












                                                                                                     


\documentstyle[12pt]{article}

\newcommand{\xxhat}{\Rightarrow  }
\newcommand{\xxnyo}{\infty}
\newcommand{\xxc}  {\subseteq}
\newcommand{\xxe}  {\in}
\newcommand{\xxn}  {\cap}
\newcommand{\xxq}  {\circ }
\newcommand{\xxu}  {\bigcup}
\newcommand{\xxdol}{\not=}
\newcommand{\xxnag}{\geq}
\newcommand{\xxkis}{\leq}
\newcommand{\xxfug}{\mid}
\newcommand{\xye}  {\varepsilon}
\newcommand{\xyf}  { \phi }
\newcommand{\xya}  {\alpha}
\newcommand{\xyq}  {\theta }
\newcommand{\xyl}  {\lambda}
\newcommand{\xyp}  {\pi}
\newcommand{\xys}  {\sum}
\newcommand{\xxs}  {\sum}
\newcommand{\xyd}  {\delta}
\newcommand{\xyt}  {\tau}
\newcommand{\xym}  {t}
\newcommand {\Fi}  {\{F_i \;\; i=1,2,\dots N\}}
\newcommand{\lek}{lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\xhas}{hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\xnd}{N_\delta({\cal B})}




\begin{document}
\\

{\sf\LARGE II. \ \ FRAKT\'{A}LDIMENZI\'{O}K.}\\
\\  
\vspace*{20mm}
\\
{\Large Nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u} halmazok.} \\
 \\
{\bf\Large  9.1}\\

A {\sf Frakt\'{a}ldimenzi\'{o}kr\'{o}l egyszer\H{u}en"} c. \'{\i}r\'{a}sban m\'{a}r megvolt az els\H{o} tal\'{a}lkoz\'{a}sunk a boxdimenzi\'{o}val. Itt egy
egyszer\H{u} n\'{e}gyzetr\'{a}csos elj\'{a}r\'{a}st mutattunk, amellyel t\"{o}meg\'{e}vel gy\'{a}rthatunk t\"{o}rtdimenzi\'{o}s halmazokat. A k\"{o}vetkez\H{o}
l\'{e}p\'{e}s az \"{o}nhasonl\'{o} halmazok boxdimenzi\'{o}j\'{a}nak a meghat\'{a}roz\'{a}sa, amelyekr\H{o}l  el\H{o}sz\"{o}r megmutatjuk, hogy "ter\"{u}let\"{u}k 0
ker\"{u}let\"{u}k $\infty$" vagyis sem ter\"{u}let\"{u}k, sem ker\"{u}let\"{u}k nem lehet egy {\em v\'{e}ges, pozit\'{\i}v sz\'{a}m}.\\

 Feleleven\'{\i}tj\"{u}k azt a gondolatmenetet, amellyel a   bevezet\H{o}  p\'{e}ld\'{a}kban megmutattuk, hogy a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g, a Koch g\"{o}rbe
\'{e}s a fa\'{a}g ter\"{u}lete csak 0 lehet \'{e}s ez ut\'{o}bbiak ker\"{u}lete pedig $\infty$.  A csill\'{a}rra  ({\em 3.3 \'{a}bra}) fogjuk 
alkalmazni ezt a  gondolatmenetet, amely szint\'{e}n egy \"{o}nhasonl\'{o} halmaz.

Ha a kiindul\'{o} n\'{e}gyzet ter\"{u}lete egys\'{e}gnyi \'{e}s $a=0.6, \; b=0.2,$  akkor az 1. iter\'{a}ci\'{o}val kapott \"{o}t n\'{e}gyzet ter\"{u}lete
$$ 0.6^2+4*0.2^2=0.52$$
\'{e}s ezut\'{a}n minden iter\'{a}ci\'{o} ut\'{a}n a $0.52$ r\'{e}sze lesz a kapott n\'{e}gyzetek \"{o}sszter\"{u}lete az el\H{o}z\H{o}\'{e}khez k\'{e}pest. Ugyanis,
a k\"{o}vetkez\H{o}, 2.iter\'{a}ci\'{o}val, az el\H{o}z\H{o} iter\'{a}ci\'{o} \'{a}br\'{a}ja  a nagyobbik
n\'{e}gyzetbe ker\"{u}l $0.6$-szoros line\'{a}ris m\'{e}retben  \'{e}s $0.2$-szoros line\'{a}ris m\'{e}retben pedig a n\'{e}gy kisebbik n\'{e}gyzetbe
({\em 3.3 \'{a}bra}). 
{\em Ugyanez t\"{o}rt\'{e}nik minden iter\'{a}ci\'{o} ut\'{a}n.}

Igy  a m\'{a}sodik iter\'{a}ci\'{o}val kapott n\'{e}gyzetek \"{o}sszter\"{u}lete: 
$$0.36*0.52+4*0.04*0.52=0.52^2$$     
 \'{e}s ha valamelyik iter\'{a}ci\'{o} ut\'{a}n a halmaz ter\"{u}lete
 $t$, akkor a k\"{o}vetkez\H{o} iter\'{a}ci\'{o} ut\'{a}n a ter\"{u}lete
$$0.6^2t+4*0.2^2t=0.52t.$$ 
Vagyis, minden iter\'{a}ci\'{o}val kb. felez\H{o}dik a ter\"{u}let. Igy a csill\'{a}r {\em ter\"{u}lete} is csak nulla lehet.

Az iter\'{a}ci\'{o}kkal kapott halmazok {\em ker\"{u}let\'{e}t} sz\'{a}molva, az els\H{o} iter\'{a}ci\'{o} $1+4$ n\'{e}gyzet\'{e}nek a hossza 
$4*0.6+4*0.2*4=5.6$. A m\'{a}sodik iter\'{a}ci\'{o} vonalainak a hossz\'{u}s\'{a}ga 
 $0.6*5.6+4*02*5.6$. Ha valamelyik iter\'{a}ci\'{o} ut\'{a}n a vonalak hossza $h$, akkor a k\"{o}vetkez\H{o} iter\'{a}ci\'{o} ut\'{a}n
$$0.6h+4*0.2h$$
 lesz a vonalak hossza; vagyis az egym\'{a}sut\'{a}n k\"{o}vetkez\H{o} iter\'{a}ci\'{o}kkal kapott, n\'{e}gyzetekb\H{o}l \'{a}ll\'{o} \'{a}br\'{a}k
  vonalainak hossz\'{u}s\'{a}ga
egy $1.4$ h\'{a}nyados\'{u} geometriai sorozatot alkot.

Az $1.4$ h\'{a}nyados\'{u} geometriai sorozat elemei  viszont tetsz\H{o}legesen naggy\'{a} v\'{a}lnak, ha el\'{e}g messze megy\"{u}nk a sorozatban.\\
\\ 

Node, val\'{o}ban nulla a sz\'{o}banforg\'{o}  halmazok ter\"{u}lete? A v\'{a}laszhoz sz\"{u}ks\'{e}gunk van a ter\"{u}let 
definici\'{o}j\'{a}ra, vagyis 
arra, hogy {\sf mit nevez\"{u}nk egy (sik)halmaz ter\"{u}let\'{e}nek}. Egy ilyen definici\'{o} a k\"{o}vetkez\H{o}.

{\em Azt mondjuk, hogy az $\{ {\cal I}_k, \;\;  \;\; k=1,2,\dots \}$ t\'{e}glalapok sorozata {\sf lefedi a $\cal B$ halmazt} ha
$$         {\cal B}\xxc  \cup {\cal I}_k \:  ; $$
vagyis  ${\cal B}$ r\'{e}sze az $\{{\cal I}_k ; \ \  k=1,2, \dots \}$ uni\'{o}j\'{a}nak.
 
 Legyen $t({\cal I}_k )$ az ${\cal I}_k$  t\'{e}glalap ter\"{u}lete \'{e}s  ${\cal B}$ minden lefed\'{e}s\'{e}hez rendelj\"{u}k
hozz\'{a} a lefed\H{o} t\'{e}glalapok ter\"{u}leteinek  \"{o}sszeg\'{e}t, a $ \sum t({\cal I}_k) $ sz\'{a}mot. Ezt az \"{o}sszeget a $\cal B$ 
k\"{o}zelit\H{o} ter\"{u}let\'{e}nek
tekintj\"{u}k. Ezeknek a k\"{o}zel\'{\i}t\H{o} ter\"{u}leteknek a minimuma lesz a $\cal B$ ter\"{u}lete.} A matematika nyelv\'{e}n ezt \'{\i}gy
\'{\i}rhatjuk le
$$      \xym [{\cal B}]= \hbox{inf} \: \left\{ \sum_k  t({\cal I}_k
): \ \  {\cal B}\xxc  \cup {\cal I}_k  \right\} \: . \leqno{(9.1)} $$
 Szavakban a (9.1) \'{\i}gy fejezhet\H{o} ki: Ha tekintj\"{u}k a $\cal B$-nek az \"{o}sszes lehets\'{e}ges lefed\'{e}s\'{e}t t\'{e}glalapokkal
 \'{e}s minden lefed\'{e}shez hozz\'{a}rendelj\"{u}k a $\sum t({\cal I}_k )$ sz\'{a}mot, akkor az igy kapott sz\'{a}mhalmaz als\'{o} hat\'{a}ra 
lesz $t [{\cal B}]$, a $\cal B$ ter\"{u}lete.\\

\'{U}gy gondolom, hogy ez a definici\'{o} \"{o}sszhangban van a ter\"{u}letr\H{o}l sz\'{o}l\'{o} elk\'{e}pzel\'{e}seinkkel.
 A (9.1) a matematika nyelv\'{e}n fejezi ki azt,
amit ter\"{u}letnek gondolunk. V\'{e}grehajt\'{a}sa azonban problematikus. P\'{e}ld\'{a}ul, Hogyan \'{a}llithatjuk el\H{o} az {\em \"{o}sszes} 
lehets\'{e}ges lefed\'{e}st?\\

Egy szok\'{a}sos ter\"{u}letm\'{e}r\'{e}si elj\'{a}r\'{a}s a  k\"{o}vetkez\H{o}. Egy n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}t fektet\"{u}nk r\'{a} a megm\'{e}rend\H{o}
 halmazra (\'{a}br\'{a}ra) \'{e}s megsz\'{a}moljuk 
azokat a n\'{e}gyzeteket, amelyek fedik a $\cal B$ halmaz valamelyik r\'{e}sz\'{e}t,
vagyis azokat a n\'{e}gyzeteket, amelyeknek k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sze a halmazzal {\em  nem \"{u}res}.

Ha a n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o} elemeinek oldal\'{e}le $\xyd$ \'{e}s  $N_{\delta} ({\cal B})$ azoknak a
n\'{e}gyzeteknek a sz\'{a}ma, amelyek fedik a halmaz (\'{a}bra) valamelyik r\'{e}sz\'{e}t, akkor az {\em \'{\i}gy} lefed\H{o}
n\'{e}gyzetek \"{o}sszter\"{u}lete
$$       N_{\delta} ({\cal B})\xyd^2   \leqno{(9.2)}  $$
\'{e}s ezt a ${\cal B}$ k\"{o}zel\'{\i}t\H{o} ter\"{u}let\'{e}nek tekintj\"{u}k, ha $\xyd$ el\'{e}g kicsi ({\em 9.1 \'{a}bra}).\\
\\
MEGJEGYZ\'{E}S. Figyelj\"{u}k meg a n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}s ter\"{u}letm\'{e}r\'{e}si elj\'{a}r\'{a}s kapcsolat\'{a}t a
{\sf "Frakt\'{a}ldimenzi\'{o}kr\'{o}l egyszer\H{u}en"} c.  n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}s modellel.\\

A n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}s elj\'{a}r\'{a}st alkalmazva a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gre ({\em 5.2 \'{a}bra })
$$ {\rm ha} \;\; \delta = \frac{1}{2}  \;\;  \;\;  {\rm akkor} \;\; \xnd =3 $$
$$ {\rm ha} \;\; \delta = \frac{1}{4}  \;\;  \;\;  {\rm akkor} \;\; \xnd =3*3=9 $$
$$ {\rm ha} \;\; \delta = \frac{1}{8}  \;\;  \;\;  {\rm akkor} \;\; \xnd =3^3 $$
\'{e}s a szab\'{a}ly folytat\'{a}s\'{a}val, teljes indukci\'{o}val, ha   $\delta = \frac{1}{2^n}$, akkor $\xnd =3^n $. Ebb\H{o}l 
$$ N_{\delta} ({\cal B})\xyd^2 =3^n(\frac{1}{2^n})^2= 0.75^n$$
ami tetsz\H{o}legesen k\"{o}zel ker\"{u}l a null\'{a}hoz, ha $n$ el\'{e}g nagy.\\

Azt kaptuk eredm\'{e}ny\"{u}l, hogy a speci\'{a}lis, n\'{e}gyzetr\'{a}csos lefed\'{e}sek ter\"{u}lete tetsz\H{o}legesen kicsi lehet, ami 
{\em a ter\"{u}let definici\'{o}ja alapj\'{a}n azt jelenti, hogy a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g ter\"{u}lete nulla.}

 A Koch g\"{o}rbe vagy a csill\'{a}r ter\"{u}lete is nulla lesz  ezzel az elj\'{a}r\'{a}ssal.\\

{\sf Nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u} halmaznak} fogjuk nevezni azokat a halmazokat, amelyek ter\"{u}lete nulla. Ha a  n\'{e}gyzetr\'{a}csos
m\'{e}r\'{e}ssel kapott (9,2) \'{e}rt\'{e}kek tetsz\H{o}legesen kicsiv\'{e} v\'{a}lnak, vagyis $N_{\delta} ({\cal B})\xyd^2\rightarrow 0$
ha $\delta\rightarrow 0$, akkor a halmaz 
nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u} ({\bf Mi\'{e}rt?}).\\
 \\   \\
{\bf\Large  9.2} 

 A ter\"{u}letfogalom alapvet\H{o} tulajdons\'{a}gai a k\"{o}vetkez\H{o}k: 

Jel\"{o}lj\"{u}k egy $\cal B$ halmaz ter\"{u}let\'{e}t $t ({\cal B})$-vel. Ekkor
\begin{itemize}
\item I. $ \xym [{\cal B}]\xxnag 0$.
\item  II. $t [\emptyset ]=0$ \  \  ($\emptyset$ az \"{u}res halmaz). 
\item  III. Ha ${\cal B}_i ; \;\; i=1,2,\dots , N$ \  diszjunkt halmazok, akkor
$$ t[\cup_{i=1}^N {\cal B}_i] = \sum_{i=1}^N  t [{\cal B}_i].$$
\end{itemize}
Ezek k\"{o}z\"{u}l csak a  III. nem nyilv\'{a}nval\'{o}. Az I.- III. tulajdons\'{a}gokat {\sf m\'{e}rt\'{e}kaxi\'{o}m\'{a}knak} nevezz\"{u}k.\\
\\
{\large\bf T\'{e}tel}. Az I.-III.-b\'{o}l k\"{o}vetkezik\\
{\Large 1.} Ha ${\cal B}\subset {\cal C}$, akkor $t [{\cal B}]\leq t [{\cal C}].$\\
{\Large 2.} Tetsz\H{o}leges}
	 ${\cal B}_i ; \;\; i=1,2,\dots , n$ (korl\'{a}tos z\'{a}rt) halmazokra
 $$ \xym [\cup_{i=1}^n {\cal B}_i] \leq \sum_{i=1}^n  \xym [{\cal B}_i]}.\leqno{(9.3)}$$
\\
{\large\bf Bizonyit\'{a}s.} {\Large 1.} Ha ${\cal B}\subset {\cal C}$, akkor
\begin{center}
${\cal C}={\cal B}\bigcup (\cal C}-{\cal B})$  \'{e}s ${\cal B}, \; (\cal C}-{\cal B})$ diszjunkt halmazok.
\end{center}
Ez\'{e}rt a   II. alapj\'{a}n
$$t[{\cal C}]=t[{\cal B}]+t[({\cal C}-{\cal B})]\geq t[{\cal B}].$$
{\Large 2.} $n=2$-re,
 $$t [{\cal B}_1 \cup {\cal B}_2] = t [{\cal B}_1] \cup  t [({\cal B}_2 - {\cal B}_1 )]\leq t[{\cal B}_1]+
 t[{\cal B}_2]$$
 mivel ${\cal B}_1$ \'{e}s  ${\cal B}_2 -{\cal B}_1$ diszjunkt halmazok \'{e}s ${\cal B}_2 - {\cal B}_1 \subseteq {\cal B}_2$.
 
Ha $n=3$ akkor
$$t [{\cal B}_1 \cup {\cal B}_2\cup {\cal B}_3]=t[({\cal B}_1 \cup {\cal B}_2)\cup {\cal B}_3]\leq 
t [{\cal B}_1 \cup {\cal B}_2]+t[{\cal B}_3]\leq t [{\cal B}_1]+t[{\cal B}_2]+t[{\cal B}_3]$$
mivel $n=2$-re \'{e}ppen most igazoltuk a (9.3) egyenl\H{o}tlens\'{e}get.  

Ugyanigy k\"{o}vetkezik $n-1$-r\H{o}l $n$-re, $n>3$ eset\'{e}n is, a(9.3) egyenl\H{o}tlens\'{e}g.\\

A ter\"{u}letm\'{e}r\'{e}snek alapvet\H{o} tulajdons\'{a}ga m\'{e}g az is, hogy ha egy $\cal H$ halmaz (alakzat) "line\'{a}ris
 m\'{e}rete $r$-szeres\'{e}re v\'{a}ltozik", akkor az igy kapott, a $\cal H$-val hasonl\'{o} ${\cal H}^*$ halmaz (alakzat) ter\"{u}lete 
a $\cal H$ ter\"{u}let\'{e}nek az $r^2$-szerese lesz. Err\H{o}l sz\'{o}l majd a k\"{o}vetkez\H{o} {\bf T\'{e}tel}.\\

(Eml\'{e}keztet\"{u}nk arra, hogy $\cal H$ {\sf "line\'{a}ris  m\'{e}rete $r$-szeres\'{e}re v\'{a}ltozik"} azt jelenti, hogy van olyan $F$
hasonl\'{o}s\'{a}gi \lek  \ $r$  hasonl\'{o}s\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}vel, hogy
$${\cal H}^* = F({\cal H})$$
 (ld. {\large 2.1}).  \   H\'{e}tk\"{o}znapi nyelven ez azt jelenti, hogy  ${\cal H}^*$ a $\cal H$ {\em olyan ar\'{a}nyosan kicsinyitett/nagy{\'{\i}}tott
 m\'{a}sa, amelynek 
az \'{a}tm\'{e}r\H{o}je a $\cal H$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\'{e}nek az $r$-szerese}.)\\
\\  \\
{\LARGE\bf **}\\
{\large\bf T\'{e}tel.} Ha $F$ egy hasonl\'{o}s\'{a}gi \lek  \ $r$  hasonl\'{o}s\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}vel \'{e}s $\cal B$ egy kompakt halmaz, akkor
$$t[F({\cal B})}]=r^2tÿ({\cal B}).$$
{\large\bf Bizonyit\'{a}s.} 
Ha $F: {\bf R}^2  \xxhat {\bf R}^2$  egy hasonl\'{o}s\'{a}gi
lek\'{e}pez\'{e}s $r$ hasonl\'{o}s\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}vel \'{e}s ${\cal I}$ egy t\'{e}glalap, akkor nyilv\'{a}n
$$       \xym [F({\cal I})]=r^2  \xym [{\cal I}] \leqno{(9.4)} $$
 
 
 Ha $\cup {\cal I}_k$ a $\cal B$ halmaz egy lefed\'{e}se, vagyis
 ${\cal B} \subset \cup {\cal I}_k$, akkor $\cup F({\cal I}_k)$ az 
 $F({\cal B})$ halmaz egy lefed\'{e}se. Ugyanis ekkor 
 $$F({\cal B})\subset F(\cup {\cal I}_k) = \cup F({\cal I}_k). \leqno {(9.5)}$$ 
 A (9.4) \'{e}s (9.5) alapj\'{a}n 
 $$t [F({\cal B})] \leq t[(\cup  F({\cal I}_k)]\leq \sum t (F({\cal I}_k)) = r^2 \sum t ({\cal I}_k)\leqno{(*)}$$
 amib\H{o}l m\'{a}r  k\"{o}vetkezik, hogy
         $$t [F({\cal B})] \leq r^2 t [{\cal B}], \leqno {(9.6)}$$
 ( mi\'{e}rt nem k\"{o}vetkezik {\em egyenl\H{o}s\'{e}g} a (*)-b\'{o}l?).

Mivel az $F({\cal B})$ halmaz minden $\cup{\cal I}_k^*$ lefed\'{e}s\'{e}hez is
tartozik a $\cal B$-nek egy lefed\'{e}se, m\'{e}gpedig $r^{-2}$ t\'{e}nyez\H{o}vel, ez\'{e}rt (8.6)-ben egyenl\H{o}s\'{e}g \'{a}ll. 

R\'{e}szletesebben:

Minden hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}snek van $F^{-1}$ inverze, amely
hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s $r^{-1}$ hasonl\'{o}s\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}vel. Ha
$F^{-1}$-el vissz\"{u}k v\'{e}gig a fenti gondolatmenetet, akkor
$$\xym [F^{-1}(F({\cal B}))] \leq  r^{-2}\xym [F({\cal B})] \ $$ 
vagyis
$$r^2t[{\cal B}]\leq t[F({\cal B})] \leqno{\hbox{(9.7)}}$$
 A (9.6) \'{e}s (9.7) \"{o}sszehasonlit\'{a}s\'{a}b\'{o}l k\"{o}vetkezik 
 $$t [F({\cal B})] = r^2 t [{\cal B}].$$
 {\LARGE\bf **}\\
 \\   \\
{\bf\Large  9.3} 

 Puszt\'{a}n a hasonl\'{o} halmazok ter\"{u}leteinek fenti tulajdons\'{a}ga \'{e}s a m\'{e}rt\'{e}kaxi\'{o}m\'{a}k alapj\'{a}n, {\em a ter\"{u}let 
k\"{o}zvetlen kisz\'{a}mit\'{a}sa n\'{e}lk\"{u}l} is eld\"{o}nthetj\"{u}k egy  \"{o}nhasonl\'{o} halmazr\'{o}l azt hogy 
nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u}-e.\\

Legyen $\{F_i ; \ \ i=1,2, \ldots ,K\}$ az ${\cal A}$ 
\"{o}nhasonl\'{o}
halmazt meghat\'{a}roz\'{o} f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer $\{r_i;  \;\; \;\; i=1,2, \ldots ,K\}$ hasonl\'{o}s\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}kkel. Ekkor
$$         {\cal A}= \xxu_{i=1}^K   F_i ({\cal A}) $$
\'{e}s \'{\i}gy
$$       \xym [{\cal A}]=\xym \left[ \xxu_{i=1}^K F_i ({\cal
A})\right] \xxkis  \sum_{i=1}^K  \xym [F_i ({\cal A})]= \xym [{\cal A}]
\xxs_{i=1}^K  r_i^2 \: . $$
Ebb\H{o}l k\"{o}vetkezik, hogy ha $ 0<t [{\cal A}]< \infty$ akkor
$$      \xxs_{i=1}^K   r_i^2  \xxnag 1. \: \leqno{(9.8)} $$
Ezzel bebizonyitottuk a k\"{o}vetkez\H{o}t\\
\\
{\large\bf T\'{e}tel.}  Ha
$$\sum _{i=1}^K   r_i^2<1 \leqno{(9.9)}$$
ahol $r_i$ az $F_i$ kontraktivit\'{a}si t\'{e}nyez\H{o}je, akkor $t({\cal A})=0$.\\

MEGJEGYZ\'{E}S. \   $t({\cal A})$ nem lehet v\'{e}gtelen, mivel  $\cal A$ korl\'{a}tos.\\

{\em Ha  az  $\{F_i ({\cal A}); \ \ i=1,2, \ldots ,K\}$ halmazok csup\'{a}n egy nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u} halmazban fedik egym\'{a}st,
akkor mennyinek kell lenni $\sum _{i=1}^K   r_i^2$ \'{e}rt\'{e}k\'{e}nek, hogy  $t({\cal A})=0$ legyen}? (F 8.7)\\
\\  \\
{\large P\'{e}ld\'{a}k.}
\begin{enumerate}
 \item  A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g ({\em 5.2 \'{a}bra})
 nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u}, hiszen ekkor
$$r_i=0.5 \;\; \;\; (i=1,2,3)$$
\'{e}s $3* 0.5^2<1$.\\
 \item  A  Koch g\"{o}rbe ({\em 1.5 \'{a}bra}) nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u},  hiszen ekkor
 $$r_i=\frac{1}{3}  \;\; \;\; (i=1,2,3,4)$$
 \'{e}s  $4*\frac{1}{3}^2<1$.\\
 \item A csill\'{a}r ({\em 3.3 \'{a}bra}) nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u},  ha $a=0.6, b=0.2$. Hiszen ekkor
$$r_1=0.6, \;\; r_i=0.2  \;\; \;\; (i=2,3,4,5)$$
 \'{e}s $0.6^2+4.0.2^2<1$.\\
\item  A csill\'{a}r ({\em 3.3  \'{a}bra}) akkor is nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u},  ha $a=0.9,\;  b=0.05$, vagy $a=0.1, \; b=0.45$.
 
{\em A csill\'{a}r az $a,b$ b\'{a}rmely v\'{a}laszt\'{a}sa mellett nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u}} (F 9.3).
\end{enumerate}

Hasonl\'{o}an \'{a}llapithat\'{o} meg  az \"{o}nhasonl\'{o}
halmazok t\"{o}bbs\'{e}g\'{e}r\H{o}l, hogy az nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u}, hiszen a legt\"{o}bb esetben
 $$           \xxs_{i=1}^K   r_i^2  <1 \: . $$
\\  

\"{O}sszefoglalva a mondottakat, {\sf az \"{o}nhasonl\'{o} halmazok tipikus tulajdons\'{a}ga, hogy nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u}ek.}  Egy \"{o}nhasonl\'{o}
 halmazn\'{a}l az a ritkas\'{a}g ha nem nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u}. Ilyen ritkas\'{a}g
 a n\'{e}gyzet, vagy h\'{a}romsz\"{o}glap. Az eddig  megismert " \'{e}rdekes " \"{o}nhasonl\'{o} halmazok, a Sierpinski 
h\'{a}romsz\"{o}g, a Koch g\"{o}rbe, a csill\'{a}r nagyon k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} m\'{e}ret\H{u}nek l\'{a}tszanak,  
l\'{e}nyegesen nagyobb helyet foglalnak el a s\'{\i}kon, mint n\'{e}h\'{a}ny pont, vagy  egyenesszakasz, m\'{e}gis nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u}ek.

Hasonl\'{o} {\em \'{a}ltal\'{a}nos} k\"{o}vetkeztet\'{e}sek adhat\'{o}k meg a n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}s elj\'{a}r\'{a}ssal kapott lyukacsos halmazok
m\'{e}ret\'{e}re vonatkoz\'{o}an is (ld. {\large 8.1})\\

A tov\'{a}bbiakban {\sf hossz\'{u}s\'{a}g, ter\"{u}let ill. t\'{e}rfogat} helyett a {\sf  m\'{e}rt\'{e}k} kifejez\'{e}st is
fogjuk haszn\'{a}lni.}\\ 
\\   
\vspace*{5mm}

{\large \bf Feladatok \'{e}s tov\'{a}bbi inform\'{a}ci\'{o}k} \\
\\
{\Large F 9.1}  Ha a (9.2) n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}s elj\'{a}r\'{a}ssal megm\'{e}rj\"{u}k egy el\'{e}gg\'{e} nagym\'{e}ret\H{u} t\'{e}rk\'{e}pen
Norv\'{e}gia vagy Izland ter\"{u}let\'{e}t, 
 arra a meglep\H{o} eredm\'{e}nyre jutunk, hogy a {\em zeg-zugos perem\H{u}} idomok ter\"{u}let\'{e}nek m\'{e}r\'{e}se 
{\em problematikus} ezzel az egyszer\H{u} szab\'{a}llyal, mivel viszonylag s\H{u}r\H{u} n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}val kapott (9,2) \'{e}rt\'{e}kek
is m\'{e}g l\'{e}nyegesen elt\'{e}rnek egym\'{a}st\'{o}l.\\
\\
{\Large F 9.2} Tekints\"{u}k a k\"{o}vetkez\H{o} {\em \'{a}ltal\'{a}nos} 
Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g szerkeszt\'{e}st: Egy \'{a}ltal\'{a}nos 
h\'{a}romsz\"{o}get n\'{e}gy egybev\'{a}g\'{o} r\'{e}szre bontunk \'{e}s 
eldobjuk a k\"{o}z\'{e}ps\"{o} {\em nyilt} negyedet, majd az igy megmaradt
 h\'{a}romsz\"{o}geket is n\'{e}gy egybev\'{a}g\'{o} r\'{e}szre bontunk
 \'{e}s eldobjuk a k\"{o}z\'{e}ps\"{o} {\em nyilt} negyed\"{u}ket s.i.t.

{\em a/ }Igazoljuk, hogy ekkor is nullam\'{e}rt\'{e}k\"{u} halmazt kapunk.

{\em b/} \'{I}rjuk fel az \'{\i}gy kapott (egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott) s\'{\i}kidomok ker\"{u}letei m\'{e}r\H{o}sz\'{a}mainak a
a sorozat\'{a}t. Korl\'{a}tos ez a sorozat?

{\em c/} Igazoljuk, hogy ez a szerkeszt\'{e}s Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gre vezet.\\
\\
{\Large F 9.3A} Igazoljuk, hogy a csill\'{a}r ({\em 3.3 \'{a}bra}) \"{o}nhasonl\'{o}. \'{I}rjuk fel a csill\'{a}rt el\H{o}\'{a}ll\'{\i}t\'{o}
iter\'{a}lt f\"{u}ggv\'{e}nyrendszert.\\
\\
{\Large F 9.3B} {\em a/ }  Igazoljuk, hogy a csill\'{a}r az $a,b$ minden olyan v\'{a}laszt\'{a}sa mellett nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u} 
amikor $a+2b=1$.

{\em b/}  Adjuk meg a csill\'{a}r IFS els\H{o} h\'{a}rom iter\'{a}ci\'{o}j\'{a}t, amikor
\begin{center}
 $a=0.9, b=0.05$, vagy $a=0.1, b=0.45$.
\end{center}
 Igazoljuk, hogy  ekkor a csill\'{a}rt alkot\'{o} egyenesszakaszok \"{o}sszhossz\'{u}s\'{a}ga  a  v\'{e}gtelenhez tart.\\ 
 \\
{\Large F 9.4} \'{E}rv\'{e}nyes-e a (9.9) felt\'{e}tel akkor is, ha 
 $\{\Fi \}$ affin NEM \xhas ek?\\
\\
{\Large F 9.5} Ha  az  $\{F_i ({\cal A}); \ \ i=1,2, \ldots ,K\}$ halmazok csup\'{a}n egy nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u} halmazban fedik egym\'{a}st,
akkor mennyinek kell lenni $\sum _{i=1}^K   r_i^2$  \'{e}rt\'{e}k\'{e}nek, hogy  $t({\cal A})=0$ legyen}?\\ 
\\
{\Large F 9.6} A n\'{e}gyzet(lap) \'{e}s a h\'{a}romsz\"{o}g(lap) p\'{e}lda olyan \"{o}nhasonl\'{o} halmazokra, amelyeknek m\'{e}rt\'{e}ke pozitiv
(vagyis NEM nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u}).

Igazoljuk hogy ekkor a (9.8) \'{e}rv\'{e}nyes.\\
\\
{\Large F 9.7}  \  Igaz-e, hogy a {\em 8.5. \'{a}bra} (vil\'{a}gos) halmazainak a ter\"{u}lete is csak nulla lehet?\\
\\
{\Large F. 9.8}  \  \   T\"{o}r\"{o}lj\"{u}k a  {\em 12.5 \'{a}bra} szerint k\'{o}dolt n\'{e}gyzetb\H{o}l mindazokat a n\'{e}gyzeteket, amelyek k\'{o}dj\'{a}ban 
a $3$ jel szerepel. Igazoljuk,hogy egy Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get kapunk.\\
\\
{\Large F.9.9}  \  Legyen\\
\\
$F_1(x)= 
\left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right) \left
(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} 0 \\ 0.5a \end{array}\right)$.\\
\\    \\  
$F_2(x)=
\left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right) \left
(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} 0.5a \\ 0 \end{array}\right)$\\
\\    \\
$F_3(x)=
\left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right) \left
(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} 0.5a \\ 0.5a \end{array}\right)$\\
\\  \\
$F_4(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.5 & 0 \\ 0 &  0.5 \end{array}\right)\left
(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) \;\;   \;\;
x= \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)\in R^2$.\\
\\  

Irjuk fel a k\"{o}vetkez\H{o} IFS attraktor\'{a}t \'{e}s hat\'{a}rozzuk meg a boxdimenzi\'{o}j\'{a}t:\\
{\Large I.} $(F_1 \;\;  R^2)$\\
{\Large II.} $(F_1,F_2 \;\; R^2)$\\
{\Large III.} $(F_1,F_2, F_3 \;\; R^2)$\\
{\Large IV.} $(F_1,F_2, F_3, F_4  \;\; R^2)$\\
\\ 
{\Large F.9.10}  \  Hasonl\'{o}s\'{a}gon alapul\'{o} igazol\'{a}sa a Pitag\'{o}r\'{a}sz T\'{e}telnek. A 9.xa \'{e}s 9.xb \'{a}br\'{a}k alapj\'{a}n
adjuk meg a Pitag\'{o}r\'{a}sz T\'{e}tel bizony\'{\i}t\'{a}s\'{a}t.\\
  \\  \\
 {\Large A box-dimenzi\'{o} m\'{a}sk\'{e}ppen}\\
\\
{\Large 10.2}\\

Nemcsak n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}s lefed\'{e}seket haszn\'{a}lhatunk a boxdimenzi\'{o} meghat\'{a}roz\'{a}s\'{a}ra.
 
 Egy $\cal B$ {\sf  halmaz  $\delta$-lefed\'{e}se} legfeljebb $\delta$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} ${\cal H}_k ; \;\; k=1,2,\dots $ halmazoknak
olyan  sorozata amelyre
$${\cal B}\subseteq \bigcup_k{\cal H}_k. $$
Minden $\delta$-hoz nyilv\'{a}n van olyan $\delta$-lefed\'{e}s, amely a legkevesebb halmazb\'{o}l \'{a}ll. Ezt {\sf minim\'{a}lis
 $\delta$-lefed\'{e}snek} nevezz\"{u}k.

{\em Legyen $N_\delta^*({\cal B})$ a  $\cal B$  halmaz  minim\'{a}lis $\delta$-lefed\'{e}se. Ekkor a} {\sf a $\cal B$ halmaz box-dimenzi\'{o}ja}
({\em capacity dimension, box-counting dimension}) 
$$s=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log N_\delta^*({\cal B})}{-\log\delta}.\leqno{(BD^*)}$$
	 A box-dimenzi\'{o}t {\sf Minkovski} dimenzi\'{o}nak is nevezik.\\ 

A $(BD^*)$  csup\'{a}n abban k\"{u}l\"{o}nb\"{o}zik a (BD) formul\'{a}t\'{o}l, hogy itt az $N_\delta$ hely\'{e}re $N_\delta^*$ ker\"{u}l.
{\sf  Az $N_\delta$ 
f\"{u}gghet att\'{o}l, hogyan helyezz\"{u}k a n\'{e}gyzetr\'{a}csra a halmazt. Az $N_\delta^*$  egy\'{e}rtelm\H{u}.}\\

Meg fogjuk mutatni, hogy (BD) \'{e}s ($BD^*)$ ugyanazt az \'{e}rt\'{e}ket adja.  A bizony\'{\i}t\'{a}s kulcsa a {\em 10.1 \'{a}bra}, amely
azt mutatja, hogy ha egy $\delta$-\'{e}l\H{u} ${\cal N}_\delta$ n\'{e}gyzetlap belemetsz egy 
$\delta$-\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} ${\cal H}_\delta$ halmazba, akkor ${\cal N}_\delta+\delta$, a $\delta$-val n\"{o}velt n\'{e}gyzetlap, tartalmazza a
${\cal H}_\delta$ halmazt.

Igy, ha meg tudunk adni $N_\delta^*$ sz\'{a}m\'{u} $\delta$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmazt amely lefedi a $\cal B$-t, akkor a  $\delta$ \'{e}l\H{u} 
n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}b\'{o}l  $9N_\delta^*$ n\'{e}gyzet m\'{a}r biztosan lefedi. Ennek alapj\'{a}n
$${\log N_\delta ({\cal B} )\over - \log\delta}\leq \frac{\log 9.N_\delta^*({\cal B})}{-\log\delta} \leqno{(10.2)}$$
ahol, mint eddig,  $ N_\delta$ a n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o} azon n\'{e}gyzeteinek a sz\'{a}ma, amelyek belemetszenek a $\cal B$ halmazba.

A (11.1) \'{e}rv\'{e}nyes akkor is, amikor $N_\delta^*$  egy  minim\'{a}lis $\delta$-lefed\'{e}s. Ekkor nyilv\'{a}n m\'{e}g
$$N_{\sqrt 2\delta}^*\leq  N_\delta \leqno{(10.3)}$$
is \'{e}rv\'{e}nyes,
mivel a $\delta$ \'{e}l\H{u} n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o} egy $\sqrt 2\delta$-lefed\'{e}s. A (10.2) \'{e}s (10.3) \"{o}sszevet\'{e}s\'{e}b\H{o}l
$$\frac{\log N_{\sqrt 2\delta}^*({\cal B})}{-\log\delta}\leq\frac {\log N_\delta ({\cal B})}{ - \log\delta}}\leq 
\frac{\log 9.N_\delta^*({\cal B})}{-\log\delta}. \leqno{(10.4)}$$
 A  (10.4) alapj\'{a}n meg fogjuk mutatni, hogy
$$\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log N_\delta^*({\cal B})}{-\log\delta}= \lim_{\delta\rightarrow 0}{\log N_\delta ({\cal B} )\over - \log\delta}$$
\'{e}s ezzel igazoljuk, hogy a (BD) formul\'{a}ban
$ N_\delta$ \'{e}rt\'{e}ket t\'{e}ve az $N_\delta^*$ hely\'{e}re ugyanazt az eredm\'{e}nyt kapjuk. Val\'{o}ban
$$\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log N_{\sqrt 2\delta}^*({\cal B})}{-\log\delta}= \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log N_{\sqrt 2\delta}^*({\cal B})}{-\log\sqrt 2\delta}
\frac{\log\sqrt 2\delta}{\log\delta}=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log N_\delta^*({\cal B})}{-\log\delta}.$$
\'{e}s
$$\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log 9.N_\delta^*({\cal B})}{-\log\delta}=
\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log N_\delta^*({\cal B})+\log 9}{-\log\delta}=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log N_\delta^*({\cal B})}{-\log\delta}$$
\\   \\
{\LARGE **}\\
MEGJEGYZ\'{E}S. A bizony\'{\i}t\'{a}st r\'{e}szben a {\em 10.1 \'{a}bra} szeml\'{e}let\'{e}n alapul. A bizony\'{\i}t\'{a}snak ezt a r\'{e}sz\'{e}t is 
a matematika nyelv\'{e}n v\'{e}gezhetj\"{u}k el a k\"{o}vetkez\H{o}k alapj\'{a}n.\\
\\
{\large\bf 1. Seg\'{e}dt\'{e}tel.} \  Ha ${\cal H}_\delta\cap{\cal N}_\delta\neq\emptyset$ akkor  ${\cal H}_\delta\subset {\cal N}_\delta +\delta$.\\
\\
{\large\bf Bizony\'{\i}t\'{a}s.} \    Legyen 
$$ x\in {\cal H}_\delta\; \; \'{e}s  \;\;  z\in {\cal H}_\delta\cap{\cal N}_\delta ,$$
ekkor $d[x, z]\leq\delta$ mivel ${\cal H}_\delta$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}je $\delta$. Ebb\H{o}l k\"{o}vetkezik, hogy  $x\in {\cal N}_\delta +\delta$.\\
\\
{\large\bf Defin\'{\i}ci\'{o}.} \  N\'{e}gyzetr\'{a}csnak nevezz\"{u}k az $R^2$ egy koordin\'{a}tarendszer\'{e}ben az 
$${\cal N}_{kn}=\{ k\delta\leq x \leq (k+1)\delta , \;\;  n\delta\leq y \leq (n+1)\delta ; k,n=1,2,\dots \}$$
n\'{e}gyzetek halmaz\'{a}t.\\
\\
{\large\bf 2. Seg\'{e}dt\'{e}tel.} \  A {\em max} t\'{a}vols\'{a}gban m\'{e}rve, ${\cal N}_\delta +\delta$ a $\delta$ \'{e}l\H{u} 
n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}nak az {\em 10.1 \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o} r\'{e}sze.\\
{\large\bf Bizony\'{\i}t\'{a}s.}  Ez a
$$\max\{\mid x\mid , \mid y\mid\}\leq \sqrt{x^2+y^2}.$$
egyenl\H{o}tlens\'{e}gb\H{o}l k\"{o}vetkezik.\\
{\LARGE **}\\
\\
{\LARGE **}\\
A felsorolt p\'{e}ld\'{a}kban a {\large 9.1(BD)} hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ket csup\'{a}n
egy alkalmas $\{\xyd_k ; \ \  \xyd_k \xxhat 0 \}$  sorozat ment\'{e}n
sz\'{a}m\'{\i}tottuk ki. Igy felmer\"{u}l a k\'{e}rd\'{e}s: jogos-e az
\'{\i}gy kapott \'{e}rt\'{e}ket a ${\cal B}$ halmaz
 box-dimenzi\'{o}j\'{a}nak tekinteni? M\'{a}ssz\'{o}val, az igy 
kisz\'{a}m\'{i}tott \'{e}rt\'{e}k azonos-e a {\large 9.1 (BD)} 
hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}kkel? \\
\\
{\large\bf T\'{e}tel}. Legyen $\{c^k ;\ \ k=1,2, \ldots \}$  egy null\'{a}hoz 
konverg\'{a}l\'{o} geometriai sorozat \'{e}s
$$ s = \lim_{k \Rightarrow \infty} {\log N_{c^k} ({\cal B}) \over -\log
 c^k} \: . $$
 Ekkor $s$ a ${\cal B}$ box-dimenzi\'{o}ja. \\

{\bf Bizony\'{\i}t\'{a}s}.  Ha $N_\delta^*$ a minim\'{a}lis 
$\delta$-lefed\'{e}s elemeinek a sz\'{a}ma \'{e}s $\delta >\delta '$, akkor
 $N_{\delta '}^* \geq N_\delta^*$. (Ugyanis, ha $\delta >\delta '$, akkor a $\delta '$-lefed\'{e}s minden elem\'{e}t lefedi egyetlen 
$\delta$-\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmaz. {\'{I}gy a $\cal B$ halmazt lefedi  $N_{\delta '}^*$ sz\'{a}m\'{u} $\delta$-\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmaz \'{e}s
\'{\i}gy $N_{\delta '}^* \geq N_\delta^*$.) Legyen $k$ olyan,
hogy $c^{k+1}<\delta\leq c^k$, ekkor 
 $${\log N_{c^k}^* ({\cal B}) \over -\log c^{k+1}} \leq  {\log N_\delta^* ({\cal B}) \over -\log \delta} \leq
{\log N_{c^{k+1}}^* ({\cal B}) \over -\log c^k},$$
tov\'{a}bb\'{a} 
$$ -\log c^k= -\log c^{k+1}+\log c.$$
{\LARGE **}\\ 
 \\   \\
{\Large 10.3}

{\large\bf \"{O}nhasonl\'{o} halmazok box-dimenzi\'{o}ja}\\

\"{O}nhasonl\'{o} halmazok boxdimenzi\'{o}j\'{a}t sz\'{a}mos esetben egyszer\H{u} formul\'{a}val hat\'{a}rozhatjuk meg. Ezt 
a formul\'{a}t \'{u}gy kaphatjuk meg,
hogy a boxdimenzi\'{o} meghat\'{a}roz\'{a}s\'{a}ra, a {\em halmazzal hasonl\'{o}} $\delta$-lefed\'{e}seket haszn\'{a}lunk 

Ezt el\H{o}sz\"{o}r  ismert  p\'{e}ld\'{a}kon mutatjuk be.\\
\\
{\Large 1.} {\sf Cantor halmaz}. A Cantor halmaz k\'{e}t, harmadakkora Cantor halmaz uni\'{o}ja. Igy $\frac{1}{3}$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}
Cantor halmazb\'{o}l pontosan kett\H{o} fedi le a $\cal C$ Cantor halmazt. Mindegyik harmadakkora Cantor halmaz ujra k\'{e}t harmadakkora
 Cantor halmaz uni\'{o}ja.  Igy $\frac{1}{9}$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} Cantor halmazb\'{o}l pontosan n\'{e}gy fedi le a $\cal C$ Cantor halmazt.
Tov\'{a}bb folytatva ezt a gondolatmenetet, teljes indukci\'{o}val $n=3,4,\dots$ \'{e}rt\'{e}kekre,  $3^{-n}$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} Cantor 
halmazb\'{o}l pontosan $2^n$ fedi be az (egy \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}) Cantor halmazt. \'{I}gy  a megfelel\H{o} \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} 
Cantor halmazokkal lefedve a $\cal C$ Cantor halmazt ugyanazt az eredm\'{e}nyt kapjuk, mint a n\'{e}gyzetr\'{a}csos lefed\'{e}ssel
$$s=\frac{\log 2^n}{\log 3^n}=\frac{\log 2}{\log 3}\approx 0.63092\dots.$$
\\
{\Large 2} {\sf Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g.} A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g h\'{a}rom (line\'{a}risan) fel\'{e}re zsugoritott  Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g uni\'{o}ja.
Egy ilyen, $\frac {1}{2}$ sk\'{a}lav\'{a}ltoz\'{a}ssal kapott  Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g a sz\"{u}rk\'{e}vel fedett r\'{e}sz  a {\em 10.3 \'{a}br\'{a}n}.
A (line\'{a}risan) negyed\'{e}re zsugoritott Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gb\H{o}l pontosan kilenc fedi le a 
Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get. Egy ilyen, $\frac {1}{4}$ sk\'{a}lav\'{a}ltoz\'{a}ssal kapott  Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g a s\"{o}t\'{e}tsz\"{u}rk\'{e}vel fedett r\'{e}sz 
 a {\em 10.3 \'{a}br\'{a}n}.
A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g kilenc  s\"{o}t\'{e}tsz\"{u}rke  Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g uni\'{o}ja.

Teljes indukci\'{o}val kapjuk, hogy a  $\frac{1}{2^n}$ sk\'{a}lav\'{a}ltoz\'{a}ssal kapott Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gekb\H{o}l,   $3^n$  darab  uni\'{o}jak\'{e}nt \'{a}ll
 el\H{o} a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g  ($n=3,4,\dots$).

 Ezeket az \'{e}rt\'{e}keket helyettesitve (BD)-be, a box-dimenzi\'{o}
$$s=\frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,58496\dots . $$
 \'{I}gy  a megfelel\H{o} \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gekkel
 lefedve az $\cal S$ Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get ugyanazt az eredm\'{e}nyt kapjuk, mint a n\'{e}gyzetr\'{a}csos lefed\'{e}ssel.\\
\\
{\Large 4.} {\sf Koch g\"{o}rbe.} A Koch g\"{o}rbe n\'{e}gy,
 harmad\'{a}ra zsugoritott ($\frac{1}{3}$ sk\'{a}lav\'{a}ltoz\'{a}s) Koch g\"{o}rbe uni\'{o}ja \'{e}s a kilencedre zsugoritott ($\frac{1}{3^2}$
 sk\'{a}lav\'{a}ltoz\'{a}s) Koch g\"{o}rb\'{e}b\H{o}l pontosan $4^2$ fedi le a Koch g\"{o}rb\'{e}t ({\em 10.2 \'{a}bra}).
\'{U}jra meg  \'{u}jra megism\'{e}telve ezt a gondolatmenetet a  Koch g\"{o}rbe egyre kisebb,  a  g\"{o}rb\'{e}vel
hasonl\'{o} r\'{e}szeire, (teljes indukci\'{o}val) arra az eredm\'{e}nyre jutunk, hogy a 
$\frac{1}{3^n}$ sk\'{a}lav\'{a}ltoz\'{a}ssal kapott $4^n$  Koch g\"{o}rbe uni\'{o}jak\'{e}nt \'{a}ll el\H{o} a Koch g\"{o}rbe.

 Ezeket, vagyis
$\delta = 3^{-n}$ \'{e}s  $\xnd =4^n$ \'{e}rt\'{e}keket helyettesitve (BD)-be, a box-dimenzi\'{o}
$$s=\frac{\log 4}{\log 3}\approx 1,26186\dots$$
\\
{\sf Vegy\"{u}k \'{e}szre,} hogy  a k\"{o}vetkez\H{o} {\large\bf szab\'{a}lyt} alkalmaztuk a  fenti p\'{e}ld\'{a}kban:\\
 
Legyen $\cal A$ az $\Fi$ hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}sek IFS invari\'{a}ns halmaza. Legyen mindegyik $F_i$ 
kontraktivit\'{a}si (hasonl\'{o}s\'{a}gi) t\'{e}nyez\H{o}je $r$.
 Ekkor
$$\dim {\cal A}=\frac{\log N}{-\log r} \leqno{(DIM)}$$
ahol $N$ az $F_i$ hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}sek sz\'{a}ma.\\

{\large\bf A szab\'{a}ly  bizony\'{\i}t\'{a}sa}. Azt kell bizony\'{\i}tani, hogyz $\cal A$-val hasonl\'{o} lefed\'{e}sek {\em minim\'{a}lis
lefed\'{e}sek}.

 Legyen
$$F_i({\cal A})\bigcap F_j({\cal A})={\cal C}  \;\; \;\; i\neq j.\leqno{(DIS)}$$
A szab\'{a}lyt arra az esetre bizony\'{\i}tjuk, amikor  ${\cal C}=\emptyset$.
 Legyen $N_r^*$ az $\cal A$ minim\'{a}lis $r$-lefed\'{e}se. Ekkor a lefed\H{o} legfeljebb $r$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmazok
  mindegyik\'{e}re alkalmazva valamelyik  $F_i \;\;(i=1,2,\dots ,N)$
\lek t, \  az $F_i({\cal A}) \;\;(i=1,2,\dots ,N)$ halmaznak egy minim\'{a}lis $r^2$-lefed\'{e}s\'{e}t kapjuk.
Ekkor
 $$N_{r^2}^*(F_i({\cal A}))= N_r^*({\cal A}). \leqno{(10.5)}$$
{\em Eset\"{u}nkben}  $N$  diszjunkt  egybev\'{a}g\'{o}  $F_i({\cal A})$ uni\'{o}ja az $\cal A$. Mivel $\{F_i({\cal A});  \;\; \;\; i=1,2,\dots ,N\}$ 
 korl\'{a}tos \'{e}s z\'{a}rt halmazok, ez\'{e}rt az $\{F_i({\cal A});  \;\; \;\; i=1,2,\dots ,N\}$ halmazok egym\'{a}st\'{o}l
pozit\'{\i}v t\'{a}vols\'{a}gban vannak. Ha $2r$ kisebb, mint ezeknek a t\'{a}vols\'{a}gok b\'{a}rmelyike, akkor az
$\{F_i({\cal A});  \;\; \;\; i=1,2,\dots ,N\}$ $r$-lefed\'{e}sei is diszjunkt halmazok. Ez\'{e}rt
$$N_{r^2}({\cal A})=N.N_{r^2}(F_i({\cal A})). \leqno{(10.6)}$$

A (10.5) \'{e}s (10.6) \"{o}sszevet\'{e}s\'{e}b\H{o}l
$$N_{r^2}^*({\cal A})=N.N_r^*({\cal A}).$$
({\em Vigy\"{u}k v\'{e}gig ezt a gondolatmenetet a 10.2 \'{e}s a 10.3 \'{a}br\'{a}kon}.)

Ugyanezt a gondolatmenetet megism\'{e}telve b\'{a}rmelyik $F_i({\cal A})$-val
$$N_{r^3}^*({\cal A})=N^2.N_r^^*({\cal A}).$$
 Megism\'{e}telve ezt a gondolatmenetet ujra meg ujra az $\cal A$-val hasonl\'{o} egyre kisebb \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}
r\'{e}szekkel (teljes indukci\'{o}val)
$$N_{r^{n+1}}({\cal A})=N^n.N_r({\cal A}) \;\;  \;\; n=1,2,\dots .\leqno{(10.7)}$$
A (10.7) alapj\'{a}n
$$\dim {\cal A}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log N_{r^{n+1}}^*({\cal A})}{-\log r^{n+1}}=  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log N+ \log N_r^*({\cal A})}
{-(n+1)\log r}=$$
 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log N+ \frac{\log N_r*({\cal A})}{n}}{-\frac{n+1}{n}\log r}=\frac{\log N}{-\log r}.$$
\\
MEGJEGYZ\'{E}S. I. Vegy\"{u}k \'{e}szre, hogy 
$$s=\dim {\cal A}$$
pontosan akkor ha $s$ az
$$Nr^s=1\leqno{(10.8)}$$
egyenlet megold\'{a}sa.\\
\\
II. Nyilv\'{a}n az $\cal A$ 1-elem\H{u} $|{\cal A}|$-lefed\'{e}se minim\'{a}lis \'{e}s maga $\cal A$ egy ilyen lefed\'{e}s. Ezut\'{a}n $r|{\cal A}|$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}
minim\'{a}lis lefed\'{e}se $(F_i({\cal A}))$-nak $(F_i({\cal A}))$ (1-elem\H{u}!) s.i.t. \'{I}gy nem meglep\H{o} a fenti eredm\'{e}ny.\\
\\
III. \  A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gben  \'{e}s a Koch g\"{o}rb\'{e}n  (DIS) nem \"{u}res, hanem egy $3$ illetve $4$ pontb\'{o}l \'{a}ll\'{o} halmaz.
   Ha (DIS) nem \"{u}res, hanem egy {v\'{e}ges} halmaz, akkor is \'{e}rv\'{e}nyes  (DIM) ({\large **F.10.15, F.10.16})\\ 
\\

A (DIM) formula k\"{o}zvetlen \'{a}ltal\'{a}nosit\'{a}sa arra az esetre, amikor a  kontraktivit\'{a}si t\'{e}nyez\H{o}k
NEM egyenl\H{o}k:

{\em Ha $\Fi$ hasonl\'{o}s\'{a}gi \lek ek  $r_i;  \;\; (i=1,\dots ,N)$   kontraktivit\'{a}si t\'{e}nyez\H{o}kkel, akkor a fenti felt\'{e}telek mellett
az $\cal A$ box-dimenzi\'{o}ja az
$$\sum_{i=1}^N r_i^s=1$$
egyenlet  $s$ megold\'{a}sa.}\\
\\ \\   
{\large\bf P\'{e}ld\'{a}k.} A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gre
$$\frac{\log N}{-\log r}=\frac{\log 3}{-\log 0.5}=1.585\dots.$$
A Koch g\"{o}rb\'{e}re
$$\frac{\log N}{-\log r}=\frac{\log 4}{\log 3}=1.2618\dots.$$
A fa\'{a}g box-dimenzi\'{o}ja 
$$ \frac{\log N}{-\log r}=\frac{\log 4}{-\log 0.4}=1.513\dots.$$
A csill\'{a}r $s$  box-dimenzi\'{o}j\'{a}ra (ha $a=0.5, b=0.25$) a (10.7) alapj\'{a}n
$$ 0.5^s+4.0.25^s=1$$ 
amib\H{o}l  $s=1.35701$.\\
\\   \\
{\Large 10.4}\\

{\large\bf A box-dimenzi\'{o} alapvet\H{o}  tulajdons\'{a}gai:}
\begin{itemize}
\item a/ {\sf Monoton}. Ha ${\cal B} \subset  {\cal C}$ akkor
$ \hbox{dim}\: {\cal B}\xxkis \hbox{dim}\: {\cal C}$.
\item b/ {\sf Stabilis}. $\hbox{dim}\: ({\cal B}\cup {\cal C})
=\max\{ \hbox{dim}\: {\cal B}, \hbox{dim}\: {\cal C}\}$.
\item c/  Ha $F$  {\sf hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s}, akkor
$\hbox{dim}\: F({\cal C})= \hbox{dim}\: {\cal C}$.
\item d/  Ha ${\cal B}$ tartalmaz egy {\sf ny\'{\i}lt k\"{o}rlapot}, 
akkor $\hbox{dim}\: {\cal B}= 2$.
\end{itemize}
{\large\bf Bizony\'{\i}t\'{a}s}.
\begin{itemize}
\item a/ \'{e}s d/ nyilv\'{a}nval\'{o}
\item b/ k\"{o}vetkezik abb\'{o}l, hogy
$$\max \{N_\delta({\cal B}), N_\delta({\cal C})\}< N_\delta({\cal B})+ N_\delta({\cal C})\leq 2.\max \{N_\delta({\cal B}), N_\delta({\cal C})\}.$$  
\item c/ 
$$ \frac{\log N_\delta (F({\cal B}))}{ - \log \delta}}= \frac{\log N_{r\delta} ({\cal B})}{- \log r\delta}.\frac{\log r\delta}{ \log \delta}$$
\'{e}s
$$\frac{\log N_{r\delta} ({\cal B})}{- \log r\delta}}\rightarrow s  \;\;  \;\;   \;  \;  \frac {\log r\delta }{\log \delta }\rightarrow 1.$$
\end{itemize}
\\   \\
{\Large 10.5}\\
\\
{\large\bf Pontsorozatok box-dimenzi\'{o}ja.}\\

Mivel a sz\'{a}megyenesen minden $\delta$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmaz lefedhet\H{o} egy $\delta$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u}
z\'{a}rt intervallummal, ez\'{e}rt a sz\'{a}megyenesen $N_\delta^*$ megegyezik a halmazt lefed\H{o} 
minim\'{a}lis sz\'{a}m\'{u} $\delta$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} z\'{a}rt intervallumok sz\'{a}m\'{a}val.\\
 \\
{\LARGE **}\\
 {\Large 1}. A $[0,1]$ racion\'{a}lis pontjainak halmaza
egydimenzi\'{o}s.
Ugyanis a racion\'{a}lis pontokat lefed\H{o}  $\xyd$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} intervallumok
sz\'{a}ma,  $N_{\delta}$,
 megegyezik az eg\'{e}sz $[0,1]$ intervallumot lefed\H{o}  $\xyd$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} intervallumok sz\'{a}m\'{a}val {\em {b\'{a}rmely}} $\xyd>0$
{\em eset\'{e}n}.\\
\\
 {\Large 2.}  A $\{2^{-n} ; \ \  n=1,2, \ldots \}$ pontsorozat boxdimenzi\'{o}ja 
0. Ugyanis,
ha $\xyd= 2^{-k} -2^{-(k+1)}$  (ahol $k$ fix pozitiv eg\'{e}sz sz\'{a}m) akkor az
$\{2^{-1} ,2^{-2} , \ldots ,2^{-k} \}$
v\'{e}ges sorozat lefed\'{e}s\'{e}hez
$k$ darab $\xyd$ \'{e}lhossz\'{u}s\'{a}g\'{u} intervallum 
{\it sz\"{u}ks\'{e}ges}, mivel a sorozat els\H{o} $k$ eleme $\delta$-n\'{a}l 
nagyobb t\'{a}vols\'{a}gra van egym\'{a}st\'{o}l. Viszont $k+2$ darab
 $\xyd$
\'{e}lhossz\'{u}s\'{a}g\'{u} intervallum ekkor m\'{a}r {\it elegend\H{o}}  
a teljes sorozat lefed\'{e}s\'{e}hez. Ugyanis 
$$\delta = 2^{-k} - 2^{-(k+1)}=2^{-(k+1)$$
\'{e}s egy  $2^{-(k+1)}$ hossz\'{u} intervallum lefedi az
$$\frac{1}{2^{k+2}}, \frac{1}{2^{k+3}},\dots $$
sorozatot.

A mondottak alapj\'{a}n
$$ {\log k \over {(k+1)} \cdot \log 2} \leq {\log N_{\delta} \over - \log \delta} \leq {\log (k+2) \over ({k+1}) \cdot \log 2} $$
amib\H{o}l m\'{a}r k\"{o}vetkezik, hogy
$$ \lim_{\delta \Rightarrow 0} {\log N_{\delta} \over - \log \delta} = 0 $$
  \\  \\
{\Large 3.} Az $\{n^{-1} ; \ \  n=1,2, \ldots \}$ pontsorozat boxdimenzi\'{o}ja 
0.5. Ugyanis,
ha $\xyd= k^{-1} -(k+1)^{-1}$ (ahol $k$ fix pozitiv eg\'{e}sz sz\'{a}m) akkor az
$\{1, 2^{-1} , \ldots ,k^{-1}  \} $
v\'{e}ges sorozat lefed\'{e}s\'{e}hez
$k$ darab $\xyd$ \'{e}lhossz\'{u}s\'{a}g\'{u} intervallum sz\"{u}ks\'{e}ges. A pontsorozat
marad\'{e}k r\'{e}sze a $[0,(k+1)^{-1} ]$ intervallumban van amelyet $k$ darab $\delta$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} intervallum m\'{a}r lefed. Hiszen
$$ \delta ={1 \over k} - {1 \over k+1} = {1 \over k(k+1)}.$$
 Ez\'{e}rt
$$ {\log k \over 2 \cdot \log (k+1} \leq {\log N_\delta \over 
- \log \delta} \leq {\log 2k \over 2 \cdot \log k} $$ 
amib\H{o}l \'{a}ll\'{\i}t\'{a}sunk m\'{a}r k\"{o}vetkezik, hiszen
$$ \lim_{k \Rightarrow \infty} {\log k \over 2 \cdot \log (k+1)} = 
\lim_{k\Rightarrow \infty} {\log 2k \over 2 \cdot \log k} = 0.5 \: . $$
{\LARGE\bf **}
\\
A konvergens pontsorozatokb\'{o}l vett p\'{e}ld\'{a}knak az a tanuls\'{a}ga, hogy a boxdimenzi\'{o}juk a $[0,1]$-ben van \'{e}s 
ha sz\'{e}jjelh\'{u}zzuk a pontsorozat pontjait, akkor a pontsorozat boxdimenzi\'{o}ja nagyobb lesz. \'{I}gy, {\sf a boxdimenzi\'{o} a
"konvergencia sebess\'{e}g\'{e}t" m\'{e}ri.}\\
\vspace{8mm}\\
\\
{\large \bf Feladatok \'{e}s tov\'{a}bbi inform\'{a}ci\'{o}k.} \\
\\
{\Large F  10.1}   Igazoljuk, hogy minden v\'{e}ges halmaz box-dimenzi\'{o}ja 
nulla.\\
\\
{\Large F  10.1B}  Valakinek k\'{e}ts\'{e}ge t\'{a}mad a {\em 10.1 \'{a}br\'{a}ban} \'{e}s \'{u}gy gondolja, hogy van olyan eset, amikor nem el\'{e}g
9 elem a $\delta$-n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}b\'{o}l, hogy lefedje a $\delta$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmazt, hanem ann\'{a}l sokkal t\"{o}bb,
 p\'{e}ld\'{a}ul 194.

 Befoly\'{a}solja-e ez a "t\'{e}ved\'{e}s" a boxdimenzi\'{o} defin\'{\i}ci\'{o}j\'{a}t?\\
\\
{\Large F 10.2.}  a./ Igazoljuk,hogy a Cantor halmazra  \'{e}rv\'{e}nyes a {\large 10.3} 
(DIM) formula \'{e}s ennek alapj\'{a}n sz\'{a}moljuk ki a box-dimenzi\'{o}j\'{a}t.\\
b/  Az eddig megismert \"{o}nhasonl\'{o} halmazok k\"{o}z\"{u}l melyekre alkalmazhat\'{o} a (DIM) k\'{e}plet, vagy annak \'{a}ltal\'{a}nosit\'{a}sa?\\
\\
{\Large F 10.3} Legyen ${\cal H}$ a triadikus Cantor halmaz szerkeszt\'{e}sekor
elt\'{a}vol\'{\i}tott nyilt intervallumok v\'{e}gpontjaib\'{o}l alkotott halmaz.

Mennyi a ${\cal H}$  box-dimenzi\'{o}ja?\\
\\
{\Large F 10.4}  \  A Cantor halmazt \'{u}gy szerkeszthetj\"{u}k a $[0, 1]$ intervallumb\'{o}l, hogy mind\'{\i}g a megmaradt intervallumok k\"{o}z\'{e}ps\H{o} ny\'{\i}lt
harmad\'{a}t t\'{a}vol\'{\i}tjuk el.

Tekints\"{u}k azokat az {\em \'{a}ltal\'{a}nos\'{\i}tott}  Cantor halmazokat ahol mindig a
megmaradt intervallumok k\"{o}z\'{e}ps\H{o} nyilt $p \%$-\'{a}t t\'{a}volitjuk el.

 Melyik igaz a k\"{o}vetkez\H{o} \'{a}ll\'{\i}t\'{a}sok k\"{o}z\"{u}l:\\
I.  \  A megmarad\'{o} intervallumok \"{o}szhossz\'{u}s\'{a}ga, minden   $p \%$ mellett, nulla.\\
\'{\i}. \    Minden $0\leq s \leq 1$ \'{e}rt\'{e}khez van olyan $p$, hogy
a hozz\'{a}tartoz\'{o} Cantor halmaz box-dimenzi\'{o}ja $s$.\\
\\
{\Large F 10.5} Mi az elt\'{e}r\'{e}s egy egyenl\H{o}sz\'{a}r\'{u} der\'{e}ksz\"{o}g\H{u} h\'{a}romsz\"{o}gb\H{o}l \'{e}s egy egyenl\H{o}oldal\'{u}
h\'{a}romsz\"{o}gb\H{o}l szerkesztett Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g boxdimenzi\'{o}ja k\"{o}z\"{o}tt?\\
\\
{\Large F 10.6}  a.) Legyen $\cal H$ a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g szerkeszt\'{e}sekor elt\'{a}vol\'{\i}tott nyilt h\'{a}romsz\"{o}gek
 cs\'{u}cspontjaib\'{o}l
alkotott halmaz. Mennyi a $\cal H$ boxdimenzi\'{o}ja?\\
 b.) Mennyi a Koch g\"{o}rbe \'{e}s a $[0,1]$ intervallum k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz\'{e}nek a dimenzi\'{o}ja?\\
\\
{\Large **F 10.7}   Adjunk meg minden $s\in (0,2)$ \'{e}rt\'{e}khez olyan \"{o}nhasonl\'{o} halmazt, a z\'{a}rt egys\'{e}gn\'{e}gyzeten, amelynek a boxdimenzi\'{o}ja $s$. \\ 
\\

{\Large F 10.8}   Mennyi egy 
$$\[W^{[n]}({\cal C}); \;\;  \;\; n=1,2,\dots\}$$
 sorozat elemeinek a boxdimenzi\'{o}ja? \\

 {\Large I.} $F$ hasonl\'{o}s\'{a}gi, $\cal C$ v\'{e}ges halmaz.\\
 {\Large II.} $F$ hasonl\'{o}s\'{a}gi, $\cal C$ a z\'{a}rt egys\'{e}gn\'{e}gyzet.\\
{\Large III.} $F$ csup\'{a}n kontrakt\'{\i}v, $\cal C$ a z\'{a}rt egys\'{e}gn\'{e}gyzet.\\
 \\
{\Large F 10.9} K\'{e}t kompakt halmaz, $\cal B$ \'{e}s $\cal C$, uni\'{o}j\'{a}ra \'{e}rv\'{e}nyes a k\"{o}vetkez\H{o}
 $$\hbox{dim}\: ({\cal B}\cup {\cal C})=\max\{ \hbox{dim}\: {\cal B}, \hbox{dim}\: {\cal C}\}$$
a.) {\'{E}rv\'{e}nyes-e anal\'{o}g t\'{e}tel $90$ halmaz uni\'{o}j\'{a}ra? \\
b.) {\'{E}rv\'{e}nyes-e anal\'{o}g t\'{e}tel v\'{e}gtelen sok halmaz uni\'{o}j\'{a}ra?\\
\\

{\Large **F 10.10} Legyen $0<\lambda<0.5$ \'{e}s
$$F_1(x)=\lambda x  \hspace{20 mm}  F_2(x)=\lambda x+(1-\lambda)$$
jellemezz\"{u}k az $\{F_i; \;\; i=1,2\}$ IFS invari\'{a}ns halmaz\'{a}t 
\'{e}s adjuk meg a box-dimenzi\'{o}j\'{a}t.\\
\\
{\Large F 10.11}  \    Adjunk meg rekurz\'{\i}v formul\'{a}t a $33$ tiltott sz\'{o}hoz tartoz\'{o} $\{N_r; \;\; r=2^{-n} \;\; n=1,2,\dots\}$ 
sorozatra.\\
\\
{\Large **F 10.12} Ha a {\large 9.1 (BD)} formul\'{a}ban az $N_\delta({\cal B})$ hely\'{e}re
az
\begin{center}
${N_\delta^'}({\cal B})$: azoknak a $\delta$ sugar\'{u} {\em diszjunkt} g\"{o}mb\"{o}k
{\em maxim\'{a}lis} sz\'{a}ma, amelyek k\"{o}z\'{e}ppontja a $\cal B$-ben van
\end{center}
\'{e}rt\'{e}ket irjuk, akkor a {\large 9.1 (BD)} \'{e}rt\'{e}ke ugyanaz marad.\\

Ennek bizonyit\'{a}sa: A $\cal B$ minden $b$ pontja valamely  g\"{o}mb
k\"{o}z\'{e}ppontj\'{a}t\'{o}l legfeljebb $2\delta$ t\'{a}vols\'{a}gban van. Ugyanis,
ha ez nem igy van akkor a $b$ k\"{o}z\'{e}ppont\'{u} $\delta$ sugar\'{u}
g\"{o}mb nem metszi a lefed\H{o} g\"{o}mb\"{o}k egyik\'{e}t sem \'{e}s igy a
lefed\H{o} g\"{o}mb\"{o}k sz\'{a}ma nem maxim\'{a}lis.

Igy ha az ${N_\delta^'}({\cal B})$  sugar\'{a}t megdupl\'{a}zzuk, akkor egy
$4\delta$ befed\'{e}st kapunk. Ez\'{e}rt
$${N_\delta^'}({\cal B})\geq N_{4\delta}({\cal B})$$
hiszen az igy kapott $4\delta$-befed\'{e}s elemeinek sz\'{a}ma  $N_\delta^'$ \'{e}s $N_{4\delta}$ a {\em minim\'{a}lis} lefed\'{e}s
elemeinek a sz\'{a}m\'{a}t jelenti.

M\'{a}sr\'{e}szt, legyen $\{{\cal U}_k \;\; \; k=1,2,\dots\}$ a $\cal B$  egy
$\delta$-lefed\'{e}se. A lefed\'{e}s minden elem\'{e}be a ${N_\delta^'}({\cal B})$
sz\'{a}m\'{u} diszjunkt g\"{o}mb k\"{o}z\'{e}ppontjaib\'{o}l legfeljebb egy tartozik
bele. Ez\'{e}rt
$$N_\delta({\cal B})\geq {N_\delta^'}({\cal B}).$$
\\  \\
{\Large F **10.13} Abb\'{o}l is k\"{o}vetkeztethet\"{u}nk a $\cal B$
box-dimenzi\'{o}j\'{a}ra, hogy a ${\cal B}+\delta$ halmaz m\'{e}rt\'{e}ke
(hossza, ter\"{u}lete, t\'{e}rfogata) milyen gyorsan cs\"{o}kken
$\delta\rightarrow 0$ eset\'{e}n.

A k\"{o}vetkez\H{o} \"{o}sszef\"{u}gg\'{e}s \'{e}rvenyes\\
\\
 A $\cal B$ box-dimenzi\'{o}ja:
$$n-\lim_{\delta\rightarrow 0}
\frac{\log {\cal L}^n({\cal B}+\delta)}{-\log \delta} \;\;  \;\; n=1,2,3.$$
ahol ${\cal L}^n$ az n-dimenzi\'{o}s (Lebesgue) m\'{e}rt\'{e}k.
Ez a k\"{o}vetkez\H{o}k\'{e}ppen l\'{a}that\'{o} be. Ha  $N_\delta$ a $\delta$-sugar\'{u}
 g\"{o}mb\"{o}kkel val\'{o} lefed\'{e}s minim\'{a}lis sz\'{a}ma, akkor
 $$ {\cal L}^n({\cal B}+\delta)\leq N_{\delta} c_n \delta^n$$
 mivel $c_n \delta^n$  az n-dimenzi\'{o}s $\delta$-sugar\'{u} g\"{o}mb t\'{e}rfogata
 (ha az egys\'{e}gg\"{o}mb\'{e} $c_n$). Ebb\H{o}l
 $$ \frac{\log {\cal L}^n({\cal B}+\delta)}{-\log \delta}\leq
    \frac{\log N_\delta}{-\log\delta} -\frac{\log c_n}{\log\delta}-n.$$
    M\'{a}sr\'{e}szt, ha $N_\delta$ hely\'{e}re az F 10.12-ben szerepl\H{o}
    $N_\delta^'$-t irjuk akkor
 $$  {\cal L}^n({\cal B}+\delta)\geq {N_{\delta}^'} c_n \delta^n.$$
Ugyanis, ha a $\delta$ sugar\'{u} g\"{o}mb k\"{o}z\'{e}ppontja a $\cal B$ halmazban van. akkor a g\"{o}mb {\em r\'{e}sze} 
a ${\cal B}+\delta$ halmaznak.

Ezt a formul\'{a}t f\H{o}leg frakt\'{a}lg\"{o}rb\'{e}k eset\'{e}n alkalmazz\'{a}k. \\
\\   
{\Large F 10.14} A {\large 10.2 (BD)} boxdimenzi\'{o} nem mindig l\'{e}tezik.  P\'{e}lda Cantor-szer\H{u} halmazra, amelynek nincs boxdimenzi\'{o}ja.
Ez a $\lambda =\frac{1}{3}$ \'{e}s a $\lambda =\frac{3}{5}$ param\'{e}ter\H{u} Cantor halmazok szerkeszt\'{e}s\'{e}nek megfelel\H{o} 
\"{o}tv\"{o}z\'{e}se. Az algoritmus a k\"{o}vetkez\H{o}:\\
\\
$k_1$-szer a k\'{e}t sz\'{e}ls\H{o} \ $\frac{1}{3}$-\'{a}t hagyjuk meg a megmarad\'{o} intervallumoknak, pontosan \'{u}gy, mint a 
$\lambda =\frac{1}{3}$ param\'{e}ter\H{u} Cantor halmazok szerkeszt\'{e}sekor;\\
$k_2$-szer a k\'{e}t sz\'{e}ls\H{o} \ $\frac{1}{5}$-\'{e}t hagyjuk meg a megmarad\'{o} intervallumoknak, pontosan \'{u}gy, mint a 
$\lambda =\frac{3}{5}$ param\'{e}ter\H{u} Cantor halmazok szerkeszt\'{e}sekor;

majd ezeket felv\'{a}ltva folytatjuk a "v\'{e}gtelens\'{e}gig".\\
\\
{\sf Az $n$-edik l\'{e}p\'{e}s ut\'{a}n a (BD) \'{\i}gy alakul}\\
\\
ha $n$ p\'{a}ratlan ($k_{2n-1}$), akkor 
$$N_\delta= 2^{k_1+\dots +k_{2n-1}}, \;\;\;\; \delta =\frac{1}{3^{k_1}}\frac{1}{5^{k_2}}\dots 
\frac{1}{3^{k_{2n-2}}}\frac{1}{5^{k_{2n-2}}}\frac{1}{3^{k_{2n-1}}}$$
\'{e}s \'{\i}gy
$$\frac{\log N_{\delta} )}{- \log \delta}}=\frac {k_1+\dots +k_{2n-1}\log 2}{(k_1+k_3\dots +k_{2n-1})\log 3+(k_2+k_4\dots +k_{2n-2})\log 5}$$

ha $n$ p\'{a}ros ($k_{2n}$), akkor 
$$N_\delta= 2^{k_1+\dots +k_{2n}}, \;\;\;\; \delta =\frac{1}{3^{k_1}}\frac{1}{5^{k_2}}\dots
\frac{1}{3^{k_{2n-2}}}\frac{1}{5^{k_{2n-2}}}\frac{1}{3^{k_{2n-1}}}\frac{1}{5^{k_{2n}}}$$

\'{e}s \'{\i}gy
$$\frac{\log N_{\delta} )}{- \log \delta}}=\frac {k_1+\dots +k_{2n}\log 2}{(k_1+k_3\dots +k_{2n-1})\log 3+(k_2+k_4\dots +k_{2n})\log 5}$$

Most {\sf ha a $k_1, k_2,\dots$ \'{e}rt\'{e}keket \'{u}gy v\'{a}lasztjuk meg, hogy \ "mind\'{\i}g az utols\'{o} szab\'{a}ly domin\'{a}ljon"}, akkor a (BD)
sorozat p\'{a}ratlan \'{e}s p\'{a}ros elemei k\'{e}t  k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}khez konverg\'{a}lnak.

Ez p\'{e}ld\'{a}ul akkor k\"{o}vetkezhet be, amikor
$$\frac{k_1+\dots +k_m}{k_{m+1}}\rightarrow 0.$$
Ugyanis ekkor a legnagyobb index\H{u} $k$-val v\'{e}gigosztva a sz\'{a}ml\'{a}l\'{o}t \'{e}s a nevez\H{o}t, a $k_{2n-1}; \;\;  n=1,2,\dots$
r\'{e}szsorozat a
         $$\frac{\log 2}{\log 3}$$
  a $k_{2n}; \;\;  n=1,2,\dots$
r\'{e}szsorozat a
         $$\frac{\log 2}{\log 5}$$         
\'{e}rt\'{e}khez tart.
\\
MEGJEGYZ'{E}S. A "val\'{o}s\'{a}gb\'{o}l vett halmazokn\'{a}l" ez \'{u}gy \'{e}szlelhet\H{o}, hogy NINCS olyan szakasz (sk\'{a}la) amelyen a $\delta$
\'{e}rt\'{e}keket a log-log sk\'{a}l\'{a}n felv\'{e}ve azok egy egyenesen vannak.\\
 \\
{\Large  **F.10.15} \  Legyen $\cal C$ egy $M$ pontb\'{o}l \'{a}ll\'{o} halmaz.  Fedj\"{u}k le a $\cal C$ minden pontj\'{a}t egy $\delta$ 
\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} z\'{a}rt k\"{o}rlappal. T\"{o}r\"{o}lj\"{u}k az  $\cal A$ invari\'{a}ns halmazb\'{o}l  az $M$ k\"{o}rlappal k\"{o}z\"{o}s
r\'{e}szeket \'{e}s legyen az \'{\i}gy kapott halmaz ${\cal A}^c$.  Legyen $N_\delta^c$ a  ${\cal A}^c$   halmazt lefed\H{o} minim\'{a}lis sz\'{a}m\'{u}
 $\delta$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmazok sz\'{a}ma.  Ekkor
$$N_\delta^c\leq N_\delta^*\leq N_\delta^c+M\leqno{(10.8)}$$
ahol, mint eddig, $ N_\delta^*$ az  $\cal A$ invari\'{a}ns halmazt lefed\H{o} minim\'{a}lis sz\'{a}m\'{u}
 $\delta$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmazok sz\'{a}ma.  \'{E}rv\'{e}nyes m\'{e}g  a (10.6) formul\'{a}val anal\'{o}g
$$N_{r^{n+1}}^*({\cal A})\leq N^n.N_r^*({\cal A}) \;\;  \;\; n=1,2,\dots }\leqno{(10.9)}$$
\"{o}sszef\"{u}gg\'{e}s. A (10.9) \'{e}ppen \'{u}gy igazolhat\'{o}, mint (10.6) annak a figyelembe v\'{e}tel\'{e}vel, hogy a csonkolt r\'{e}szek 
kicsiny\'{\i}tett m\'{a}sai m\'{e}g fedik egym\'{a}st. 

A (10.8) \'{e}s (10.9) \"{o}sszevet\'{e}s\'{e}b\H{o}l
$$N_{r^n}^c\leq N_{r^n}^*\leq N^n.N_{r^n}^c({\cal A})+M.$$
K\"{o}zvetlen sz\'{a}mol\'{a}ssal l\'{a}thatjuk, hogy a fenti egyenl\H{o}tlens\'{e}g jobb vagy baloldal\'{a}t helyettes\'{\i}tve a (DIM) formul\'{a}ba
ugyanazt az eredm\'{e}nyt kapjuk.\\
\\
{\Large F 10.16} A (DIM) formula  m\'{e}g  akkor is  '{e}rv\'{e}nyes, ha (DIS) nem  v\'{e}ges  halmaz, de az $F _i({\cal A}))$ halmazok \'{a}tfed\'{e}se
"el\'{e}g kicsi". Pontosabban, ha $\cal V$ egy olyan nyilt halmaz, amelynek ${\cal V}^*$ lez\'{a}r\'{a}sa lefedi $\cal A$-t 
(${\cal V}^* \supseteq {\cal A}$) \'{e}s
$$F_i({\cal V})\bigcap F_j({\cal V})=\emptyset  \;\;  \;\;  i\neq j.$$
Ilyen $\cal V$ halmaz a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gn\'{e}l egy  h\'{a}romsz\"{o}g belseje, vagy a Koch g\"{o}rb\'{e}n\'{e}l az 
{\em 1.5 \'{a}br\'{a}n} a g\"{o}rb\'{e}t 
" \'{e}ppen " lefed\H{o} h\'{a}romsz\"{o}g belseje. \\
\\ 
{\Large F 10.17}  A boxdimenzi\'{o} fogalm\'{a}t a ter\"{u}let m\'{e}rt\'{e}k\'{e}re \'{e}p\'{\i}tett\"{u}k. Az $R^2$ sikon azokat a halmazokat tekintett\"{u}k
szab\'{a}lytalannak, amelyeknek a ter\"{u}lete nulla \'{e}s ilyen halmazokat l\'{a}ttunk el  $0\leq s\leq 2$ dimenzi\'{o}\'{e}rt\'{e}kekkel.

Hasonl\'{o}an \'{e}pithet\H{o} t\'{e}rbeli halmazokra \'{e}s t\'{e}rfogat m\'{e}rt\'{e}kre vagy csup\'{a}n a sz\'{a}megyenes pontjaira \'{e}s 
a hossz\'{u}s\'{a}gm\'{e}rt\'{e}kre a boxdimenzi\'{o}. Mi a k\"{o}nnyebb szeml\'{e}ltet\'{e}s miatt v\'{a}lasztottuk az $R^2$ sikot.\\
\\
{\Large F 10.18}  \  Rajzoljunk fel el\'{e}g nagy pontoss\'{a}ggal k\'{e}t nullam\'{e}rt\'{e}k\H{u} halmazt. P\'{e}ld\'{a}ul egy Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get \'{e}s egy csill\'{a}rt
olyan pontoss\'{a}ggal, hogy a tov\'{a}bbi iter\'{a}ci\'{o}k m\'{a}r nem  v\'{a}ltoztatnak rajtuk. Megfelel\H{o}en s\H{u}r\H{u} n\'{e}gyzetr\'{a}ccsal mutassuk 
meg, hogy a nagyobb dimenzi\'{o}s halmazt minim\'{a}lisan lefed\H{o} n\'{e}gyzetek sz\'{a}ma nagyobb lesz. (A boxdimenzi\'{o}k 
pontos  \'{e}rt\'{e}k\'{e}t a  {\large (10.4}  p\'{e}ld\'{a}iban} tal\'{a}lhatjuk.)

{\sf  Minim\'{a}lisan lefed\H{o} n\'{e}gyzetek sz\'{a}ma} azon n\'{e}gyzetek sz\'{a}ma , amelyeknek  {\em nem \"{u}res} a  a halmazzal k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sze.\\
\\
{\Large F 10.19} \   A {\large 9.1 3.} p\'{e}ld\'{a}ban megmutattuk, hogy egy n\'{e}gyzet boxdimenzi\'{o}ja kett\H{o}. Igaz-e, az \'{a}ltal\'{a}nosabb meg\'{a}llap\'{\i}t\'{a}s:
{\em Minden esetben} amikor egy $\cal B$ halmaz ter\"{u}lete (a n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}s m\'{e}r\'{e}ssel m\'{e}rve) pozit\'{\i}v , vagyis
$$N_r({\cal B})r^2\rightarrow c>0$$
akkor a  $\cal B$ boxdimenzi\'{o}ja 2.\\
\\
{\Large F 10.20} \   A hatv\'{a}nyf\"{u}ggv\'{e}nyeknek  egy egyszer\H{u} de nagyon fontos tulajdons\'{a}ga van. Ha
$$f(r)=c.r^s \;\;  \;\; (c,r>0) \leqno{(9.12)}$$
vagyis  $f$ egy hatv\'{a}nyf\"{u}ggv\'{e}ny, akkor 
$$\log f(r) = s\log r+\log c, \leqno{(9.13)}$$ 
vagyis  a  $P( \log r, \; \log f(r))$ pontok egy $s$ ir\'{a}nytangens\H{u} egyenesen vannak ({\em 9.2 \'{a}bra}). Ezt r\"{o}viden
igy fejezz\"{u}k ki: az $f$ f\"{u}ggv\'{e}ny {\sf egy (log, log) sk\'{a}l\'{a}n} egyenessel \'{a}br\'{a}zolhat\'{o}. 

A (9.12) \'{e}s (9.13) ekvivalens \'{a}llit\'{a}sok.  Nemcsak a (9.12)-b\H{o}l k\"{o}vetkezik (9.13), hanem forditva, a (9.13-b\H{o}l
k\"{o}vetkezik a (9.12). Ez\'{e}rt azt is mondjuk,hogy {\sf az $f(r)$ f\"{u}ggv\'{e}ny kiel\'{e}git egy hatv\'{a}nyszab\'{a}lyt (pontosan akkor) ha
 a  $P(\log r, \log f(r))$ pontok egy $s$ ir\'{a}nytangens\H{u} egyenesen vannak.}

 Az  $r\rightarrow\lambda r$ helyettesit\'{e}ssel
$$f(\lambda r)=c\lambda^s r^s.$$

{\em A ($\log, \log$) sk\'{a}l\'{a}n a hatv\'{a}nyf\"{u}ggv\'{e}nyt \'{a}br\'{a}zol\'{o} egyenesen az $r\rightarrow\lambda r$ helyettesit\'{e}s ut\'{a}n az $s$
\'{e}rt\'{e}ke v\'{a}ltozatlan marad.} Ebb\H{o}l  is k\"{o}vetkezik, hogy az $s$ boxdimenzi\'{o} \'{e}rt\'{e}ke nem f\"{u}gg att\'{o}l, hogy az $r$
 nagys\'{a}g\'{a}t milyen egys\'{e}gben m\'{e}rj\"{u}k. Ezt t\"{o}m\"{o}ren {\sf sk\'{a}laf\"{u}ggetlennek} nevezik.

 Sz\'{a}mos forr\'{a}s ezt a tulajdons\'{a}got is {\sf \"{o}nhasonl\'{o}nak} nevezi.\\
   \\ 
 {\Large F 10.21} \ \  Adjuk meg azokat a   $\sigma$ tiltott szavakat, amelyekhez  tartoz\'{o} halmazok $\{N_r; \;\; r=2^{-n} \;\; n=1,2,\dots\}$
sorozata megegyezik a $20$ tiltott sz\'{o}hoz tartoz\'{o} sorozattal, vagyis (R)-el.\\
\\
{\Large  F 10.22}   Hat\'{a}rozzuk meg az
$$ \left\{ 1, {1 \over 2^2} , \ldots , {1 \over n^2} \right\} $$
sorozat box-dimenzi\'{o}j\'{a}t. \\
\\
{\Large F 10.23}   A   {\large 11.1 4.} p\'{e}ld\'{a}ban kisz\'{a}mitottuk, hogy az
$$\{\frac{1}{2^n}; \;\; \;\; n=1,2,\dots\}$$
sorozat box-dimenzi\'{o}ja $0$.\\ 

a./  Igaz-e ez minden konvergens sorozatra?\\ 
b./  Igaz-e ez minden konvergens geometriai sorozatra?\\
\\  \\
\\
{\Large 11.1}\\
\\
{\large\bf  T\"{o}rtdimenzi\'{o}s halmazok (frakt\'{a}lok) a "term\'{e}szetben"}.\\
ide sokkal tobb pl. EKG, frakt\'{a}lantenna, \\

A term\'{e}szetben l\'{e}pten-nyomon tal\'{a}lkozhatunk t\"{o}rtdimenzi\'{o}s halmazokkal, amelyek dimenzi\'{o}ja a halmaz fontos jellemz\H{o}je.
({\em 8.2-8.14 \'{a}br\'{a}k \'{e}s m\'{e}g t\"{o}bb}). 

A term\'{e}szetb\H{o}l vett halmazokn\'{a}l tiszt\'{a}znunk kell, hogy mit \'{e}rts\"{u}nk azon hogy a ter\"{u}let\"{u}k nulla vagy
 a hossz\'{u}s\'{a}guk v\'{e}gtelen, hiszen  a val\'{o}s\'{a}gban nem l\'{e}tezik olyan halmaz, amelynek ter\"{u}lete 
nulla \'{e}s (vagy) a hossza v\'{e}gtelen. 

A klasszikus frakt\'{a}lok, p\'{e}ld\'{a}ul a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g \'{e}s Koch g\"{o}rbe sem ilyen. Ha \'{a}br\'{a}zoljuk \H{o}ket,
a m\'{e}rt\'{e}k\"{u}k m\'{a}r v\'{e}ges. A k\'{e}perny\H{o}n megjelen\H{o} Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gben elf\'{e}rnek 
 olyan k\"{o}rlapok, amelyeknek \'{a}tm\'{e}r\H{o}ja pixel m\'{e}ret\H{u}. Ez\'{e}rt a ter\"{u}lete NEM nulla, hanem egy pici pozitiv sz\'{a}m 
\'{e}s igy  k\'{e}tdimenzi\'{o}s. A megrajzolt Koch g\"{o}rbe hossza is v\'{e}ges.

A megkonstru\'{a}lt halmazok abban az \'{e}rtelemben megm\'{e}rhetelenek, hogy ter\"{u}let\"{u}k annyira kicsi az 
\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\"{u}kh\"{o}z k\'{e}pest hogy a szok\'{a}sos m\'{e}r\'{e}si elj\'{a}r\'{a}s nulla ter\"{u}letet mutat, vagy a hossz\'{u}s\'{a}guk 
a m\'{e}r\'{e}s pontoss\'{a}g\'{a}val rohamosan n\"{o}vekszik.
Ugyanez a helyzet minden eddig ismertetett t\"{o}rtdimenzi\'{o}s halmazzal, ha azt a sz\'{a}mit\'{o}g\'{e}p
 k\'{e}perny\H{o}j\'{e}n megjelenitj\"{u}k, vagy b\'{a}rmik\'{e}ppen megkonstru\'{a}ljuk. Az ilyen halmazokn\'{a}l a m\'{e}r\'{e}s eredm\'{e}nye 
 \'{a}ltal\'{a}ban "zajos", a {\em relat\'{\i}v}  m\'{e}r\'{e}si hiba t\'{u}ls\'{a}gosan nagy.\\

 {\sf A val\'{o}s\'{a}gos objektumok csak bizonyos sk\'{a}l\'{a}n t\"{o}rtdimenzi\'{o}sak}. B\'{a}rmennyire is lyukacsos 
egy halmaz, ha annak a  ter\"{u}let\'{e}t a lyukak \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\'{e}n\'{e}l l\'{e}nyegesen kisebb 
m\'{e}rt\'{e}kegys\'{e}ggel m\'{e}rj\"{u}k, akkor m\'{e}rt\'{e}ke pozitiv sz\'{a}m \'{e}s igy NEM t\"{o}rtdimenzi\'{o}s (l\'{a}sd m\'{e}g 
  Akkor kaphatunk t\"{o}rtdimenzi\'{o}t, ha a m\'{e}rt\'{e}kegys\'{e}g\"{u}nk a lyukak  \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\'{e}hez hasonl\'{o} nagys\'{a}grend\H{u}.
Ez\'{e}rt akkor tekint\"{u}nk egy "val\'{o}s\'{a}gos" $\cal H$ halmazt $s$-dimenzi\'{o}snak, ha egy "el\'{e}gg\'{e} hossz\'{u}" 
 $c_1\leq \delta\leq c_2$ intervallumon a
$$(-\log\delta ,  \; \log N_\delta({\cal H}))$$
pontok, j\'{o} k\"{o}zelit\'{e}ssel, egy $s$ meredeks\'{e}g\H{u} egyenesen vannak. \\

Ez azt jelenti, hogy
$$N_r\approx \alpha r^{-s}\leqno{(11.1)}$$
ha $r$ el\'{e}g kicsi.  A (11.1) \"{o}sszef\"{u}gg\'{e}st {\sf hatv\'{a}nyszab\'{a}lynak}  nevezz\"{u}k.\\
\\
(EML\'{E}KEZTET\H{O}. A (11.1) alapj\'{a}n
 $$\log \alpha r^{-s}=\log\alpha -s\log r$$
 \'{e}s (11.1) nagy $n$ \'{e}rt\'{e}kekre teljes\"{u}l, 
 $$s=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log N_\delta({\cal B})}{-\log\delta} \leqno{(BD)}$$
hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ket tekintj\"{u}k boxdimenzi\'{o}nak.\\

({\bf r\'{e}szletesebben:}
$$\log N_r=\log\alpha -s\log r$$
$$\frac{\log N_r}{\log r}=s-\frac{\log\alpha}{\log r})$$
  
A boxdimenzi\'{o} meghat\'{a}roz\'{a}s\'{a}t \'{a}ttekinthet\H{o}bb1e tehetj\"{u}k a k\"{o}vetkez\H{o} {\sf grafikus \'{a}br\'{a}zol\'{a}ssal}. Az
(1) alapj\'{a}n 
$$\log N_\delta =\log\alpha -s\log r$$
$P(-\log\delta, \; \log N_\delta )$ pontok, el\'{e}gg\'{e} kis $\delta$ mellett  (j\'{o} k\"{o}zelit\'{e}ssel)  egy  $s$ meredeks\'{e}g\H{u}  egyenesen 
vannak ({\em 9.2 \'{a}bra}). Ez\'{e}rt, ha egy der\'{e}ksz\"{o}g\H{u} koordin\'{a}tarendszerben a tengelyeken {\em logaritmikus sk\'{a}l\'{a}t} 
vesz\"{u}nk, fel, akkor a $(\delta, N_\delta)$ pontokat el\'{e}g kis $\delta$ \'{e}rt\'{e}kekre felrajzolva, azok egy $s$ meredeks\'{e}g\h{u} egyenesen 
lesznek ({\em 9.4 \'{a}bra})\\

A {\em 9.6a \'{a}br\'{a}n} ugyanazon koordin\'{a}ta rendszerben \'{a}br\'{a}zoltuk  az eddig m\'{e}rt halmazok  box-dimenzi\'{o}j\'{a}hoz tartoz\'{o}
  egyeneseket \'{e}s a  {\em 9.6b \'{a}br\'{a}n}  m\'{e}g k\"{o}z\"{o}s  kezd\H{o}pontba is toltuk az egyeneseket. \'{I}gy  k\"{o}nnyebben
 \"{o}ssze tudjuk hasonl\'{\i}tani az $s$ meredeks\'{e}g\"{u}ket.\\
\\
  MEGJEGYZ\'{E}S. Sokszor, f\H{o}leg m\H{u}szaki jelleg\H{u} feladatok eset\'{e}n, a  $\log\delta$ \'{e}rt\'{e}keket m\'{e}rj\"{u}k fel az $X$ 
 tengelyre. Ekkor nyilv\'{a}n egy $-s$ ir\'{a}nytangens\H{u} egyenest kapunk.\\
\\ \\
{\large\bf Norv\'{e}gia partvonala.}\\

  A {\em 9.5A-D \'{a}bra } mutatja az egyre kisebb $\delta$-\'{e}l\H{u} n\'{e}gyzetr\'{a}cs lefed\'{e}seket \'{e}s 
az {\em 9.4B \'{a}bra} 
t\'{a}bl\'{a}zata a hozz\'{a}juk tartoz\'{o} $(\delta , N_\delta )$ p\'{a}rokat. Ezeknek az adatoknak az alapj\'{a}n a Norv\'{e}g partvonal boxdimenzi\'{o}ja
$s=1.18$ ill. $s=1.27$ a boxdimenzi\'{o}, aszerint hogy a (9.9) egyenes $s$ meredeks\'{e}g\'{e}t melyik pontp\'{a}rra sz\'{a}moljuk.  
\'{I}gy a {\em 9.5  \'{a}br\'{a}k} csup\'{a}n demo jelleg\H{u}ek.   Haszn\'{a}lhat\'{o} eredm\'{e}ny csak {\em nagyobb m\'{e}ret\H{u}t\'{e}rk\'{e}pekr\H{o}l}
 kaphatunk. Pr\'{o}b\'{a}ljuk ki! (A pontos \'{e}rt\'{e}k: $s=1.2877\dots$)

Zeg-zugos \'{u}t \'{e}s partvonalak  m\'{e}r\'{e}s\'{e}re, mint amilyen a norv\'{e}g partvonal,  alkalmasabb az u.n. kompasz dimenzi\'{o}  ({\large 11.2}). Ennek
  sz\'{a}m\'{\i}t\'{a}sa  a terepen elv\'{e}gezhet\H{o} geod\'{e}ziai 
m\'{e}r\'{e}sekre \'{e}p\"{u}l  \'{e}s  ez\'{e}rt ezt haszn\'{a}lj\'{a}k a box-dimenzi\'{o} helyett a geod\'{e}zi\'{a}ban. Ez teljesen a box-dimenzi\'{o} szerep\'{e}t 
t\"{o}lti be, noha \'{e}rt\'{e}ke  sokszor elt\'{e}r a box-dimenzi\'{o} \'{e}rt\'{e}k\'{e}t\H{o}l.\\
\\  \\  
{\large\bf Egy p\'{e}lda a geod\'{e}zi\'{a}b\'{o}l.}\\

Egy g\"{o}rbe \'{\i}vhossz\'{a}t a be\'{\i}rt poligonjainak hossz\'{a}val k\"{o}zel\'{\i}tj\"{u}k meg ({\em 11.1 \'{a}bra}). \'{U}jabb 
oszt\'{o}pontok felv\'{e}tel\'{e}vel a be\'{\i}rt poligon hossza n\"{o}vekedik (nem cs\"{o}kken) \'{e}s "szeml\'{a}tom\'{a}st egyre k\"{o}zelebb ker\"{u}l 
a g\"{o}rbe hossz\'{u}s\'{a}g\'{a}nak a m\'{e}rt\'{e}k\'{e}hez". Ennek alapj\'{a}n egy g\"{o}rbe \'{\i}vhossz\'{a}nak a k\"{o}vetkez\H{o}t  tekintj\"{u}k:\\

{\em Vegy\"{u}k a g\"{o}rbe be\'{\i}rt poligonjainak a halmaz\'{a}t. Adjuk meg mindegyik poligonnak a hossz\'{a}t \'{e}s tekints\"{u}k
az igy kapott pozit\'{\i}v sz\'{a}mokb\'{o}l \'{a}ll\'{o} halmaznak a fels\H{o} hat\'{a}r\'{a}t. Az \'{\i}gy kapott sz\'{a}mot tekintj\"{u}k 
{\sf a g\"{o}rbe \'{\i}vhossz\'{a}nak}.}\\

 Ha felvesz\"{u}nk a g\"{o}rb\'{e}n pontokat, majd ezeket \'{u}jabb pontok felv\'{e}tel\'{e}vel s\H{u}r\'{\i}tj\"{u}k, akkor az ezekre a pontokra
 illeszked\H{o}, egyre t\"{o}bb t\"{o}r\'{e}sponttal rendelkez\H{o}
polig\'{o}nok hossz\'{u}s\'{a}ga egyre k\"{o}zeledik a g\"{o}rbe \'{\i}vhossz\'{a}hoz.  

Vannak g\"{o}rb\'{e}k amelyeknek nincs \'{\i}vhosszuk. Az \'{\i}vhossz defin\'{\i}ci\'{o}ja alapj\'{a}n ez azt jelenti, hogy a be\'{\i}rt 
polig\'{o}nok hossz\'{u}s\'{a}gainak nincsen fels\H{o} korl\'{a}tja, b\'{a}rmilyen nagy $M$ sz\'{a}mhoz meg tudunk adni pontokat a 
g\"{o}rb\'{e}n \'{u}gy, hogy a pontokra illeszked\H{o} (be\'{\i}rt) polig\'{o}n hossz\'{u}s\'{a}ga nagyobb legyen mint $M$ 
( Ilyen g\"{o}rb\'{e}kre  p\'{e}ld\'{a}k, a  t\H{o}zsdei \'{a}rfolyam ingadoz\'{a}s\'{a}t bemutat\'{o} {\em 8.8  \'{a}br\'{a}k} \'{e}s a Koch g\"{o}rb\'{e}k.)
   
Az ilyen g\"{o}rb\'{e}k m\'{e}ret\'{e}t a boxdimenzi\'{o} helyett a geod\'{e}zi\'{a}ban, az \'{\i}vhossz m\'{e}r\'{e}s\'{e}hez jobban illeszked\H{o} 
 kompasz ({\em t\'{a}jol\'{o}}) dimenzi\'{o}val is szok\'{a}s megadni. Legyen $M(\delta )$ egy olyan beirt poligon
\'{e}leinek a sz\'{a}ma amelynek minden oldala $\delta$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u}. Ekkor 
$$h=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\log M(\delta )}{-\log\delta} \leqno{(11.1)}$$
a {\sf g\"{o}rbe kompasz ({\em t\'{a}jol\'{o}, divider}) dimenzi\'{o}ja}. 

B\'{a}rhogyan is vessz\"{u}k fel az egyre kisebb $\delta$ \'{e}l\H{u} be\'{\i}rt polig\'{o}nokat egy $\cal G$ g\"{o}rb\'{e}be, a hozz\'{a}
tartoz\'{o} (11.1) sorozat ugyanoda tart. Ezt itt NEM bizony\'{\i}tjuk, noha ez NEM nyilv\'{a}nval\'{o}. 

A (11.1) formula azt a tapasztalatot t\"{u}kr\"{o}zi, hogy
$$M(\delta)=c\delta^{-h}$$
hasonl\'{o}an, mint a boxdimenzi\'{o} eset\'{e}n. \'{I}gy
$$L(\delta)=M(\delta)\delta=c\delta^{1-h}\leqno{(11.2)}$$
vagyis a be\'{\i}rt poligonok hossz\'{a}nak n\"{o}veked\'{e}se $\delta\rightarrow 0$ eset\'{e}n, egy hatv\'{a}nyszab\'{a}ly szerint t\"{o}rt\'{e}nik.

Az elmondottak alapj\'{a}n, ha a ${\cal G}_1$ g\"{o}rbe kompasz dimenzi\'{o}ja $h_1$ \'{e}s a  ${\cal G}_2$ g\"{o}rbe kompasz
 dimenzi\'{o}ja $h_2$ \'{e}s $h_1<h_2$, akkor r\"{o}gz\'{\i}tett kis $\delta$ eset\'{e}n a $\delta$-\'{e}l\H{u} be\'{\i}rt polig\'{o}nok
hossza a ${\cal G}_2$ g\"{o}rb\'{e}n\'{e}l nagyobb mint a ${\cal G}_1$ g\"{o}rb\'{e}n\'{e}l. (Hiszen ekkor a (11.1) sz\'{a}ml\'{a}l\'{o}ja,
el\'{e}g kis $\delta$ mellett, a ${\cal G}_2$ g\"{o}rb\'{e}n\'{e}l nagyobb mint a ${\cal G}_1$ g\"{o}rb\'{e}n\'{e}l.)

Durv\'{a}n sz\'{o}lva,  a kompasz dimenzi\'{o} a g\"{o}rb\'{e}be \'{\i}rt polig\'{o}nok hossz\'{a}nak n\"{o}veked\'{e}si
 \"{u}tem\'{e}t m\'{e}ri $\delta\rightarrow 0$ eset\'{e}n.

\'{E}ppen \'{u}gy, mint a box-dimenzi\'{o}n\'{a}l, a (11.2) formul\'{a}b\'{o}l k\"{o}vetkezik, hogy  a $(-\log\delta, \;  \log M(\delta))$ pontok egy $h$ 
ir\'{a}nytangens\H{u} egyenesen vannak, kis $\delta$ eset\'{e}n. \\

 A geod\'{e}zi\'{a}ban , egy partvonal (vagy egy foly\'{o} hossz\'{a}nak) m\'{e}r\'{e}s\'{e}re
szok\'{a}sos elj\'{a}r\'{a}s
hogy egym\'{a}st\'{o}l ugyanakkora $r$  t\'{a}vols\'{a}gban,  pontokat (u.n. m\'{e}r\'{e}si sarokpontokat) jel\"{o}lnek 
ki a partvonal ment\'{e}n ({\em 11.2 \'{a}bra}). Legyen az igy kijel\"{o}lt pontok sz\'{a}ma 
$M(r)+1$. Ekkor a partvonal k\"{o}zelit\H{o} hossz\'{a}nak az
 $$L(r)=M(r).r \leqno{(11.3)}$$
 \'{e}rt\'{e}ket tekinthetj\"{u}k. Ezt a m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossz\'{a}nak nevezik. Hasonl\'{o}an azokhoz a g\"{o}rb\'{e}khez,
amelyeknek nincsen \'{\i}vhosszuk, nagyon zeg-zugos partvonalak eset\'{e}n,
mint amilyen p\'{e}ld\'{a}ul Norv\'{e}gia, vagy Izland partvonala, vagy egy zeg-zugos foly\'{o}, a  m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossz\'{a}val 
nem kapjuk meg a partvonal hossz\'{a}t megfelel\H{o} pontoss\'{a}ggal. Ennek  oka egyr\'{e}szt az, hogy {\sf  a m\'{e}r\'{e}sekn\'{e}l felvehet\H{o}
ugyanazon $r$ t\'{a}vols\'{a}gban,  {\em de  k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} helyeken} kijel\"{o}lve
 ezeket a m\'{e}r\'{e}si pontokat a (11.3) \'{e}rt\'{e}kek l\'{e}nyegesen elt\'{e}rnek 
egym\'{a}st\'{o}l}, ha a partvonal nagyon zegzugos m\'{a}sr\'{e}szt,
ekkor az $r$ cs\"{o}kkent\'{e}s\'{e}vel a m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossza l\'{e}nyegesen megv\'{a}ltozik. Igy a m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossza
nem ad kell\H{o} t\'{a}j\'{e}koztat\'{a}st a partvonal hossz\'{a}r\'{o}l ({\em 11.2 \'{a}bra}). Ebben az esetben, ha a
m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}g hossza mellett a g\"{o}rbe kompasz dimenzi\'{o}j\'{a}t is felt\"{u}ntetj\"{u}k, akkor felvil\'{a}gos\'{\i}t\'{a}st adunk a m\'{e}r\'{e}s 
pontoss\'{a}g\'{a}r\'{o}l is.\\

A dimenzi\'{o} meg\'{a}llap\'{\i}t\'{a}s\'{a}nak a legegyszer\H{u}bb m\'{o}dja, hogy k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} $\delta_1$ \'{e}s $\delta_2$
mellett meghat\'{a}rozzuk a  hozz\'{a}juk tartoz\'{o}  m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}gek $L(\delta_1)$ \'{e}s   $L(\delta_2)$ hossz\'{a}t.
Tekints\"{u}k a kett\H{o} {\em h\'{a}nyados\'{a}t}. Pontosabban az
 $$\log\frac{M(\delta_1)}{M(\delta_2)} \;\; \'{e}s \;\;\log\frac{\delta_1}{\delta_2} \;\; ar\'{a}ny\'{a}t.\leqno{(11.4)}$$ 
\end{center}
A (11.4) a k\"{o}vetkez\H{o}vel egyenl\H{o}
$$\frac{\log M(\delta_1)- \log M(\delta_2)}{\log\delta_2-\log\delta_1}$$
ami a $(-\log\delta, \;  \log M(\delta))$ pontokkal meghat\'{a}rozott egyenes $h$ ir\'{a}nytangense, vagyis a g\"{o}rbe dimenzi\'{o}ja.\\
MEGJEGYZ\'{E}S. A (11.4) a m\'{e}r\'{e}si soksz\"{o}gek hossz\'{a}nak a relat\'{\i}v n\"{o}veked\'{e}s\'{e}t adja, ami gazdagabb 
inform\'{a}ci\'{o} mint ha csup\'{a}n az $L(\delta_1)$ \'{e}s   $L(\delta_2)$ h\'{a}nyados\'{a}t adjuk meg, hiszen (11.4) tekintetbe 
veszi azt is, hogy a $\delta$ milyen v\'{a}ltoz\'{a}s\'{a}hoz tartozik a n\"{o}veked\'{e}s. A logaritmus bevet\'{e}s\'{e}t a hatv\'{a}nyszab\'{a}ly
indokolja.\\

T\'{e}rk\'{e}pek k\'{e}sz\'{\i}t\'{e}s\'{e}n\'{e}l a k\"{o}vetkez\H{o} szerepe lehet a a kompasz dimenzi\'{o}nak. Ha egy kisebb l\'{e}pt\'{e}k\H{u} t\'{e}rk\'{e}p
alapj\'{a}n egy {\em nagyobb l\'{e}pt\'{e}k\H{u}t} k\'{e}sz\'{\i}t\"{u}nk, akkor a t\'{e}rk\'{e}p vonalai 
"megr\"{o}vid\"{u}lnek". Egy partvonal kism\'{e}ret\H{u} \"{o}blei, egy foly\'{o}n\'{a}l a  r\"{o}vid, \'{e}les kanyarok 
elt\H{u}nhetnek a nagyobb l\'{e}pt\'{e}k\H{u} t\'{e}rk\'{e}pen. A vonalhossz megv\'{a}ltoz\'{a}s\'{a}nak a m\'{e}rt\'{e}k\'{e}t ekkor
 a kompasz dimenzi\'{o} adja \'{e}s a t\'{e}rk\'{e}pszerkeszt\'{e}s j\'{o}s\'{a}g\'{a}nak egyik param\'{e}tere, hogy a szerkeszt\'{e}s
sor\'{a}n mennyire v\'{a}ltozik meg a g\"{o}rb\'{e}k dimenzi\'{o}ja.   \\
\\  \\
{\large\bf Frakt\'{a}ln\"{o}veked\'{e}s.}\\
\\
{\Large 1.}  {\sf Elektrol\'{\i}zis}. Egy kerek t\'{a}lk\'{a}ba, amelyben  r\'{e}zszulf\'{a}t oldat van,  elektr\'{o}d\'{a}kat helyez\"{u}nk. A kat\'{o}dot
  a t\'{a}lka  k\"{o}zepe  f\"{o}l\'{e} f\"{u}ggessz\"{u}k, az an\'{o}dot pedig  a cs\'{e}sze perem\'{e}re helyezz\"{u}k k\"{o}r alakban. Az \'{a}ram bekapcsol\'{a}sakor
   a fesz\"{u}lts\'{e}g hat\'{a}s\'{a}ra
  a kat\'{o}don r\'{e}z rak\'{o}dik le \'{e}s nem sok id\H{o} m\'{u}lva a kat\'{o}don kiv\'{a}lt r\'{e}z alakja 
 a {\em 11.3 \'{a}br\'{a}kon} l\'{a}that\'{o} alakot  \"{o}lt. A {\em 11.3 \'{a}bra} a kat\'{o}dra mer\H{o}leges keresztmetszet\'{e}t mutatja ennek a halmaznak 
 az elektrol\'{\i}zis kezdet\'{e}t\H{o}l eltelt el\'{e}g hossz\'{u} id\H{o} m\'{u}lva, miut\'{a}n a form\'{a}tum " \'{a}lland\'{o}sult".
 Ha $r$ a kat\'{o}dt\'{o}l m\'{e}rt t\'{a}vols\'{a}g \'{e}s  $N(r)$  a legfeljebb $r$ t\'{a}vols\'{a}gra es\H{o} lerak\'{o}dott r\'{e}z mennyis\'{e}ge, akkor
 a  $(\log r, \log N(r))$ pontok egy  $s$ meredeks\'{e}g\H{u} egyenesen vannak j\'{o} k\"{o}zel\'{\i}t\'{e}ssel. Az $s$ "ert\'{e}ke, 
 a lerak\'{o}dott r\'{e}z eme metszet\'{e}nek a box-dimenzi\'{o}ja, akkor lesz  a l\'{e}nyegesen kisebb a 2-n\'{e}l, ha az  oldat koncentr\'{a}ci\'{o}ja 
 kicsi \'{e}s az eletr\'{o}d\'{a}k k\"{o}z\"{o}tti elektromos fesz\"{u}lts\'{e}g nagy.\\
     \\
 {\Large 2} {\sf Bakt\'{e}riumtelepek }   Ha egy kerek t\'{a}lk\'{a}ban (Petri cs\'{e}sz\'{e}ben)  zsel\'{e}szer\H{u}, t\'{a}panyagot tartalmaz\'{o} k\"{o}zeg   
  k\"{o}zep\'{e}be  bakt\'{e}riumokkal teli folyad\'{e}kcsepp ker\"{u}l, akkor ez nyilv\'{a}n egy  bakt\'{e}riumtelepp\'{e}  n\"{o}vekedik. Ha a zsel\'{e}ben a  t\'{a}panyag 
  j\'{o}l diffund\'{a}l,  a bakt\'{e}riumok mozg\'{a}sa nincs akad\'{a}lyozva \'{e}s b\H{o}s\'{e}ges t\'{a}panyag van, akkor kb. k\"{o}rforma a bakt\'{e}riumtelep. ({\em 11.4a  \'{a}bra}).
 Ha a t\'{a}panyag nem el\'{e}gs\'{e}ges, akkor a cs\'{e}sze belsej\'{e}ben hamarabb fogy el a t\'{a}panyag mint  a cs\'{e}sze perem\'{e}n, hiszen itt van
  a bakt\'{e}riumok t\"{o}mege, am\'{\i}g a cs\'{e}sze sz\'{e}le m\'{e}g \'{e}rintetlen. Ez\'{e}rt ekkor  a cs\'{e}sze   belsej\'{e}ben  a bakt\'{e}riumok pusztulnak, 
  a telep sz\'{e}l\'{e}n  lev\H{o} egyedek tov\'{a}bbszaporodnak. A k\"{o}rform\'{a}j\'{u} telep " ujasodik " ({\em 11.4b  \'{a}bra}). 
 Az \'{a}gak egyre hosszabbak lesznek, a fjordok m\'{e}ly\"{u}lnek, a telep "frakt\'{a}lszer\H{u}v\'{e}" v\'{a}lik  ({\em 11.4c  \'{a}bra}).
  Az ujjasod\'{a}s v\'{e}gpontjaiban a bakt\'{e}riumok  szaporod\'{a}s\'{a}nak val\'{o}sz\'{\i}n\H{u}s\'{e}ge egyre nagyobb lesz a bels\H{o} egyedek\'{e}hez k\'{e}pest.
 A telep  NEM az \'{a}tm\'{e}r\H{o} (sug\'{a}r?) n\'{e}gyzet\'{e}vel, hanem $r^s$ "m\'{e}rt\'{e}kben" n\"{o}vekszik. A dimenzi\'{o} a n\'{e}lk\"{u}l\"{o}z\'{e}s
  discomfort m\'{e}ret\'{e}t mutatja.\\
  \\
 {\Large 3.} {\sf DLA modell} ({\em diffusion limited aggregation}). Egy el\'{e}gg\'{e} s\H{u}r\H{u}\'{e}s el\'{e}gg\'{e} nagym\'{e}ret\H{u} {\bf adatok!}  n\'{e}gyzetr\'{a}cson 
 kijel\"{o}l\"{u}nk egy n\'{e}gyzetet, ez lesz a DLA magja, majd a r\'{a}cs valmely pontj\'{a}b\'{o}l elind\'{\i}tunk egy r\'{e}szecske bolyong\'{a}s\'{a}t. Ez azt jelenti, hogy
 v\'{e}letlenszer\H{u}n kijel\"{o}l\"{u}nk egy a magt\'{o}l k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} n\'{e}gyzetet a r\'{a}cson \'{e}s az minden m\'{a}sodpercben (id\H{o}egys\'{e}gben)
 egyenl\H{o} val\'{o}sz\'{\i}n\H{u}s\'{e}ggel l\'{e}p egy  r\'{a}cspontot a n\'{e}gy ir\'{a}ny valamelyik\'{e}ben. Ez a bolyong\'{a}s ({\em Brown
 mozg\'{a}s}) addig tart
 amig a r\'{e}szecsk\'{e}t reprezent\'{a}l\'{o} n\'{e}gyzet a maghoz jut el. (Egy el\H{o}re megadott r\'{a}cst\'{a}vols\'{a}gn\'{a}l k\"{o}zelebb ker\"{u}l a maghoz).
 Ekkor a r\'{e}szecske a maghoz tapad. Egy m\'{a}sik befejez\'{e}se a r\'{e}szecske bolyong\'{a}s\'{a}nak az, ha a  r\'{e}szecsk\'{e}t reprezent\'{a}l\'{o} n\'{e}gyzet
 a n\'{e}gyzetr\'{a}cs egy perempontj\'{a}t \'{e}ri el. Ekkor a r\'{e}szecske megsemmis\"{u}l.
 
 Minden bolyong\'{a}s v\'{e}g\'{e}n \'{u}jabb r\'{e}szecsk\'{e}t ind\'{\i}tunk \'{e}s a mag a hozz\'{a}tapadt n\'{e}gyzettel b\H{u}v\"{u}l. Ha a bolyong\'{a}s a maghoz
  tapad\'{a}ssal v\'{e}gz\H{o}dik, akkor a bolyong\'{o} r\'{e}szecsk\'{e}t reprezent\'{a}l\'{o} n\'{e}gyzet a hozz\'{a} legk\"{o}zelebb \'{a}ll\'{o} n\'{e}gyzethez tapad.
  ({\em 11.3B \'{a}bra})\\
  
   Szembet\H{u}n\H{o} hasonlatoss\'{a}got mutat az elektrol\'{\i}zis folyam\'{a}n a kat\'{o}dra  rak\'{o}dott r\'{e}z, a bakt\'{e}riumtelep alakja 
   kedvez\H{o}tlen \'{e}letk\"{o}r\"{u}lm\'{e}nyek kialakul\'{a}sakor \'{e}s a DLA modellbena sz\'{a}m\'{\i}t\'{o}g\'{e}pes szimul\'{a}ci\'{o} sor\'{a}n kialakult halmaz
   a mag alakja elegend\H{o}en hossz\'{u} folyamat ut\'{a}n. Mindh\'{a}rom dinamik\'{a}j\'{a}ban k\"{o}z\"{o}s az, hogy a ny\'{u}lv\'{a}nyok kialakul\'{a}sa ut\'{a}n,
   a v\'{e}gpontok n\"{o}veked\'{e}s\'{e}nek val\'{o}sz\'{\i}n\H{u}s\'{e}ge egyre nagyobb lesz a "fjordok" bels\H{o} pontjaival szemben.
   
   A DLA modellben, a maghoz k\"{o}zel jutva, a tov\'{a}bbjut\'{a}s val\'{o}sz\'{\i}n\H{u}s\'{e}ge m\'{a}r NEM azonos minden ir\'{a}nyban. A mag ir\'{a}ny\'{a}ban
   a letapad\'{a}snak lesz egyre nagyobb val\'{o}sz\'{\i}n\H{u}s\'{e}ge. Hasonl\'{o} a helyzet az elektrol\'{\i}zis eset\'{e}n a r\'{e}z lerak\'{o}d\'{a}s\'{a}val.
   
   A bakt\'{e}rumtelep eset\'{e}ben is az ujjasod\'{a}s v\'{e}gpontjaiban a bakt\'{e}riumok
   szaporod\'{a}s\'{a}nak val\'{o}sz\'{\i}n\H{u}s\'{e}ge egyre nagyobb lesz a bels\H{o} egyedek\'{e}hez k\'{e}pest.\\
\\
    MEGJEGYZ\'{E}S. A bakt\'{e}riumtelep alakul\'{a}s\'{a}nak finomabb vizsg\'{a}lat\'{a}ban figyelembe szokt\'{a}k venni a chemotaxist,
 a bakt\'{e}riumok k\'{e}miai \'{u}ton t\"{o}rt\'{e}n\H{o} inform\'{a}ci\'{o}cser\'{e}j\'{e}t is.\\
 \\  \\
{\large \bf Feladatok \'{e}s tov\'{a}bbi inform\'{a}ci\'{o}k.} \\
\\
{\Large F 11.1}  Mennyi a Koch g\"{o}rbe  "compass" dimenzi\'{o}ja? Mennyi egy k\"{o}rvonal "compass" dimenzi\'{o}ja?\\
\\  
{\Large F 11.2} $h$ jel\"{o}lje egy g\"{o}rbe "compass" dimenzi\'{o}j\'{a}t. Igazoljuk, hogy ha egy g\"{o}rbe $L$ hossza v\'{e}ges, akkor $h=1$ \'{e}s 
ha $h>1$ akkor $L=\infty$.\\
\\
\end{document}
























































