Homologikus algebra

2011/2012. II. félév

Rotman: An Introduction to Homological Algebra
MacLane: Homology
Drozd--Kirichenko: Finite Dimensional Algebras, 11. fejezet: Elements of Homological Algebra

1. előadás (szeptember 6.) Moduluselméleti alapok, projektív és injektív modulus definíciója, jellemzése, Baer-kritérium. Projektívek és injektívek leírása Z és véges dimenziós algebra fölött.

2. előadás (szeptember 13.) Minden modulus beágyazható injektívbe (bizonyítás Abel-csoportokra). Reguláris modulus felbontása direkt összegre. Gráfalgebrák és Loewy-diagramok.

Beadandó házi feladatok:
Hf1. Egy gyűrűt öninjektívnek hívunk, ha RR injektív. Bizonyítsuk be, hogy Z minden valódi faktorgyűrűje öninjektív, de Z nem az.
Hf2. Írjuk fel az A=KΓ/I algebra direkt felbonthatatlan modulusainak Loewy-diagramját, ha Γ az {1,2,3} csúcshalmazon definiált gráf, az α:1→2, β:2→1, γ:2→3 és δ: 3→2 nyilakkal, és I=(αβ, βα-γδ, δβ, δγ).

3. előadás (szeptember 20.) Kategóriák és funktorok. Additív és egzakt funktorok moduluskategóriákon. A Hom(M,-) és Hom(-,N) funktorok. Modulusok lánc- és kolánckomplexusai, homológiák és kohomológiák.

Hf3. Bizonyítsuk be, hogy Z-nek a Q-ba való beágyazása epimorfizmus a gyűrűk kategóriájában.

4. előadás (szeptember 27.) Homotóp és homológ láncleképezések, ill. komplexusok. Homotóp láncleképezések homológok, de visszafelé nem következik (ld. Hf.4). Additív funktor megőrzi a homotópiát. Homológiák hosszú egzakt sorozata.

Beadandó házi feladatok:
Hf4. Egy rövid egzakt sorozat pontosan akkor homotóp a 0• sorozattal, ha felhasadó.
Hf5. Komplexusok 0•→X•→ Y•→Z•→0• rövid egzakt sorozatához tartozó homológiák hosszú egzakt sorozatában az egzaktság bizonyítása Hn(Y)-nál.

5. előadás (október 4.) A homológiák összekötő leképezése természetes. Kígyó-lemma. Projektív és injektív feloldás. Ha adott egy N-ben végződő egzakt lánc és egy M-ben végződő (M-en kívül) projektívekből álló lánc, akkor tetszőleges f:M→N homomorfizmus kiterjeszthető láncleképezéssé. Köv.: a projektív feloldás homotópia erejéig egyértelmű. Derivált funktorok definíciója. Patkó-lemma, deriváltfunktorok hosszú egzakt sorozata.

6. előadás (október 11.) Egzakt, balegzakt, jobbegzakt funktorok; a Hom(M,-) és Hom(-,N) funktor balegzakt kovariáns, illetve kontravariáns. A derivált funktorok axiomatikus jellemzése. Extn(M,N) definíciója Hom(M,-) és Hom(-,N) derivált funktorával ugyanazt adja.

Beadandó házi feladat:
Hf6. Bizonyítsuk be, hogy egy additív kovariáns funktor akkor és csak akkor visz minden rövid egzakt sorozatot jobbról egzaktba (0→X→Y→Z→0 egzakt => F(X)→F(Y)→F(Z)→0 egzakt), ha minden X→Y→Z→0 egzaktra F(X)→F(Y)→F(Z)→0 egzakt.

7. előadás (október 18.) Extn(M,N) kiszámítása a hosszú egzakt sorozatból. Modulusok bővítései, bővítések ekvivalenciája, Ex(M,N). Felhasadó bővítések. Pullback és pushout. ξ∈Ex(M,N), f∈Hom(M',M), g∈Hom(N,N')-re fξ és ξg definíciója.

8. előadás (október 25.) Zh feladatok megbeszélése. fξ és ξg jól van definiálva a bővítések ekvivalenciaosztályain, f(ξg)=(fξ)g. Bővítések Baer-összege.

Beadandó házi feladatok:
Hf7. Adjunk meg Ex1(Z3,Z3)-ban két nem ekvivalens, nem felhasadó bővítést.
Hf8. Határozzuk meg az Ext1(Zpn,Zqm) csoportot, ahol p, q (nem feltétlenül különböző) prímek.

9. előadás (november 9.) A Baer-összeg. Ex(M,N) Abel-csoport a Baer-összegre nézve, és End(M)-End(N)-bimodulus. Ex(-,-) bifunktor. Bővítések Yoneda-szorzata, n hosszú bővítések ekvivalenciája. Példa: Ex(Z4,Z4).

10. előadás (november 16.) Minden bővítés ekvivalens egy olyan bővítéssel, amelynek az első kivételével a többi közbülső tagja projektív. Exn(M,N) Abel-csoport, sőt End(M)-End(N)-bimodulus. Exn(-,-) és Extn(-,-) természetesen izomorf bifunktorok. Modulusok tenzorszorzata.

Beadandó házi feladat:
Hf9. Legyen Γ: 1→2→3 gráf (az első nyíl α, a második β), A a KΓ gráfalgebra, és B=A/I, ahol I=(αβ). Bizonyítsuk be, hogy a 0→S(3)→PB(2)→PB(1)→S(1)→0 bővítés A fölött 0, de B fölött nem. (Használjuk például az Exn és Extn közötti izomorfizmust!)
Hf10. Bizonyítsuk be, hogy Q-nak önmagával vett Z fölötti tenzorszorzata izomorf Q-val.

11. előadás (november 23.) Hom és tenzorszorzat bimodulusokon. Adjungált funktorok. A -⊗RB és HomS(B,-) funktorok adjungáltak egy RBS bimodulusra. Minden modulus beágyazható injektívbe. Generátor és kogenerátor. Mod-R-ben van projektív generátor és injektív kogenerátor.

12. előadás (november 30.) Projektív, injektív, generátor és kogenerátor modulusok jellemzése sorozatok és Hom funktorral vett képük egzaktságának kapcsolatával. A tenzor funktor jobbegzakt. Torn(M,N) definíciója, visszavezetése az Ext-re véges dimenziós algebra fölötti modulus esetén. Projektív és injektív dimenzió definíciója, és ekvivalens jellemzései. Egy rövid egzakt sorozat tagjainak projektív dimenziói közötti kapcsolat. Globális dimenzió definíciója, és kiszámítása általában, illetve Artin-gyűrű fölött.

Beadandó házi feladat:
Hf11. Bizonyítsuk be, hogy egy MR modulus akkor és csak akkor generátor, ha valamilyen véges n-re RR direkt összeadandója az M modulus n példányából alkotott direkt összegnek.