0)^n)(((-1))^k),m->∞]

Kovács Luca Zsuzsanna

(* nekem ez a feladat nem ment egyedül, ezért kértem segítséget *)

Szabad :)

(Subscript[a, k])=(((-1))^(k+1))

h=Limit[(1/n) Sum[(Subscript[a, k]),{k,1,n}],n->∞]

Manipulate[Plot[(1/n)Sum[k,{k,1,n}],{k,1,n}],{n,2,40}]

Nagy László

Manipulate[1/n (∑_(k=1)^n)((∑_(p=1)^(k
))1/(p^2)),{n,1,1000}]

Palej Gréta

(* 3. feladat *)

Manipulate[(∑_(i=1)^n)((∑_(j=1)^i)j^2)(1/n),{n,2,20}]

Pallag Mónika

Manipulate[Plot[1/n (∑_(i=1)^n)1/i, {n, 0,
   n/2}, PlotLabel -> {n}], {n, 1, 100, 1}]

Pap Máté

Manipulate[(1/n)[Sum[Sum[a^2,{a,1,k}],{k,1,n}]], {n,2,60}]

Torma Lídia Boglárka

Manipulate[(∑_(k=1)^n)((∑_(i=1)^k)i)(1/n),{n,1,100}]
Limit[(∑_(k=1)^n)((∑_(i=1)^k)1/i^2)(1/n),{n->Infinity}]

Varga Gábor

f[x_]:=x^2;
s[k_]:=Sum[f[i],{i,k}]
Manipulate[(1/n)*Sum[s[i],{i,n}],{n,1,100}]

4. feladat

Az alábbi mintára készítsen animációt:

Animate[Plot[t((x^2)-1)+(1-t)(-(x^2)),{x,-1,1},Axes->False,
PlotLabel->Row[{"Félév ",Style["\neleje",GrayLevel[t]],Style["\nvége",GrayLevel[1-t]]}],Epilog->{Circle[{0,1},3],Disk[{1,2},.3],Disk[{-1,2},.3],Line[{{0,0.6},{0,1.6}}]},PlotRange->{{-3,4},{-3,4}},AspectRatio->1],{t,0,1},AnimationRunning->False]

Kiss Ágnes

Animate[Plot[Sin[a x],{x,-1,2.5},PlotRange->2,Axes->False, Epilog->{Brown,Disk[{0,0.5},0.6,{Pi,2 Pi}],Line[ {{0,0.5},{0,0.7}}],Line[{{-0.5,0.7},{0.5,0.7},{0,1.7},{-0.5,0.7}}]},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},AspectRatio->1, Background->LightBlue],{a,-1,1}]

?Disk

?Line

Még

Manipulate[Graphics[{Circle[{0,0},10],Circle[{-3,4},{1.5,2}],Circle[{3,4},{1.5,2}],Circle[{-3+x,3.5},0.5],Circle[{3+x,3.5},0.5],Circle[{0,0},1.5,{3Pi/4,9Pi/4}],Circle[{0,0},6,{9Pi/8,15Pi/8}],Circle[{-6,-0.8},1.5,{10Pi/8,15Pi/8}],Circle[{6,-0.8},1.5,{9Pi/8,14Pi/8}]}],{x,-0.9,0.9}]

Manipulate[D[(∑_(k=0)^p)(Subscript[a, k])(x^k),{x,n}],{{p,5,"Polinom fokszáma: "},0,7,1},{{n,0,"Deriválások száma: " },0,p+1,1}]

Manipulate[Plot[Cos[x/(a^2 + x)], {x, -10 , 10}], {a, -5, 5}, ControlType->Slider2D,ControlPlacement->Left]

A a logisztikus regresszió alapfüggvényének, a logisztikus függvénynek (x -> 2/(1+e^(-t x))-1) grafikonja különböző t paraméterekkel.
Látható, hogy nagy t-re a függvény közelít a sign(x) függvényhez.

Manipulate[Plot[2/(1+E^(-t x))-1,{x,-2,2}],{t,0,100,1}]

Az elmélet folytatása

Számolás sorokkal

Series[Exp[x],{x,0,3}]

ComposeSeries[Series[Exp[x],{x,0,10}],Series[Sin[x],{x,0,10}]]

Series[Exp[Sin[x]],{x,0,10}]

Plot[ Evaluate[Map[Tooltip,Normal[Series[Sin[x],{x,0,#}]]&/@(2Range[8])]],{x,0,2π},PlotRange->{-2,2},Ticks->{Range[0,2π,π/4],{-1,0,1}},Epilog->First@Plot[{1,Sin[x],-1},{x,0,2π},PlotStyle->{Blue,Thick,Red}]]

Extrapolálásra nem!

InverseSeries[Series[ff[x],{x,0,3}],y]

InverseSeries[Series[Sin[x],{x,0,10}]]

InverseSeries[(x^2)+3(x^4)+((O[x])^8),y]

InverseSeries[%,x]

A Newton-módszer

InverseSeries[Series[ff[x],{x,a,1}]]

Normal[%]/.x->0

A Newton-módszer finomítása

InverseSeries[Series[ff[x],{x,a,3}]]

Normal[%]/.x->0

Ld. még: differenciálegyenletek megoldása

Szimbolikus deriválás

poly=Plus@@((Range[4]+2)(x^(Range[4]-1)))-5

Range[4]+2

(x^(Range[4]))

(Range[4]+2)(x^(Range[4]-1))

(Range[4]+2).(x^(Range[4]-1))

ClearAll[d];
d[x_+y_]:=d[x]+d[y]

d[poly]

d[c_ x_]:=c d[x]/;FreeQ[c,x]

d[poly]

d[c_]:=0/;FreeQ[c,x]

d[c_/;FreeQ[c,x]]:=0

d[poly]

d[((x_)^(n_))]:=n (x^(n-1))/;FreeQ[n,x]

d[poly]

d[((x_)^(n_.))]:=n (x^(n-1))/;FreeQ[n,x]

d[poly]

?d