Konzulens: Rónyai Lajos
A dolgozat témája a véges dimenziós algebrák reprezentációelméletéből ered. Legyen A egy struktúra-konstansokkal megadott asszociatív algebra egy K algebrai számtest felett, mely izomorf az Mn(K) teljes mátrixalgebrával. Célunk explicite megkonstruálni egy A→Mn(K) izomorfizmust. Tekintsük a K=Q esetet. Egy izomorfizmus előállításához találnunk kell egy kis Frobenius-normájú egy rangú elemet egy A-beli Λ maximális orderben, ahol a Frobenius-norma A egy Mn(R)-be való tetszőleges beágyazásából származik (egy A-beli maximális order lényegében nem más, mint Mn(Z) egy reguláris racionális mátrix általi transzformáltja). Továbbá az algoritmus lépésszámának meghatározásához az ilyen egy rangú mátrixok normájára éles felső korlátot kell találnunk.
A probléma vizsgálatához euklideszi terek rácsait használjuk, így kapcsolatot létesítve a rácsok elmélete és az algebrák reprezentációelmélete között. Maga a probléma azon kívül, hogy önmagában is érdekes, több számelméleti és algebrai geometriai nyitott problémához is kapcsolódik, többek között a híres Birch és Swinnerton-Dyer-sejtéshez.
Egy új cikkben Ivanyos Gábor, Rónyai Lajos és Josef Schicho megmutatta, hogy Λ-ban lennie kell n-nél kisebb Frobenius-normájú egy rangú mátrixnak. A bizonyítást kissé átalakítva látható, hogy a tétel akkor is igaz, ha n helyett a γn Hermite-konstanst választjuk felső korlátnak. Így természetes a kérdés, hogy ez a korlát éles-e, azaz létezik-e egy reguláris valós P mátrix, amire PAP-1 normájának minimuma a Λ-beli egy rangú A mátrixok körében γn.
Ebben a dolgozatban a téma hátterének ismertetése és a szükséges fogalmak bevezetése után először általános tételeket bizonyítunk be az egy rangú mátrixok normaminimumának felső korlátjáról. Konkrétan megmutatjuk, hogy az éles felső korlát az úgynevezett Bergé-Martinet-konstans. Ezután alacsony dimenzióban vizsgáljuk meg a kérdést, ahol ezen konstansok és az ezeket elérő ún. Hermite-, ill. Bergé-Martinet-kritikus rácsok ismertek. Bebizonyítjuk az Hermite-konstans mint felső korlát optimalitását 2, 4, 8 és 24 dimenzióban, és ismertetjük a Bergé-Martinet konstanst elérő rácsokat 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 és 24 dimenzióban. A dolgozat végén további érdekes nyitott kérdéseket is felvetünk.
Ez a 2011-es kari TDK konferenciára benyújtott dolgozatom magyar nyelvű összefoglalója. Maga a dolgozat elolvasható itt.
A dolgozat és a hozzá tartozó előadás a 2011. évi kari TDK konferencián a diszkrét matematika szekcióban I. helyezést, valamint rektori különdíjra felterjesztést nyert.