\documentstyle[12pt]{article}
\begin{document}


\newcommand{\xxhat}{\Rightarrow  }
\newcommand{\xxnyo}{$ \mbox{8??} $ }
\newcommand{\xxc}  {\subseteq}
\newcommand{\xxe}  {\in}
\newcommand{\xxn}  {\cap}
\newcommand{\xxq}  {\circ }
\newcommand{\xxu}  {\bigcup}
\newcommand{\xxdol}{\not=}
\newcommand{\xxnag}{\geq}
\newcommand{\xxkis}{$ \mbox{<??} $ }
\newcommand{\xxfug}{\mid}
\newcommand{\xye}  {$ \mbox{e!?} $ }
\newcommand{\xyf}  { \phi }
\newcommand{\xyq}  {\theta }
\newcommand{\xyp}  {\pi}
\newcommand{\xys}  {$ \mbox{s!?} $ }
\newcommand{\lek}{lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\ite}{iter\'{a}ci\'{o}}
\newcommand{\fn}{\{F^{[n]}(z);\;\;z\in{\cal D}\}}
\newcommand{\sor}{sorozat}
\newcommand{\has}{hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\xl}{\lim_{n \rightarrow\infty}}
\newcommand{\xk}{kontraktiv}
\newcommand{\xit}{iter\'{a}lt}
\newcommand{\xfe}{f\'{e}nyk\'{e}p}
\newcommand{\xha}{hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\Fn}{\{F^{[n]}(z);\;\;z\in{\cal D}\}}
\newcommand{\fr}{F: R^n \rightarrow R^n}
\newcommand{\xxi}{i=1,2,\dots, n}
\newcommand{\fne} {f^{[n]}(x)}
\newcommand {\xr}{\rightarrow}
\newcommand{\xn}{n=1,2,\dots}
\newcommand{\xxk}{k=1,2,\dots, n}
\newcommand{\xWb} {W^{[n]}({\cal B})}
\newcommand {\xs} {sequence}
\newcommand{\FK}{F^{[n]}({\cal K})}
\newcommand{\FN}{F^{[n]}(x)}
\newcommand{\xN}{i=1,2,\dots, N}
\newcommand{\xU}{\bigcup_{i=1}^N F_i}
\newcommand{\xu}{\cup_{i=1}^N F_i}
\newcommand{\Fi}{\{F_i; \;\;\; \xN \}}
\newcommand{\xHA}{halmazf\"{u}ggv\'{e}ny}
\newcommand{\xtu}{tulajdons\'{a}g}
\newcommand{\Fix}{F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_n}}
\newcommand{\k} {k=1,2,\dots}
\newcommand{\Ha} {Hausdorff t\'{a}vols\'{a}g}
\newcommand{\iter} {iter\'{a}lt f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer}
\newcommand{\rs} {r_{\sigma_1}\dots r_{\sigma_k}}
\newcommand{\rss} {r_{\sigma_1}^s\dots r_{\sigma_k}^s}
\newcommand{\Uk} {\{{\cal U}_k; \;\;  {\k}\}}
\newcommand{\Fsb} {F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_k}({\cal B})}
\newcommand{\Fsa} {F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_k}({\cal A})}
\newcommand{\xge}{geometriai sor}
\newcommand{\xxWb}{\{W^{[n]}({\cal B}); \;\; \;\; n=1,2,\dots\}}
\newcommand{\xmny}{matematika nyelv\'{e}n}

\begin{sloppypar}



\begin{document}
\\

{\sf\LARGE BEVEZET\H{O} P\'{E}LD\'{A}K.}\\
\\  

Egyik alapvet\H{o} t\"{o}rekv\'{e}s\"{u}nk, hogy bemutassuk a frakt\'{a}lok el\H{o} \'{a}llíít\'{a}s\'{a}ban szerepet j\'{a}tsz\'{o} matematikai m\'{o}dszereket. Ez\'{e}rt 
els\H{o}k\'{e}nt egy a frakt\'{a}lok megkonstru\'{a}l\'{a}s\'{a}ban alapvet\H{o} szerephez  jut\'{o} elj\'{a}r\'{a}ssal, az iter\'{a}ci\'{o} vagy diszkr\'{e}t dinamika fogalm\'{a}val 
ismerked\"{u}nk meg. A pontos matematikai defin\'{\i}ci\'{o}t a k\'{e}s\H{o}bbiekben adjuk meg, pillanatnyilag szeml\'{e}letesen csak
annyit mondhatunk, hogy iter\'{a}ci\'{o}n egy olyan elj\'{a}r\'{a}st fogunk \'{e}rteni, amelynek sor\'{a}n \'{u}jra meg \'{u}jra megism\'{e}telj\"{u}k ugyanannak
a szab\'{a}lynak az alkalmaz\'{a}s\'{a}t.  Az iter\'{a}ci\'{o}val kapott sorozat neve: {\sf iter\'{a}ci\'{o}s sorozat}.\\
\vspace{30mm}\\

Az els\H{o} k\'{e}t p\'{e}lda m\'{e}g nincsen kapcsolatban a frakt\'{a}lgeometri\'{a}val. Szerep\"{u}k csup\'{a}n az, hogy k\"{o}zismert p\'{e}ld\'{a}kon bemutassuk, 
hogy mi az iter\'{a}ci\'{o}?\\
\begin{itemize}
\item { \large\bf 1. Iter\'{a}ci\'{o} a sz\'{a}mol\'{o}g\'{e}pen.} A sz\'{a}mol\'{o}g\'{e}p megfelel\H{o}  gombj\'{a}nak ism\'{e}telt lenyom\'{a}s\'{a}val 
iter\'{a}ci\'{o}s sorozatot kaphatunk. Nyomjuk meg egy sz\'{a}mol\'{o}g\'{e}p {\em cos} gombj\'{a}t \'{u}jra meg \'{u}jra. Ekkor azt a szab\'{a}lyt 
ism\'{e}telj\"{u}k, hogy
\begin{center}
{\em "vedd a kapott (radi\'{a}nban adott) sz\"{o}g koszinusz\'{a}t."
\end{center} 
A sz\'{a}m\'{\i}t\'{o}g\'{e}pen kis\'{e}rletezve {\em megfigyelhet\H{o}}, hogy  b\'{a}rmilyen $x$ (radi\'{a}n) \'{e}rt\'{e}kb\H{o}l is indulunk, egy olyan 
sz\'{a}msorozatot kapunk, amely a $0.73908\dots$-hoz tart.  {\sf Pr\'{o}b\'{a}ljuk ki ezt az iter\'{a}ci\'{o}t!}.

(Mit kapunk akkor, ha az $x=0.73908\dots$ \'{e}rt\'{e}kb\H{o}l indulunk?)\\
\\
\item {\large\bf 2. Iter\'{a}ci\'{o} \'{e}s geometriai sorozat.}  Sz\'{a}mol\'{a}saink sor\'{a}n l\'{e}pten-nyomon el\H{o}fordulnak a geometriai sorozatok.
Geometriai sorozatot akkor kapunk, ha  egy $c$ sz\'{a}mot mindig ugyanazzal a $q$ sz\'{a}mmal szorozzuk.
 Ez egy iter\'{a}ci\'{o}s sorozat, hiszen a geometriai sorozat k\'{e}pz\'{e}sekor azt a ism\'{e}telj\"{u}k ujra meg ujra, hogy
\begin{center}
{\em "szorozd meg a kapott sz\'{a}mot $q$-val."
\end{center} 
A geometriai sorozat k\'{e}pz\'{e}s\'{e}t \'{u}gy is felfoghatjuk, hogy az
$$y=ax$$
els\H{o}fok\'{u} f\"{u}ggv\'{e}nyt iter\'{a}ljuk. Ekkor a $c$ k\'{\i}ndul\'{o} \'{e}rt\'{e}knek az $x$ felel meg \'{e}s a $q$ h\'{a}nyados itt az $a$. 

Term\'{e}szetes m\'{o}don ad\'{o}dik a k\'{e}rd\'{e}s: {\em Milyen sorozatot kapunk, ha az 
$$f(x)= ax+b \;\;  \;\; x\in R;$$
els\H{o}fok\'{u} f\"{u}ggv\'{e}nyt iter\'{a}ljuk?} 

Tal\'{a}n meglep\H{o}, hogy ekkor a geometriai sorozat r\'{e}szlet\"{o}sszegeit kapjuk.

Ugyanis,  k\'{e}tszer ism\'{e}telve  az $f$ szab\'{a}lyt
$$f^{[2]}(x) =a(ax+b)+b =a^2x+ab+b;$$
h\'{a}romszor ism\'{e}telve
$$f^{[3]}(x) =a(a^2x+ab+b)+b =a^3x+a^2b+ab+b.$$
Ebb\H{o}l m\'{a}r l\'{a}thatjuk a szab\'{a}lyt: 
$$ f^{[n]}(x)= a^n x+a^{n-1} b +\dots +ab+b \;\; \; (n=1,2,\dots )$$
amit teljes indukci\'{o}val bel\'{a}thatunk. 

 $f^{[n]}(0)$  annak a geometriai sornak az $n$-edik  r\'{e}szlet\"{o}sszege, amelynek   a  h\'{a}nyadosa  $a$ \'{e}s  az els\H{o} tagja $b$.\\

 Szeml\'{e}letes k\'{e}pet ad  a sorozatr\'{o}l az {\em 1.2 \'{a}bra}.  Az \'{a}br\'{a}n $\mid a\mid <1$. Az $X$ tengely  $0, x_1, x_2, x_3\dots$ 
pontjaiban  fel\'{a}ll\'{\i}tott, az $Y$ tengellyel p\'{a}rhuzamos,  vastagabb vonalak hossza \'{e}ppen a megfelel\H{o}
r\'{e}szlet\"{o}sszeg \'{e}rt\'{e}ke: az els\H{o} vonal $b$, a m\'{a}sodik $b+ab$, a harmadik $b+ab+a^2b$ s.i.t. 

Az \'{a}br\'{a}b\'{o}l az is leolvashat\'{o}, hogy 
$0<a<1$ eset\'{e}n, az $a$ h\'{a}nyados\'{u} (\'{e}s $b$ kezdet\H{u}) 
\xge \ az
 $$x=ax+b\leqno{(*)}$$
egyenlet $x$ megold\'{a}s\'{a}hoz tart.

A (*) megold\'{a}sa
$$x=\frac{b}{1-a}$$
a v\'{e}gtelen geometriai sor j\'{o}lismert \"{o}sszegk\'{e}plete.

Ugyanis az \ $x=ax+b$ \ egyenlet megold\'{a}sa az 
$y=ax+b$ \'{e}s az $y=x$
egyenesek metsz\'{e}spontj\'{a}nak az X koordin\'{a}t\'{a}ja. Az iter\'{a}ci\'{o}s sorozatot \'{a}br\'{a}zol\'{o}
egyenesszakaszok v\'{e}gpontjai
  egyre k\"{o}zelednek ehhez a metsz\'{e}sponthoz,  a v\'{e}gpontok tetsz\H{o}legesen k\"{o}zel ker\"{u}lnek
az egyenesek metsz\'{e}spontj\'{a}hoz, ha el\'{e}g messze megy\"{u}nk a  geometriai sorozatban.\\
\\
{\LARGE\bf **}\\
A fenti gondolatmenet a szeml\'{e}let alapj\'{a}n nyilv\'{a}nval\'{o}nak t\H{u}nik. H a azonban  {\em bizonyitani} is akarjuk, akkor a
k\"{o}vetkez\H{o}k\'{e}ppen j\'{a}rhatunk el. Tekints\"{u}k 
az $n$-edik r\'{e}szlet\"{o}sszeg \'{e}s az
 $$x=ax+b$$
egyenlet megold\'{a}s\'{a}nak az elt\'{e}r\'{e}s\'{e}t, vagyis a
  $$\frac{b}{1-a} -\sum_{k=0}^{n-1} a^kb \leqno{(1)}$$
k\"{u}l\"{o}nbs\'{e}get. Ennek a null\'{a}hoz kell tartania. Val\'{o}ban, az (1) formul\'{a}t k\"{o}z\"{o}s nevez\H{o}re hozva
$$\frac{b}{1-a} -\sum_{k=0}^{n-1} a^kb=\frac{1}{1-a}(b-(1-a)\sum_{k=0}^{n-1}
 a^kb)=\frac{1}{1-a}a^nb\leqno{(2)}$$
amib\H{o}l m\'{a}r k\"{o}vetkezik, hogy az (1) tetsz\H{o}legesen kicsiv\'{e} 
v\'{a}lik, ha $n$ el\'{e}g nagy, hiszen $0<a<1$.

A fenti (2) formul\'{a}b\'{o}l nemcsak a \xge \ \"{o}sszegk\'{e}plete 
olvashat\'{o} le,
hanem a \xge \ r\'{e}szlet\"{o}sszegeit ad\'{o} ismert formula is. Ugyanis a (2)   egyenl\H{o}s\'{e}g elej\'{e}t \'{e}s v\'{e}g\'{e}t  \'{a}trendezve
$$\sum_{k=0}^{n-1} a^kb=\frac{b}{1-a} -\frac{a^nb}{1-a}$$
\'{e}s az egyenl\H{o} s\'{e}g jobboldal\'{a}t t\"{o}m\"{o}rebb\'{e} alak\'{\i}tva
$$\frac{b}{1-a} -\frac{a^nb}{1-a}=b \; \frac{1-a^n}{1-a}.$$
{\LARGE\bf **}

Az {\em 1.2 \'{a}bra}  kapcsolatot teremt  az els\H{o}fok\'{u} f\"{u}ggv\'{e}ny iter\'{a}ci\'{o}ja \'{e}s a geometriai sorozat  
r\'{e}szlet\"{o}sszegei  k\"{o}z\"{o}tt \'{e}s az \'{a}bra sugallja ennek a  {\em bizony\'{\i}t\'{a}s\'{a}t} is .  
 A geometriai sorokkal t\"{o}rt\'{e}n\H{o} {\em els\H{o} tal\'{a}lkoz\'{a}st} v\'{a}ltozatlanul a hagyom\'{a}nyos m\'{o}don ajanljuk.

B\'{a}rmilyen $f: R\rightarrow R$ (egyv\'{a}ltoz\'{o}s f\"{u}ggv\'{e}ny) iter\'{a}ci\'{o}s sorozat\'{a}t hasonl\'{o}an \'{a}br\'{a}zolhatjuk ({\large F. 0.3}).\\
\\   
\item {\large\bf 3. A Cantor halmaz.}  \  A frakt\'{a}lokkal t\"{o}rt\'{e}n\H{o} smerked\'{e}st a legegyszer\"{u}bben el\H{o}\'{a}ll\'{\i}that\'{o}
 frakt\'{a}lok egyik\'{e}vel, 
a Cantor halmaz bemutat\'{a}s\'{a}val kezdj\"{u}k . Ezzel a halmazzal az Olvas\'{o}k k\"{o}z\"{u}l tal\'{a}n m\'{a}r sokan tal\'{a}lkoztak. Induljunk 
ki a $[0,1]$ z\'{a}rt intervallumb\'{o}l. Osszuk h\'{a}rom egyenl\H{o} r\'{e}szre, majd
hagyjuk el a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ nyilt intervallumot. Ezut\'{a}n 
 a fennmarad\'{o} k\'{e}t
egyenesszakasznak is t\"{o}r\"{o}ljuk a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} harmad\'{a}t, az 
$(\frac{1}{9},\frac{2}{9})$ \'{e}s az $(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$
intervallumot \'{e}s ezt az elj\'{a}r\'{a}st folytassuk a megmarad\'{o} 
egyenesszakaszokkal "a v\'{e}gtelens\'{e}gig". Az elj\'{a}r\'{a}s 
v\'{e}gterm\'{e}ke egy k\"{u}l\"{o}n\"{o}s halmaz lesz amit {\sf (triadikus)
Cantor halmaznak} h\'{\i}vunk ({\em 1.3a  \'{a}bra}).

Ez az elj\'{a}r\'{a}s is egy iter\'{a}ci\'{o}  sorozatot eredm\'{e}nyez. A kezd\H{o}
elem a $[0, 1]$ intervallum \'{e}s $f$, az ism\'{e}tl\H{o}d\H{o} szab\'{a}ly\\

"{\em t\"{o}r\"{o}lj\"{u}k a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} (nyilt) harmad\'{a}t mindegyik egyenesszakasznak.}"\\
\\
  Ekkor
$$f^{[n]}([0, 1])\subset f^{[n-1]}([0, 1]); \;\; \; n=1,2,\dots$$
ami azt jelenti, hogy a szab\'{a}ly ism\'{e}tl\'{e}s\'{e}vel kapott 
halmazok egyre zsugorodnak, hiszen a szab\'{a}ly minden alkalmaz\'{a}s\'{a}val
elvesz\"{u}nk a halmazb\'{o}l. 

A $\cal C$ Cantor halmaz az ism\'{e}tl\H{o}d\H{o} szab\'{a}llyal kapott
$f^{[n]}([0, 1]); \;\;  (n=1,2,\dots)$ halmazok {\em k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sze} lesz.\\

A geometriai szerkeszt\'{e}s mellett a $\cal C$ Cantor halmaz a 
k\"{o}vetkez\H{o} aritmetikai elj\'{a}r\'{a}ssal is el\H{o}\'{a}llithat\'{o}:

Irjuk fel a  $[0,1]$ intervallum minden elem\'{e}t  triadikus alakban (h\'{a}rmas
 sz\'{a}mrendszerben). A konstrukci\'{o}b\'{o}l vil\'{a}gos, hogy a Cantor halmazt el\H{o}\'{a}ll\'{\i}t\'{o} iter\'{a}ci\'{o}  az  els\H{o} l\'{e}p\'{e}sben
 elt\'{a}vol\'{\i}tja mindazokat a t\"{o}rteket amelyek triadikus alakj\'{a}ban a t\"{o}rtjel
ut\'{a}n $1$ \'{a}ll. Az iter\'{a}ci\'{o} m\'{a}sodik l\'{e}p\'{e}se t\"{o}rli
mindazokat a t\"{o}rteket is amelyek triadikus alakj\'{a}ban a t\"{o}rtjel
ut\'{a}ni m\'{a}sodik jegy $1$ , s.i.t. ({\em 1.3b-c \'{a}bra}).
Az elj\'{a}r\'{a}s v\'{e}g\'{e}n pontosan azok a t\"{o}rtek maradnak meg, amelyek
triadikus alakja csakis a $0$ \'{e}s $2$ sz\'{a}mjegyeket tartalmazza.
Igy a Cantor halmaz pontosan ezekb\H{o}l a t\"{o}rtekb\H{o}l \'{a}ll .\\
MEGJEGYZ\'{E}S. Azokat a tizedest\"{o}rteket, amelyekben egy adott jegyt\H{o}l csupa nulla \'{a}ll, k\'{e}tf\'{e}le m\'{o}don lehet felirni.
 P\'{e}ld\'{a}ul,
$0.01$ \'{e}s $0.00999\dots$ ugyanaz a tizedessz\'{a}m. Ez a j\'{o}lismert tulajdons\'{a}g triadikus t\"{o}rtekre is \'{a}ll. A
\begin{center}
$0.1$ \'{e}s $0.0222\dots$, \  $0.01$ \'{e}s $0.00222\dots$, \  $0.001$ \'{e}s $0.000222\dots$, \  s.i.t.
\end{center}
p\'{a}roknak a $[0, 1]$ intervallum ugyanazon pontja felel meg. A $\cal C$ Cantor halmaz aritmetikai el\H{o}\'{a}llit\'{a}s\'{a}ban ezek
a pontok is szerepelnek (term\'{e}szetesen a $0$ \'{e}s $2$ sz\'{a}mjegyekkel felirt form\'{a}ban).\\

A Cantor halmaz n\'{e}h\'{a}ny fontos tulajdons\'{a}ga:\\
I. \  $f([0, 1])$ k\'{e}t olyan intervallum uni\'{o}ja, amelyek mindegyik\'{e}nek
a hossza $\frac{1}{3}$; $f^{[2]}([0,1])$  $2^2$ olyan intervallum uni\'{o}ja, 
amelyek mindegyik\'{e}nek a hossza $\frac{1}{3^2}$. Folytatva a Cantor
halmaz k\'{e}pz\'{e}s\'{e}t (teljes indukci\'{o}val)
\begin{center}
{\em az $f^{[n]}([0,1])$ hossza $(\frac {2}{3})^n$,
\end{center}
mivel $f^{[n]}([0,1])$ $2^n$ intervallumb\'{o}l \'{a}ll amelyek 
 mindegyik\'{e}nek a hossza $\frac{1}{3^n}$. Igy, ha figyelembe vessz\"{u}k a hossz\'{u}s\'{a}gm\'{e}rt\'{e}knek azt a tulajdons\'{a}g\'{a}t, hogy egy
 halmaz r\'{e}sz\'{e}nek a hossza (m\'{e}rt\'{e}ke) nem lehet nagyobb, mint a halmaz\'{e}, akkor a Cantor halmaz hossza csak $0$ lehet.\\
\\ 
II. \ Dac\'{a}ra annak, hogy a Cantor halmaz hossza csakis $0$ lehet, a
 Cantor halmaz sz\'{a}moss\'{a}ga megegyezik a $[0, 1]$ sz\'{a}moss\'{a}g\'{a}val.
Ez azt jelenti, hogy a $[0, 1]$ pontjai p\'{a}rba \'{a}llithat\'{o}k a Cantor
halmaz pontjaival. Pontosabban,\\  
\\
{\em a $[0, 1]$ minden pontj\'{a}hoz hozz\'{a}rendelhetj\"{u}k a Cantor
halmaz egy pontj\'{a}t \'{u}gy, hogy k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} pontokhoz a Cantor
halmaznak egym\'{a}st\'{o}l k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} pontjai 
ker\"{u}lnek.
Ez a hozz\'{a}rendel\'{e}s {\em lefedi} a Cantor halmazt, ami azt jelenti, hogy ekkor a Cantor halmaz minden pontja egy $[0, 1]$-be 
tartoz\'{o} pont k\'{e}pe}.  R\"{o}viden sz\'{o}lva, megadhat\'{o} egy  $[0, 1]\rightarrow {\cal C}$ bijekci\'{o}. \\ 

Ez a p\'{a}rba\'{a}llit\'{a}s a k\"{o}vetkez\H{o}k\'{e}ppen
t\"{o}rt\'{e}nhet. Irjuk fel a $[0, 1]$
pontjait bin\'{a}ris t\"{o}rt alakban (kettes sz\'{a}mrendszerben) \'{e}s 
a Cantor halmaz pontjait meg triadikus t\"{o}rt alakj\'{a}ban. Mivel 
a Cantor halmazba pontosan azok a pontok tartoznak, amelyek
triadikus alakja csakis $0$ \'{e}s $2$ sz\'{a}mjegyet tartalmaz, a p\'{a}rba
\'{a}llit\'{a}s a k\"{o}vetkez\H{o} egyszer\H{u} szab\'{a}ly szerint 
t\"{o}rt\'{e}nhet:\\
\\
{\em Cser\'{e}lj\"{u}k le az $x\in{\cal C}$ triadikus alakj\'{a}ban a $2$
sz\'{a}mjegyeket $1$-re. Az igy kapott bin\'{a}ris t\"{o}rt lesz az $x$
p\'{a}rja}\\

(P\'{e}ld\'{a}ul, ha $x= 0,2202|_3$, akkor a p\'{a}rja a $0,1101$ bin\'{a}ris
t\"{o}rt. Tizedest\"{o}rtekben kifejezve, a $0,47419\dots$ p\'{a}rja $0,8125$.)\\
\\
III. \ Ha a $[0, \frac{1}{3}]\cap {\cal C}$ vagy a 
$[\frac{2}{3}, 1]\cap {\cal C}$ halmazt h\'{a}romszoros\'{a}ra nagyitjuk,
akkor megkapjuk az eg\'{e}sz $\cal C$ Cantor halmazt. Ha ezt a k\'{e}t 
r\'{e}szhalmazt egyesitj\"{u}k, akkor is a Cantor halmazt kapjuk.
 Ezt a tulajdons\'{a}got \"{o}nhasonl\'{o}s\'{a}gnak nevezz\"{u}k. 

 Az  \"{o}nhasonl\'{o}s\'{a}g alapj\'{a}n, $\cal C$ \'{u}gy 
tekinthet\H{o}, mint egy szerfelett lyukacsos halmaz, amelyb\H{o}l
nagyit\'{a}skor egyre t\"{o}bb \'{e}s t\"{o}bb r\'{e}szlet v\'{a}lik 
l\'{a}that\'{o}v\'{a}.\\ 

 {\sf Az \"{o}nhasonl\'{o} halmazokat} az  {\sf 5-6 fejezetben} fogjuk r\'{e}szletesen t\'{a}rgyalni. Ott be fogunk mutatni a
 term\'{e}szetben, a val\'{o}s\'{a}gban el\H{o}fodul\'{o} "nhasonl\'{o}nak tekinthet\H{o} halmazokat is.\\
\\
\item {\large\bf 4. A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g.}  Induljunk ki egy z\'{a}rt h\'{a}romsz\"{o}glapb\'{o}l. Az oldalfelez\H{o}pontok \"{o}sszek\"{o}t\'{e}s\'{e}vel osszuk n\'{e}gy
egybev\'{a}g\'{o} r\'{e}szre \'{e}s a  k\"{o}z\'{e}ps\H{o} negyed\'{e}t t\'{a}vol\'{\i}tsuk el.  Ezt az elj\'{a}r\'{a}st folytassuk a megmarad\'{o} h\'{a}romsz\"{o}gekkel "a v\'{e}gtelens\'{e}gig".
Ekkor $F$, az ism\'{e}tl\H{o}d\H{o} szab\'{a}ly\\ 
\\  
{\em "minden h\'{a}romsz\"{o}get osszunk n\'{e}gy egybev\'{a}g\'{o} r\'{e}szre \'{e}s a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} (nyilt) h\'{a}romsz\"{o}get 
t\"{o}r\"{o}lj\"{u}k"}\\

Az  1.4  \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o} az elj\'{a}r\'{a}s m\H{u}k\"{o}d\'{e}se, mik\"{o}zben az egyik esetben der\'{e}ksz\"{o}g\H{u}, a m\'{a}sikban
pedig egyenl\H{o} oldal\'{u} h\'{a}romsz\"{o}get v\'{a}lasztottunk ki indul\'{a}sul.

\'{U}jra meg \'{u}jra alkalmazva  a szab\'{a}lyt, a kapott halmazoknak 
 $\{S_n; \; n=1,2,\dots\}$ sorozat\'{a}ra
$$S_{n+1}\subset S_n \;\;  \;\;  \;\; n=1,2,\dots \leqno{(*)}$$
hiszen a szab\'{a}ly minden alkalmaz\'{a}s\'{a}val elvesz\"{u}nk a halmazb\'{o}l.

Ha  a (*) \'{e}rv\'{e}nyes, akkor azt mondjuk, hogy  $\{S_n; \; n=1,2,\dots\}$ {\sf egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok} sorozata. 

Az $\{S_n; \; n=1,2,\dots\}$ halmazok 
$${\cal S}=\bigcap_{k=1}^\infty S_k$$
{\em k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz\'{e}t} {\sf Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gnek}
 nevezz\"{u}k  ({\em 1.4  \'{a}bra}).\\

Az $\cal S$ Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gnek a k\"{o}vetkez\H{o}, a triadikus
 Cantor halmazhoz hasonl\'{o} tulajdons\'{a}gai vannak.\\ 
\\
I. \  \  Az $\cal S$ ter\"{u}lete  nulla.  Ugyanis, az
 $\{S_n; \; n=1,2,\dots\}$
sorozatban mindegyik halmaz ter\"{u}lete az el\H{o}z\H{o} ter\"{u}let\'{e}nek a 
h\'{a}romnegyed r\'{e}sze. Igy, ha figyelembe vessz\"{u}k a m\'{e}rt\'{e}knek
 (ter\"{u}letnek) azt a tulajdons\'{a}g\'{a}t, hogy egy halmaz r\'{e}sz\'{e}nek a 
ter\"{u}lete nem lehet nagyobb, mint a halmaz\'{e}, akkor $S$ ter\"{u}lete csak $0$
lehet. \\ 
\\
II. \  \  Az $\cal S$ sz\'{a}moss\'{a}ga megegyezik a $[0, 1]$ sz\'{a}moss\'{a}g\'{a}val ({\large F. 0.1}).\\
\\
III. \  Ha  {\bf T} az egyike azon h\'{a}romsz\"{o}geknek, amelyeket nem
t\"{o}r\"{o}lt\"{u}nk az els\H{o} iter\'{a}ci\'{o} sor\'{a}n, akkor az ${\cal S}\cap${\bf T}
halmazt line\'{a}risan k\'{e}tszeres\'{e}re n\"{o}velve megkapjuk az eg\'{e}sz
 $\cal S$ Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get. H\'{a}rom, az ${\cal S}\cap${\bf T} halmazzal egybev\'{a}g\'{o}
halmaz egyesit\'{e}s\'{e}vel is megkapjuk a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get.
Igy, a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g is \"{o}nhasonl\'{o}.

Az \"{o}nhasonl\'{o}s\'{a}g alapj\'{a}n, $\cal S$ is \'{u}gy tekinthet\H{o}, mint egy szerfelett lyukacsos halmaz, amelyb\H{o}l
nagy\'{\i}t\'{a}skor egyre t\"{o}bb \'{e}s t\"{o}bb r\'{e}szlet v\'{a}lik l\'{a}that\'{o}v\'{a}.\\
\\   
IV. \  {\sf Gondolkodjunk el a k\"{o}vetkez\H{o} furcsas\'{a}gon:} Ha egy k\'{e}tdimenzi\'{o}s halmaz (p\'{e}ld\'{a}ul h\'{a}romsz\"{o}g) 
line\'{a}risan $r$-szeresre v\'{a}ltozik, akkor a halmaz m\'{e}rt\'{e}ke 
(ter\"{u}lete) $r^2$-szeres lesz; az egydimenzi\'{o}s halmaz m\'{e}rt\'{e}ke (a hossza) pedig $r$-szeres.

A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g, amint az   \'{a}br\'{a}kb\'{o}l  is leolvashat\'{o},
h\'{a}rom feleakkora \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g uni\'{o}ja.  Ez\'{e}rt azt mondjuk, hogy fel\'{e}re v\'{a}ltoztatva
a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g line\'{a}ris m\'{e}ret\'{e}t, a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g m\'{e}rete harmad\'{a}ra v\'{a}ltozik. Ugyanigy
l\'{a}thatjuk, hogy a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g kilenc negyedakkora \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g uni\'{o}ja.

Azt tapasztaljuk, hogy  a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g NEM  \'{u}gy viselkedik mint egy k\'{e}tdimenzi\'{o}s halmaz, hiszen ekkor 
nem h\'{a}rom, hanem n\'{e}gy fele akkora \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g uni\'{o}ja lenne. M\'{e}gink\'{a}bb nem viselkedik 
egydimenzi\'{o}s m\'{o}dra.

 Ennek alapj\'{a}n intuitive azt mondjuk, hogy a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g nem
k\'{e}tdimenzi\'{o}s, mint p\'{e}ld\'{a}ul egy t\"{o}m\"{o}r h\'{a}romsz\"{o}glap, hanem egy \'{e}s kett\H{o} k\"{o}z\"{o}tti $s$ t\"{o}rtdimenzi\'{o}s.

 Mi a t\"{o}rtdimenzi\'{o}?  Milyen inform\'{a}ci\'{o}t ad egy halmaz m\'{e}ret\'{e}re a t\"{o}rtdimenzi\'{o}? Hol tal\'{a}lkozhatunk
 a "term\'{e}szetben" t\"{o}rtdimenzi\'{o}snak tekinthet\H{o} halmazokkal?
Ezekre a k\'{e}rd\'{e}sekre a {\sf 8-10 fejezetben} fogunk v\'{a}laszokat kapni.\\
\\
\item {\large\bf 5. A Koch g\"{o}rbe.}  A kiindul\'{o} halmaz ez\'{u}ttal is a $[0, 1]$ intervallum. Az {\em 1.5a \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o} sorozat els\H{o} eleme 
("1. iter\'{a}ci\'{o}") egy t\"{o}rtvonal,  amelyet a sorozat gener\'{a}tor\'{a}nak is nevez\"{u}nk. Itt $F$
az a szab\'{a}ly, hogy az aktu\'{a}lis \'{a}br\'{a}n\\
\\
{\em "minden egyenesszakaszt 
cser\'{e}lj\"{u}nk le a megfelel\H{o}en kicsinyitett gener\'{a}torral".} \\
\\
 Az egym\'{a}s ut\'{a}n kapott $K_n \; (n=1,2,\dots )$ t\"{o}rtvonalak hossza ekkor
 hat\'{a}rtalanul n\"{o}vekszik. Val\'{o}ban, ha az indit\'{o} egyenesszakasz hossza egys\'{e}gnyi, akkor 
\begin{center}
{\em a gener\'{a}tor hossza $\frac{4}{3}$, az $F(gener\'{a}tor)$ hossza}
  $\frac {1}{3}\frac{4}{3}4 =(\frac{4}{3})^2$ 
\end{center}
hiszen a "2. iter\'{a}ci\'{o}" \'{u}gy j\"{o}n l\'{e}tre, hogy az "1. iter\'{a}ci\'{o}" \'{a}br\'{a}j\'{a}n minden egyenesszakaszt lecser\'{e}l\"{u}nk 
a gener\'{a}tor egyharmad\'{a}ra.  Ugyanigy bel\'{a}that\'{o}, hogy 
\begin{center}
{\em minden egyes l\'{e}pesn\'{e}l a kapott t\"{o}rtvonal hossza az el\H{o}z\H{o} $\frac{4}{3}$-a lesz.}
\end{center}
El\'{e}g hossz\'{u} ideig folytatva az iter\'{a}ci\'{o}t, vagyis el\'{e}g sokszor alkalmazva az $F$ szab\'{a}lyt,
 a kapott t\"{o}rtvonal hossza tetsz\H{o}legesen nagy lesz.  

Vegy\"{u}k szem\"{u}gyre k\"{o}zelebbr\H{o}l, hogy mi a v\'{e}gterm\'{e}ke ennek a szerkeszt\'{e}snek ? 

A v\'{a}lasz c\'{e}lj\'{a}b\'{o}l tekints\"{u}k a  (z\'{a}rt) h\'{a}romsz\"{o}gekb\H{o}l \'{a}ll\'{o} 
$\{K_n^*; \; n=1,2,\dots\}$ sorozatot az {\em 1.5b \'{a}br\'{a}n}. Ezek egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok
$$ K_{n+1}^*\subset K_n^*; \; n=1,2,\dots$$
\'{e}s igy, \'{e}pp\'{u}gy mint a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g vagy a
Cantor halmaz eset\'{e}n, a sorozat
$$K=\bigcap_{n=1}^\infty K_n^*$$
k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz\'{e}t tekintj\"{u}k az iter\'{a}ci\'{o} v\'{e}gterm\'{e}k\'{e}nek.  Ezt {\sf Koch g\"{o}rb\'{e}nek} nevezz\"{u}k.
  
A szeml\'{e}let\"{u}nk alapj\'{a}n \'{e}s abb\'{o}l, hogy  $K_n\subset K_n^*$ \'{u}gy \'{e}rezz\"{u}k, hogy  a $\{K_n; \;\; n=1,2,\dots \}$ \'{e}s a  $\{K_n^*; \;\; n=1,2,\dots \}$ 
ugyanazt a halmazt \'{a}llitja el\H{o}. Ezt k\'{e}s\H{o}bb, az 5. fejezetben {\em bizony\'{\i}tani is} fogjuk. 

Amint l\'{a}ttuk, a Koch g\"{o}rbe egydimenzi\'{o}s m\'{e}rt\'{e}ke (hossza) tetsz\H{o}legesen nagy lehet ("v\'{e}gtelen")
\'{e}s, a $\{K_n^*; \; n=1,2,\dots\}$ h\'{a}romsz\"{o}geib\H{o}l becs\"{u}lve, k\'{e}tdimenzi\'{o}s m\'{e}rt\'{e}ke (ter\"{u}lete) csak nulla lehet,
mivel 
\begin{center}
$K_1^*$ ter\"{u}lete $\frac{1}{3}\frac{\sqrt 3}{2}$
\end{center}
\'{e}s ha $K_n^*$ ter\"{u}lete $t(K_n^*)$ akkor
$$t(K_{n+1}^*)=\frac {1}{3} t(K_n^*)$$
vagyis a $\{K_n^*; \; n=1,2,\dots\}$ sorozatban mindegyik halmaz ter\"{u}lete az el\H{o}z\H{o} ter\"{u}let\'{e}nek egyharmada.

{\sf Gondolkodjunk el a k\"{o}vetkez\H{o} furcsas\'{a}gon:} Ha egy s\'{\i}ma g\"{o}rb\'{e}t ar\'{a}nyosan a harmad\'{a}ra kicsiny\'{\i}t\"{u}nk, akkor
 a m\'{e}rete (hossza) is a harmad\'{a}ra v\'{a}ltozik. A 
Koch g\"{o}rb\'{e}n\'{e}l azt tapasztaljuk, amint az {\em 1.5a  \'{a}br\'{a}b\'{o}l} leolvashat\'{o} hogy a harmad\'{a}ra kicsiny\'{\i}tett Koch 
g\"{o}rb\'{e}b\H{o}l ( a sz\"{u}rk\'{e}vel fedett r\'{e}szb\H{o}l) n\'{e}gynek az uni\'{o}ja adja ki az eredeti Koch g\"{o}rb\'{e}t. \'{I}gy a
Koch g\"{o}rbe ar\'{a}nyos m\'{e}retv\'{a}ltoz\'{a}sra (r\"{o}viden: {\em sk\'{a}lav\'{a}ltoz\'{a}sra}) nem \'{u}gy viselkedik, mint egy s\'{\i}ma
 g\"{o}rbe. Ezt a viselked\'{e}st is, mint a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g hasonl\'{o} viselked\'{e}s\'{e}t,
t\"{o}rt \'{e}rt\'{e}k\H{u} dimenzi\'{o}val fogjuk jellemezni a {\sf 8-10 fejezetben}.\\

 Az {\em 1.5c \'{a}br\'{a}n} egy olyan sorozatot mutatunk, amelyben a
Koch g\"{o}rb\'{e}re vezet\H{o} sorozatot kiss\'{e} m\'{o}dositottuk. Az 
egyenesszakaszokat olykor az 1.5/a \'{a}bra gener\'{a}tor\'{a}nak 
{\em t\"{u}k\"{o}rk\'{e}p\'{e}vel}
helyettesitett\"{u}k. Ez els\H{o} \'{\i}zben a 2. iter\'{a}ci\'{o} sz\"{u}rk\'{e}vel fedett r\'{e}sz\'{e}ben l\'{a}that\'{o}. Ilyen m\'{o}dosit\'{a}sokkal k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o}
 {\em zeg-zugos g\"{o}rb\'{e}k, p\'{e}ld\'{a}ul  tengerpartvonalak} modellezhet\H{o}k.  \\

\item {\large\bf 6.  Hat\'{a}rtalanul nagy\'{\i}that\'{o} fa\'{a}g.}  Egy m\'{a}sik p\'{e}lda, a term\'{e}szeti k\"{o}rnyezet\"{u}nk \"{o}nhasonl\'{o}
jelleg\'{e}re az {\em 1.6C\'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o} fa\'{a}g.

Az {\em 1.6A-B \'{a}br\'{a}k} azt mutatj\'{a}k, hogyan
\'{a}llithat\'{o} el\H{o} egy fa\'{a}g k\'{e}pe iter\'{a}ci\'{o}val. K\'{\i}ndulhatunk egy
egyenesszakaszb\'{o}l \'{e}s az $F$ szab\'{a}ly ekkor a k\"{o}vetkez\H{o} n\'{e}gy ($F_1, F_2, F_3$ \'{e}s $F_4$)  szab\'{a}ly uni\'{o}ja (egyesit\'{e}se):\\

$F_1, F_2, F_3, F_4$  {\em n\'{e}gy olyan transzform\'{a}ci\'{o}, amelyek az eredeti \'{a}bra line\'{a}ris m\'{e}ret\'{e}t a $0.4$-szeres\'{e}re v\'{a}ltoztatj\'{a}k, majd az
{\em 1.6 \'{a}br\'{a}kon} l\'{a}that\'{o} m\'{o}don, k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} m\'{e}rt\'{e}kben eltolj\'{a}k illetve elforgatj\'{a}k.}\\

Az $F$ szab\'{a}ly ism\'{e}tl\'{e}s\'{e}vel alakul ki a fa\'{a}g.

Az {\em 1.6A \'{a}bra} r\'{e}szletesen mutatja az els\H{o} k\'{e}t iter\'{a}ci\'{o}t abban az esetben amikor egy egyenesszakaszb\'{o}l indulunk ki.
 Az {\em 1.6B \'{a}bra} mutatja a szab\'{a}ly tov\'{a}bbi ism\'{e}tl\'{e}s\'{e}vel kapott \'{a}br\'{a}kat. A kialakult fa\'{a}gon az egym\'{a}ssal 
 hasonl\'{o} r\'{e}szek \'{a}rny\'{e}kol\'{a}s\'{a}val  pr\'{o}b\'{a}ljuk megmutatni az \"{o}nhasonl\'{o} jelleget ({\em 1.6C \'{a}bra}).\\ 
 {\LARGE\bf **}\\
 {\em A matematika (m\'{a}trixok) nyelv\'{e}n} az $F$ szab\'{a}ly megfogalmaz\'{a}sa a k\"{o}vetkez\H{o}: Legyen 

$$F_1(x_1,x_2)= 
\left( \begin{array}{cc} 0.4 & 0 \\ 0 & 0.4 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} 0 \\ 0 \end{array}\right) $$.

$$F_2(x_1,x_2)= 
\left( \begin{array}{cc} 0.4 & 0 \\ 0 & 0.4 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
       \left(\begin{array} {c} 80 \\ 0 \end{array}\right). $$

$$F_3(x_1,x_2)= 
\left( \begin{array}{cc} 0.4 \cos 30^o & 0.4 \sin 30^o \\
 -0.4 \sin 30^o & 0.4 \cos 30^o \end{array}\right) 
\left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
      \left(\begin{array} {c} 200 \\ 0 \end{array}\right).$$


$$F_4(x_1,x_2)= 
\left( \begin{array}{cc}  0.4 \cos (-30)^o & 0.4 \sin (-30)^o \\
 -0.4 \sin (-30)^o & 0.4 \cos (-30)^o \end{array}\right) 
\left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
       \left(\begin{array} {c} 230 \\ 0 \end{array}\right). $$

Ekkor $F$ azt jelenti, hogy a fenti n\'{e}gy \lek t egym\'{a}s ut\'{a}n
alkalmazzuk az aktu\'{a}lis halmazra, majd az \'{\i}gy kapott halmazokat 
egyes\'{\i}tj\"{u}k.\\
{\LARGE\bf **}\\

A {\sf 2. fejezetben}  meg fogjuk mutatni, hogyan lehet geometriai szab\'{a}lyokat  {\em a matematika nyelv\'{e}n}, {\sf m\'{a}trixokkal} le\'{\i}rni.\\

\item {\large\bf 7.  DNS l\'{a}nccal vez\'{e}relt k\'{a}oszj\'{a}t\'{e}k.} A genetika el\H{o}t\'{e}rbe ker\"{u}l\'{e}s\'{e}vel, manaps\'{a}g 
k\"{o}zismertnek tekinthet\H{o}, hogy az 
 \"{o}r\"{o}kl\H{o}d\'{e}si 
inform\'{a}ci\'{o}k egys\'{e}ges m\'{o}don DNS ({\it DNA}) l\'{a}nc, a kett\H{o}s spir\'{a}l form\'{a}j\'{a}ban vannak t\'{a}rolva az
 \'{e}l\H{o}l\'{e}nyek sejtjeiben. A DNS molekul\'{a}k n\'{e}gyf\'{e}le nukleinsav ({\it nucleic acid}) l\'{a}ncolat\'{a}b\'{o}l \'{a}llanak amelyeket 
a nev\"{u}k kezd\H{o}bet\"{u}j\'{e}vel a {\sf g, c, a} illetve {\sf t} bet\H{u}kkel 
 jel\"{o}l\"{u}nk \'{e}s a l\'{a}nc hossza t\"{o}bbmilli\'{o}s nagys\'{a}grend\H{u} lehet. A l\'{a}nc hosszabb r\"{o}videbb szakaszai az 
\'{e}l\H{o}l\'{e}ny k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} tulajdons\'{a}gait reprezent\'{a}lj\'{a}k.

Az {\sf g, c, a} \'{e}s {\sf t} bet\H{u}k sorozat\'{a}t (l\'{a}ncolat\'{a}t) sz\'{o}nak  nevezz\"{u}k.  Alulreprezent\'{a}lt egy sz\'{o}
 akkor, ha a l\'{a}ncban nem, vagy alig fordul 
el\H{o}. Mivel a l\'{a}nc hosszabb r\"{o}videbb szakaszai az 
\'{e}l\H{o}l\'{e}ny k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} tulajdons\'{a}gait reprezent\'{a}lj\'{a}k, ez\'{e}rt fontos k\'{e}rd\'{e}s:
  
{\em Vannak-e szignifik\'{a}nsan alulreprezent\'{a}lt szavak a DNS l\'{a}ncban \'{e}s melyek azok?}\\

 Az adatbankb\'{o}l let\"{o}lthet\H{o} a DNS szekvenci\'{a}lis modellje, amely csup\'{a}n
 a {\sf g, c, a} \'{e}s {\sf t} bet\H{u}k l\'{a}ncolat\'{a}t tartalmazza a nekik megfelel\H{o} nukleinsavak sorrendj\'{e}ben ({\em 1.7 \'{a}bra}).
 Ez j\'{o}l haszn\'{a}lhat\'{o}
 a szavak eloszl\'{a}s\'{a}nak sz\'{a}mit\'{o}g\'{e}pes vizsg\'{a}lat\'{a}ra, de nem alkalmas arra hogy glob\'{a}lis, vizu\'{a}lis k\'{e}pet adjon
 a kutat\'{o}nak az  alulreprezent\'{a}lt
  szavak eloszl\'{a}s\'{a}r\'{o}l mivel a keresend\H{o} szavak hossza eleny\'{e}sz\H{o} a szekvenci\'{a}lis modell hossz\'{a}hoz k\'{e}pest.

A DNS l\'{a}nc k\'{e}tdimenzi\'{o}s, vizu\'{a}lisan k\"{o}nnyen \'{a}ttekinthet\H{o} bemutat\'{a}s\'{a}nak {\em egyik} m\'{o}dja a {\sf DNS vez\'{e}relte
 k\'{a}oszj\'{a}t\'{e}k}. 

Ez az algoritmus egy  egys\'{e}gn\'{e}gyzetben \'{a}br\'{a}zolja a DNS l\'{a}ncot.  Az egys\'{e}gn\'{e}gyzet cs\'{u}csai 
a {\sf g, c, a} \'{e}s {\sf t} bet\H{u}ket  reprezent\'{a}lj\'{a}k  \'{e}s a  DNS l\'{a}ncot \'{a}br\'{a}zol\'{o} pontsorozat szerkeszt\'{e}se a k\"{o}vetkez\H{o}: 
({\em 1.8 \'{a}bra}).\\

A n\'{e}gyzet k\"{o}z\'{e}ppontj\'{a}t \"{o}sszek\"{o}tj\"{u}k a n\'{e}gyzetnek, a l\'{a}nc els\H{o} 
bet\H{u}j\'{e}nek megfelel\H{o}, cs\'{u}cspontj\'{a}val. Ennek a szakasznak a felez\H{o}pontja lesz az els\H{o} bet\H{u}nek megfelel\H{o} $P_1$ pont.

Ha m\'{a}r els\H{o} $k$ bet\H{u}b\H{o}l \'{a}ll\'{o} sz\'{o}nak (a l\'{a}nc $k$ {\sf hossz\'{u} prefix\'{e}nek}) megfelel\H{o}
 $\{P_i,  \;\; i=1,2,\dots ,k\}$ pontokat
 megszerkesztett\"{u}k, akkor  a  l\'{a}nc $k+1$-edik bet\H{u}j\'{e}nek megfelel\H{o} $P_{k+1}$ pont a $[c_{k+1}, P_k]$ szakasz felez\H{o}pontja lesz,
 ahol $c_{k+1}$ jelenti a l\'{a}nc $k+1$-edik bet\H{u}j\'{e}nek megfelel\H{o} cs\'{u}csot.  
( Az {\em 1.8. \'{a}bra} a \ {\sf tag...} \  kezdet\H{u} l\'{a}nc \'{a}br\'{a}zol\'{a}s\'{a}t mutatja.) Ezzel minden $n$ bet\H{u}b\H{o}l
\'{a}ll\'{o} l\'{a}ncnak egy $n$-elem\H{u} pontsorozat felel meg. Igy egy nagyon hossz\'{u}, t\"{o}bbezer bet\H{u}b\H{o}l \'{a}ll\'{o} l\'{a}ncnak (sz\'{o}nak) a
k\'{e}pe egy mint\'{a}zatt\'{a} t\"{o}m\"{o}r\"{u}l ({\em 1.9 \'{a}bra}).\\

Az itt felv\'{a}zolt algoritmus  a k\"{o}vetkez\H{o} szab\'{a}ly ism\'{e}tl\'{e}se (iter\'{a}ci\'{o}ja):

{\em $n=0,1,2,\dots$ \'{e}rt\'{e}kekre vegy\"{u}k  a $[c_{n+1}, P_n]$ szakasz felez\H{o}pontj\'{a}t, amikor  $P_0$ a n\'{e}gyzet 
k\"{o}z\'{e}ppontja, $P_n$ a DNS l\'{a}nc $n$-edik bet\H{u}j\'{e}nek megfelel\H{o} pont \'{e}s  $c_{n+1}$ a l\'{a}nc $n+1$-edik
 bet\H{u}j\'{e}t reprezent\'{a}l\'{o} cs\'{u}cs.}\\

Ilym\'{o}don a nagyon hossz\'{u} bet\H{u}l\'{a}ncot az egys\'{e}gn\'{e}gyzetbe k\'{e}pezve  (esetleg az egys\'{e}gn\'{e}gyzet r\'{e}szeit m\'{e}g a kapott
 ponthalmaz s\H{u}r\H{u}s\'{e}g\'{e}nek megfelel\H{o}en szinezve) az elj\'{a}r\'{a}ssal kapott ponthalmaz \'{a}ttekinthet\H{o} k\'{e}pet ad a szavak 
eloszl\'{a}s\'{a}r\'{o}l \'{e}s f\H{o}leg arr\'{o}l hogy mely szavak azok amelyek csak alig fordulnak el\H{o} a l\'{a}ncban, vagyis alulreprezent\'{a}ltak.

A DNS vez\'{e}relte k\'{a}oszj\'{a}t\'{e}kr\'{o}l,   a frakt\'{a}lok k\'{o}dol\'{a}sa keret\'{e}ben, a {\sf 11-12 fejezetben}  fogunk r\'{e}szletesen besz\'{e}lni.\\
\\
\item {\large\bf 8. Egy zeg-zugos partvonal m\'{e}r\'{e}se.} \   A geod\'{e}zi\'{a}ban 
szok\'{a}sos elj\'{a}r\'{a}s egy partvonal (vagy egy foly\'{o} hossz\'{a}nak) m\'{e}r\'{e}s\'{e}re,
hogy egym\'{a}st\'{o}l ugyanakkora $\delta$  t\'{a}vols\'{a}gban,  pontokat (u.n. m\'{e}r\'{e}si sarokpontokat) jel\"{o}lnek 
ki a partvonal ment\'{e}n \'{e}s ezen sarokpontokkal meghat\'{a}rozott soksz\"{o}g hossz\'{a}t tekintik a partvonal vagy a foly\'{o} k\"{o}zel\'{\i}t\H{o} hossz\'{a}nak.
Ha az igy kijel\"{o}lt pontok sz\'{a}ma $M(\delta)+1$ , akkor a partvonal k\"{o}zelit\H{o} hossza
 $$L(\delta)=M(\delta).\delta \leqno{(L)}$$
\'{e}s ezt a m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossz\'{a}nak nevezik. Nagyon zeg-zugos partvonalak eset\'{e}n,
mint amilyen p\'{e}ld\'{a}ul Norv\'{e}gia, vagy Izland partvonala, vagy egy zeg-zugos foly\'{o}, {\em a  m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossz\'{a}val 
nem kapjuk meg a partvonal hossz\'{a}t megfelel\H{o} pontoss\'{a}ggal.} 

 Ennek  oka egyr\'{e}szt az, hogy  a m\'{e}r\'{e}sekn\'{e}l felvehet\H{o}
ugyanazon $\delta$ t\'{a}vols\'{a}gban, { de  k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} helyeken} kijel\"{o}lve
 ezeket a m\'{e}r\'{e}si pontokat, az (L) \'{e}rt\'{e}kek l\'{e}nyegesen elt\'{e}rnek 
egym\'{a}st\'{o}l}, ha a partvonal nagyon zegzugos m\'{a}sr\'{e}szt,
ekkor a $\delta$ cs\"{o}kkent\'{e}s\'{e}vel a m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossza l\'{e}nyegesen megv\'{a}ltozik. ({\em 1.10  \'{a}bra}). 

Ekkor az  $M(\delta )$ \'{e}s $\delta^{-1}$ logaritmusainak a h\'{a}nyados\'{a}t
is felt\"{u}ntetik a m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossza mellett, mint a partvonal ill. foly\'{o} m\'{e}ret\'{e}t jellemz\H{o} sz\'{a}m\'{e}rt\'{e}ket. 

Mit m\'{e}r ez a sz\'{a}m\'{e}rt\'{e}k, amit {\sf kompasz dimenzi\'{o}nak} nevez\"{u}nk? Ezzel a k\'{e}rd\'{e}ssel a {\sf 11. fejezetben foglalkozunk majd.}\\
\\ 
\item {\large\bf 9. Olykor  nem lehet egy fa \'{a}gainak a hossz\'{a}t megm\'{e}rni.}
  Az {\em 1.11 \'{a}br\'{a}n} egy nagyon szab\'{a}lyos leegyszer\H{u}s\'{\i}tett fa szerkeszt\'{e}s\'{e}t l\'{a}tjuk. Az 1. iter\'{a}ci\'{o} alkalmaz\'{a}sa sor\'{a}n 
az egys\'{e}g hoss\'{u}s\'{a}g\'{u} fat\"{o}rzs\"{o}n k\'{e}t $0,6$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} \'{a}g n\H{o}tt, majd mindegyik \'{a}gon k\'{e}t 
k\'{e}t \'{a}g n\H{o} a 2. iter\'{a}ci\'{o} alkalmaz\'{a}s\'{a}val, amelyek mindegyik\'{e}nek hossza az el\H{o}z\H{o} k\'{e}t \'{a}g 0,6 r\'{e}sze. Az ism\'{e}tl\H{o}d\H{o}
szab\'{a}llyal minden l\'{e}p\'{e}sben k\'{e}t k\'{e}t ujabb \'{a}g n\H{o} a legfels\H{o} \'{a}gak cs\'{u}cs\'{a}b\'{o}l, amelyek hossza az el\H{o}z\H{o}
 iter\'{a}ci\'{o}bankin\H{o}tt \'{a}gak hossz\'{a}nak a 0,6 r\'{e}sze.
Az \'{a}gak {\em \"{o}sszhossz\'{u}s\'{a}ga} igy alakul:

 Legyen $H_n$ az $n$-ik iter\'{a}lt (az "$n$ szint\H{u} fa") \'{a}gainak hossza. Ekkor\\
\\
$H_1=1+2.0,6$\\
$H_2=1+2.0,6+4.0,6^2$\\
\\
\'{e}s mivel az \'{a}gak {\em sz\'{a}ma} mindig az el\H{o}z\H{o} 
szint \'{a}gainak a dupl\'{a}ja, az egyes \'{a}gak {\em hossza} viszont az el\H{o}z\H{o} szint \'{a}gainak 0,6-szorosa
$$H_n= 1+2.0,6+2^2.0,6^2+\dots +2^{n-1}.0,6^{n-1}=\frac{1.2^n-1}{0,2}$$
amely egy hat\'{a}rtalanul n\"{o}veked\H{o} sorozat.

Az elj\'{a}r\'{a}s "v\'{e}gterm\'{e}ke"egy olyan "fa" amely \'{a}gainak \"{o}sszhossz\'{u}s\'{a}ga b\'{a}rmely sz\'{a}mn\'{a}l nagyobb. M\'{e}gis az eg\'{e}sz fa elf\'{e}r p\'{e}ld\'{a}ul egy $2$ sugar\'{u} k\"{o}rben.

 Ha az ar\'{a}nyoss\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}t 0,4-nek vessz\"{u}k (0,6 helyett), akkor 
valamivel alacsonyabb f\'{a}t kapunk \'{e}s a fa \'{a}gainak 
\"{o}sszhossz\'{u}s\'{a}ga  kisebb \"{o}tn\'{e}l. 

Az is k\"{o}nnyen bel\'{a}that\'{o}
a megfelel\H{o} geometriai sorok vizsg\'{a}lat\'{a}val, hogy a fordulat
 $0,5$-n\'{e}l \'{a}ll be.
{\em Ha b\'{a}rmilyen picik\'{e}t is a $0,5$ al\'{a} megy\"{u}nk (vagyis 
b\'{a}rmilyen $0,5-\epsilon \;\; (\epsilon>0)$ ar\'{a}nyoss\'{a}gi 
t\'{e}nyez\H{o}t vesz\"{u}nk) akkor a fa \'{a}gainak \"{o}sszhossz\'{u}s\'{a}ga egy 
v\'{e}ges pozitiv sz\'{a}m alatt marad, viszont ha 
 b\'{a}rmilyen picik\'{e}t is n\"{o}velj\"{u}k a $0,5$ ar\'{a}nyoss\'{a}gi 
t\'{e}nyez\H{o}t (vagyis b\'{a}rmilyen $0,5+\epsilon \;\; (\epsilon>0)$ 
ar\'{a}nyoss\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}t vesz\"{u}nk) akkor a fa \'{a}gainak 
\"{o}sszhossz\'{u}s\'{a}ga hat\'{a}rtalanul n\"{o}vekszik.}

Igy megadhatunk k\'{e}t olyan {\em 1.11 \'{a}bra} tipus\'{u} sorozatot, amelyek
\'{a}br\'{a}ja nem, vagy alig k\"{u}l\"{o}nb\"{o}zethet\H{o} meg 
egym\'{a}st\'{o}l \'{e}s m\'{e}gis az egyikben a fa \'{a}gainak 
\"{o}sszhossz\'{u}s\'{a}ga hat\'{a}rtalanul n\"{o}vekszik, a m\'{a}sik sorozatban
 pedig ez egy adott \'{e}rt\'{e}k alatt marad.

Ezek ut\'{a}n  \'{e}rdemes elgondolkodni  a matematikai modell  \'{e}s  a val\'{o}s\'{a}g  kapcsolat\'{a}n.\\
   \end{itemize}
\\   \\
\vspace{5mm}\\
{\large\bf **Feladatok \'{e}s kieg\'{e}szit\'{e}sek.}\\
\\   \\
{\Large F. 0.1}  Sz\'{a}mozzuk meg az  {\em X \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o} m\'{o}don a  Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g r\'{e}szeit. Ennek alapj\'{a}n igazoljuk,
hogy a  Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g pontjainak a sz\'{a}moss\'{a}ga megegyezik a Cantor halmaz\'{e}val.\\
\\
{\Large F. 0.2} Igazoljuk, hogy a {\large 6. p\'{e}ld\'{a}ban}, a fa\'{a}g szerkeszt\'{e}s\'{e}ben, el\'{e}g hossz\'{u} ideig folytatva
az iter\'{a}ci\'{o}t, vagyis el\'{e}g sokszor alkalmazva az $F$ szab\'{a}lyt, a kapott t\"{o}rtvonal hossza tetsz\H{o}legesen nagy lehet.  

Pr\'{o}b\'{a}ljuk megmutatni azt is, hogy a fa\'{a}g k\'{e}tdimenzi\'{o}s m\'{e}rt\'{e}ke (ter\"{u}lete) csak nulla lehet.\\

\\
{\Large F. 0.3} A sz\'{a}m\'{\i}t\'{o}g\'{e}p {\em cos} gombj\'{a}nak nyomogat\'{a}s\'{a}val az {\large 1. p\'{e}ld\'{a}ban} meghat\'{a}roztuk a 
koszinusz f\"{u}ggv\'{e}ny
 iter\'{a}ltjait (m\'{a}s sz\'{o}val azta diszkr\'{e}t dinamik\'{a}t amelyet a koszinusz f\"{u}ggv\'{e}ny ir\'{a}ny\'{\i}t). Most
a {\large 2. p\'{e}lda} mint\'{a}j\'{a}ra, geometriai szerkeszt\'{e}ssel fogjuk ezt megadni.

Az {\em 1.14a-b \'{a}br\'{a}n} megmutatjuk az iter\'{a}ci\'{o}
sorozatok nyilfolyam \'{a}br\'{a}zol\'{a}sat az
$$f(x)=\cos x$$
eset\'{e}re, amelyet hasonl\'{o}an b\'{a}rmely $f: \; R\rightarrow R$ 
eset\'{e}n alkalmazhatunk.  

Az \'{a}br\'{a}n a kezd\H{o}\'{e}rt\'{e}k $x=1.18$ (radi\'{a}nban m\'{e}rve). Ekkor a $\cos$ gombot benyomva 
a sz\'{a}mol\'{o}g\'{e}p kijelz\H{o}j\'{e}n $0.38\dots$ jelenik meg, ami az 
\'{a}br\'{a}n $f(x)$-el van jel\"{o}lve. $f(x)$ k\'{e}t helyen is 
leolvashat\'{o}: el\H{o}sz\"{o}r az $x$-b\H{o}l k\'{\i}ndul\'{o} nyilfolyam 
els\H{o} t\"{o}r\'{e}spontj\'{a}n, 
amely a koszinusz g\"{o}rbe $x=1.18$-hoz tartoz\'{o} pontja, m\'{a}sodszor pedig az  X tengelyen,
ahova a $45^\circ$ egyenes segits\'{e}g\'{e}vel (a sz\"{u}rke egyenessel) 
levetitett\"{u}k ezt az $f(x)=0.38\dots$ g\"{o}rbepontot. 

Az 1.14b \'{a}bra ennek a folytat\'{a}s\'{a}t mutatja. A $\cos$ gomb m\'{a}sodik 
megnyom\'{a}s\'{a}nak az eredm\'{e}ny\'{e}t az el\H{o}z\H{o}vel teljesen megegyez\H{o}
szerkeszt\'{e}s adja, csak most m\'{a}r az $f(x)$-el jelzett $0.38\dots$
\'{e}rt\'{e}kb\H{o}l k\'{\i}ndulva.  A $\cos$ gomb m\'{a}sodik megnyom\'{a}s\'{a}val 
kapott $0.93\dots$ \'{e}rt\'{e}ket, $f^{[2]}(x)$-el jel\"{o}lve, szint\'{e}n k\'{e}t
helyen olvashatjuk le az \'{a}br\'{a}n s.i.t.}\\
\\
{\Large F. 0.4} Legyenek $\{C_i; \; i=1,2,3,4\}$ egy n\'{e}gyzet cs\'{u}cspontjai. Legyen $Q$ a n\'{e}gyzet k\"{o}z\'{e}ppontja \'{e}s legyen
$P_1$ a $[Q,C_i]$ egyenesszakasz felez\H{o}pontja, ahol $C_i$ a n\'{e}gyzetnek {\em v\'{e}letlenszer\H{u}en} v\'{a}lasztott cs\'{u}cspontja. Majd 
ism\'{e}telj\"{u}k meg ezt a szerkeszt\'{e}st a $P_1$ ponttal, vagyis vegy\"{u}k a $[P_1,C_i]$ egyenesszakasz felez\H{o}pontj\'{a}t \'{e}s ez legyen
 a $P_2$ pont s.i.t. Pontosabban, szerkessz\"{u}k meg a $\{P_n; \; n=2,3,\dots\}$ pontsorozatot, ahol 
\begin{center}
$P_n$ a $[P_{n-1},C_i]$ egyenesszakasz felez\H{o}pontja, ahol$C_i$ a n\'{e}gyzetnek {\em v\'{e}letlenszer\H{u}en} v\'{a}lasztott cs\'{u}cspontja.
\end{center}

{\Large I.}  \  Igaz-e, hogy az igy szerkesztett $\{P_n; \; n=2,3,\dots\}$ sorozat id\H{o}vel bet\"{o}lti az eg\'{e}sz n\'{e}gyzetet? Pontosabban 
sz\'{o}lva,  igaz-e  hogy  kiv\'{a}lasztva a
 n\'{e}gyzet belsej\'{e}ben egy $P$ pontot \'{e}s $\epsilon >0$-t, van a $\{P_n; \; n=2,3,\dots\}$ sorozatnak legal\'{a}bb egy olyan pontja amelynek
 a $P$-t\H{o}l m\'{e}rt t\'{a}vols\'{a}ga kisebb, mint $\epsilon$?

{\Large II.}  \ Legyen a n\'{e}gyzet oldala $1$  \'{e}s $\epsilon =0.1$. Meg tudjuk-e v\'{a}lasztani a $C_i$ cs\'{u}cspontokat \'{u}gy, hogy $P_{10}$
 legfeljebb $0.1$   t\'{a}vols\'{a}gban legyen egy adott $P$ pontt\'{o}l? \\
\\
{\Large F. 0.5} Legyenek $\{C_i; \; i=1,2,3\}$ egy szab\'{a}lyos h\'{a}romsz\"{o}g cs\'{u}cspontjai. V\'{e}gezz\"{u}k el az {\large F.0.4}-el anal\'{o}g
szerkeszt\'{e}st. Bet\"{o}lti-e az igy szerkesztett $\{P_n; \; n=2,3,\dots\}$ sorozat az eg\'{e}sz h\'{a}romsz\"{o}get? (Gondoljunk arra, hogy
 szab\'{a}lyos h\'{a}romsz\"{o}g helyett egy n\'{e}gyzet h\'{a}rom cs\'{u}csponj\'{a}val megadott h\'{a}romsz\"{o}g eset\'{e}ben mi a helyzet.)\\
\\
{\Large F. 0.7} Igazoljuk, hogy a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gnek mint 
ponthalmaznak a sz\'{a}moss\'{a}ga azonos a [0,1] intervallum\'{e}val.\\
\\
{\Large F. 0.8} M\'{o}dositsuk a Cantor halmaz szerkeszt\'{e}s\'{e}t \'{u}gy, hogy 
$\frac{1}{3}$ helyett $\frac{1}{2}$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} (nyilt) intervallumot v\'{a}gunk ki a $[0,1]$ k\"{o}zep\'{e}b\H{o}l \'{e}s ezt
 ism\'{e}telj\"{u}k ujra meg ujra, vagyis az egyes iter\'{a}ci\'{o}s l\'{e}p\'{e}sekn\'{e}l a megmarad\'{o} egyenesszakaszoknak  
nem a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} (nyilt) harmad\'{a}t, hanem a fel\'{e}t v\'{a}gjuk ki. 
 
Igazoljuk hogy
$$f^{[n]}([0, 1])\subset f^{[n-1]}([0, 1]); \;\; \; n=1,2,\dots$$
ahol, mint eddig, $f^{[n]}$ az $f$ szab\'{a}ly $n$-edik ism\'{e}tl\'{e}se. Mennyi lehet ekkor az $f^{[n]}([0, 1]); \;\; \; (n=1,2,\dots)$
 halmazok k\"{o}z\"{o}s r\'{e}szenek hossza?\\
\\
{\Large F. 0.9} M\'{o}dositsuk a Cantor halmaz szerkeszt\'{e}s\'{e}t \'{u}gy, hogy 
$\frac{1}{3}$ helyett $\frac{1}{1000}$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} (nyilt) intervallumot v\'{a}gunk ki a $[0,1]$ k\"{o}zep\'{e}b\H{o}l \'{e}s ezt
 ism\'{e}telj\"{u}k ujra meg ujra, vagyis az egyes iter\'{a}ci\'{o}s l\'{e}p\'{e}sekn\'{e}l a megmarad\'{o} egyenesszakaszoknak  
nem a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} (nyilt) harmad\'{a}t, hanem csup\'{a}n az 
ezredr\'{e}sz\'{e}t v\'{a}gjuk ki. Irjuk fel az $f$ szab\'{a}lyt amelyet ekkor ism\'{e}tl\"{u}nk. Igazoljuk hogy
$$f^{[n]}([0, 1])\subset f^{[n-1]}([0, 1]); \;\; \; n=1,2,\dots$$
ahol, mint eddig, $f^{[n]}$ az $f$ szab\'{a}ly $n$-edik ism\'{e}tl\'{e}se. Mennyi lehet ekkor az $f^{[n]}([0, 1]); \;\; \; (n=1,2,\dots)$
 halmazok k\"{o}z\"{o}s r\'{e}szenek hossza?\\
\\
{\Large F. 0.10} Hogyan adhat\'{o} meg a {\large 8. p\'{e}ld\'{a}ban} szerepl\H{o} fa meg\'{e}pit\'{e}se egy iter\'{a}ci\'{o}s sorozattal?\\
\\
{\Large F. 0.11}  Az {\em 1.13 \'{a}bra} szerint k\'{o}dolt n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}k sorozat\'{a}ban t\"{o}r\"{o}lj\"{u}nk minden olyan n\'{e}gyzetet, amelynek 
"k\'{o}dja" a $3$ jelet tartalmazza.\\
{\Large I.}  Mennyi lehet az egys\'{e}gn\'{e}gyzet ezut\'{a}n megmarad\'{o} r\'{e}szhalmaz\'{a}nak a ter\"{u}lete?\\
{\Large II.}  Mennyi lehet az egys\'{e}gn\'{e}gyzet ezut\'{a}n megmarad\'{o} r\'{e}szhalmaz\'{a}nak a ker\"{u}lete?\\
\\
{\Large F. 0.12}  Az {\em 1.13 \'{a}bra} szerint k\'{o}dolt n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}k sorozat\'{a}ban t\"{o}r\"{o}lj\"{u}nk minden olyan n\'{e}gyzetet, amelynek 
"k\'{o}dja" a $30$ jelet tartalmazza.\\
{\Large I.}  Mennyi lehet az egys\'{e}gn\'{e}gyzet ezut\'{a}n megmarad\'{o} r\'{e}szhalmaz\'{a}nak a ter\"{u}lete?\\
{\Large II.}  Mennyi lehet az egys\'{e}gn\'{e}gyzet megmarad\'{o} r\'{e}szhalmaz\'{a}nak a ter\"{u}lete, ha a $30$ {\em \'{e}s} $03$ jeleket 
(szavakat) tartalmaz\'{o} \"{o}sszes n\'{e}gyzete t\"{o}r\"{o}lj\"{u}k?\\
\\

\\

\end{sloppypar}



\end{document}



