Egymintás egyoldali t-próba (ismétlés)

Korábban már volt róla szó, hogy nem csak egyenlőséget tesztelhetünk. Egyoldali esetben a hipotéziseink így módosulnak: $$H_0: \mu \le \mu_0 \quad\text{vs.}\quad H_1: \mu > \mu_0$$ vagy: $$H_0: \mu \ge \mu_0 \quad\text{vs.}\quad H_1: \mu < \mu_0$$

Fontos, hogy ez nem fog változtatni a kiszámolt statisztika értékén, csak az elfogadási intervallum fog kibővülni az egyik irányba (az első esetben balra $-\infty$ felé, míg a második esetben jobbra $\infty$ felé). Hiszen azzal, hogy az egyik irányú kilengés $\mu_0$-hoz képest átkerül a $H_0$-ba, ezek a kilengések már nem számítanak nekünk “extrémnek”, csak a másik irányba esők. Ez a $p$-érték fenti egyoldali definícióiból is látszik.

Kétmintás kétoldali t-próba (ismétlés)

Független kétmintás egyoldali t-próba (ismétlés)

A kétmintás t-próba mindkét fenti változatára létezik egyoldali változat is. A próbastatisztikák értéke ismét nem fog változni, csak az elfogadási/kritikus intervallum, és ezáltal a $p$-érték. Az iménti betegek vs. egészséges példára, először legyen: $$H_0: \mu_X \le \mu_Y \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu_X > \mu_Y$$ Vagyis azt tesztelnénk, hogy az egészségeseknél magasabb a koleszterinszint. Megjegyezzük, hogy nem ez a természetes feltételezés a példában, de ettől függetlenül tesztelhető.

Összetartozó kétmintás t-próba

Az összetartozó kétmintás t-próbát akkor használjuk, amikor a minták összefüggnek, azaz egy mintát/populációt kétszer tesztelünk (repeated measures), vagy amikor két mintánk van, amik összetartoznak (paired/matched). Az első esetre egy példa: amikor ugyanazoknak a betegeknek mérjük meg a koleszterinszintjüket mondjuk 2 és 4 nappal szívinfarktus után. A másodikra példa a hallgatók matematika és fizika érettségi eredményei.

Ekkor a következő háttéreloszlásunk és mintánk van:

• $(X, Y)$ kétdimenziós háttérváltozó,
  • $\mathbb{E}(X) = \mu_X, \mathbb{E}(Y) = \mu_Y$ léteznek,
• $Z = X - Y$ különbség változó normális eloszlású

Hipotézisek

$$H_0: \mu_X = \mu_Y \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu_X \neq \mu_Y$$ Látjuk, hogy a hipotéziseink ugyanazok, mint a független kétmintás esetben, de könnyen látható, hogy valójában egymintás tesztet végzünk: $$H_0: \mu_X - \mu_Y = 0\quad \text{vs.} \quad H_1: \mu_X - \mu_Y \neq 0,$$ ami a várható érték linearitása miatt: $$H_0: \mu_Z = 0\quad \text{vs.} \quad H_1: \mu_Z \neq 0.$$ Tehát látható, hogy valójában a $Z$ különbségváltozóra kell sima egymintás t-próbát végeznünk.

Megj.: Ennek a kétmintás próbának az egyoldali esete ugyanígy átírható a különbségváltozóra nézett egymintás próbára.

Megj.: Vegyük észre, hogy a szórásokra a fentiek miatt nincs és nem is kell semmilyen feltevés.

cholestr <- read.delim("./cholestr.txt") 

t.test(cholestr$Day2, cholestr$Day4, paired = TRUE)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  cholestr$Day2 and cholestr$Day4
## t = 3.2189, df = 27, p-value = 0.003337
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   8.442836 38.128593
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                23.28571

Manuálisan elkészítve a különbségváltozót, és arra futtatva a t-próbát, láthatjuk, hogy az output a hipotézis szöveges leírásán kívül ugyanaz.

cholestr$Day2diff4 <- cholestr$Day2 - cholestr$Day4
t.test(cholestr$Day2diff4)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  cholestr$Day2diff4
## t = 3.2189, df = 27, p-value = 0.003337
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   8.442836 38.128593
## sample estimates:
## mean of x 
##  23.28571

Összetartozó mintás tesztnél a két minta elemszáma szükségszerűen megegyezik, de a legtöbb program valahogy kezeli ezt a problémát. Az R ebben az esetben annyit tesz, hogy csak azokat a párokat veszi figyelembe, ahol mindkét változóra van mérés. Ha most a 2. napi koleszterinszintet a 14. napival akarjuk most összehasonlítani, akkor csak azokat veszi figyelembe, akik visszamentek a 14. napi mérésre is, ez látható lent, ha a szabadsági fokra nézünk, de a dokumentáció is írja.

t.test(cholestr$Day2, cholestr$Day14, paired = TRUE)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  cholestr$Day2 and cholestr$Day14
## t = 3.2883, df = 18, p-value = 0.004085
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  13.7215 62.2785
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                      38

F-próba a varianciák egyezésére

Azt teszteli, hogy két független, normális eloszlású minta ($X_1,\dots, X_n$ és $Y_1,\dots, Y_m$) háttérváltozóinak szórása ($\sigma_X,\sigma_Y$) megegyezik-e. Az eddigi jelölésekkel a hipotézisek: $$H_0:\ \sigma_X = \sigma_Y \quad\text{vs.}\quad H_1:\ \sigma_X \neq \sigma_Y$$ A próbastatisztika és annak eloszlása $H_0$ esetén: $$F=\frac{(s_X^*)^2}{(s_Y^*)^2} \underset{H_0}{\sim} F_{(n-1,m-1)},$$ ahol $F_{(n-1,m-1)}$ az $n-1$ és $m-1$ szabadsági fokú F-eloszlás. Itt $n$ az $X$-hez tartozó, míg $m$ az $Y$-hoz tartozó minta mérete.

Most végezzünk F-tesztet a betegek 2. napi és a kontrollcsoport koleszterinszintjei között a szórásokra.

cholestg<-read.delim("http://www.statsci.org/data/general/cholestg.txt")

kontrol<-subset(cholestg,group==2)
beteg2<-subset(cholestg,group==1 & day==2)

var.test(kontrol$cholest, beteg2$cholest)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  kontrol$cholest and beteg2$cholest
## F = 0.21847, num df = 29, denom df = 27, p-value = 0.0001168
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.1019903 0.4631656
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.2184659

A p-érték alapján 0.05, 0.01 és 0.001 szignifikancia mellett is elutasíthatjuk a $H_0$-t, tehát kijelenthető, hogy a betegek (2. napi) és a kontrollcsoport koleszterinszintjének szórásai különböznek (a próba feltételeinek fennállása esetén).

Megjegyzés: Az F-statisztika ugyan függ attól, hogy melyik korrigált empirikus szórás kerül a számlálóba és melyik a nevezőbe, de ez az F-eloszlás két paraméterét is megcseréli, így a p-érték végül nem fog változni:

var.test(beteg2$cholest, kontrol$cholest)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  beteg2$cholest and kontrol$cholest
## F = 4.5774, num df = 27, denom df = 29, p-value = 0.0001168
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  2.159055 9.804853
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           4.577373

Megjegyzés: A legtöbb olyan hipotézistesztet, ahol a próbastatisztika eloszlása F-eloszlású egységesen F-tesztnek nevezünk, így mindig hozzátesszük, mit is tesztelünk, lásd fenn.

Az F-próba módosítható úgy, hogy a tesztelendő hipotézis ne az egyezés, hanem a a varianciák hányadosának egy konstanssal való egyezése legyen. (Az egyezés vizsgálatánál azt teszteljük, hogy ez a konstans 1-e.) Ezt itt most nem részletezzük, de az R fv. ratio paraméterével kipróbálható, pl.:

var.test(beteg2$cholest, kontrol$cholest, ratio = 5)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  beteg2$cholest and kontrol$cholest
## F = 0.91547, num df = 27, denom df = 29, p-value = 0.8206
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 5
## 95 percent confidence interval:
##  2.159055 9.804853
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           4.577373

Itt a p-érték alapján elfogadható az az új nullhipotézis, hogy a betegek 2. napi koleszterinjének varianciája 5-szöröse a kontrollcsoporténak.

A tesztek alapfeltevéseit sokszor nem tudjuk teljes magabiztossággal elfogadni, ezért mindig szükséges az adatok grafikus vizsgálata is valamilyen ábrával, mint a korábbi laborokon már szereplő box-plot.

datatoplot<-rbind(beteg2, kontrol)
boxplot(cholest~group, data = datatoplot)

A ggplot2 boxplot megoldása talán kicsit szebb. Megjegyzés: ez igényli, hogy a változót (beteg/kontroll), amely szerint az adott kimenetet (koleszterinszint) összehasonlítjuk, azt factor-rá alakítsuk. Így tudja az R, hogy az adott változó diszkrét/kategorikus.

library(ggplot2)
ggplot(datatoplot, aes(x=as.factor(group), y=cholest)) + 
geom_boxplot()

Ez alapján szemléletesebben is látható a fenti szignifikáns különbség a varianciában.

Ez F-próbák nagyon érzékenyek a normalitásra. Vannak más komplexebb tesztek is a szórások vizsgálatára, amelyek erre nem annyira érzékenyek, pl. a Brown–Forsythe-test

Mann–Whitney próba

cholestg <- read.delim("./cholestg.txt") 

egeszsegesek = cholestg[cholestg$group == 2, "cholest"]

betegek = cholestg[cholestg$group == 1 & cholestg$day == 4, "cholest"]

wilcox.test(egeszsegesek, betegek)

## Warning in wilcox.test.default(egeszsegesek, betegek): cannot compute exact p-value with
## ties

## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  egeszsegesek and betegek
## W = 164, p-value = 6.911e-05
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

mean(egeszsegesek)

## [1] 193.1333

mean(betegek)

## [1] 230.6429

Wilcoxon-féle előjeles rang próba (Wilcoxon signed-rank test)

A Wilcoxon-féle előjeles rang próba az összetartozó kétmintás $t$-próba nemparaméteres megfelelője, amivel azt lehet vizsgálni, hogy két összefüggő minta ugyanabból az eloszlásból (vagy azonos eloszlású populációkból) származnak-e.

Feltételek

• A megfigyelések az $(X, Y)$ kétdimenziós háttérváltozóból származnak (az adatok legalább intervallumskálán vannak, hogy tudjunk különbségváltozót számolni, azaz nem elég ha csak ordinálisak a megfigyelések).
• A $Z = X - Y$ különbségváltozó folytonos és szimmetrikus eloszlású mediánja körül.

Hipotézisek

$H_0$: A különbségváltozó a 0 körül szimmetrikus eloszlású
$H_1$: A különbségváltozó a 0 körül nem szimmetrikus eloszlású

$$H_0: \mathbb{P}(X > Y) = \mathbb{P}(Y > X) = \frac{1}{2} \quad \text{vs.} \quad H_1: \mathbb{P}(X > Y) \neq \frac{1}{2}$$

vagy ekvivalensen

$$H_0: \mathbb{P}(Z > 0) = \frac{1}{2} \quad \text{vs.} \quad H_1: \mathbb{P}(Z > 0) \neq \frac{1}{2}$$

A próba számítása

1. Kiszámoljuk a $Z_1 = X_1 - Y_1, \dots, Z_n = X_n - Y_n$ különbségeket
2. Eldobjuk azokat a $Z_i$-ket amik nullák, és ezután rangsoroljuk a maradékot az abszolútértékük alapján, azaz rangsoroljuk a $|Z_i| = |X_i - Y_i|$ elemeket.
3. A próba próbastatisztikája az előjeles rangösszeg, azaz $\sum \mathrm{sgn}(Z_i) \cdot \mathrm{rg}(|Z_i|)$, ahol $\mathrm{rg}(|Z_i|)$ jelöli az előbbi pontban számolt rangsorát a $Z_i$ abszolútértékének, $\mathrm{sgn}$ pedig az előjel függvényt. A próbastatisztika aszimptotikusan normális eloszlású.

R példa

Megint nézzük meg a betegek második és negyedik napi koleszterin szintjüket:

cholestr <- read.delim("./cholestr.txt") 

wilcox.test(cholestr$Day2, cholestr$Day4, paired=TRUE) # Hasonlóan a t.test-hez a paired paramétert kell TRUE-ra állítani

## Warning in wilcox.test.default(cholestr$Day2, cholestr$Day4, paired = TRUE): cannot compute
## exact p-value with ties

## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  cholestr$Day2 and cholestr$Day4
## V = 324, p-value = 0.006056
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0