                               \documentstyle[12pt]{article}
\begin{document}


\newcommand{\xxhat}{\Rightarrow  }
\newcommand{\xxnyo}{$ \mbox{8??} $ }
\newcommand{\xxc}  {\subseteq}
\newcommand{\xxe}  {\in}
\newcommand{\xxn}  {\cap}
\newcommand{\xxq}  {\circ }
\newcommand{\xxu}  {\bigcup}
\newcommand{\xxdol}{\not=}
\newcommand{\xxnag}{\geq}
\newcommand{\xxkis}{$ \mbox{<??} $ }
\newcommand{\xxfug}{\mid}
\newcommand{\xye}  {$ \mbox{e!?} $ }
\newcommand{\xyf}  { \phi }
\newcommand{\xyq}  {\theta }
\newcommand{\xyp}  {\pi}
\newcommand{\xys}  {$ \mbox{s!?} $ }
\newcommand{\lek}{lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\ite}{iter\'{a}ci\'{o}}
\newcommand{\fn}{\{F^{[n]}(z);\;\;z\in{\cal D}\}}
\newcommand{\sor}{sorozat}
\newcommand{\has}{hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\xl}{\lim_{n \rightarrow\infty}}
\newcommand{\xk}{kontraktiv}
\newcommand{\xit}{iter\'{a}lt}
\newcommand{\xfe}{f\'{e}nyk\'{e}p}
\newcommand{\xha}{hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\Fn}{\{F^{[n]}(z);\;\;z\in{\cal D}\}}
\newcommand{\fr}{F: R^n \rightarrow R^n}
\newcommand{\xxi}{i=1,2,\dots, n}
\newcommand{\fne} {f^{[n]}(x)}
\newcommand {\xr}{\rightarrow}
\newcommand{\xn}{n=1,2,\dots}
\newcommand{\xxk}{k=1,2,\dots, n}
\newcommand{\xWb} {W^{[n]}({\cal B})}
\newcommand {\xs} {sequence}
\newcommand{\FK}{F^{[n]}({\cal K})}
\newcommand{\FN}{F^{[n]}(x)}
\newcommand{\xN}{i=1,2,\dots, N}
\newcommand{\xU}{\bigcup_{i=1}^N F_i}
\newcommand{\xu}{\cup_{i=1}^N F_i}
\newcommand{\Fi}{\{F_i; \;\;\; \xN \}}
\newcommand{\xHA}{halmazf\"{u}ggv\'{e}ny}
\newcommand{\xtu}{tulajdons\'{a}g}
\newcommand{\Fix}{F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_n}}
\newcommand{\k} {k=1,2,\dots}
\newcommand{\Ha} {Hausdorff t\'{a}vols\'{a}g}
\newcommand{\iter} {iter\'{a}lt f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer}
\newcommand{\rs} {r_{\sigma_1}\dots r_{\sigma_k}}
\newcommand{\rss} {r_{\sigma_1}^s\dots r_{\sigma_k}^s}
\newcommand{\Uk} {\{{\cal U}_k; \;\;  {\k}\}}
\newcommand{\Fsb} {F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_k}({\cal B})}
\newcommand{\Fsa} {F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_k}({\cal A})}
\newcommand{\xge}{geometriai sor}
\newcommand{\xxWb}{\{W^{[n]}({\cal B}); \;\; \;\; n=1,2,\dots\}}
\newcommand{\xmny}{matematika nyelv\'{e}n}






{\sf\LARGE I. \ \ \"{O}NHASONL\'{O}S\'{A}G.}\\
\\

A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g, a Koch g\"{o}rbe, a fa\'{a}g olyan halmazok, amelyek hat\'{a}rtalanul nagy\'{\i}that\'{o}k \'{u}gy, hogy a 
nagy\'{\i}t\'{a}skor \'{u}jabb \'{e}s \'{u}jabb r\'{e}szletek bukkannak fel \'{e}s ezek a r\'{e}szletek a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gnek, a Koch g\"{o}rb\'{e}nek,
 a fa\'{a}gnak vagyis az {\em eg\'{e}sz halmaznak} ar\'{a}nyosan kicsiny\'{\i}tett m\'{a}sai. Hogyan k\'{e}sz\'{\i}thet\"{u}nk ilyen halmazokat (\'{a}br\'{a}kat)?
T\"{o}bbek k\"{o}z\"{o}tt erre kapunk feleletet a k\"{o}vetkez\H{o}kben, amikor alaposabban k\"{o}r\"{u}lj\'{a}rjuk az \"{o}nhasonl\'{o}s\'{a}g fogalm\'{a}t.\\ 
\vspace{30mm}\\

\\
{\bf\Large Iter\'{a}ci\'{o}k}
\vspace{5mm}\\
{\bf \Large 1.1} 

Amint a bevezet\H{o}} p\'{e}ld\'{a}kban  l\'{a}ttuk,
 iter\'{a}ci\'{o} l\'{e}nyeg\'{e}ben azt jelenti, hogy {\sf egy szab\'{a}lyt \'{u}jra meg \'{u}jra ism\'{e}tl\"{u}nk.} A matematika nyelv\'{e}n kifejezve,
 ez azt jelenti, hogy  {\sf egy $f$ lek\'{e}pez\'{e}snek (f\"{u}ggv\'{e}nynek) \"{o}nmag\'{a}val val\'{o} kompozici\'{o}it 
vessz\"{u}k.} Vagyis\\
\\
{\em $f$ m\'{a}sodik iter\'{a}ci\'{o}ja (v. iter\'{a}ltja) $f\circ f$,
 t\"{o}m\"{o}rebb jel\"{o}l\'{e}ssel $f^{[2]}$.\\
$f$ harmadik iter\'{a}ci\'{o}ja (v. iter\'{a}ltja) $f\circ f\circ f$, t\"{o}m\"{o}rebb
 jel\"{o}l\'{e}ssel} $f^{[3]}$.\\
s.i.t.

Pontosabban, egy $f$ f\"{u}ggv\'{e}ny iter\'{a}ci\'{o}ja a k\"{o}vetkez\H{o}ket jelenti:

{\em Ha $\cal H$ egy halmaz \'{e}s $f: \; {\cal H}\rightarrow{\cal H}$,
vagyis $f$ egy olyan f\"{u}ggv\'{e}ny, amely a $\cal H$ halmazt \"{o}nmag\'{a}ba k\'{e}pezi le,
akkor}
$$f^{[0]}(x)=x, \; f^{[n]}(x)=f\circ f^{[n-1]}(x); \;\;
x\in{\cal H}\;\; \xn. $$

Az $f^{[n]}$ f\"{u}ggv\'{e}nyt {\sf az $f$ $n$-edik iter\'{a}ltj\'{a}nak} 
\'{e}s az
$$\{f^{[n]}(x);  \;\;  \xn\} \leqno{(IT)}$$
sorozatot pedig {\sf iter\'{a}ci\'{o} sorozatnak}, pontosabban, az $f$ \lek  \
$x\in{\cal H}$ pontb\'{o}l k\'{\i}ndul\'{o} iter\'{a}ci\'{o} sorozat\'{a}nak
nevezz\"{u}k.\\
\vspace{15mm}\\
{\Large Milyen f\"{u}ggv\'{e}nyek lesznek fontosak a  sz\'{a}munkra?}\\
\\  \\
{\Large 2.1}

{\large\bf M\'{a}trixok \'{e}s affin \lek ek (f\"{u}ggv\'{e}nyek)}  (VAZ!)\\

A frakt\'{a}lokkal kapcsolatos meg\'{a}llap\'{i}t\'{a}sok \'{e}s elj\'{a}r\'{a}sok nagyr\'{e}sze,  m\'{a}trixokkal \'{e}s az azokkal fel\'{i}rhat\'{o}
 affin f\"{u}ggv\'{e}nyekkel  \'{i}rhat\'{o}k le t\"{o}m\"{o}r, egyszer\H{u} form\'{a}ban. Ez\'{e}rt r\"{o}viden \"{o}sszefoglaljuk a m\'{a}trixalgebra
   \'{e}s az $R^2$ s\'{i}k geometriai \lek ei (transzform\'{a}ci\'{o}i) k\"{o}z\"{o}tti kapcsolatatokat.  
   
 Legyen egy oszlopvektor k\'{e}pe az  $R^2$ s\'{i}kon az a vektor, amelynek komponensei az oszlopvektor elemei
 $$\left ( \begin{array} {c} b_1 \\ b_2  \end{array} \right ) \leftrightarrow  b_1 i+b_2 j. \leqno{(*)}$$
 Ekkor a m\'{a}trixszorz\'{a}ssal az $i$ egys\'{e}gvektorb\'{o}l a m\'{a}trix els\H{o} oszlop\'{a}nak a k\'{e}pe lesz \'{e}s az $i$ vektorra mer\H{o}leges $j$ vektorb\'{o}l pedig
 a  m\'{a}trix m\'{a}sodik oszlop\'{a}nak a k\'{e}pe ({\em 2.1A \'{a}bra}). Pontosabban, {\em a matematika nyelv\'{e}n} 
 $$\left ( \begin{array} {lr} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right ) \left(\begin{array} {c} 1 \\ 0 \end{array}\right) 
= \left(\begin{array} {c}  a_{11}  \\  a_{21}  \end{array}\right)\;\; \;\; \;\; 
\left ( \begin{array} {lr} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right ) \left(\begin{array} {c} 0 \\ 1 \end{array}\right) 
= \left(\begin{array} {c}  a_{12}  \\  a_{22}  \end{array}\right)$$
Ha  $ a_{12}= a_{21}=0$, akkor az $i$ egys\'{e}gvektorb\'{o}l  $a_{11}i$ \'{e}s a $j$ vektorb\'{o}l pedig   $a_{22}j$ lesz ({\em 2.1B \'{a}bra}). Ha a m\'{a}trix
 $$\left ( \begin{array} {lr}\cos\phi_1  & \cos\phi_2\\
						-\sin\phi_1 & -\sin\phi_2 \end{array} \right )$$
akkor a m\'{a}trixszorz\'{a}ssal az $i$ egys\'{e}gvektor $\phi_1$ sz\"{o}ggel, a   $j$ egys\'{e}gvektor $\phi_2$ sz\"{o}ggel elfordul a pozit\'{i}v, az \'{o}ramutat\'{o}
 j\'{a}r\'{a}s\'{a}val megegyez\H{o} ir\'{a}nyban ($\phi_1=\phi_2$ esetben {\em 2.1C \'{a}bra}).
\end{itemize}
\\   \\

$F$ egy {\em affin} $R^2\rightarrow R^2$ \lek \ ha
$$F(x)= Ax+b \hspace{15mm} x\in R^2   \leqno {(AF)}$$
 ahol  
$$A=\left ( \begin{array} {lr} a_{11} & a_{12}\\
								a_{21} & a_{22} \end{array} \right )  \;\;\;
b= \left ( \begin{array} {c} b_1 \\ b_2  \end{array} \right ) $$

Jelentse $d[x, y]$ {\sf az $x$ \'{e}s $y$ pont t\'{a}vols\'{a}g\'{a}t}. Ekkor van olyan $r$ hogy
$$d[F(x),F(y)]\leq r.d[x, y]. \leqno(2.1)$$
Mekkora ez az $r$? (F.2.16).\\

Sz\'{a}munkra az az eset fontos, {\em amikor} $r<1$. Ekkor $F$ {\sf kontrakt\'{\i}v \lek } \ ({\em f\"{u}ggv\'{e}ny}) ({\em 2.4 \'{a}bra}). Ekkor az $F$ \lek  \
\"{o}sszeh\'{u}z, abban az \'{e}rtelemben, hogy az $F(x), F(y)$  k\'{e}ppontok t\'{a}vols\'{a}ga mind\'{\i}g kisebb, mint az $x, y$ pontok\'{e} ({\em 2.4 \'{a}bra}).\\
\vspace{5mm}\\
{\Large 2.2}

{\large\bf Halmazf\"{u}ggv\'{e}nyek}\\


Geometriai szeml\'{e}lettel megk\"{o}zel\'{\i}tve, a f\"{u}ggv\'{e}nyek ponthoz pontot rendel\H{o} utas\'{\i}t\'{a}soknak tekinthet\H{o}k. K\'{e}zenfekv\H{o}nek t\H{u}nik
ez\'{e}rt, hogy a  ponthalmazhoz ponthalmazt rendel\H{o} utas\'{\i}t\'{a}sokat halmazf\"{u}ggv\'{e}nyeknek nevezz\"{u}k.
A legegyszer\H{u}bb halmazf\"{u}ggv\'{e}nyek az $F: \; ${\cal D} \rightarrow {\cal D}$ "k\"{o}z\"{o}ns\'{e}ges"
 f\"{u}ggv\'{e}nyekb\H{o}l k\'{e}sz\"{u}lnek a k\"{o}vetkez\H{o} term\'{e}szetes m\'{o}don:

Legyen $F: \; {\cal D}\rightarrow {\cal D}$, vagyis $F$ egy $\cal D$ halmaz minden pontj\'{a}hoz hozz\'{a}rendeli ugyanannak a
$\cal D$ halmaznak egy (az $F$ szab\'{a}llyal) meghat\'{a}rozott pontj\'{a}t. Ekkor $F$ a k\"{o}vetkez\H{o} m\'{o}don v\'{a}lik
{\sf halmazf\"{u}ggv\'{e}nny\'{e}}
$$F({\cal H})=\{ F(x); \;\; \;\; x\in{\cal H}\}\hspace{5mm} {\cal H}\subset {\cal D}.\leqno{(H)}$$
A (H) azt jelenti, hogy $F$ rendelje hozz\'{a} a $\cal H$ halmazhoz azt a halmazt, amelyet  az $x\in{\cal H}$ pontokhoz
rendelt $F(x)$ pontok alkotnak. Ezt a halmazt jel\"{o}lj\"{u}k igy: $F({\cal H})$. 

A halmazf\"{u}ggv\'{e}nyt, az $x\rightarrow F(x)$ mint\'{a}j\'{a}ra igy is jel\"{o}lj\"{u}k 
 $${\cal H}\rightarrow F({\cal H}).$$
A (H) halmazf\"{u}ggv\'{e}nyek bevezet\'{e}s\'{e}vel k\"{o}nnyebb\'{e} v\'{a}lik a sikbeli \lek ek k\'{e}pi megjelenit\'{e}se \'{e}s igy
 jobban tudjuk 
szeml\'{e}ltetni egy-egy f\"{u}ggv\'{e}ny (\lek \ ) jellegzetess\'{e}geit, mint az $F$ f\"{u}ggv\'{e}ny   szok\'{a}sos  alakj\'{a}val. 

N\'{e}h\'{a}ny kiv\'{e}telt\H{o}l eltekintve,  a (H) formul\'{a}val adott halmazf\"{u}ggv\'{e}nyek fordulnak majd el\H{o} a tov\'{a}bbiakban. Ilyen
kiv\'{e}telre p\'{e}lda a konstans halmazf\"{u}ggv\'{e}ny, amely minden halmazhoz {\em ugyanazt} a ${\cal K}_0$ halmazt rendeli hozz\'{a}. 
Az $R^2$ r\'{e}szhalmazai, amelyekre a  (H) formul\'{a}val adott halmazf\"{u}ggv\'{e}nyeket \'{e}rtelmezz\"{u}k, {\sf korl\'{a}tos} \'{e}s {\sf z\'{a}rt}
halmazok. Az $R^2$   korl\'{a}tos \'{e}s  z\'{a}rt r\'{e}szhalmazait {\sf kompakt} halmazoknak nevezz\"{u}k.\\
\\  \\
P\'{E}LD\'{A}K.
\begin{itemize}
\item {\Large 1.} Legyen $F(x)=\log x$. Ekkor $F$-et a (H) m\'{o}don halmazf\"{u}ggv\'{e}nynek tekintve 
$$F([1, 10])=[0, 1]$$
\'{e}s ha ${\cal D}=\{1, 2,\dots ,10\}$, vagyis ${\cal D}$ a $[0,10]$ 
intervallumban lev\H{o} eg\'{e}sz sz\'{a}mok sorozata, akkor 
$$F({\cal D})=\{\log n;  \;\; n=1,2,\dots 10\}$$
vagyis a logaritmus sk\'{a}la $[0, 1]$-ben ({\em 2.2\'{a}bra}).\\
\item {\Large 2.} Legyen
 $$F(x)= 
\left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} 0 \\ 0.5a \end{array}\right)\;\; \;\; x=
\left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)\in R^2.$$
Ekkor $F$ a \ $(0,0), (a,0), (a,a), (0,a)$ \ n\'{e}gyzetet az 
\ $(0,0.5a), (0.5a,0.5a)$, $(0.5a,a), (0,a)$ n\'{e}gyzetbe    \'{e}s az orig\'{o} k\"{o}z\'{e}ppont\'{u} $R$ sugar\'{u}
 k\"{o}rt a $(0,0.5a)$  k\"{o}z\'{e}ppont\'{u} $0.5 R$ sugar\'{u} k\"{o}rbe k\'{e}pezi le ({\em 2.3 \'{a}bra} sz\"{u}rke). {\em K\"{o}znapi nyelven sz\'{o}lva},
 {\sf az $F$ f\"{u}ggv\'{e}ny a fenti halmazokat a fel\'{e}re "zsugoritja" majd a}
  $$\left(\begin{array} {c} 0 \\ 0.5a \end{array}\right)$$
{\sf vektorral  eltolja.}\\
\item {\Large 3}  Ha az
$$a_{11}i+a_{21}j  \;\; \;\;  \'{e}s  \;\; \;\; a_{12}i+a_{22}j\leqno{(2.2)}$$
vektorok, egy paralelogramm\'{a}t fesz\'{\i}tsenek ki, akkor a {\large 2.1 (AF)}  \lek  \  az egys\'{e}gn\'{e}gyzet belsej\'{e}t a (2.2) vektorokkal kifesz\'{\i}tett  paralelogramm\'{a}ba viszi.
({\em 2.1A  \'{a}bra}).\\
\item {\Large 4}  Egy {\em tipikus} affin $F$ f\"{u}ggv\'{e}ny \lek \'{e}t a {\em 2.5 \'{a}bra } jellemzi. (Eszerint mikor tekint\"{u}nk "tipikusnak"
egy affin f\"{u}ggv\'{e}nyt? ({\large F.2.6}))\\
\end{itemize}
\\

Az affin f\"{u}ggv\'{e}nyeknek egy m\'{a}sik, 
geometriai szempontb\'{o}l \'{e}rdekes esete az, amikor a (2.1)-ben, $\leq$ helyett {\em egyenl\H{o}s\'{e}g \'{a}ll}. Ekkor $F$ egy {\sf \has } ({\em 2.4b \'{a}bra}). 
Ekkor $F$  k\"{o}rt k\"{o}rbe, n\'{e}gyzetet n\'{e}gyzetbe visz \'{e}s minden h\'{a}romsz\"{o}g k\'{e}pe egy vele hasonl\'{o}  h\'{a}romsz\"{o}g. (F.2.13).\\
\\
{\LARGE\bf **}

A hasonl\'{o}s\'{a}gi \lek \  fogalm\'{a}val  a {\sf geometriai hasonl\'{o}s\'{a}g}  defin\'{\i}ci\'{o}j\'{a}t a k\"{o}vetkez\H{o}k\'{e}ppen adhatjuk  meg:\\
  k\'{e}t korl\'{a}tos halmaz, $\cal D$ \'{e}s ${\cal D}^*$, hasonl\'{o}, ha van olyan $F$ \xha \
hogy a $\cal D$-beli pontok k\'{e}peinek a halmaza ${\cal D}^*$. Ezt t\"{o}m\"{o}ren, a matematika nyelv\'{e}n igy fejezz\"{u}k ki
$${\cal D}^*=F({\cal D}) \;\; \;\; F \;\;  hasonl\'{o}s\'{a}gi  \;\; f\"{u}ggv\'{e}ny. \leqno {(2.3)}$$
 {\LARGE\bf **}
MEGJEGYZ\'{E}SEK.  \  I. A {\em 2.4b \'{a}br\'{a}n} a \lek {\em kontrakt\'{\i}v is}.\\
\\
\'{i}. \  Ha azt mondjuk, hogy 
\begin{center}
"a $\cal D$ halmaz  line\'{a}risan az r-szeres\'{e}re v\'{a}ltozik"
\end{center}
akkor ez alatt azt \'{e}rtj\"{u}k, hogy van olyan $F$ \xha \ $r$ hasonl\'{o}s\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}vel, hogy a megv\'{a}ltozott
 halmaz $F({\cal D})$. Azt is mondjuk ekkor, hogy 
 \begin{center}
" r-szeres sk\'{a}lav\'{a}ltoz\'{a}s t\"{o}rt\'{e}nt"
\end{center}
\hspace{8cm}\\
\\  \\
{\Large 2.3}

{\large\bf Halmazf\"{u}ggv\'{e}nyek \'{e}s halmazm\H{u}veletek }\\

Mivel egy \xHA \ halmazokat rendel egym\'{a}shoz, ez\'{e}rt fontos tiszt\'{a}zni
egy \xHA \  \'{e}s a halmazm\H{u}veletek kapcsolat\'{a}t, p\'{e}ld\'{a}ul azt, 
hogy milyen halmazm\H{u}veletekkel cser\'{e}lhet\H{o} fel egy \xHA .\\ 

{\large\bf T\'{e}tel.} Minden $F$ \lek \  felcser\'{e}lhet\H{o} az $\subset$ \'{e}s $\cup$ 
halmazm\H{u}veletekkel. R\'{e}szletesebben\\
 I. \  Ha  ${\cal B}\subset {\cal C}$  akkor
  $F({\cal B})\subset F({\cal C})$;\\
\'{i}. \  $F(B \cup {\cal C})=F(B)\xxu F({\cal C})$.
\\   \\
 P\'{e}ldak\'{e}ppen megmutatjuk a  \'{i}. igazol\'{a}s\'{a}t.

 Ha $x\xxe B \cup {\cal C}$ akkor $F(x)$ az $F({\cal B})$, vagy az 
$F({\cal C})$ eleme vagyis
 $F(x)\xxe F(B)\cup F({\cal C})$. Ebb\H{o}l k\"{o}vetkezik,hogy
 $$       F(B\cup {\cal C})\xxc F(B)\cup F({\cal C}) \: .$$
M\'{a}sr\'{e}szt, a I. alapj\'{a}n $F(B)\xxc F({\cal B}\cup {\cal C})$ \'{e}s $F({\cal C})\xxc
F({\cal B}\xxu {\cal C})$. \'{\i}gy az  $\cup$   jelent\'{e}s\'{e}b\H{o}l k\"{o}vetkezik, hogy
$$       F(B)\cup F({\cal C})\xxc F({\cal B}\cup {\cal C}) \: .$$

 Az $F$ {\sf \xHA \ inverze} 
$$F^{-1}({\cal B})=\{x: \; F(x)\in{\cal B}\}  \;\; \; {\cal B}\subset R^n \leqno{(2.3)}$$
vagyis, {\bf mindazon} $x$ pontok halmaza, amelynek a k\'{e}pe $\cal B$-ben van.

 A (2.3) definici\'{o}b\'{o}l k\"{o}vetkezik,  hogy ha az $F$ f\"{u}ggv\'{e}ny invert\'{a}lhat\'{o}, akkor a (H) halmazf\"{u}ggv\'{e}ny inverze  megegyezik az
$F^{-1}$ f\"{u}ggv\'{e}nyhez a (H) szerint hozz\'{a}rendelt halmazf\"{u}ggv\'{e}nnyel. .
  
Ha $F$ NEM invert\'{a}lhat\'{o}, akkor is van inverze a (2.1) halmazf\"{u}ggv\'{e}nynek, hiszen (2.3) ekkor is \'{e}rtelmes. 
Ekkor az inverz f\"{u}ggv\'{e}ny {\em NEM (H) tipus\'{u}}.\\
\\  \\
{\Large 2.4}

{\large\bf Halmazf\"{u}ggv\'{e}nyek uni\'{o}ja}\\

Az $\Fi$ {\sf \xHA ek uni\'{o}ja}
$$W=\bigcup_{n=1}^N F_n$$
az a \xHA \ amelyre
$$W({\cal B})=\bigcup_{n=1}^N F_n({\cal B}) \;\; \;
\; {\cal B}\subset R^n $$
vagyis $W({\cal B})$ a (2.1) formul\'{a}val  \'{e}rtelmezett $F_i({\cal B})$ halmazok uni\'{o}ja. 
\\   \\
{\large P\'{E}LD\'{A}K.}\\
\\
{\Large 1.} Legyen
$$F_1(x)=\frac{1}{3}x, \;\; \;\;  F_2(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3} \;\; 
 \;\; (x\in R).$$
Ekkor\\
$W([0,1])=[0,\frac{1}{3}]\bigcup [\frac{2}{3},1]$, vagyis az a halmaz, amely a $[0,1]$ z\'{a}rt intervallumb\'{o}l megmarad, miut\'{a}n 
t\"{o}r\"{o}lt\"{u}k  a $[0,1]$ k\"{o}z\'{e}ps\H{o} nyilt egyharmad\'{a}t.

A   $W([\{0,1\}]$, a k\'{e}t pontb\'{o}l \'{a}ll\'{o} $\{0,1\}$ halmaz k\'{e}pe,  a n\'{e}gy pontb\'{o}l \'{a}ll\'{o}
 $\{0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\}$ halmaz.

 Vegy\"{u}k \'{e}szre, hogy $W=F_1\cup F_2$ azonos a Cantor halmazt el\H{o}\'{a}llit\'{o} $f$ \lek sel ({\em 1.3 \'{a}bra}). \\  
  \\
{\Large 2.} Legyen\\
$F_1(x)= 
\left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right) \left
(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} 0 \\ 0.5a \end{array}\right)$.\\
\\    \\  
$F_2(x)=
\left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right) \left
(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} 0.5a \\ 0 \end{array}\right)$\\
\\    \\
$F_3(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.5 & 0 \\ 0 &  0.5 \end{array}\right)\left
(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) \;\;   \;\;
x= \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)\in R^2$.\\
\\
Hasonl\'{o}an mint a {\large 2.2  2.p\'{e}ld\'{a}ban}, $F_i \;\; (i=1,2,3)$ minden pont
koordin\'{a}t\'{a}it a fel\'{e}re cs\"{o}kkenti, majd az $F_1$ \'{e}s $F_2$ 
m\'{e}g el is tolja ezeket a pontokat. M\'{e}gpedig az $F_1$ a $(0, 0.5a)$ 
vektorral, az $F_2$ pedig a r\'{a} mer\H{o}leges $(0.5a, 0)$ vektorral  ({\em 2.3 \'{a}bra}).

Legyen $\cal B$ az {\em 1.4 \'{a}bra} sz\"{u}rke h\'{a}romsz\"{o}ge. Ekkor a $W({\cal B})$ halmaz az  1.iter\'{a}ci\'{o} felirat\'{u} \'{a}bra. 
Ha  $\cal B$  a n\'{e}gyzetlap a {\em 2.3 \'{a}br\'{a}n},  akkor  $W({\cal B})$  a n\'{e}gyzetlap k\'{e}pe \'{e}s  ha  $\cal B$  a k\"{o}rlap ,  akkor  $W({\cal B})$ 
 a k\"{o}rlap k\'{e}pe ugyanezen az \'{a}br\'{a}n.

   \'{I}gy most $W=\cup_{i=1}^3 F_i$  a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get el\H{o}\'{a}ll\'{\i}t\'{o} szab\'{a}ly. K\'{e}s\H{o}bb az {\large 5. fejezetben}
   megmutatjuk, hogy egy n\'{e}gyzetb\H{o}l vagy egy k\"{o}rb\H{o}l k\'{\i}ndulva  is ugyanazt a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get kapjuk.\\
 \\
{\Large 3.} Legyen\\
$F_1(x)= \frac{1}{3}
\left( \begin{array}{cc}  \cos 60^\circ & \sin 60^\circ
 \\ -\sin 60^\circ & \cos 60^\circ  \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c}  \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}\right)$\\
\\  \\
$F_2(x)=
\left( \begin{array}{cc}  \frac{1}{3} & 0 \\ 0 &  \frac{1}{3} \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ \frac{2}{3} \\ 0 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_3(x)= \frac{1}{3}
\left( \begin{array}{cc}  \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ
 \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ  \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c}  \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt {3}}{6} \end{array}\right)$\\
\\  \\
$F_4(x)=
\left( \begin{array}{cc}  \frac{1}{3} & 0 \\ 0 &  \frac{1}{3} \end{array}\right)\;\; \;\; x=
\left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)$ $\in R^2$.\\

Ha  ${\cal B}$  egy egys\'{e}g hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} egyenesszakasz, akkor
$$W({\cal B})=\bigcup_{n=1}^4 F_n({\cal B})\leqno{(*)}$$
 az {\em 1.5a  \'{a}br\'{a}n} az 1. iter\'{a}ci\'{o}.  Ha  ${\cal B}$  olyan egyenl\H{o}sz\'{a}r\'{u} h\'{a}romsz\"{o}g, amelynek alapja $1$ \'{e}s magass\'{a}ga $\frac{\sqrt {3}}{6}$,
 akkor (*)  az 1.5b \'{a}br\'{a}n  az 1. iter\'{a}ci\'{o}.\\
\\

 {\sf Vegy\"{u}k \'{e}szre,} hogy a  Cantor halmaz, a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g  szerkeszt\'{e}s\'{e}nek k\"{o}z\"{o}s matematikai megfogalmaz\'{a}sa a halmazf\"{u}ggv\'{e}nyek
  bevezet\'{e}s\'{e}re \'{e}p\"{u}l.  \'{E}rv\'{e}nyes ez  a term\'{e}szet k\'{e}peire
 eml\'{e}keztet\H{o} halmazokokra is, mint a {\large Bevezet\H{o} p\'{e}ld\'{a}k}ban szerepl\H{o} "hat\'{a}rtalanul nagy\'{\i}that\'{o} fa\'{a}g".
 Ezen halmazok szerkeszt\'{e}s\'{e}nek t\"{o}m\"{o}r mtematikai leir\'{a}s\'{a}ban elengedhetetlen  l\'{e}p\'{e}snek l\'{a}tszik az, amikor az $R\rightarrow R$
egyv\'{a}toz\'{o}s f\"{u}ggv\'{e}nyeket, vagy az $R^2\rightarrow R^2$ m\'{a}trixf\"{u}ggv\'{e}nyeket a (2.1) formul\'{a}val
halmazf\"{u}ggv\'{e}nny\'{e} alak\'{\i}tjuk majd ezek $W$ uni\'{o}j\'{a}t k\'{e}pezz\"{u}k.\\ 
\vspace{10mm}\\  
{\large \bf Feladatok \'{e}s tov\'{a}bbi inform\'{a}ci\'{o}k.} \\
\\  \\
{\Large F 2.1} \  \  Legyen $F: \; R^2\rightarrow R^2$ (NEM halmazf\"{u}ggv\'{e}ny).

 Melyik igaz \'{e}s melyik hamis a k\"{o}vetkez\H{o}
\'{a}ll\'{\i}t\'{a}sok k\"{o}z\"{u}l:
\begin{itemize}
\item[I.]  Minden $F$ hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}snek van inverze.
\item[\'{i}.] Hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}sek kompoz\'{\i}ci\'{o}ja is hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s.
\item[\'{i}I.] Hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}sek kompozici\'{o}ja 
kommutativ, vagyis b\'{a}rmely $F_1$, $F_2$ \has re
				 $$ F_1 \xxq F_2 =F_2 \xxq F_1 \: . $$
\item[IV.]  Hasonl\'{o}s\'{a}gi \lek ek kompozici\'{o}ja asszociativ, vagyis
 b\'{a}rmely $F_1$, $F_2$ , $F_3$ \has re
$$        F_1 \xxq (F_2 \xxq F_3 )=(F_1 \xxq F_2 )\xxq F_3.$$
\end{itemize}	
\\   \\
{\Large F 2.2} \  \  A (val\'{o}s) sz\'{a}mok aritmetik\'{a}ja \'{e}s az alapvet\H{o}
\has ek kompozici\'{o}ja k\"{o}z\"{o}tt a k\"{o}vetkez\H{o} kapcsolat van.

Legyen $F_r$ az $r$-szeres sk\'{a}lav\'{a}ltoztat\'{a}s, $F_\phi$  az (orig\'{o} 
k\"{o}r\"{u}li) elforgat\'{a}s \'{e}s $T_a$ az $a$ vektorral t\"{o}rt\'{e}n\H{o} 
eltol\'{a}s. Ekkor
$$F_{\phi_1} \xxq F_{\phi_2} =F_{\phi_1 + \phi_2}$$
$$T_{a_1} \xxq T_{a_2} = T_{a_1+a_2}$$
$$F_{r_1}\xxq F_{r_2} = F_{r_1r_2}$$

Ellen\H{o}rizz\"{u}k ezeket az \'{a}llit\'{a}sokat. Milyen anal\'{o}g 
szab\'{a}ly van a tengelyes t\"{u}kr\"{o}z\'{e}sre?\\
\\  
{\Large F 2.3  I.}   \'{I}rjuk fel azt a m\'{a}trixot, amellyel egy
oszlopm\'{a}trixot szorozva, az eredm\'{e}ny\"{u}l kapott oszlopm\'{a}trix k\'{e}pe az eredeti oszlopm\'{a}trix k\'{e}p\'{e}nek a $\phi$ sz\"{o}ggel t\"{o}rt\'{e}n\H{o} elforgatottja
lesz.\\
{\Large \'{i}.}  \'{I}rjuk fel az $X$ tengelyre t\"{o}rt\'{e}n\H{o} t\"{u}kr\"{o}z\'{e}s m\'{a}trix\'{a}t.\\
\\
{\Large F 2.4}  Tekints\"{u}k a k\"{o}vetkez\H{o} lek\'{e}pez\'{e}st a sz\'{a}megyenes \'{e}s a n\'{e}gyzetes m\'{a}trixok k\"{o}z\"{o}tt
$$r\rightarrow \left ( \begin{array} {lr} r & 0\\ 0 & r \end{array} \right ) \left .$$
Igaz-e, hogy ekkor a m\'{a}trixok szorzat\'{a}nak a k\'{e}pe a megfelel\H{o} sz\'{a}mok szorzata?\\ 
\\
{\Large F 2.5} \  Igazoljuk a {\large 2.2 3} p\'{e}ld\'{a}t.\\
\\
{\Large F 2.6} \  Jellemezz\"{u}k azokat az $F$ affin \lek eket, amelyek NEM tipikusak a {\large 2.2 4} p\'{e}lda szerint.\\
\\
{\Large F 2.7} \    Milyen parallelogramm\'{a}ba viszik az egys\'{e}gn\'{e}gyzetet azok az affin f\"{u}ggv\'{e}nyek, amelyek{\sf m\'{a}trixa diagon\'{a}lis} ($a_{ij}=0$  ha $i\neq j$).\\
\\
{\Large F 2.8} \ \  Mikor \'{e}rv\'{e}nyes a k\"{o}vetkez\H{o} \"{o}sszef\"{u}gg\'{e}s?
$$F({\cal B}\cap{\cal C})= F({\cal B})\cap F({\cal C})?\leqno{(2.5)}$$
\\
{\Large F 2.9} \ \  \'{E}rv\'{e}nyes-e a {\large 2.3 \'{i}.} ({uni\'{o}) szab\'{a}ly \\
a/ kett\H{o}n\'{e}l t\"{o}bb\\
b/ v\'{e}gtelen sok halmaz eset\'{e}n? \\
\\
{\Large F 2.10} \  \  Melyik igaz \'{e}s melyik hamis a k\"{o}vetkez\H{o}
\'{a}ll\'{\i}t\'{a}sok k\"{o}z\"{u}l:

\begin{itemize}
\item[I.]  Minden kontraktiv lek\'{e}pez\'{e}snek van inverze.
\item[\'{i}.] Kontraktiv lek\'{e}pez\'{e}sek kompoz\'{\i}ci\'{o}ja is kontraktiv lek\'{e}pez\'{e}s.
\item[\'{i}I.] Kontraktiv lek\'{e}pez\'{e}sek kompozici\'{o}ja 
kommutativ  vagyis b\'{a}rmely $F_1$, $F_2$ kontraktiv \lek re
				 $$ F_1 \xxq F_2 =F_2 \xxq F_1 \: . $$
\item[IV.]  Kontraktiv \lek ek kompozici\'{o}ja asszociativ, vagyis
 b\'{a}rmely $F_1$, $F_2$ , $F_3$ \has re
$$        F_1 \xxq (F_2 \xxq F_3 )=(F_1 \xxq F_2 )\xxq F_3.$$
\end{itemize}
\\
 {\Large F 2.11} Figyelj\"{u}k meg a geometriai sorozat k\"{o}vetkez\H{o}
 tulajdons\'{a}g\'{a}t:

 {\em Ha}
 $$g(r)= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{r^n}$$
 {\em akkor a $g(r)$ f\"{u}ggv\'{e}ny \'{e}rt\'{e}ke, egyetlen pont
 kiv\'{e}tel\'{e}vel, $\infty$ vagy} $0$.

Ilyen f\"{u}ggv\'{e}nyekkel a frakt\'{a}l (t\"{o}rt) dimenzi\'{o}k bevezet\'{e}s\'{e}nel fogunk majd
tal\'{a}lkozni.\\
\\
 {\Large **F 2.12}  \  \  Eml\'{e}keztet\"{u}nk arra, hogy 
$$F^{-1}({\cal B})=\{x: \;\; F(x)\in {\cal B}\}$$
 Mi a kapcsolat  $F^{-1}({\cal B}\cup{\cal C})$ \'{e}s $F^{-1}({\cal B})\cup F^{-1}{\cal C})$ k\"{o}z\"{o}tt?\\
\\
{\Large F 2.13} \  \   Igazoljuk, hogy egy  $F$ hasonl\'{o}s\'{a}gi f\"{u}ggv\'{e}ny k\"{o}rt k\"{o}rbe \'{e}s  minden h\'{a}romsz\"{o}get egy vele hasonl\'{o} h\'{a}romsz\"{o}gbe 
k\'{e}pez le. \\
\\
\Large F 2.14} \  \   legyen $F$ hasonl\'{o}s\'{a}gi \lek  \   $r$ hasonl\'{o}s\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}vel  \'{e}s
$$G(x):=\frac{1}{r}[F(x)-F(0)]  \ \ \     x\xxe R^2 \: . $$
Mi a kapcsolat $(G(x)\mid G(y))$ \'{e}s  $(x\mid y)$ k\"{o}z\"{o}tt? (Itt a $\mid$ skal\'{a}ris szorzatot jelent.)\\
   \\
{\Large F. 2.15} ({\sf Az exponenci\'{a}lis cs\"{o}kken\'{e}s elve}). 
Ismeretes hogy ha  egy sorozat {\em szomsz\'{e}dos elemeinek elt\'{e}r\'{e}se a 
null\'{a}hoz tart}, akkor abb\'{o}l m\'{e}g nem k\"{o}vetkezik, hogy a sorozat
konvergens. Nevezetes p\'{e}ld\'{a}k erre a
\begin{center}
$\{\log n; \;\; n=1,2,\dots\}$  \  \'{e}s  \  $\{1+\frac{1}{2}+\dots 
+\frac{1}{n}; \;\; n=1,2,\dots\}$
\end{center}
sorozatok. ha azonban a sorozat {szomsz\'{e}dos elemeinek elt\'{e}r\'{e}se 
kisebb mint egy konvergens geometriai sorozat megfelel\H{o}
eleme}, akkor a konvergencia m\'{a}r biztositott. Formul\'{a}kkal 
kifejezve: Ha van olyan $c$ \'{e}s $0<r<1$ hogy
$$d[x_n, x_{n+1}]<c.r^n$$
akkor az $\{x_n; \;\; n=1,2,\dots\}$ sorozat konvergens. 

Az \'{a}llit\'{a}s bizonyit\'{a}sa: Ekkor $m>n$ mellet
$$d[x_n, x_m]< c.(r^n+r^{n+1}+\dots +r^m)< c.r^n\frac{1}{1-r}$$
(term\'{e}szetesen elegend\H{o}, ha ez csup\'{a}n nagy $n$-re teljes\"{u}l.)\\
\\
{\Large F 2.16} \  \  Van olyan $r$, amelyre
$$|Ax|\leq r|x|.$$
Mekkora ez az $r$?  Milyen geometriai jelent\'{e}st adhatunk az $r$nek?\\
\\
\vspace{15mm}\\
{\bf\Large Az IFS modell.}
\\   \\
{\Large 3.1}

{\sf IFS}, az {\sf iter\'{a}lt f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer} angol kifejez\'{e}s\'{e}nek ({\em iterated function system}) a r\"{o}vidit\'{e}se.
Az IFS modell egy olyan elj\'{a}r\'{a}s, amellyel egyszer\H{u} m\'{o}don el\H{o}\'{a}llithatunk  olyan
halmazokat, amelyeket a bevezet\H{o} {\large 3-6  p\'{e}ld\'{a}kban} bemutattunk. Ez az elj\'{a}r\'{a}s a k\"{o}vetkez\H{o} l\'{e}p\'{e}sekb\H{o}l \'{a}ll:\\
\begin{itemize}
\item {\Large I.} megadunk v\'{e}ges sok kontraktiv f\"{u}ggv\'{e}nyt, legyenek ezek
 $\{F_i \;\; i=1,2,\dots N\}$; 
\item {\Large \'{i}.} k\'{e}pezz\"{u}k a f\"{u}ggv\'{e}nyek $W=\bigcup_{n=1}^N F_i$ uni\'{o}j\'{a}t;
\item {\Large \'{i}I.} v\'{e}g\"{u}l k\'{e}pezz\"{u}k a
$$\xxWb \leqno{(W)}$$
sorozatot, vagyis egy $\cal B$ halmazra ujra meg ujra alkalmaztuk a $W$ szab\'{a}lyt.
\end{itemize}
\\   \\

 A bevezet\H{o} 3-6 p\'{e}ld\'{a}i   ezzel az elj\'{a}r\'{a}ssal k\'{e}sz\"{u}ltek ({\em ellen\H{o}rizz\"{u}k ezt!}). 
 
  Egy sokkal \"{o}sszetettebb, {\sf NEM hasonl\'{o}s\'{a}gi, hanem \'{a}ltal\'{a}nos affin \lek ekb\H{o}l}  \'{a}ll\'{o} 
f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer\\
\\
$F_1(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.1950 & -0.4880 \\ 0.3440 & 0.4430 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 
  \ 333 \\ 183 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_2(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.4620 & 0.4140 \\ -0.2520 & 0.3610 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 186 \\ 426 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_3(x)=
\left( \begin{array}{cc}  -0.0580 & -0.0700 \\ 0.4530 & -0.1110 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \  450 \\ 72 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_4(x)=
\left( \begin{array}{cc}  -0.0350 & 0.0700 \\ -0.4690 & -0.0220 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \  366 \\ 372 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_5(x)=
\left( \begin{array}{cc}  -0.6370 & 0.0000 \\ 0.0000 & 0.5010 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 642 \\ 186 \end{array}\right)$\\
   
A f\"{u}ggv\'{e}nyrendszerb\H{o}l k\'{e}pezett (W) sorozat l\'{a}that\'{o} a {\em 3.1 \'{a}br\'{a}kon}, amikor $\cal B$ egy olyan nagy n\'{e}gyzetlap,
amelyre
$$W({\cal B})\subset {\cal B}.$$
Azt l\'{a}tjuk, hogy az IFS invari\'{a}ns halmaza egy {\sf fa} k\'{e}p\'{e}t mutatja. Err\H{o}l az IFS-r\H{o}l b\H{o}vebbet az {\large F.3.7 - F.3.10}-ben
olvashatunk.\\
  \\
\vspace{8mm}\\        
{\Large 3.2}

 Az IFS modell eddigi alkalmaz\'{a}saiban $W({\cal B})\subset {\cal B}$ \'{e}s \'{\i}gy
$$W^{[2]}({\cal B})=W\circ W({\cal B})\subset W({\cal B})\leqno{(3.1)}.$$
Ugyanezt a gondolatmenetet ism\'{e}telve ujra meg ujra (teljes indukci\'{o}val)
$$W^{[n+1]}({\cal B})\subset W^{[n]}({\cal B})  \;\;  \;\;  n=1,2,\dots .\leqno{(3.2)}$$
Az IFS modell "v\'{e}gterm\'{e}ke" ekkor
$${\cal A}=\bigcap_{n=1}^\infty W^{[n]}({\cal B})\leqno{(3.3)}$$
a $\{ W^{[n]}({\cal B})  \;\;  \;\;  n=1,2,\dots\}$ halmazsorozat k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sze.\\

{\sf Minden esetben \'{e}rv\'{e}nyes (3.2)?} {\em  Vagyis, az IFS modellben megszerkesztett
$$\xxWb$$
minden esetben egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok?}

{\em  A v\'{a}lasz:} {\sf IGEN, ha $\cal B$ el\'{e}g nagy.}\\

Ha 
$$d[F(x), F(y)]< r.d[x, y]  \;\;  \;\; \; x,y\in R^2$$
 akkor az $F$ f\"{u}ggv\'{e}ny a $\theta$ 
k\"{o}z\'{e}ppont\'{u}, $R$ sugar\'{u}
 $\cal K$ k\"{o}rt az $F(\theta)$ k\"{o}z\'{e}ppont\'{u}, $Rr$ sugar\'{u} 
k\"{o}r{\em be} viszi ({\em 2.4 \'{a}bra}).  Ha $r<1$ \'{e}s $R$ el\'{e}g nagy,
akkor     
$$F({\cal K})\subset {\cal K}\leqno{(3.4)}$$
({\em 3.2 \'{a}bra}). Ugyanis, $R$ n\"{o}vel\'{e}s\'{e}vel az $rR$-sugar\'{u} k\"{o}r lassabban n\"{o}vekszik, 
mint $\cal K$ mik\"{o}zben a k\"{o}r\"{o}k $\theta$ \'{e}s $F(\theta )$ 
k\"{o}z\'{e}ppontjai
 v\'{a}ltozatlanok maradnak. Igy, ha kezdetben $\cal K$ m\'{e}g nem is tartalmazza az 
$F({\cal K})$  halmazt k\'{e}s\H{o}bb, amikor $R$ m\'{a}r el\'{e}g nagy, 
tartalmazni fogja. A pontos magyar\'{a}zat az
 $$ d[\theta ,F(\theta)] +rR< R \leqno{(3.5)}$$
egyenl\H{o}tlens\'{e}gb\H{o}l k\"{o}vetkezik , amely leolvashat\'{o} a 
{\em 3.2 \'{a}br\'{a}b\'{o}l} (ld. {\large F 3.4})

Igy az $\Fi$ kontraktiv \lek \  mindegyik\'{e}hez tal\'{a}lhat\'{o} olyan ($\theta$ k\"{o}z\'{e}ppont\'{u})
${\cal K}_i$ z\'{a}rt k\"{o}rlap, amelyre (3.4) \'{e}rvenyes. A ${\cal K}_i; \;\; (i=1,2,\dots , N)$ k\"{o}r\"{o}k
megadhat\'{o}k \'{u}gy, hogy a  k\"{o}z\'{e}ppontjuk k\"{o}z\"{o}s legyen. Legyen ${\cal B}$ a legnagyobb ilyen k\"{o}rlap. Ekkor
$$F_i({\cal B})\subset {\cal B}\;\;  \;\; i=1,2,\dots , N\leqno{(3.6)}$$
\'{e}s igy megszerkesztett\"{u}nk egy olyan $\cal B$ halmazt, amelyre 
$$W({\cal B})=\bigcup_{i=1}^N F_i({\cal B})\subset {\cal B}. $$

Arra az eredm\'{e}nyre jutottunk, hogy ha $\cal B$ a leirt m\'{o}don szerkesztett z\'{a}rt k\"{o}rlap, akkor $W({\cal B})\subset {\cal B} $ \'{e}s \'{\i}gy 
(3.1) \'{e}s (3.2) alapj\'{a}n  $\xxWb$ egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott
kompakt halmazok sorozata. Ekkor a  k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz\"{u}k, a (3.3) formul\'{a}val megadott $\cal A$,  egy nem \"{u}res kompakt halmaz ({\em Cantor axioma}) \'{e}s ez az
IFS modell "v\'{e}gterm\'{e}ke".\\

A  {\large Bevezet\H{o} 3-6 p\'{e}ld\'{a}inak} \'{a}ll\'{i}t\'{a}sait is igazolj\'{a}k az elmondottak.  Ugyanis, k\"{o}nnyen bel\'{a}that\'{o}, hogy 
elegend\H{o} nagy $\cal B$ halmaz eset\'{e}n 
$$W^{[n]}({\cal B})  \;\;  \;\;  n=1,2,\dots$$
\'{e}pp\'{u}gy egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok lesznek, mint amikor elegend\H{o}en nagy sugar\'{u} k\"{o}rlapokb\'{o}l indulunk ki.

Eset\"{u}nkben elegend\H{o}en  nagy egy $\cal B$ halmaz akkor, ha van olyan $\cal K$ k\"{o}rlap, amelyre (3.4) \'{e}rv\'{e}nyes \'{e}s
$${\cal K}\subset {\cal B}.$$
\\

A megfelel\H{o}en nagy \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} k\"{o}rlapb\'{o}l indul\'{o} szerkeszt\'{e}st \'{u}gy is felfoghatjuk, hogy a ${\cal K}$ 
 halmazb\'{o}l egyre finomabb darabokat elt\'{a}vol\'{\i}tva alakul ki a ${\cal A}$.  Ekkor  $\{W^{[n]} ({\cal K}); \ \n=1,2,\ldots \}$
egyre kisebb \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} halmazok  sorozata, amelyek egyre "szorosabban" lefedik az ${\cal A}$ halmazt.\\
\\

R\"{o}gt\"{o}n felmer\"{u}lnek a k\"{o}vetkez\H{o} k\'{e}rd\'{e}sek:
\\
{\Large 1.} \  Ha $\cal B$ nem el\'{e}g nagy, akkor mi lesz az IFS modell v\'{e}gterm\'{e}ke?\\
{\Large 2.} \  K\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} $\cal B$ halmazokra ugyanazt az $\cal A$ halmazt eredm\'{e}nyezi az IFS modell?\\
{\Large 3.} \  Ha 
$$\xxWb$$
egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok, akkor a sorozat elemei tetsz\H{o}leges pontoss\'{a}ggal k\"{o}zel\'{\i}tik meg az $\cal A$
k\"{o}z\"{o}s r\'{e}szt?\\

Legf\H{o}keppen: {\sf Mikor van k\'{e}t halmaz k\"{o}zel egym\'{a}shoz?}

Mindezekre a k\'{e}rd\'{e}sekre k\"{o}nnyen fogunk tudni v\'{a}laszolni, miut\'{a}n bevezetj\"{u}k a {\sf halmazok t\'{a}vols\'{a}g\'{a}nak} a fogalm\'{a}t.\\ 
\\   \\
{\large \bf Feladatok \'{e}s tov\'{a}bbi inform\'{a}ci\'{o}k.} \\
\\
{\Large F. 3.1} \  \  Legyen\\
\\
$F_1(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 0.75 \\ 0 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_2(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 0 \\ 0.75 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_3(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 0.75 \\ 0.75 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_4(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_5(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 0.25 \\ 0.25 \end{array}\right)$\\
\\  

\'{A}br\'{a}zoljuk a $W({\cal B})=\bigcup_{n=1}^N F_n({\cal B})$ majd a $W\circ W({\cal B})=W^{[2]}({\cal B})$ halmazt ha \\ 
a. $\cal B$ az egys\'{e}gn\'{e}gyzet;\\
b. $\cal B$ egy egyenesszakasz.\\
   \\
{\Large F. 3.2} \  \  Irjunk fel egy olyan IFS-t, amelyhez tartoz\'{o}
$$\xxWb $$
sorozat\'{a}nak els\H{o} elemei a {\em 3.3 \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o}k ($a=0.6, b=0.2$).\\ 
   \\
{\Large F. 3.3} \  \  Igazoljuk, hogy az el\H{o}z\H{o} k\'{e}t p\'{e}ld\'{a}ban
   $$W^{[n+1]}({\cal B})\subset W^{[n]}({\cal B})  \;\;  \;\;  n=1,2,\dots .$$   
   \\  
{\Large F. 3.4} \  \  Igazoljuk, hogy ha adott $\theta ,r, F$ mellett (3.5) \'{e}rv\'{e}nyes, akkor (3.4) mindig teljes\"{u}l.
Milyen nagy az $R$ a (3.5) egyenl\H{o}tlens\'{e}gben a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g (2.4 2 p\'{e}lda) \'{e}s a fa (3.1) eset\'{e}n?\\
\\
{\Large F. 3.5} \  \  Irjunk fel egy IFS-t, amely a {\em 3.4 \'{a}bra} sorozat\'{a}t \'{a}ll\'{\i}tja el\H{o}.\\
\\
{\Large F. 3.6} \  \    A {\em 3.5 \'{a}bra} sorozat\'{a}t  ugyanaz az IFS  \'{a}ll\'{\i}tja el\H{o}, mint az {\em 1.6 \'{a}bra} sorozat\'{a}t, csup\'{a}n a
$\cal B$ kezd\H{o}halmaz k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o}.  A  {\em 3.5 \'{a}bra} sorozat\'{a}ban egy n\'{e}gyzetlapb\'{o}l indulunk ki az egyenesszakasz helyett.
Igaz-e, hogy mindk\'{e}t sorozat ugyanazt a fa\'{a}gat \'{a}ll\'{\i}tja el\H{o}? 

Erre a k\'{e}rd\'{e}sre {\em matematikailag megalapozott} v\'{a}laszt az {\large 5. fejezet} alapj\'{a}n fogunk kapni.\\
\\
{\Large F. 3.7} \  \   A {\em 3.6 \'{a}bra} ugyanannak az iter\'{a}lt f\"{u}ggv\'{e}nyrendszernek a (W) sorozat\'{a}t mutatja, mint a 
{\em 3.1 \'{a}bra}, de {\em m\'{a}s} kezd\H{o}halmazzal.
Azt l\'{a}tjuk, hogy  a  "v\'{e}gterm\'{e}k" ugyanaz a fa lesz, noha a k\'{e}t sorozat elemei  k\"{u}l\"{o}nb\"{o}znek egym\'{a}st\'{o}l.

Ennek a magyar\'{a}zat\'{a}t az {\em 5. fejezetben} fogjuk megkapni. 
\\
\\
{\Large F. 3.8} \  \   A {\em 3.7A  \'{a}br\'{a}n} a {\em 3.1 \'{a}bra} (W) sorozat\'{a}nak "kezdete \'{e}s v\'{e}ge" l\'{a}that\'{o}. Az  iter\'{a}lt 
f\"{u}ggv\'{e}nyrendszerben a {\bf b} (eltol\'{a}s)vektorok hossz\'{a}t a harmad\'{a}ra cs\"{o}kkentett\"{u}k. A{\em 3.7A  \'{a}br\'{a}n} az
\'{\i}gy kapott   (W) sorozat "kezdete \'{e}s v\'{e}ge" l\'{a}that\'{o}.  Figyelj\"{u}k meg a v\'{a}ltoz\'{a}st!

A k\'{e}t \'{a}bra k\"{o}z\"{o}tti elt\'{e}r\'{e}st kifejezhetj\"{u}k \'{u}gy is, hogy az egys\'{e}g h\'{a}romszoros lett. \'{I}gy az egys\'{e}g megv\'{a}laszt\'{a}sa a (W)
sorozat k\'{e}p\'{e}t l\'{e}nyegesen befoly\'{a}solja.\\
\\
{\Large F. 3.9} \  \   A  {\em 3.8  \'{a}br\'{a}n} a {\em 3.1 \'{a}bra} (W) sorozat\'{a}nak "kezdete \'{e}s v\'{e}ge" l\'{a}that\'{o} akkor, amikor az egys\'{e}g 
megv\'{a}ltoztat\'{a}sa helyett az $F_1({\cal B})$  \'{e}s  $F_2({\cal B})$  {\em kis m\'{e}rt\'{e}kben}  v\'{a}ltozik.   Figyelj\"{u}k meg a v\'{a}ltoz\'{a}st.
 Figyelj\"{u}k meg, hogy mennyire "sz\'{e}thull\'{o}ban van" az invari\'{a}ns halmazhoz k\"{o}zeli fa.\\
 \\
{\Large F. 3.10} \  \ {\bf a.}  {\'I}rjuk fel k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} $a,b,c,d$ param�terek mellett a k\"{o}vetkez\H{o} IFS attraktor\'{a}t
$$F_1(x)=ax+b \;\; \;\;  F_2(x)=cx+d \;\;  x\in R$$
{\bf b.} {\'I}rjuk fel k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} $\lambda , \mu , \alpha , \beta ,b,c$ param\'{e}terek mellett a k\"{o}vetkez\H{o} IFS attraktor\'{a}t
$$F_1(x)=
\left( \begin{array}{cc}  \lambda & 0 \\ 0 &  \lambda \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ c \\ 0 \end{array}\right)$$
$$F_2(x)=
\left( \begin{array}{cc}  \lambda & 0 \\ 0 &  \lambda \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)$$ 
$$F_3(x)=
\left( \begin{array}{cc}  \lambda & 0 \\ 0 &  \lambda \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 0 \\ c \end{array}\right)$$
{\bf c.}  A {\bf b} feladat, ha hozz\'{a}vessz"uk m\'{e}g az
$$F_4(x)=
\left( \begin{array}{cc}  \lambda & 0 \\ 0 &  \lambda \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ c \\ c \end{array}\right)$$
  f\"{u}ggv\'{e}nyt.
\vspace{15mm}\\
{\bf\Large Halmazok t\'{a}vols\'{a}ga}
\vspace{5mm}\\
{\Large 4.1}\\

{\large\bf Hogyan m\'{e}rj\"{u}k?}\\ 

K\'{e}t \'{a}bra t\'{a}vols\'{a}g\'{a}t k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} 
elvek alapj\'{a}n m\'{e}rhetj\"{u}k meg. A sz\'{a}m\'{\i}t\'{o}g\'{e}pes
 grafik\'{a}ban is alkalmazott \'{e}s legc\'{e}lszer\H{u}bb
t\'{a}vols\'{a}g fogalom arra a formul\'{a}ra \'{e}p\"{u}l, amely megadja egy $x$
 pont \'{e}s egy ${\cal B}$ (nem \"{u}res kompakt) halmaz 
t\'{a}vols\'{a}g\'{a}t. Ez a formula
$$     d[x,{\cal B}]= \min\{d[x,b]; b\xxe {\cal B}\} \: ; $$
vagyis, $d[x,{\cal B}]$ annak a $b$ pontnak az $x$-t\H{o}l m\'{e}rt
 t\'{a}vols\'{a}ga , ami a $\cal B$ pontjai k\"{o}z\"{u}l a
legk\"{o}zelebb van $x$-hez ({\em 4.1a \'{a}bra}). \\

P\'{e}lda erre, amikor egy pontnak egyenest\H{o}l, vagy egy k\"{o}rlapt\'{o}l m\'{e}rt t\'{a}vols\'{a}g\'{a}t meg\'{a}llapitjuk.
Ha megadjuk egy $x$ pontnak \'{e}s egy ${\cal B}$ egyenesnek a t\'{a}vols\'{a}g\'{a}t, akkor azt a $b$ pontot hat\'{a}rozzuk
meg az egyenesen, amely a legk\"{o}zelebb van az $x$-hez ({\em 4.1c \'{a}bra}).  ha az ismert m\'{o}don egy $x$ pontnak
 \'{e}s egy ${\cal B}$ z\'{a}rt k\"{o}rlapnak a t\'{a}vols\'{a}g\'{a}t hat\'{a}rozzuk meg akkor is ezt a $b$ 
pontot hat\'{a}rozzuk meg ({\em 4.1b \'{a}bra}.)\\
\\
A pont-halmaz t\'{a}vols\'{a}gra \'{e}p\"{u}l\H{o} uj fogalom {\sf a $t$-vel 
n\"{o}velt ${\cal B}$}
$$       {\cal B}+t = \{x: d[x,B] \leq  t\} \: ; $$
vagyis ${\cal B}+t$ azoknak a pontoknak a halmaza amelyek legfeljebb $t$
t\'{a}vols\'{a}gra vannak ${\cal B}$-t\H{o}l ({\em 4.2 \'{a}bra}). 

Figyelj\"{u}k meg, hogy  ha  $K$ egy $r$ sugar\'{u} k\"{o}rlap, akkor a $K+t'$ halmaz egy $r+t'$ sugar\'{u} k\"{o}rlap. Ha $N$ egy n\'{e}gyzet, akkor a 
t\H{o}le legfeljebb $t$ t\'{a}vols\'{a}gban lev\H{o} pontok hamaza NEM n\'{e}gyzet. \\

{\sf A ${\cal B}$ \'{e}s ${\cal C}$ nem \"{u}res kompakt halmazok} 
(\'{a}br\'{a}k) 
$h[{\cal B},{\cal C}] $ {\sf (Hausdorff) t\'{a}vols\'{a}ga} az a {\em legkisebb} 
$t$ amelyre
$$     C\xxc {\cal B}+t  \ \ \ \hbox{\'{e}s} \ \ \     {\cal B}\xxc
{\cal C}+t.  \leqno{(4.1)} $$
({\em 4.3 \'{a}bra}). A (4.1) formula inform\'{a}lis jelent\'{e}se, amit a {\em 4.3 \'{a}br\'{a}r\'{o}l} is leolvashatunk, hogy  a $\cal B$ halmazt addig
n\"{o}velj\"{u}k, am\'{\i}g ${\cal B}+t$
"\'{e}ppen elnyeli" a $\cal C$ halmazt, majd ugyanezt tegy\"{u}k a $\cal C$ halmazzal. A kapott $t$ \'{e}rt\'{e}kek 
k\"{o}z\"{u}l a nagyobbik lesz a $\cal B$ \'{e}s $\cal C$ halmazok t\'{a}vols\'{a}ga.

A Hausdorff t\'{a}vols\'{a}gnak egy m\'{a}sik, {\em ismertebb}, de kev\'{e}sb\'{e} szeml\'{e}letes meghat\'{a}roz\'{a}sa is van. 
Ezt a {\large F 4.13}-ban fogjuk megadni.\\
\\    \\
P\'{E}LD\'{A}K.
\begin{itemize}
\item  {\Large 1} {\bf A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gre vezet\H{o} sorozat elemei
k\"{o}z\"{o}tti t\'{a}vols\'{a}g} ({\em 4.4 \'{a}bra}). A $\cal B$ n\'{e}gyzet
\'{e}s a $W({\cal B})$ k\"{o}z\"{o}tti t\'{a}vols\'{a}g $0.5 a$ 
\'{e}s ezut\'{a}n a sorozat k\'{e}t 
egym\'{a}sut\'{a}n k\"{o}vetkez\H{o} eleme k\"{o}z\"{o}tti t\'{a}vols\'{a}g egyre cs\"{o}kken, 
m\'{e}gpedig mindig az el\H{o}z\H{o}nek a fele lesz. Igy
$$h[W^n({\cal B}), W^{n+1}({\cal B})]\leq 0.5^{n+1} a.$$

Ebb\H{o}l az is k\"{o}vetkezik, hogy b\'{a}rmilyen kis $\epsilon >0$-t 
is vesz\"{u}nk, ${\cal A}+\epsilon$, az $\epsilon$-nal n\"{o}velt $\cal A$, 
tartalmazni fogja a $\xWb$ halmazokat valamely $n$-t\H{o}l kezdve 
({\bf Mi\'{e}rt?}). 

Most legyen $\epsilon$ az a m\'{e}ret, amelyn\'{e}l kisebb \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} 
halmazt nem tudunk \'{e}szrevenni. (Ennek oka lehet az, hogy a szem\"{u}nk 
felbont\'{o}k\'{e}pess\'{e}g\'{e}nek ez a hat\'{a}ra, vagy a sz\'{a}mit\'{o}g\'{e}p
 k\'{e}perny\H{o}j\'{e}n, ahol a halmazokat megjelenitj\"{u}k, nem lehet enn\'{e}l
k\"{o}zelebbi pontokat megk\"{u}l\"{o}nb\"{o}ztetni s.i.t.) Ekkor, ha $n$ olyan
nagy hogy 
 $$0.5^n a < \epsilon $$
akkor az $n+1$-ik elemt\H{o}l kezdve a 
$$\xxWb$$
sorozat elemei nem k\"{u}l\"{o}nb\"{o}ztethet\H{o}k meg egym\'{a}st\'{o}l 
\'{e}s igy  a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gt\H{o}l sem, amit ez az IFS el\H{o}\'{a}llit.
\\
MEGJEGYZ\'{E}S. A
$${\cal B},\;  W({\cal B}),\; W^{[2]}({\cal B})\dots \leqno{(*)} $$
halmazok az IFS $\cal A$ invari\'{a}ns halmaz\'{a}nak (attraktor\'{a}nak) egyre pontosabb k\"{o}zel\'{\i}t\'{e}sei ({\em 5.2 \'{a}bra, 1.5B \'{a}bra}). Az IFS \'{a}br\'{a}kon
a (*)  mint {\em egym\'{a}st k\"{o}vet\H{o}} pillanatfelv\'{e}teleksorozata jelenik meg.\\
\item  {\Large 2} {\bf A Koch g\"{o}rb\'{e}re vezet\H{o} sorozat elemei k\"{o}z\"{o}tti
 t\'{a}vols\'{a}g} ({\em 1.5B \'{a}bra}).  Ekkor a $\cal B$ h\'{a}romsz\"{o}g 
\'{e}s a $W({\cal B})$ k\"{o}z\"{o}tti t\'{a}vols\'{a}g (az \'{a}br\'{a}n
$K_1^*$ \'{e}s $K_2^*$ k\"{o}z\"{o}tti t\'{a}vols\'{a}g) $\frac{1}{6}$   a sorozat k\'{e}t egym\'{a}sut\'{a}n
 k\"{o}vetkez\H{o} eleme k\"{o}z\"{o}tti t\'{a}vols\'{a}g egyre cs\"{o}kken, 
m\'{e}gpedig mindig az el\H{o}z\H{o}nek a harmada lesz. Igy
$$h[W^n({\cal B}), W^{n+1}({\cal B})]\leq \frac{1}{3^n}\frac{{1}}{6} \;\; \;\; hibas? \;\leqno{(*)}$$
Ebb\H{o}l az is k\"{o}vetkezik, hogy b\'{a}rmilyen kis $\epsilon >0$-t 
is vesz\"{u}nk, ${\cal A}+\epsilon$, az $\epsilon$-nal n\"{o}velt $\cal A$, 
tartalmazni fogja a $\xWb$ halmazokat valamely $n$-t\H{o}l kezdve 
({\bf Mi\'{e}rt?}). 
Hasonl\'{o}an mint a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gn\'{e}l, a (*) egyenl\H{o}tlens\'{e}gb\H{o}l meg\'{a}llapithatjuk
hogy h\'{a}nyadik iter\'{a}ci\'{o} ut\'{a}n lesz $\xWb$ gyakorlatilag azonos a 
 Koch g\"{o}rb\'{e}vel. \\
\end{itemize}
\hspace{10mm}\\

A $h[{\cal B},{\cal C}]$ \'{e}rt\'{e}ket k\'{e}t okb\'{o}l tekinthetj\"{u}k a ${\cal
B}$ \'{e}s ${\cal C}$ t\'{a}vols\'{a}g\'{a}nak.
Az egyik az, hogy megegyezik a vizu\'{a}lis tapasztalattal. Ha a halmazok 
(\'{a}br\'{a}k)  $h$ t\'{a}vols\'{a}ga kicsi, akkor alig tudjuk a 
halmazokat megk\"{u}l\"{o}nb\"{o}ztetni egym\'{a}st\'{o}l. A m\'{a}sik ok az, hogy $h$
kiel\'{e}g\'{\i}ti az u.n.{\sf  metrikus axi\'{o}m\'{a}kat}, vagyis a
 k\"{o}vetkez\H{o}  alaptulajdons\'{a}gokat

\begin{itemize}
\item[I.] $ h[{\cal B},{\cal C}] \geq 0$ \'{e}s $h[{\cal B},{\cal C}]=0$
pontosan
akkor ha ${\cal B}={\cal C}$ (vagyis ${\cal B}$ \'{e}s ${\cal C}$ ugyanaz a
halmaz);
\item[\'{i}.] $ h[{\cal B},{\cal C}]=h[{\cal C},{\cal B}]$;
\item[\'{i}I.] B\'{a}rmely ${\cal A},{\cal B},{\cal C}$ mellett  $h[{\cal A},{\cal
B}]+h[{\cal B},{\cal C}] \geq h[{\cal A},{\cal C}]$.
\end{itemize}

	 Ezek k\"{o}z\"{u}l csup\'{a}n a \'{i}I. az u.n. {\sf h\'{a}romsz\"{o}g
 egyenl\H{o}tlens\'{e}g} nem teljesen nyilv\'{a}nval\'{o}.  Ennek 
bizony\'{\i}t\'{a}sa:

Legyen $h[{\cal A},{\cal B}]=t_{AB}$  \'{e}s $h[{\cal B},{\cal C}]=t_{BC}$.
Ez azt jelenti hogy $t_{AB}$  \'{e}s $t_{BC}$ az a legkisebb \'{e}rt\'{e}k
amelyre
$$     \hbox{a/} \  {\cal A}\xxc {\cal B}+t_{AB} , \ \ \ \hbox{b/} \ {\cal
B}\xxc {\cal A}+t_{AB} , \ \ \ \hbox{c/} \ {\cal
B}\xxc {\cal C}+t_{BC} , \ \ \   \hbox{d/} \ {\cal C}\xxc {\cal B}+t_{BC} . $$
 Az a/ \'{e}s c/
alapj\'{a}n
$$      {\cal A}\xxc {\cal C}+t_{BC} +t_{AB} \: ; $$
a b/ \'{e}s d/ alapj\'{a}n
$$      {\cal C}\xxc {\cal A}+t_{AB}  +t_{BC} \: ; $$
ami \'{e}ppen azt jelenti, hogy $h[{\cal A},{\cal C}] \leq  t_{BC} +t_{AB}$.
\\
\\   \\
{\Large 4.2}

{\large\bf Egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok t\'{a}vols\'{a}ga}\\ 

A {\large 4.1 \ 1} p\'{e}ld\'{a}ban megmutattuk, hogy a Sierpinski
 h\'{a}romsz\"{o}get el\H{o}\'{a}llit\'{o} \ite s sorozat
elemei, a \Ha ban egyre k\"{o}zelebb ker\"{u}lnek a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gh\"{o}z,
{\em harm\'{o}ni\'{a}ban a vizu\'{a}lis tapasztalattal} \'{e}s ugyanezt 
mutattuk meg a Koch g\"{o}rb\'{e}re is a {\large 2} p\'{e}ld\'{a}ban. A k\"{o}vetkez\H{o}kben azt fogjuk 
megmutatni, hogy kompakt halmazoknak {\em minden}  egym\'{a}sba
skatuly\'{a}zott} ({\em nested}) sorozata, f\"{u}ggetlen\"{u}l a halmazok 
jelent\'{e}s\'{e}t\H{o}l, \Ha ban  egyre  k\"{o}zelebb ker\"{u}l a
halmazok k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sz\'{e}hez. Pontosabban, matematikai formul\'{a}val kifejezve\\ 
\\
{\large\bf T\'{e}tel.} Ha 
$$\{{\cal C}_n; \;\; \; n=1,2,\dots \}$$
nem \"{u}res kompakt halmazok sorozata,
$${\cal C}_{n+1}\subset {\cal C}_n \; \;\; \'{e}s  \;\; \; 
{\cal A}=\bigcap_{k=1}^\infty {\cal C}_k$$
 akkor 
$$h[{\cal A}, {\cal C}_n]\rightarrow 0.$$
MEGJEGYZ\'{E}SEK. {\Large I.} $\cal A$ nem \"{u}res. Ez k\"{o}vetkezik a {\sf Cantor axi\'{o}m\'{a}b\'{o}l}: Egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott
kompkat halmazok k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sze nem \"{u}res  kompakt halmaz ({\large F.4.22}).\\
\\
{\Large \'{i}.}  A  $h[{\cal A}, {\cal C}_n]\rightarrow 0$  \'{a}llit\'{a}s, k\"{o}znapi sz\'{o}haszn\'{a}lattal, azt jelenti hogy ${\cal C}_n$
{\em tetsz\H{o}legesen k\"{o}zel} ker\"{u}l $\cal A$-hoz, ha el\'{e}g messze megy\"{u}nk a $\{{\cal C}_n; \;\; \; n=1,2,\dots \}$ 
sorozatban. (Ez nem ugyanaz, mintha azt mondjuk: "{\em egyre k\"{o}zelebb} ker\"{u}l az $\cal A$-hoz".) Igy a t\'{e}tel \'{a}llit\'{a}sa
megegyezik ("harm\'{o}ni\'{a}ban van") a vizu\'{a}lis tapasztalattal.
\\  \\
{\LARGE **}\\
{\large\bf Bizonyit\'{a}s} Az $\cal A$ jelent\'{e}s\'{e}b\H{o}l k\"{o}vetkezik
$$ {\cal C}_k\supset{\cal A} \;\;  \;\; k=1,2,\dots .$$
Igy csak azt kell bizonyitani, hogy minden $\epsilon >0$ \'{e}rt\'{e}khez van olyan $n$, hogy ha $k>n$ akkor
$${\cal A}+\epsilon\supset {\cal C}_k.$$
T\'{e}telezz\"{u}k fel, hogy az
 \'{a}ll\'{\i}t\'{a}s nem igaz. Ez azt jelenti, hogy van olyan $t$ \'{e}s
 $\{x_i ; \ \ i=1,2,\ldots \}$ sorozat 
hogy
$$ x_i  \xxe {\cal C}_i \ \ \ \hbox{\'{e}s} \ \ \   x_i \not \in {\cal A}+t \leqno{(4.2)}$$
 
Mivel $\{x_i;  \;\; i=1,2,\dots \}\subset{\cal C}_1$ (vagyis $\{x_i;  \;\;i=1,2,\dots \}$ korl\'{a}tos sorozat), ez\'{e}rt a 
sorozatnak
 van konvergens r\'{e}szsorozata. Legyen ennek hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke $x$. Erre az $x$ hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}kre
 a k\"{o}vetkez\H{o}knek kell \'{e}rv\'{e}nyesnek lenni. 

 {\em Egyr\'{e}szt},  $ x_i  \xxe {\cal C}_k$ ha $i>k$, mivel ekkor ${\cal C}_i\subset {\cal C}_k$. Ez\'{e}rt
  $ x  \xxe {\cal C}_k$ mivel ${\cal C}_k$ z\'{a}rt.
 Ez \'{e}rv\'{e}nyes minden $k$-ra \'{e}s igy 
$$ x \in \bigcap_{k=1}^{\infty} {\cal C}_k ={\cal A}\: . \leqno{(4.3)} $$
{\em M\'{a}sr\'{e}szt}, (4.2) alapj\'{a}n, 
 az $\{x_i;  \;\; i=1,2,\dots \}$ elemei legal\'{a}bb $t$ 
t\'{a}vols\'{a}gban vannak $\cal A$-t\'{o}l, ez\'{e}rt
$$x\notin {\cal A}+t. \leqno{(4.4)}$$
A (4.3) \'{e}s (4.4) ellentmond egym\'{a}snak. Igy a t\'{e}tel tagad\'{a}s\'{a}val
 ellentmond\'{a}sra jutottunk. (A t\'{e}tel igaz az "indirekt bizonyit\'{a}s elve" alapj\'{a}n.)\\
{\LARGE **}\\
\\   \\
{\Large 4.3}

{\large\bf Kontraktiv halmazf\"{u}ggv\'{e}ny}\\

Ha $F$ kontraktiv, akkor a {\large 2.2 (H)} szerint hozz\'{a}rendelt 
halmazf\"{u}ggv\'{e}ny is kontraktiv (a Hausdorff t\'{a}vols\'{a}gban 
m\'{e}rve).\\
\\
{\large\bf T\'{e}tel.} Ha $F$ kontraktiv f\"{u}ggv\'{e}ny $r$ kontraktivit\'{a}si t\'{e}nyez\H{o}vel, 
akkor ez \'{e}rv\'{e}nyes az $F$-hez tartoz\'{o} \xHA re is, vagyis
$$    h[F({\cal B}),F({\cal C})]\leq r\cdot h[{\cal B},{\cal C}] \: .
\leqno{(4.5)} $$
 
\\
{\large\bf Bizonyit\'{a}s.} {\em 1. l\'{e}p\'{e}s.}
$$F({\cal B}+t)\subseteq F({\cal B})+rt. \leqno{(4.6)}$$
Hasonl\'{o}s\'{a}gi $F$ eset\'{e}n (4.6) {\em nyilv\'{a}nval\'{o}nak l\'{a}tszik}, hiszen $F$ 
"hat\'{a}s\'{a}ra" egy halmaz line\'{a}risan az $r$-szeres\'{e}re v\'{a}ltozik \'{e}s
igy a $\cal B$ halmazt\'{o}l legfeljebb $t$ t\'{a}vols\'{a}gban lev\H{o}
pontok, az $F({\cal B})$-t\H{o}l legfeljebb $rt$ t\'{a}vols\'{a}gba 
ker\"{u}lnek "az $F$ hat\'{a}s\'{a}ra" ({\em 4.5 \'{a}bra}). 

B\'{a}rmely kontraktiv $F$-re a (4.6) {\em bizonyit\'{a}sa} a  k\"{o}vetkez\H{o}:
ha $x\in F({\cal B}+t)$ akkor van olyan $b\in {\cal B}$ \'{e}s $z$ hogy $x=F(z)$ \'{e}s $d[z, b]\leq t$ amib\H{o}l m\'{a}r k\"{o}vetkezik 
$$d[x, F({b}]=d[F(z), F({b}]\leq rt$$
vagyis $x\in F({\cal B})+rt$.\\ 
\\
{\em 2. l\'{e}p\'{e}s.}  A (4.5) a k\"{o}vetkez\H{o}t jelenti
$$ F({\cal C})\subset F({\cal B})+rt \;\; \;\; \'{e}s \;\; \;\;  F({\cal B})\subset F({\cal C})+rt \leqno (4.7)$$
ahol $t=h[{\cal B},{\cal C}]$. Elegend\H{o} a baloldali formul\'{a}t igazolni, hiszen a jobboldali formula bizonyit\'{a}sa ugyan\'{u}gy
t\"{o}rt\'{e}nhet.

Ha ${\cal C}\subset {\cal B}+t$ akkor $F({\cal C})\subset F({\cal B}+t)$, ez\'{e}rt (4.6)-b\'{o}l k\"{o}vetkezik (4.7).\\
\\   \\
{\Large 4.4.}  

{\large\bf Halmazok uni\'{o}j\'{a}nak t\'{a}vols\'{a}ga}\\

 Mi a kapcsolat a $\{{\cal B}_i ; \ \  i=1,2,\ldots ,N\}$ \'{e}s $\{{\cal C}_i ;
\ \ i=1,2,\ldots,N\}$ halmazok
$h[{\cal B}_i ,{\cal C}_i ] $ $(i=1,2,\ldots,N)$ t\'{a}vols\'{a}ga  \'{e}s az uni\'{o}juk
$$        h \left[ \bigcup_{i=1}^N   {\cal B}_i  , \bigcup_{i=1}^N
{\cal C}_i \right] $$
 t\'{a}vols\'{a}ga k\"{o}z\"{o}tt? 

	 A v\'{a}lasz a k\"{o}vetkez\H{o}:
$$   h \left[ \bigcup_{i=1}^N   {\cal B}_i , \bigcup_{i=1}^N   {\cal C}_i
\right ] \leq \max \{h[{\cal B}_i ,{\cal C}_i ]; \ \  \ \  (i=1,2,\ldots,N)\}
\leqno{(\hbox{HU})} $$
vagyis a ${\cal B}_i$  ill. ${\cal C}_i$  halmazok uni\'{o}ja k\"{o}z\"{o}tti
t\'{a}vols\'{a}g legfeljebb akkora mint a $h({\cal B}_i ,{\cal C}_i )$
t\'{a}vols\'{a}gok k\"{o}z\"{u}l a legnagyobb.

	{\bf A (HU) bizony\'{\i}t\'{a}sa.}  A (HU) egyenl\H{o}tlens\'{e}g abb\'{o}l k\"{o}vetkezik, hogy
$$          \bigcup_{i=1}^N  [{\cal B}_i +t]= \bigcup_{i=1}^N  {\cal
B}_i +t \leqno{(4.8)}$$
({\large F.4.11}) ($N=2$-re ld. {\em 4.6 \'{a}br\'{a}t}). Ugyanis, ha 
$$ h[{\cal B}_i ,{\cal C}_i ]=t_i; \ \   (i=1,2,\ldots,N) \;\; \'{e}s  \;\;
t=\max \{ t_i; \;\;\; \xN \}$$
akkor
$$ {\cal B}_i \xxc {\cal C}_i +t  \ \ \ \hbox{\'{e}s} \ \ \
{\cal C}_i \xxc {\cal B}_i +t  \;\;  \;\; \;\; i=1,2,\dots ,N;$$ 
igy, ha (4.8) \'{e}rv\'{e}nyes, akkor
$$     \bigcup_{i=1}^N  {\cal B}_i  \xxc  \bigcup_{i=1}^N ({\cal C}_i +t)=
\bigcup_{i=1}^N
{\cal C}_i +t  \ \ \ \hbox{\'{e}s} \ \ \    \bigcup_{i=1}^N  {\cal C}_i \xxc
\bigcup_{i=1}^N ({\cal B}_i +t)=  \bigcup_{i=1}^N  {\cal B}_i +t $$
 ami \'{e}ppen azt jelenti, hogy
$$   h\left[ \bigcup_{i=1}^N   {\cal B}_i , \bigcup_{i=1}^N   {\cal C}_i
\right ] \leq  t \: . $$

Figyelembe v\'{e}ve a $h$ t\'{a}vols\'{a}g definici\'{o}j\'{a}t, az
elmondottakb\'{o}l m\'{a}r k\"{o}vetkezik (HU). \\
\\    \\
{\Large 4.5}

{\large\bf T\'{a}vols\'{a}g \'{e}s hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k}\\

Ha egy halmazban t\'{a}vols\'{a}g (metrika) van \'{e}rtelmezve, akkor ehez {\sf hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k} fogalom is tartozik, \'{e}ppugy,mint
a k\"{o}z\"{o}ns\'{e}ges sz\'{a}msorozatok eset\'{e}ben.

Legyen $\{{\cal C}_n; \;\; \; n=1,2,\dots \}$ kompakt halmazok 
v\'{e}gtelen sorozata. Ekkor  azt mondjuk, hogy ez a sorozat tart egy kompakt $\cal A$ halmazhoz, ha a
$$\{h[{\cal C}_n, {\cal A}]; \; \; n=1,2,,\dots\}$$ 
(nemnegativ) sz\'{a}msorozat a null\'{a}hoz tart.

Ezt a sz\'{a}msorozatok hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k\'{e}nek a mint\'{a}j\'{a}ra igy jel\"{o}lj\"{u}k
$$\lim_{n \rightarrow\infty}{\cal C}_n={\cal A} \;\;   \;\; vagy  \;\;
\;\; {\cal C}_n \rightarrow{\cal A}.$$
\\
{\large\bf P\'{e}lda.} A Koch g\"{o}rb\'{e}t el\H{o}\'{a}llit\'{o} $$\{K_n; \; n=1,2,\dots\}$$ sorozat hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke
$$\bigcap_{k=1}^\infty K_n^* \leqno{(4.9})$$
M\'{a}ssz\'{o}val, a $\{K_n; n=1,2,\dots\}$ \'{e}s a $\{K_n^*; n=1,2,\dots\}$ sorozatnak ugyanaz a hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke
 (ahogyan azt 
inform\'{a}lis m\'{o}don a {\large Bevezet\'{e}s 5. p\'{e}ld\'{a}j\'{a}ban} l\'{a}ttuk). Ugyanis a szerkeszt\'{e}sb\H{o}l
                           $$h[K_1, K_1^*]=\frac{1}{6}$$
\'{e}s indukci\'{o}val
$$h[K_n, K_n^*]=\frac{1}{3^{n-1}}\frac{1{6}.$$

M\'{a}sr\'{e}szt, a $\{K_n^*; \; n=1,2,\dots\}$ sorozat egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok sorozata, ez\'{e}rt a hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke  a (4.9). 
\\  \\
   \\
{\large \bf Feladatok \'{e}s tov\'{a}bbi inform\'{a}ci\'{o}k.}\\
\\
{\Large F. 4.1} \  \  A 4.7 a/-f/ \'{a}br\'{a}kon adjuk meg a 
$h[{\cal A},{\cal B}]$ t\'{a}vols\'{a}gokat.\\
Az a/ \'{e}s b/ \'{a}br\'{a}n $A$ a s\"{o}t\'{e}t \'{e}s $B$ a sz\"{u}rke. \\
A c/ \'{e}s d/ \'{a}br\'{a}n $A$ a n\'{e}gyzetlap \'{e}s $B$ a k\"{o}rlap. \\
Az e/ \'{e}s f/ \'{a}br\'{a}n $A$ a fekete halmaz \'{e}s $B$ a sz\"{u}rke \'{e}s fekete
uni\'{o}ja (egyesit\'{e}se). \\
\\
{\Large F. 4.2} \  \ Legyenek  ${\cal B}$ \'{e}s ${\cal C}$  koncentrikus 
k\"{o}rlapok
egy ill. egyn\'{e}l kisebb $r$ sug\'{a}rral. Nyilv\'{a}nval\'{o}an 
${\cal C} \subset  {\cal B}$.

\begin{itemize}
\item[a/] Adjuk meg az  $r \xxhat  h[{\cal B},{\cal C}]$  f\"{u}ggv\'{e}nyt.
\item[b/] Adjuk meg az  $r \xxhat  h[{\cal C}, {\cal B}-{\cal C}]$
f\"{u}ggv\'{e}nyt.
\end{itemize}
Rajzoljuk meg mindk\'{e}t f\"{u}ggv\'{e}nyg\"{o}rb\'{e}t. \\
\\
{\Large F. 4.3} \  \  A {\em 4.8a  \'{a}br\'{a}n} egy leegyszer\H{u}s\'{\i}tett 
f\'{a}t \'{e}s
h\'{a}zat l\'{a}thatunk. Adjuk meg a Hausdorff t\'{a}vols\'{a}gukat.\\
\\
{\Large F. 4.4}  \  \  Irjuk fel a {\em 4.8b  \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o} 
$h[{\cal A}\cup{\cal B} , {\cal C}]$ , $h[{\cal A} , {\cal B}]$ \'{e}s 
$h[{\cal B} , {\cal C}]$ t\'{a}vo	ls\'{a}gokat  cs\"{o}kken\H{o} 
sorrendben.\\
\\
{\Large F 4.5} \ \ a/ Legyen $\xWb$ az {\em 1.4 \'{a}br\'{a}n} a Sierpinski
h\'{a}romsz\"{o}gre vezet\H{o} sorozat $n$-edik eleme. Hat\'{a}rozzuk meg a
 $$h[W^{[n]}({\cal B}), W^{[n+1]}({\cal B})] \;\;  \; (n=1,2,\dots)
\leqno{(4.10)}$$
sorozatot.\\
b/ Hogyan alakul a (4.10), ha $\cal B$ egy egyenl\H{o}oldal\'{u} h\'{a}romsz\"{o}g
\'{e}s hogyan alakul akkor, ha $\cal B$ ennek a h\'{a}romsz\"{o}gnek a h\'{a}rom
cs\'{u}cspontja? ({\em 4.10  \'{a}bra})\\
\\
{\Large F 4.6} \ \  Az {\large F 4.5a} abban az esetben, ha $\xxWb$ a Koch
g\"{o}rb\'{e}re vezet\H{o}  k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} sorozatok 
({\em 1.5  \'{e}s 1.5b \'{a}bra}).\\
\\
{\Large F. 4.7}  \  \ a/ Adjunk meg egy $W$ \lek t, amely a 
{\em 4.7 f \'{a}br\'{a}n} a fekete halmazba viszi a sz\"{u}rke \'{e}s fekete halmaz 
uni\'{o}j\'{a}t.\\
b/ \  Ha a sz\"{u}rke \'{e}s fekete halmaz uni\'{o}ja  $\cal B$ akkor mennyi
$$h[W^{[n]}({\cal B}), W^{[n+1]}({\cal B})] \;\;  \; (n=1,2,\dots) ?$$
c/ Mi lehet itt az $\cal A$ ?\\
\\
{\Large F. 4.8} ({\em 4.9 \'{a}bra}) Adjunk meg egy szab\'{a}lyt az
$B_1, B_2, B_3,\ldots$ sorozat konstrukci\'{o}j\'{a}ra.
 Ezzel a szab\'{a}llyal folytatva a sorozatot, adjuk meg a  \   \
$h[B_n, B_{n+1} ] \;\; \; (n=1,2,\dots)$  \   t\'{a}vols\'{a}gokat.

Milyen lehet itt az ${\cal A}=\cap_{n=1}^\infty B_n$ ?
\\
\\
{\Large F. 4.9} \  \  Vizsg\'{a}ljuk meg az eddig ismert t\'{a}vols\'{a}g
fogalmak (metrik\'{a}k) \'{e}s a Hausdorff t\'{a}vols\'{a}g (metrika) kapcsolat\'{a}t.
 P\'{e}ld\'{a}ul\\
A. \  \  Mi a kapcsolat $h[\{x\},\{y\}]$ \'{e}s $d[x,y]$ k\"{o}z\"{o}tt? \\
B.  \  \  Melyik nagyobb, $d[x,{\cal B}]$ vagy $h[\{x\},{\cal B}]$? \\
\\
{\Large F. 4.10}
a/ Igazoljuk, hogy ha ${\cal A} \xxc {\cal B}\xxc {\cal C}$
akkor $h[{\cal A},{\cal B}] \leq h[{\cal A},{\cal C}]$ \'{e}s
$h[{\cal B},{\cal C}] \leq h[{\cal A},{\cal C}]$.\\
b/ Igaz-e, hogy $h[{\cal C},{\cal C}+t]=t$?\\
\\
{\Large F. 4.11} \  \  Igazoljuk a {\large 4.4}-ben felhaszn\'{a}lt
$$       \bigcup_{i=1}^N   [{\cal B}_i +t]= \bigcup_{i=1}^N
{\cal
B}_i +t $$
 egyenl\H{o}s\'{e}get. \'{E}rv\'{e}nyes ez {\it v\'{e}gtelen sok} halmaz 
 eset\'{e}n is?\\
\\
{\Large F. 4.12}  \  \  A {\large 4.4} (HU) formula \'{a}ltal\'{a}nos\'{\i}t\'{a}sa a
$$     h\left[ \bigcup_{i=1}^N  {\cal B}_i , \bigcup_{i=1}^N  {\cal C}_i
\right] \leq   \max\{h[{\cal B}_i ,{\cal C}_j ]; \ \  (i,j=1,2,\ldots,N)\} $$
formula. Ad-e ez a (HU)-n\'{a}l jobb becsl\'{e}st az uni\'{o}k
 k\"{o}z\"{o}tti $h$-t\'{a}vols\'{a}gra?

	 Egy\'{a}ltal\'{a}n, igaze ez a formula? \\
\\
{\Large F. 4.13}  \  \  Igazoljuk a k\"{o}vetkez\H{o}t:

  Legyen $d[{\cal B}, {\cal C}]=\max \{d[x,{\cal C}]; \ \ x\xxe {\cal B}\}$. Vagyis, legyen $x$ a $\cal B$ halmaznak az a
pontja, amely a legt\'{a}volabb van $\cal C$-t\H{o}l \'{e}s $d[{\cal B}, {\cal C}]$ ennek az  $x$  pontnak a  $\cal C$-t\H{o}l
m\'{e}rt t\'{a}vols\'{a}ga.
  Ekkor a
$d[{\cal B},{\cal C}]$ \'{e}s a $d[{\cal C},{\cal B}]$
\'{e}rt\'{e}kek k\"{o}z\"{u}l a {\it nagyobbik} lesz a $h[{\cal B},{\cal
C}]$.

	 Sz\'{a}m\'{\i}tsuk ki ezzel a szab\'{a}llyal is a Hausdorff t\'{a}vols\'{a}gokat
az el\H{o}z\H{o} feladatokban. Melyiket tal\'{a}lod egyszer\H{u}bbnek, ezt a
szab\'{a}lyt vagy az eredeti definici\'{o}t? \\
\\
{\Large F. 4.14} \  \  A $d[x,{\cal B}]$ t\'{a}vols\'{a}g azt mutatja, 
hogy milyen hossz\'{u} az \'{u}t az
$x$ pontt\'{o}l ${\cal B}$-ig. A $h[{\cal B},{\cal C}]$ \'{e}rt\'{e}k viszont azt
jelzi, hogy vizu\'{a}lisan
mennyiben t\'{e}r el egym\'{a}st\'{o}l ${\cal B}$ \'{e}s ${\cal C}$. Pontosabban, hogy
milyen minim\'{a}lis n\"{o}vel\'{e}ssel lesz k\"{o}lcs\"{o}n\"{o}sen az egyik halmaz a m\'{a}siknak a
r\'{e}sze ({\em 4.3 \'{a}bra}). Az F 4.13 jelent\H{o}s\'{e}ge \'{e}ppen abban
\'{a}ll, hogy a k\'{e}tfajta t\'{a}vols\'{a}gfogalom (metrika)
 k\"{o}z\"{o}tt kapcsolatot teremt.\\
\\
{\Large F 4.15} \ \   Nem \"{u}res kompakt halmazokra a Hausdorff 
t\'{a}vols\'{a}g teljesiti a t\'{a}vols\'{a}g (metrikus) axi\'{o}m\'{a}kat. 

Ha a csup\'{a}n korl\'{a}tos halmazokat tekintj\"{u}k, vagyis elhagyjuk a
"{\em z\'{a}rt"} felt\'{e}telt, akkor is \'{e}rv\'{e}nyesek a metrikus 
axi\'{o}m\'{a}k $h$-ra?

Mi a helyzet az $R^2$ nemkorl\'{a}tos r\'{e}szhalmazaival?\\
\\
{\Large F. 4.16} \  \  A $h$ t\'{a}vols\'{a}g azt m\'{e}ri hogy vizu\'{a}lisan ("szemrev\'{e}telezve")
mennyire l\'{a}tszik azonosnak k\'{e}t halmaz. Ha viszont azt akarjuk
 m\'{e}rni,
hogy milyen hossz\'{u} utat kell megtenni ahhoz, hogy pl. a ${\cal B}$
halmazb\'{o}l a ${\cal C}$ halmazba jussunk el, akkor a
$$           \Delta  [{\cal B},{\cal C}]= \min\{d[x,y]; \ \  x\xxe
{\cal B}, \ \  y\xxe {\cal C}\} $$
\'{e}rt\'{e}kkel kell dolgozni. $\Delta  [B,{\cal C}]$ nyilv\'{a}n annak a
legr\"{o}videbb
\'{u}tnak a hossz\'{a}t adja, amelyen a ${\cal B}$-b\H{o}l a ${\cal C}$-be
juthatunk.

	 Vizsg\'{a}ljuk meg, teljes\"{u}lnek-e a {\large 4.1} \ I.- \'{i}I. alaptulajdons\'{a}gok ({\em metrikus axi\'{o}m\'{a}k}) a $\Delta$  eset\'{e}ben?

 Mi a kapcsolat $\Delta  [\{b\},{\cal C}]$ \'{e}s $d[b,{\cal C}]$
 k\"{o}z\"{o}tt?\\
\\
{\Large **F.4.17} \  \  A metrik\'{a}b\'{o}l sz\'{a}rmaztatott
 hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k mindig rendelkezik a sz\'{a}msorozatok 
hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k\'{e}nek a k\"{o}vetkez\H{o} tulajdons\'{a}gaival.\\
a/ \ legfeljebb egy hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k van.\\
b/ \ r\'{e}szsorozat hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke ugyanaz. \\
c/ \ ha egy sorozat konvergens akkor korlatos ("elf\'{e}r" egy elegend\H{o}en nagy sugar\'{u} g\"{o}mbben).\\
\\
{\Large **F.4.18} \  \  A Hausdorff t\'{a}vols\'{a}gb\'{o}l
 (metrik\'{a}b\'{o}l) sz\'{a}rmaztatott hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k 
fogalm\'{a}val igy fejezhetj\"{u}k ki a {\large 4.2 T\'{e}tel} 
\'{a}llit\'{a}s\'{a}t:

{\em Egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott kompakt halmazok sorozata konvergens \'{e}s a sorozat hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke a halmazok k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sze.}\\ 
\\
{\Large **F. 4.19}  \  \  Igaz-e az $\cup$ m\H{u}velet  k\"{o}vetkez\H{o} 
"folytonoss\'{a}ga":

	 Ha $h[{\cal B}_n ,{\cal B}]\xxhat  0$ \'{e}s $h[{\cal C}_n ,{\cal C}]\xxhat
0$, akkor $h[{\cal B}_n \cup {\cal C}_n ,{\cal B}\cup {\cal C}]\xxhat  0$. \\
\\
{\Large **F. 4.20} \ \  Egy $G$ halmazf\"{u}ggv\'{e}nyt akkor nevez\"{u}nk 
folytonosnak a Hausdorff t\'{a}vols\'{a}gban (metrik\'{a}ban), ha
$$     h[{\cal C}_n ,{\cal C}] \xxhat  0 \ \ \    \xxhat  \ \ \
h[G({\cal C}_{n} ),G({\cal C})]\xxhat  0 \: .  $$
 (vagyis a szok\'{a}sos def.)

	 Folytonos-e a $W = \bigcup_{i=1}^N  F_i$  f\"{u}ggv\'{e}ny? \\
\\
{\Large **F. 4.21}  \  \ Legyenek $\{{\cal B}_n; \;\; n=1,2,\dots\}$  kompakt halmazok \'{e}s $\{p\}$ az 
egyetlen $p$ pontb\'{o}l \'{a}ll\'{o} halmaz. Vizsg\'{a}ljuk meg a k\"{o}vetkez\H{o}k 
\'{e}rv\'{e}nyess\'{e}g\'{e}t:
\\
I.  \ \  Ha ${\cal B}_n$ benne van a $p$ k\"{o}z\'{e}ppont\'{u} $\epsilon$ sugar\'{u} 
g\"{o}mbben, akkor $h[{\cal B}_n, \{p \}]<\epsilon$.\\
\\
\'{i}. \  Ha minden $\epsilon >0$-hoz van olyan $k$, hogy  $n>k$ eset\'{e}n ${\cal B}_n$
benne van a $p$ k\"{o}z\'{e}ppont\'{u} $\epsilon$ sugar\'{u} g\"{o}mbbe
akkor
$$\lim_{n \righarrow\infty} h[{\cal B}_n, \{p \}]=0$$
vagyis ${\cal B}_n \rightarrow \{p \}$ a \Ha ban.\\
\\
\'{i}I. Ha  ${\cal B}_n \rightarrow \{p \}$ a \Ha ban, akkor minden olyan $\{b_n; \; n=1,2,\dots \}$
(pont)sorozat, amelyre $b_n\in {\cal B}_n$ a $p$ ponthoz konverg\'{a}l.\\
\\
{\Large F. 4.22}  \  \ Igazoljuk, hogy $R^2$-ben az egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott kompakt halmazok k\"{o}z\"{o}s r\'{e}sze
 korl\'{a}tos \'{e}s z\'{a}rt halmaz.\\
\vspace{15mm}\\
{\Large Mikor m\H{u}k\"{o}dik az IFS modell ?}
\\     \\
{\Large 5.1}

A halmazok k\"{o}z\"{o}tti t\'{a}vols\'{a}g \'{e}rtelmez\'{e}se \'{e}s 
alapvet\H{o} tulajdons\'{a}gainak felkutat\'{a}sa ut\'{a}n m\'{a}r megvan az eszk\"{o}z\"{u}nk
arra, hogy v\'{a}laszoljunk a 3. fejezet v\'{e}g\'{e}n feltett k\'{e}rd\'{e}sekre.

A Hausdorff t\'{a}vols\'{a}ggal \'{e}s a hozz\'{a}tartoz\'{o} hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}kkel kifejezve\\

{\em Legyenek a $\xxWb$ sorozat elemei egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok. Ekkor a  $\xxWb$ iter\'{a}ci\'{o}s sorozat elemei 
{\sf Hausdorff t\'{a}vols\'{a}gban} tetsz\H{o}leges pontoss\'{a}ggal megk\"{o}zel\'{\i}tik az
$${\cal A}=\bigcap_{n=1}^\infty  W^{[n]}({\cal B}).\leqno{(5.1)}$$
halmazt. Vagyis az iter\'{a}ci\'{o}s sorozat {�f hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke} $\cal A$.}\\
MEGJEGYZ\'{E}SEK. \ {\Large 1.} Ha a $\cal K$ k\"{o}rlap $R$ sugara kiel\'{e}g\'{\i}ti a (3.5) egyenl\H{o}tlens\'{e}get minden $F_i, r_i$ p\'{a}rra,
vagyis
$$ d[\theta ,F(\theta)] +rR< R \leqno{(3.5)}$$
 akkor a
$\{W^{[n]}({\cal K}); \; n=1,2,\dots\}$ sorozat elemei egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok.\\
 {\Large 2.} A {\large 4. fejezetben}  mondottakb\'{o}l k\"{o}vetkezik, hogy ha a  $\xxWb $ sorozatnak van hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke, 
akkor el\'{e}g nagy $n$-t\H{o}l kezdve a sorozat elemei nem k\"{u}l\"{o}nb\"{o}ztethet\H{o}k meg egym\'{a}st\'{o}l. \\

Mi a helyzet akkor ha a $\xxWb$ sorozat elemei NEM egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok?\\
\\
{\large\bf T\'{e}tel.} Ha $\Fi$ kontraktiv f\"{u}ggv\'{e}nyek, akkor a 
$$\xxWb\leqno{(5.2)}$$
 sorozat konvergens \'{e}s a hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke, $\cal A$,  f\"{u}ggetlen $\cal B$-t\H{o}l.

Ha $\cal K$ egy olyan k\"{o}rlap amelynek az $R$ sugara kiel\'{e}g\'{\i}ti a (3.5) egyenl\H{o}tlens\'{e}get minden $F_i, r_i$ p\'{a}rra,
 akkor 
 $${\cal A}=\bigcap_{n=1}^\infty  W^{[n]}({\cal K}).$$
\\
{\large\bf Bizonyit\'{a}s.} Azt kell csak bel\'{a}tni, hogy {\em b\'{a}rmilyen} kompakt $\cal B$ eset\'{e}n, az el\'{e}g nagy $\cal K$ k\"{o}rlap 
v\'{a}laszt\'{a}sa mellett kapott $\cal A$ az (5.2) hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke.

Legyen ${\cal B}\neq {\cal K}$.  A {\large 4.3-4.4}-ben mondottak 
alapj\'{a}n 
$$h[W({\cal B}), W({\cal K})]\leq r\cplot h[{\cal B},{\cal K}] \: .
\leqno{(5.3)} $$
ahol $r=\max\{r_i; \; i=1,2,\dots,N\}$. Az (5.3)-b\H{o}l teljes indukci\'{o}val
$$h[W^{[n]}({\cal B}), W^{[n]}({\cal K})]\leq r^n\cplot h[{\cal B},{\cal K}].$$
Ez\'{e}rt, $r<1$ eset\'{e}n, $W^{[n]}({\cal B})$ \'{e}s $W^{[n]}({\cal K})$
tetsz\H{o}legesen k\"{o}zel ker\"{u}l egym\'{a}shoz, ha $n$ el\'{e}g nagy \'{e}s igy a $\{W^{[n]}({\cal B});  \;\; n=1,2,\dots\}$
\'{e}s a $\{W^{[n]}({\cal K});  \;\; n=1,2,\dots\}$ sorozatoknak ugyanaz a hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke.\\
\\

Ha a 
$$\xxWb$$
sorozat konvergens \'{e}s az  $\cal A$ hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k f\"{u}ggetlen a $\cal B$ megv\'{a}laszt\'{a}s\'{a}t\'{o}l,
 akkor az $\cal A$ kompakt halmazt {\sf az IFS attraktor\'{a}nak} vagy {\sf invari\'{a}ns halmaz\'{a}nak} nevezz\"{u}k.}\\ 
\\
MEGJEGYZ\'{E}S. Az IFS modell "klasszikus" igazol\'{a}sa a {\sf kontraktiv \lek ek t\'{e}tel\'{e}n} alapul, amely azt mondja, hogy
kontraktiv f\"{u}ggv\'{e}nyek iter\'{a}ci\'{o}s sorozata mindig konvergens. A t\'{e}tel pontos megfogalmaz\'{a}s\'{a}t ld. {\large F 5.1}.

 A most bebizonyitott t\'{e}tel  a kontraktiv \lek ek t\'{e}tel\'{e}nek az IFS modellre  megfogalmazott  v\'{a}ltozata.\\
\\
\vspace{5mm}\\
{\large\bf Feladatok \'{e}s tov\'{a}bbi inform\'{a}ci\'{o}k}   
\\   \\
{\Large F. 5.1} \  \ A kontraktiv \lek \ t\'{e}tele $R^2$-ben:\\

{\em Ha $F:  R^2\rightarrow R^2$ kontraktiv \lek , akkor az
$$\{F^{[n]}(c); \;\; \;\; c\in R^2\}$$
sorozat konvergens \'{e}s hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke f\"{u}ggetlen $c$-t\H{o}l.}\\

Adjuk meg a t\'{e}tel bizonyit\'{a}s\'{a}t (ez az 5.1 t\'{e}tel bizonyit\'{a}s\'{a}nak a mint\'{a}j\'{a}ra is t\"{o}rt\'{e}nhet).\\
\\
 {\Large F. 5.2} \  \ Mit mondhatunk kontraktiv $F:  R^2\rightarrow R^2$ eset\'{e}n az
$$\{F^{[n]}({\cal B}); \;\; \;\; {\cal B}\subset R^2\}$$
  sorozatr\'{o}l?\\
\\
{\Large F 5.3} \  \  Annak alapj\'{a}n, hogy
\begin{center}
ha $\mid a\mid<1$ akkor $f(x)=ax+b$ kontraktiv
\end{center}
 igazoljuk, hogy az $a$ h\'{a}nyados\'{u} geometriai sor ekkor konvergens.\\
\\   
{\Large F. 5.4} \ \  A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer\'{e}t
eg\'{e}sz\'{\i}ts\"{u}k ki a k\"{o}vetkez\H{o} f\"{u}ggv\'{e}nnyel \\
$F_4(x)= 
\left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{array}\right) \left
(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} 0.5a \\ 0.5a \end{array}\right)$.
\\  
Mi lesz ekkor az $\cal A$?  \\
\\
{\bf\Large F 5.5} \ \  Egy n\'{e}gyzet, egy t\'{e}glalap vagy egy h\'{a}romsz\"{o}g is \"{o}nhasonl\'{o} halmaz. (Ezek sz\'{a}munkra 
{\em egyel\H{o}re}  \'{e}rdektelenek.) 

I. \ Adjunk meg egy olyan IFS modellt, amelynek attraktora egy n\'{e}gyzet \'{e}s adjunk meg egy olyat, amelynek attraktora 
egy adott h\'{a}romsz\"{o}g.\\
\'{i}. \ Legyenek egy h\'{a}romsz\"{o}g cs\'{u}cspontjai 
$$P(0,0), \; P(a,0), \; P(b,c) \;\; \;\; a,b,c\neq 0. $$
Adjunk meg egy IFS-t amelynek invari\'{a}ns halmaza (attraktora) ez a h\'{a}romsz\"{o}g.\\
\\
{\Large F. 5.6}  \  \  A 4.1 1. p\'{e}lda \'{e}s a 4.1 2. p\'{e}lda
 mint\'{a}j\'{a}ra, el\H{o}re meg tudjuk mondani azt az 
$n$-et amelyen t\'{u}l $\xWb$ m\'{a}r nem k\"{u}l\"{o}nb\"{o}ztethet\H{o} meg
$\cal A$-t\'{o}l.

Legyen $\epsilon$ az a m\'{e}ret, amelyn\'{e}l kisebb 
\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} 
halmazt nem tudunk \'{e}szrevenni. Ekkor, ha $n$ olyan nagy, hogy
$$r^n \frac{1}{1-r} |{\cal B} |<\epsilon , \hspace{30mm} r=\max\{r_i \;\; \xN\} $$
akkor az $n+1$-ik elemt\H{o}l kezdve a 
$$\xxWb$$
sorozat elemei nem k\"{u}l\"{o}nb\"{o}ztethet\H{o}k meg egym\'{a}st\'{o}l 
\'{e}s igy az IFS attraktor\'{a}t\'{o}l, az $\cal A$-t\'{o}l sem.\\
\\  
{\Large F. 5.7} \ \  Meddig kell elmenni a {\em 3.3 \'{a}br\'{a}n}
l\'{a}that\'{o} sorozatban, hogy az 0.1 pontoss\'{a}ggal
 k\"{o}zelitse meg az $\cal A$ hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ket? ($b=0.2, a=0.6$)

Ezt a hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ket {\sf csill\'{a}rnak} fogjuk nevezni.\\
 \\
{\Large F. 5.8} \ \  Meddig kell elmenni az {\em 1.6a-c \'{a}br\'{a}n}
l\'{a}that\'{o} sorozatban, hogy az 0.1 pontoss\'{a}ggal
 k\"{o}zelitse meg az $\cal A$ hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ket?\\
\\
{\Large F. 5.9} \ \  Tekints\"{u}k a k\"{o}vetkez\H{o} szerkeszt\'{e}st:
({\em 5.1 \'{a}bra})

${\cal P}_0$ a n\'{e}gyzet {\em bekarik\'{a}zott} sarokpontjaib\'{o}l \'{a}ll\'{o} halmaz. A ${\cal P}_1$ halmazt
\'{u}gy kapjuk, hogy a ${\cal P}_0$ (line\'{a}risan) fel\'{e}re kicsinyitett
k\'{e}p\'{e}t az {\sf A, B, C} n\'{e}gyzetekbe toljuk \'{e}s az igy kapott halmazokat egyesitj\"{u}k.

A ${\cal P}_n$ halmazb\'{o}l ugyanigy kapjuk a k\"{o}vetkez\H{o}, ${\cal P}_{n+1}$ halmazt. Vagyis  a ${\cal P}_n$ (line\'{a}risan) fel\'{e}re kicsinyitett
k\'{e}p\'{e}t az {\sf A, B, C} n\'{e}gyzetekbe toljuk \'{e}s az igy kapott halmazokat egyesitj\"{u}k.
 
 Mi lesz a  $\{{\cal P}_n ;  \;\;  n=1,2,\dots\}$ sorozat hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke?\\

 Mi lesz a  $\{{\cal P}_n ;  \;\;  n=1,2,\dots\}$ sorozat hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke, ha a negyedik n\'{e}gyzetet is "belevonjuk 
a j\'{a}t\'{e}kba"? (El\H{o}sz\"{o}r fogalmazzuk meg pontosan, mit jelent itt: "belevonjuk a j\'{a}t\'{e}kba")\\
 \\    
{\Large F. 5.10} \  \  A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get el\H{o}\'{a}ll\'{\i}t\'{o} IFS-ben cs\"{o}kkents\"{u}k az el\H{o}\'{a}ll\'{\i}t\'{o}
f\"{u}ggv\'{e}nyek kontraktivit\'{a}si t\'{e}nyez\H{o}it. Vagyis a\\
\\
$\left( \begin{array}{cc}  0.5 & 0 \\ 0 &  0.5 \end{array}\right)\left$ helyett legyen 
$\left( \begin{array}{cc}  r & 0 \\ 0 &  r \end{array}\right)\left$ 
amikor $0<r<0.5$.

Adjuk meg az invari\'{a}ns halmazt amikor $r=0.45$

Vizsg\'{a}ljuk meg, hogyan alakul az invari\'{a}ns halmaz, ha $r\rightarrow 0$. \\
\\
{\Large F. 5.11} \  \  A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get el\H{o}\'{a}ll\'{\i}t\'{o} IFS-ben n\"{o}velj\"{u}k az eltol\'{a}s m\'{e}rt\'{e}k\'{e}t. Vagyis\\
\\
 $\left(\begin{array} {c} 0.5a \\ 0 \end{array}\right)$ \'{e}s  $\left(\begin{array} {c} 0 \\ 0.5a \end{array}\right)$ helyett legyen
$\left(\begin{array} {c} \lambda a \\ 0 \end{array}\right)$ \'{e}s  \left(\begin{array} {c} 0 \\ \lambda a \end{array}\right)$
ahol $\lambda >0.5. 

Adjuk meg az invari\'{a}ns halmazt amikor $\lambda =1$

Vizsg\'{a}ljuk meg, hogyan alakul az invari\'{a}ns halmaz, ha $\lambda\rightarrow\infty $. \\
\\
{\Large F. 5.12} \ Igazoljuk, hogy a {\large 3.1}-ben megadott IFS-nek
van attraktora .\\ 
\\
 {\Large F. 5.13} \  Ha (5.1) teljes\"{u}l, vagyis  $$\xxWb$$ egym\'{a}sba skatuly\'{a}zott halmazok sorozata, akkor az $\cal A$ 
konstrukci\'{o}ja {\em szeml\'{e}letesebb} is mint minden m\'{a}s esetben. Ekkor 
{\sf k\'{\i}v\"{u}lr\H{o}l} k\"{o}zel\'{\i}tj\"{u}k meg az ${\cal A}$ 
invari\'{a}ns halmazt, m\'{e}gpedig \'{u}gy hogy a $\{W^{[n]} ({\cal B})
; \ \n=1,2,\ldots \}$ sorozat egyre t\"{o}bb \'{e}s egyre kisebb \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}
halmazt produk\'{a}l, amelyek az ${\cal A}$ halmazt
egyre "szorosabban" lefedik ({\em 5.2 \'{a}bra}). Ez lehet egy szeml\'{e}letes k\'{e}pe annak, hogy
$${\cal A}=\bigcap_{n=1}^\infty  W^{[n]}({\cal B}).$$
Ezt \'{u}gy is felfoghatjuk,
hogy a ${\cal B}$ k\'{\i}ndul\'{o} halmazb\'{o}l egyre finomabb darabokat 
elt\'{a}vol\'{\i}tva alakul ki a ${\cal A}$.\\
\\
{\Large F. 5.14} \  Adjunk meg egy olyan iter\'{a}lt f\"{u}ggv\'{e}nyrendszert, amelyben az
                                                    $$W^{[n]}({\cal B}); \; n=1,2,\dots$$
 sorozat els\H{o} h\'{a}rom eleme a {\em 3.4 \'{a}br\'{a}n} l\'{a}thatjuk.                                                   

  Ez a sorozat a csill\'{a}r egy gazdagabb v\'{a}ltozat\'{a}t  fogja  el\H{o}\'{a}ll\'{\i}tani.\\
\\{\Large F. 5.15} \   Igazoljuk, hogy a {\em 3.5 \'{a}bra} sorozata konvergens\'{e}s ugyanazt a fa\'{a}gat \'{a}ll\'{\i}tja el\H{o}, mint az {\em 1.6 \'{a}bra}
sorozata.\\
\\
{\Large F. 5.16} \  A $\{W^{[n]} ({\cal C}); \ \  n=1,2, \ldots \}$ sorozattal
	 {\sf bel\"{u}lr\H{o}l} \'{e}p\'{\i}tkez\"{u}nk ha olyan  $ {\cal
C}=\{c_i ; \ \  i=1,2, \ldots ,N \}$ halmazb\'{o}l indulunk ki,
amelyre
$$F_i(c_i)=c_i; \;\; \; i=1,2,\dots , N.$$
(Ekkor a $c_i$-t az $F_i$ {\em fixpontj\'{a}nak} nevezz\"{u}k.) Ebben az 
esetben
$$      c_i \xxe {\cal A}  \ \ \ \hbox{\'{e}s} \ \ \       W({\cal C})\supset  {\cal C} \leqno{(5.4)} $$
 amib\H{o}l 
$$        W^{[n+1]} ({\cal C}) \supset  W^{[n]} ({\cal C}) 
$$
\'{e}s a $\{W^{[n]} ({\cal C}); \ \  n=1,2, \ldots \}$ sorozat a
legfeljebb $N$ pontb\'{o}l
\'{a}ll\'{o} ${\cal C}$ halmazb\'{o}l
k\'{\i}ndulva az ${\cal A}$-b\'{o}l egyre t\"{o}bb pontot \'{a}ll\'{\i}t el\H{o},
hiszen (5.4) mellett m\'{e}g
$$     W^{[n]}  ({\cal C}) \subset   {\cal A}  $$
(ugyanis ${\cal C} \subset  {\cal A} \xxhat  W({\cal C}) \subset  W({\cal A})={\cal A} \xxhat  W^{[n]} ({\cal C}) \subset  {\cal A})$. \\

Az {\em 4.10  \'{a}bra} a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g \'{e}s az {\em 5.3 \'{a}bra} a
Koch g\"{o}rbe 
egy ilyen "bel\"{u}lr\H{o}l" k\"{o}zelit\'{e}s\'{e}t mutatja.
Ez az elj\'{a}r\'{a}s gyorsabb az $\cal A$ el\H{o}\'{a}llit\'{a}s\'{a}ra, mint az el\H{o}z\H{o}  "kiv\"{u}lr\H{o}l" k\"{o}zelit\'{e}s.\\
MEGJEGYZ\'{E}S. A Koch g\"{o}rb\'{e}t el\H{o}\'{a}llit\'{o} IFS-ben csak az $F_2$ \'{e}s
 $F_4$ f\"{u}ggv\'{e}nyeknek van (val\'{o}s) fixpontjuk.\\
\\ 
{\Large F. 5.17} \  Igazoljuk az {\large F. 5.16} \'{a}llit\'{a}sait:  Ha
$$F_i(c_i)=c_i; \;\; \; i=1,2,\dots , N.$$
akkor $c_i\in{\cal A}$; \'{e}s $  W({\cal C})\supset  {\cal C}$.\\
  \\    
{\Large F. 5.18} \ Legyen ${\cal K}_0$ egy (r\"{o}gz\'{\i}tett�kompakt halmaz \'{e}s
$$I({\cal B})={\cal K}_0 \;\; \;\; \;\;  W_*=W\cup I$$
 Igazoljuk, hogy a $W_*$ invari\'{a}ns halmaza
 $$\bigcup_{n=0}^\infty W^{[n]}({\cal K}_0)$$
 Mi a kapcsolat a  $W$ \'{e}s a $W_*$ \   IFS k\"{o}z\"{o}tt?\\
 \\ 
   \vspace{10mm}\\
{\bf\Large \"{O}nhasonl\'{o} halmazok} \\
\\  \\
{\Large 6.1}

{\large\bf IFS modell \'{e}s \"{o}nhasonl\'{o}s\'{a}g}\\ 

Azokat a halmazokat, amelyeket az IFS modellel el\H{o}\'{a}llitottunk 
\'{a}ltal\'{a}ban az jellemzi, hogy bonyolult szerkezet\H{u}ek 
({\em complex structure}) viszont nagyon kev\'{e}s, $N\times 6$ adattal 
meghat\'{a}rozhat\'{o}k \'{e}s igen egyszer\H{u} szab\'{a}ly ism\'{e}tl\'{e}s\'{e}vel gyorsan el\H{o}\'{a}llithat\'{o}k.

 Bonyolult szerkezet alatt {\em itt} azt \'{e}rtj\"{u}k, hogy nagyit\'{a}skor
egyre t\"{o}bb r\'{e}szlet v\'{a}lik l\'{a}that\'{o}v\'{a}. Ezt a jelens\'{e}get \'{u}gy is megfogalmazhatjuk, hogy
ezek a halmazok {\em hat\'{a}rtalanul nagyithat\'{o}k}. A legegyszer\H{u}bb hat\'{a}rtalanul nagyithat\'{o}
 halmazok az \"{o}nhasonl\'{o} halmazok.\\
\\
{\bf T\'{e}tel.}  \  Ha $\cal A$ az $\Fi$ \lek ekkel (f\"{u}ggv\'{e}nyekkel) meghat\'{a}rozott IFS invari\'{a}ns halmaza, vagyis
$ W^{[n]}({\cal B})\rightarrow {\cal A}$
akkor
 $$W({\cal A})={\cal A}. \leqno{(6.1)}$$ 
\\
{\bf Bizony\'{\i}t\'{a}s.} \  Ekkor 
$$ W^{[n+1]}({\cal B})\rightarrow {\cal A} \leqno{(6.2)}$$
hiszen a r\'{e}szsorozat ugyanoda tart. M\'{a}sr\'{e}szt, 
$$ W^{[n+1]}({\cal B})\rightarrow W({\cal A}) \leqno{(6.3)}$$
mivel $ W^{[n+1]}({\cal B})=W\circ  W^{[n]}({\cal B})$ \'{e}s $W$ folytonos (mivel kontraktiv). A (6.2) \'{e}s (6.3) \"{o}sszehasonlit\'{a}s\'{a}b\'{o}l 
k\"{o}vetkezik  (6.1). \\

 A (6.1) \"{o}sszef\"{u}gg\'{e}s a h\'{a}ttere annak, hogy az ${\cal A}$ attraktort az IFS {\em invari\'{a}ns halmaz\'{a}nak}
 is nevezz\"{u}k. \\

A (6.1) r\'{e}szletesen ki\'{\i}rva 
$${\cal A}={\xU ({\cal A})}\leqno{(OH)}$$
ami \has ek eset\'{e}n azt jelenti, hogy az $\cal A$ halmaz,az $\cal A$ ar\'{a}nyosan 
ki\-csiny\'{\i}tett m\'{a}solataib\'{o}l van \"{o}sszerakva. Pontosabban, 
\begin{center}
{\em az $\cal A$ halmaz az $\cal A$-val hasonl\'{o} halmazok uni\'{o}ja}.
\end{center}
P\'{e}ld\'{a}ul a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g  h\'{a}rom, a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}ggel hasonl\'{o}, halmaz uni\'{o}ja mindegyik line\'{a}ris
m\'{e}rete fele akkora, mint a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g.  A r\'{e}szek ar\'{a}nyoss\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}i egym\'{a}st\'{o}l 
k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o}k is lehetnek.  P\'{e}ld\'{a}ul, a {\em 3.3 \'{a}bra} \"{o}nhasonl\'{o} halmaza, amit 
{\sf csill\'{a}rnak} nevez\"{u}nk, \"{o}t vele hasonl\'{o} halmaz uni\'{o}ja, {\em k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o}}
hasonl\'{o}s\'{a}gi  t\'{e}nyez\H{o}kkel: $r_1=0.5, \; r_i=0.25 \; (i=2,3,4)$ .\\

Legyenek  $\{F_i ; \ \ i=1,2,\ldots,N\}$  kontraktiv hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}sek. Ekkor az (OH) egyenl\H{o}s\'{e}get kiel\'{e}git\H{o} 
${\cal A}$ halmazt {\sf \"{o}nhasonl\'{o}nak} ({\em self-similar}) nevezz\"{u}k.\\

Minden IFS-hez pontosan egy invari\'{a}ns halmaz tartozik. Legyen  a $W$ kontraktiv,
$$h[W({\cal A}), W({\cal B})]\leq r\cplot h[{\cal A},{\cal B}] \;\;  \; \;  0<r<1 \leqno{(6.4)} $$
\'{e}s
 $$W({\cal A})={\cal A} \;\; \;\;  \'{e}s   \;\;   \;\;  W({\cal B})={\cal B}.\leqno{(6.5)}$$   
  A (6.4) \'{e}s (6.5) \"{o}sszehasonlit\'{a}s\'{a}b\'{o}l
$$ h[{\cal A},{\cal B}]\leq r\cplot h[{\cal A},{\cal B}]$$
ami  csak $ h[{\cal A},{\cal B}]=0$   esetben \'{a}llhat fenn \'{e}s \'{\i}gy  ${\cal A}={\cal B}$.\\
\\     \\
{\Large 6.2}

{\large\bf Hat\'{a}rtalanul nagy\'{\i}that\'{o}k}
\\

Ha t\"{u}zetesebben megszeml\'{e}lj\"{u}k az \"{o}nhasonl\'{o} halmazokat, akkor nagyon kis \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u},
az $\cal A$-val hasonl\'{o} halmazok l\'{e}gi\'{o}j\'{a}t fedezhetj\"{u}k fel benn\"{u}k.

Tekints\"{u}k p\'{e}ld\'{a}ul a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}get. A bevezet\H{o} p\'{e}ld\'{a}kban m\'{a}r meg\'{a}llapitottuk,
 hogy az h\'{a}rom, fele\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g uni\'{o}ja. \'{A}m a  fele\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} 
Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gek  mindegyik\'{e}re is fenn\'{a}ll ez. Igy az eredeti Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g el\H{o}\'{a}ll
kilenc negyedakkora \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u} Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g uni\'{o}jak\'{e}nt. 

Tov\'{a}bbfolytatva ezt a gondolatmenetet (teljes indukci\'{o}val) bel\'{a}that\'{o}, hogy minden pozitiv eg\'{e}sz $n$-re,
a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g $3^n$ olyan Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g uni\'{o}ja, amelyek mindegyik\'{e}nek az \'{a}tm\'{e}r\H{o}je
az eredeti Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g $\frac{1}{2^n}$-ed r\'{e}sze. 

A v\'{a}zolt gondolatmenetb\H{o}l {\em t\"{o}bb} is k\"{o}vetkezik, mint amit szeml\'{e}letb\H{o}l meg\'{a}llapithatunk. A 
Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gben {\em tetsz\H{o}legesen kis \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}}} Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gek vannak \'{e}s
ezek uni\'{o}jak\'{e}nt is el\H{o}\'{a}ll a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g.

Ugyanez mondhat\'{o} minden \"{o}nhasonl\'{o} halmazr\'{o}l, csup\'{a}n az ar\'{a}nyoss\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}k lesznek m\'{a}sok.
 P\'{e}ld\'{a}ul, a Koch g\"{o}rb\'{e}n\'{e}l 
az \'{a}tm\'{e}r\H{o}k a felez\'{e}sek helyett harmadakkor\'{a}k lesznek \'{e}s mindig n\'{e}gy kisebb Koch g\"{o}rbe adja a nagyobbikat.
 A csill\'{a}rn\'{a}l
felv\'{a}ltva $0.25$ \'{e}s $0.5$  ar\'{a}nyoss\'{a}gi t\'{e}nyez\H{o}ket alkalmazunk.\\

{\LARGE\bf **}\\
A matematika nyelv\'{e}n, formul\'{a}kkal ez a gondolatmenet \'{\i}gy \'{\i}rhat\'{o} le. Az \"{o}nhasonl\'{o}s\'{a}g definici\'{o}j\'{a}t ad\'{o} 
(6.4) jobboldal\'{a}n \'{a}ll\'{o} formul\'{a}t $\cal A$-ba helyettesitve 
$${\cal A}=  \bigcup_{i=1}^N  F_i (\bigcup_{j=1}^N  F_j ({\cal A})) =
\bigcup_{i=1}^N \bigcup_{j=1}^N  F_i \xxq F_j ({\cal A})\leqno{(6.6)} $$   
 Ezzel az eredeti $N$ helyett, az ${\cal A}$-val hasonl\'{o} $N^2$  
 r\'{e}szre bontottuk az ${\cal A}$ halmazt. 
(A {\em 6.1 \'{a}br\'{a}n} szeml\'{e}ltetj\"{u}k ezt a l\'{e}p\'{e}st amikor $\cal A$ a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g).  
	
 Megism\'{e}telve ugyanezt a (6.6) formul\'{a}val,   a (6.6) jobboldal\'{a}n az $\cal A$ hely\'{e}be \'{u}jra behelyettesitve az \"{o}nhasonl\'{o}s\'{a}g 
  (OH) formul\'{a}j\'{a}t	
$$ {\cal A} =  \bigcup_{j=1}^N \bigcup_{i=1}^N  F_j \xxq F_i 
(\bigcup_{k=1}^N F_k({\cal A})) = 
  \bigcup_{k=1}^N \bigcup_{j=1}^N \bigcup_{i=1}^N
 F_k \xxq F_j \xxq F_i ({\cal A}) \: . $$
	 Ezzel az eredeti $N$ helyett, az ${\cal A}$-val hasonl\'{o} $N^3$  
	 r\'{e}szre bontottuk az ${\cal A}$ halmazt. 
 
	 Ujra meg ujra alkalmazva ezt az elj\'{a}r\'{a}st
$$  {\cal A} =\bigcup_\sigma  F_{\sigma1} \xxq  \ldots \xxq F_{\sigma n} ({\cal A}); \ \ \
\sigma_i \xxe \{1,2, \ldots,K\}\leqno{(6.7)}$$
{\LARGE\bf **}\\
\\ 
{\em A (6.7) formula a k\"{o}vetkez\H{o}ket jelenti: Az $\Fi$ f\"{u}ggv\'{e}nyekb\H{o}l 
megalkotjuk az \"{o}sszes $n$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} kompozici\'{o}t majd az igy kapott
($N^n$ sz\'{a}m\'{u}) f\"{u}ggv\'{e}nynek vessz\"{u}k az uni\'{o}j\'{a}t. Ilym\'{o}don is el\H{o} tudjuk \'{a}llitani az
$\cal A$-t.}\\  

Mekkora az ${\cal A}$ halmaz \'{\i}gy kapott
$$     F_{\sigma1} \xxq  \ldots \xxq F_{\sigma n} ({\cal A}); \ \ \
\sigma_i \xxe \{1,2, \ldots,K\}.$$
	r\'{e}szeinek az \'{a}tm\'{e}r\H{o}je?

	 Egy ${\cal H}$ {\sf halmaz \'{a}tm\'{e}r\H{o}je}  a $\{d[x,y];  \
\ x,y\xxe {\cal H}\}$ sz\'{a}mhalmaz maximuma. Ez
eset\"{u}nkben annak a k\'{e}t $\cal H$-beli pontnak a t\'{a}vols\'{a}ga,
amelyek a legt\'{a}volabb vannak egym\'{a}st\'{o}l.

	 Ha $F$ egy hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s $r$ hasonl\'{o}s\'{a}gi
t\'{e}nyez\H{o}vel, akkor
az $F({\cal A})$ halmaz \'{a}tm\'{e}r\H{o}je az ${\cal A}$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\'{e}nek
$r$-szerese. Ezt alkalmazva
azt kapjuk, hogy az  $F_{\sigma 1} \xxq  \ldots \xxq F_{\sigma n}  ({\cal A})$
\'{a}tm\'{e}r\H{o}je az ${\cal A}$ \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\'{e}nek
$r_{\sigma 1}  \ldots r_{\sigma n}$-szerese \'{e}s mivel  $0<r_{\sigma i} <1$,
ez\'{e}rt $F_{\sigma 1} \xxq \ldots \xxq F_{\sigma n} ({\cal A})$
\'{a}tm\'{e}r\H{o}je
tetsz\H{o}legesen kicsi lesz ha $n$ el\'{e}g nagy. (Pontosabban,
 b\'{a}rmilyen
$\varepsilon >0$ sz\'{a}mot adunk meg, van olyan $N$, hogy az
$$ F_{\sigma 1} \xxq \ldots \xxq F_{\sigma n} ({\cal A}); \ \sigma_i \xxe
\{1,2, \ldots ,K\} $$
r\'{e}szek mindegyik\'{e}nek \'{a}tm\'{e}r\H{o}je kisebb mint $ \varepsilon$
ha $n>N$.)\\

A k\"{o}vetkez\H{o} eredm\'{e}nyt kaptuk

{\em Egy \"{o}nhasonl\'{o} $\cal A$ {\em tetsz\H{o}legesen kis \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}}, $\cal A$-val hasonl\'{o} (6.7) halmazok
 uni\'{o}jak\'{e}nt is el\H{o}\'{a}llithat\'{o}.}\\
\\
MEGJEGYZ\'{E}S. Ha az egym\'{a}st k\"{o}vet\H{o} r\'{e}szekre bont\'{a}sokat (a (6.6)- (6.7) formul\'{a}kban az egym\'{a}st
 k\"{o}vet\H{o} helyettesit\'{e}seket) csak r\'{e}szben hajtjuk v\'{e}gre, akkor k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} m\'{e}ret\H{u} az $\cal A$-val
hasonl\'{o} r\'{e}szekre bontottuk $\cal A$-t. A frakt\'{a}lelm\'{e}let tov\'{a}bbi boncolgat\'{a}s\'{a}hoz az azonos \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}
halmazokra bont\'{a}s lesz az \'{e}rdekes.\\
\\
{\LARGE\bf **}\\
A {\large 6.1}-ben megmutattuk, hogy ha $\Fi$ \xha ek, akkor az IFS modellel el\H{o}\'{a}ll�ott halmazok \"{o}nhasonl\'{o}k. Ennek a megford\'{\i}t\'{a}sa 
is igaz: {\em minden \"{o}nhasonl\'{o} halmazt IFS modellel \'{a}llithatunk el\H{o}.}\\
\\
{\large\bf T\'{e}tel.} Ha egy $\cal A$ halmaz \"{o}nhasonl\'{o}, vagyis van kontrakt\'{i}v $\Fi$, amelyre
$${\cal A}={\xU ({\cal A})}\leqno{(OH)}$$
akkor b\'{a}rmely $\cal B$ halmazra
$$W^{[n]}({\cal B})\rightarrow {\cal A}$$
ahol  $W=\xU$.\\
\\
{\large\bf Bizony\'{i}t\'{a}s.}  Mivel $\Fi$ kontraktiv \lek ek, ez\'{e}rt van olyan kompakt halmaz, legyen ez $\cal C$,
amelyre $ W^{[n]}({\cal B})\rightarrow {\cal C}$ \'{e}s a $\cal C$ f\"{u}ggetlen $\cal B$-t\H{o}l. \'{A}m a {\large 6.1}-ben  mondottak
alapj\'{a}n, ekkor  $\cal C$ a $W$ invari\'{a}ns halmaza \'{e}s   minden $W$-nek pontosan egy invari\'{a}ns halmaza van.  Ez\'{e}rt  ${\cal C}={\cal A}$.\\
{\LARGE\bf **}\\
\\     \\
{\Large 6.3}

{\large\bf Az IFS modell egy k\'{e}pt\"{o}m\"{o}rit\'{e}si elj\'{a}r\'{a}s}
\\

Megismerkedt\"{u}nk az \"{o}nhasonl\'{o}s\'{a}ggal \'{e}s megmutattuk azt, hogy az \"{o}nhasonl\'{o} halmazok pontosan azok, amelyek az IFS modellel 
el\H{o}\'{a}llithat\'{o}k {\em hasonl\'{o}s\'{a}gi} $\Fi$ \lek sel. Meg\'{a}llapitottuk, hogy az \"{o}nhasonl\'{o} halmazok karakterisztikus 
tulajdons\'{a}ga, hogy {\em tetsz\H{o}legesen kis} \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}, az $\cal A$-val hasonl\'{o} halmazok uni\'{o}jak\'{e}nt 
el\Ho\'{a}llithat\'{o}k.
Ez a tulajdons\'{a}g  szeml\'{e}letesen azt jelenti, hogy nagy\'{\i}t\'{a}skor egyre t\"{o}bb, az $\cal A$-val hasonl\'{o} r\'{e}szlet
bukkan fel a halmazban.  Ezt a jelens\'{e}get \'{u}gy is szokt\'{a}k kifejezni, hogy $\cal A$ {\sf hat\'{a}rtalanul nagyithat\'{o}}.
Ezzel a tulajdons\'{a}ggal rendelkeznek az eddig  megismert  \"{o}nhasonl\'{o} halmazok:

{\em Cantor halmaz ({\em 1.3 \'{a}bra)}, Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g {\em (1.4 \'{a}bra)}, Koch g\"{o}rbe {\em (1.5 \'{a}br\'{a}k)},
fa\'{a}g {\em (1.6 \'{a}br\'{a}k)}, n\'{e}gyzet(lap), h\'{a}romsz\"{o}g(lap)}.

Ezeket a jobb\'{a}ra bonyolult (komplex) szerkezet\H{u} halmazokat csup\'{a}n $N\times 6$ param\'{e}ter (sz\'{a}madat) hat\'{a}rozza meg. 
{\em  $N$  m\'{a}trixf\"{u}ggv\'{e}ny
az iter\'{a}ci\'{o}s szab\'{a}llyal, az $\cal A$ halmaz teljes leir\'{a}s\'{a}t adja.}  Ezzel   {\sf k\'{e}pt\"{o}m\"{o}rit\'{e}st} \'{e}r\"{u}nk el,
 mivel itt $N\times 6$ sz\'{a}madat meghat\'{a}roz  t\"{o}bbezer k\'{e}ppontot.
 
 R\'{e}szletesebben err\H{o}l a {\large 14. fejezetben} lesz sz\'{o}.\\
\\   \\  
{\Large 6.4}

{\large\bf \"{O}naffin halmazok}
\\

Vegy\"{u}k \'{e}szre, hogy a {\large 6.1-6.2}-ben mondottak minden IFS modellre \'{e}rv\'{e}nyesek, nemcsak azokra,
ahol $\Fi$ \has ek.  Ha $\Fi$ (NEM \"{o}nhasonl\'{o})  affin \lek ek, akkor az $\cal A$ halmazt {\sf \"{o}naffinnak} nevezz\"{u}k.
P\'{e}ld\'{a}ul a {\em fa} ({\em 6.2 \'{a}bra}) \'{e}s
 a {\em p\'{a}fr\'{a}ny} ({\em 6.3 \'{a}bra}) szemmell\'{a}that\'{o}an is  nem \"{o}nhasonl\'{o}. Ugyanis 
a {\em 6.2 \'{a}br\'{a}n} az $F_1$ az egys\'{e}gn\'{e}gyzetet a $(0.195, 0.344), \; (-0.488, 0.443)$
 vektorokkal adott parallelogramm\'{a}ba k\'{e}pezi le \'{e}s az $F_i;  \;\; (i=2,3,4,5)$ \lek ek is NEM n\'{e}gyzetbe, hanem egy \'{a}ltal\'{a}nos
  parallelogramm\'{a}bak\'{e}pezik le a n\'{e}gyzeteket.\\
  
  Vizsg\'{a}ljuk meg k\"{o}zelebbr\H{o}l a {\em 6.2 \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o}  f' at. A  {\sf fa} csupasz koron\'{a}j\'{a}ban sz\'{a}mtalan m\'{e}retben bukkan
  fel a fa affin k\'{e}pe. (Ugyanez \'{a}ll a fa t\"{o}rzs\'{e}re is, de itt az affin torzul\'{a}s olyan m\'{e}ret\H{u}, hogy ez szabad szemmel nem l\'{a}that\'{o}.)
  
  Ezt pontos\'{\i}tja a {\em 6.2B \'{a}bra}.  A keretekben a fa affin k\'{e}pei l\'{a}that\'{o}k, olyan torzul\'{a}sban, ahogyan a n\'{e}gyzetb\H{o}l a 
  keret\"{u}l szolg\'{a}l\'{o} parallelogramma lesz. Pontosabban, a matematika nyelv\'{e}n: 
  
  {\em az $i$-edik keretben l\'{a}that\'{o} k\'{e}pr\'{e}szlet $F_i({\cal A})$, amikor $\cal A$ a fa. }\\
  
  \"{O}naffin $\cal A$ halmazokra is \'{e}rv\'{e}nyes, hogy  nagyit\'{a}skor egyre t\"{o}bb, r\'{e}szlet bukkan fel a halmazban, ezek a r\'{e}szletek 
azonban nem hasonl\'{o}k $\cal A$-val, hanem olyan torzul\'{a}sokon mennek \'{a}t mint amikor a n\'{e}gyzetb\H{o}l valamilyen pralelogramma
 lesz.  Ez\'{e}rt egy \"{o}naffin halmaz sokkal v\'{a}ltozatosabb lehet, mint egy \"{o}nhasonl\'{o} halmaz.

Az \"{o}naffin halmazok is hat\'{a}rtalanul nagy\'{\i}that\'{o}k, hiszen nagy\'{\i}t\'{a}skor egyre t\"{o}bb r\'{e}szlet bukkan fel a halmazban.\\ 
\\
MEGJEGYZ\'{E}SEK.\begin{itemize}
\item 1. Vannak forr\'{a}sok, amelyek minden IFS invari\'{a}ns halmaz\'{a}t {\sf \"{o}nhasonl\'{o}nak} nevezik, f\"{u}ggetlen\"{u}l att\'{o}l,
hogy $\Fi$ \has ek vagy sem, hiszen b\'{a}rmely kontraktiv $\Fi$ mellett is t\"{o}bb\'{e}-kev\'{e}sb\'{e} \'{e}rv\'{e}nyesek a {\large 6.1-6.2}-ben leirt
 tulajdons\'{a}gok. Szok\'{a}sosabb terminol\'{o}gia a  $\cal A$ 
invari\'{a}ns halmaz}t {\sf \"{o}nhasonl\'{o} jelleg\H{u}nek} ({\em quasi self-similar}) nevezni, ha $\Fi$ NEM \has ek.
\item 2.  Vannak \"{o}nhasonl\'{o} halmazok, amelyekn\'{e}l nem l\'{a}tjuk a hat\'{a}rtalan nagyithat\'{o}s\'{a}g jelens\'{e}g\'{e}t. Ilyen 
 p\'{e}ld\'{a}ul egy n\'{e}gyzet vagy h\'{a}romsz\"{o}glap.\\

\end{itemize}
\\     \\
{\Large 6.5}

{\large\bf El\H{o}\'{a}ll\'{\i}that\'{o}k-e \"{o}nhasonl\'{o} halmazok?}
\\

 A mondottak alapj\'{a}n  \'{a}ltal\'{a}ban  NEM, mivel {\em tetsz\H{o}legesen kicsi 
\'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}} halmaz sem \'{a}llithat\'{o} el\H{o}. Ennek hat\'{a}rt szab a k\'{e}perny\H{o} vagy m\'{a}s megjelenit\H{o} eszk\"{o}z
felbont\'{o}k\'{e}pess\'{e}ge. Igy  \"{o}nhasonl\'{o} halmazok csak tetsz\H{o}leges pontoss\'{a}ggal hozhat\'{o}k l\'{e}tre
(\'{a}ll\'{\i}that\'{o}k el\H{o}).  

Viszont az IFS attraktorok \"{o}nhasonl\'{o}nak {\em l\'{a}tszanak}. Mit jelent ez? 

A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g sz\"{u}rk\'{e}vel fedett r\'{e}sze az {\em 1.3 \'{a}br\'{a}n}  (line\'{a}risan)
 fel\'{e}re kicsiny\'{\i}tett m\'{a}sa a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gnek. Az  {\em 1.5 \'{a}br\'{a}n},  a Koch g\"{o}rb\'{e}k  sz\"{u}rk\'{e}vel fedett r\'{e}szei
a Koch g\"{o}rb\'{e}vel hasonl\'{o} halmazok. Ugyanez \'{a}ll az {\em 1.6 \'{a}br\'{a}n} a fa\'{a}g sz\"{u}rk\'{e}vel fedett r\'{e}szeire is.

  Alaposabban megfigyelve ezeket az \'{a}br\'{a}kat azonban \'{e}szre
vehetj\"{u}k hogy ez nem eg\'{e}szen \'{\i}gy van. A Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}g  sz\"{u}rke r\'{e}sz\'{e}ben kevesebb h\'{a}romsz\"{o}get
 sz\'{a}molhatunk \"{o}sssze, mint
mag\'{a}ban a Sierpinski h\'{a}romsz\"{o}gben \'{e}s a Koch g\"{o}rbe meg a 
csill\'{a}r bekeretezett r\'{e}szei sem az eg\'{e}sz $\cal A$ halmaz 
{\em pontos} kicsinyitett m\'{a}sai. A felbonthat\'{o}s\'{a}g korl\'{a}tai miatt {\it a kicsiny\'{\i}tett
r\'{e}szen bizonyos r\'{e}szletek elt\"{u}ntek.}

Az elmondottak alapj\'{a}n   \"{o}nhasonl\'{o} halmazok nem l\'{e}teznek a {\em val\'{o}s\'{a}gban},  hanem az  \"{o}nhasonl\'{o} halmaz csup\'{a}n egy matematikai 
modell, amely  tetsz\H{o}leges pontoss\'{a}ggal megk\"{o}zelithet\H{o}.
 M\'{e}gis {\em szeml\'{e}ltethetj\"{u}k} ezt a k\"{o}vetkez\H{o} sz\'{a}mit\'{o}g\'{e}pes kis\'{e}rlettel.

Menj\"{u}nk el az \"{o}nhasonl\'{o} (vagy \"{o}naffin) ${\cal A}$-t el\H{o}\'{a}llit\'{o} $\xxWb$ sorozatban \'{e}ppen addig hogy az egym\'{a}sut\'{a}n 
k\"{o}vetkez\H{o} \'{a}br\'{a}k m\'{a}r ne legyenek megk\"{u}l\"{o}nb\"{o}ztethet\H{o}k
egym\'{a}st\'{o}l. Ezut\'{a}n nagyitsuk az \'{a}br\'{a}t \'{u}gy, hogy k\"{o}zben az 
iter\'{a}ci\'{o}t is folytatjuk. Ha e k\'{e}t m\H{u}velet szinkronban van,
akkor a felnagyitott \'{a}br\'{a}kat egyform\'{a}n r\'{e}szletd\'{u}snak l\'{a}tjuk,
ellent\'{e}tben egy papirf\'{e}nyk\'{e}p nagyit\'{a}s\'{a}val, ahol a nagyit\'{a}s
 sor\'{a}n a r\'{e}szletek elveszni l\'{a}tszanak. A kis\'{e}rlet sor\'{a}n azt fogjuk l\'{a}tni, hogy a nagyit\'{a}skor
az \'{a}bra ujabb \'{e}s ujabb r\'{e}szletei bukkannak fel. Vagyis m\'{e}gis l\'{a}tni fogjuk az {\large 6.1-6.2}-ben leirt
 tulajdons\'{a}gokat.\\
\\ \\
\vspace{10mm}\\

{\Large Az IFS modell m\H{u}k\"{o}d\'{e}s\'{e}nek numerikus felt\'{e}telei}\\
\\   \\
{\bf\Large 7.1}

A k\"{o}vetkez\H{o}kben azt fogjuk megmutatni, hogyan lehet egy numerikus vizsg\'{a}lattal eld\"{o}nteni hogy egy $F: R^n\rightarrow R^n$ \lek \  
  ($n=1,2,3$) alkalmas-e az IFS konstrukci\'{o}ra? 

Legyen $F$ egy affin \lek . Ekkor
$$d[F(x), F(y)]=|Ax+b-(Ay+b)|=|Az| \;\; \;\; (z=x-y).$$
Ez\'{e}rt az affin $F$ f\"{u}ggv\'{e}ny pontosan akkor kontrakt\'{i}v, ha
$$|Az|\leq r.|z| \;\; \;\;(r<1)$$
minden $z\in R^n$ vektorra. Ez a felt\'{e}tel \'{i}gy is \'{i}rhat\'{o}
$$\max\frac{|Az|}{|z|}\leq r.$$
\\
{\large\bf Defin\'{i}ci\'{o}} \ Az $A$ m\'{a}trix {\sf norm\'{a}ja}
$$\|A\|=\max\frac{|Az|}{|z|} \;\, \;\; z\in R^n .$$

Minden m\'{a}trixnak van norm\'{a}ja \'{e}s l\'{e}nyeg\'{e}ben azt mutatja, hogy az egys\'{e}gg\"{o}mb pontjait  milyen \'{a}tm\'{e}r\H{o}j\H{u}
halmazba viszi a $z\rightarrow Az$ m\'{a}trixszorz\'{a}s (F 7.14). \'{I}gy a m\'{a}trix norm\'{a}j\'{a}t, {\em a m\'{a}trix nagys\'{a}g\'{a}nak}
tekinthetj\"{u}k.

A defin\'{i}ci\'{o} nem alkalmas egy m\'{a}trix norm\'{a}j\'{a}nak kisz\'{a}m\'{i}t\'{a}s\'{a}ra 's \'{i}gy a kontraktivit\'{a}s kimutat\'{a}s\'{a}ra sem. Szok\'{a}sos 
az affin \lek \ kontraktivit\'{a}s\'{a}t az {\bf A} matrix saj\'{a}t\'{e}rt\'{e}keivel 
 kifejezni. Ha az {\bf A} m\'{a}trixnak van olyan $\lambda$ 
saj\'{a}t\'{e}rt\'{e}ke, amelyre $\mid \lambda \mid\geq 1$, akkor az $F$ 
NEM kontraktiv (mi\'{e}rt?).
A line\'{a}ris algebra egyik alapvet\H{o} eredm\'{e}nye, hogy ha {\bf A} minden $\lambda$ saj\'{a}t\'{e}rt\'{e}k\'{e}re
   $$\mid\lambda\mid <1$$
   akkor  az $A$ m\'{a}trixnak van olyan hatv\'{a}nya, amellyel val\'{o} szorz\'{a}s egy kontrakt\'{\i}v \lek t ad
   vagyis van olyan $n$ amelyre
   $$\|A^n\|<1.$$
    Ebb\H{o}l k\"{o}vetkezik, hogy az
   $$F(x)=Ax+b \;\; \;\; x\in R^n$$
   affin f\"{u}ggv\'{e}ny alkalmas az IFS konstrukci\'{o}ra.
 
Viszon a legnagyobb saj\'{a}t\'{e}rt\'{e}k kisz\'{a}m\'{\i}t\'{a}sa  sem egyszer\H{u} feladat (k\"{u}l\"{o}n\"{o}sen nem  az  $n>3$ esetben).\\
  
A k\"{o}vetkez\H{o}kben az  \  $F^{[n]}(x);  \;\;  n=1,2,\dots \}$ \  sorozat konvergenci\'{a}janak egy olyan 
felt\'{e}tel\'{e}t fogjuk megadni, amelynek meghat\'{a}roz\'{a}sa
 {\em egyszer\H{u}bb} a legnagyobb saj\'{a}t\'{e}rt\'{e}k 
kisz\'{a}mit\'{a}s\'{a}n\'{a}l \'{e}s ennek a felt\'{e}telnek az {\em indokol\'{a}sa} is nagyon egyszer\H{u}.\\  
\\    \\
{\bf\Large 7.2}

A line\'{a}ris algebr\'{a}ban t\"{o}bbf\'{e}le t\'{a}vols\'{a}ggal ismerkedhet\"{u}nk meg. Ezek k\"{o}z\"{u}l a legegyszer\H{u}bben  sz\'{a}mithat\'{o} a 
{\sf maximum {\rm (max.)} t\'{a}vols\'{a}g}
 $$d_\infty(x,y)=\max\{ \mid x_i - y_i \mid\ \;\;\; i=1,2,\dots n\}\leqno{(7.1)} $$
ahol $x_i$ az $x$ \'{e}s $y_i$ az $y$ $i$-edik koordin\'{a}t\'{a}ja.
Speci\'{a}lisan, ha $n=2$ akkor
$$d_\infty(x,y)=\max\{ \mid x_1 - y_1 \mid , \mid x_2 - y_2 \mid\}$$
({\em 7.2\'{a}bra}).\\

A $d_\infty(x,y)$ \'{e}rt\'{e}ket k\'{e}t okb\'{o}l tekinthetj\"{u}k az $x$ \'{e}s $y$ t\'{a}vols\'{a}g\'{a}nak.
Az egyik az, hogy megegyezik a vizu\'{a}lis tapasztalattal. Ha az $x$ \'{e}s $y$ pont   $d_\infty$ t\'{a}vols\'{a}ga kicsi, akkor a k\'{e}t pont val\'{o}ban
k\"{o}zel van egym\'{a}shoz.  A m\'{a}sik ok az, hogy  $d_\infty$ kiel\'{e}g\'{\i}ti az u.n.{\sf  metrikus axi\'{o}m\'{a}kat}, vagyis a {\large 4.1 I.-\'{i}I}
alaptulajdons\'{a}gokat.\\

Meg fogunk adni egy k\"{o}nnyen sz\'{a}molhat\'{o} sz\"{u}ks\'{e}ges \'{e}s el\'{e}gs\'{e}ges felt\'{e}telt arra, hogy egy affin 
$F: R^n\rightarrow R^n$ f\"{u}ggv\'{e}nyre
 $$d_\infty [F(x), F(y)]\leq r.d_\infty [x,y] \hspace{15mm} 0<r<1\leqno{(7.2)}$$
 legyen. Vagyis, $F$ \xk \ legyen a $\max$ t\'{a}vols\'{a}gban.

A $d_\infty$ metrika invari\'{a}ns az eltol\'{a}sra, ami azt jelenti, hogy
$$d_\infty [x, y]=d_\infty [0, y-x].$$
Bevezetj\"{u}k a k\"{o}vetkez\H{o} jel\"{o}l\'{e}st
$$d_\infty[0, x]=\parallel x\parallel_\infty.$$
Ekkor
$$d_\infty [F(x), F(y)]=d_\infty[Ax+b, (Ay+b)]=d_\infty[Ax, Ay]=\parallel Ax-Ay\parallel = \parallel A(x-y)\parallel.$$
Igy most azt kell bel\'{a}tni hogy
 $$\parallel Az\parallel_\infty\leq r \parallel z\parallel_\infty \leqno{(7.3)}$$
  A (7.3) igazol\'{a}s\'{a}nak a "kulcsa" a nyilv\'{a}nval\'{o}
 $$\sum_{k=1}^n \mid a_{ik}z_k\mid\leq \max\mid z_k\mid
 \sum_{k=1}^n \mid a_{ik}\mid \leqno{(7.4)}$$
  egyenl\H{o}tlens\'{e}g, hiszen az \  $Az$ \  vektor $i$-edik eleme  $\sum_{k=1}^n a_{ik}z_k$.

 A (7.4) alapj\'{a}n ha $ \sum_{k=1}^n \mid a_{ik}\mid\leq r$ akkor (7.3)
 teljes\"{u}l. Igy\\
 \\
 {\large\bf 1. T\'{e}tel.} Ha minden $i$-re
		$$\sum_{k=1}^n \mid a_{ik}\mid <1 \leqno {(KA)}$$
 akkor az
 $$F(x)=Ax+b \;\; \;\; x\in R^2$$
 (affin) \lek \ {\em \xk \ a maximum t\'{a}vols\'{a}gban}\\
 
  Az {\em 1. T\'{e}tel} r\"{o}viden azt mondja, hogy egy affin 
\lek \ pontosan akkor \xk \ a max. t\'{a}vols\'{a}gban, ha az $A$ m\'{a}trix
 mindegyik sor\'{a}nak "abszol\'{u}t\"{o}sszege" egyn\'{e}l kisebb.\\

 A (KA) felt\'{e}tel sz\"{u}ks\'{e}ges is. Ugyanis van
 olyan $z\in R^n$ \'{e}s $\mid z \mid_\infty =1$ amelyre
 $$\mid Az \mid_\infty = \max \sum_{k=1}^n \mid a_{ik}\mid ; \xxi \; \leqno{(7.5)}$$
 (ld. {\large F.7.4}). Ebb\H{o}l k\"{o}vetkezik\\
 \\
 {\large\bf 2. T\'{e}tel.} Ha k\'{e}t vektor  t\'{a}vols\'{a}g\'{a}t a $d_\infty$ {\em maximum t\'{a}vols\'{a}gban} m\'{e}rj\"{u}k, akkor
 $$\|A\|_\infty = \max \sum_{k=1}^n \mid a_{ik}\mid .$$
 \\
 
Az elmondottak  \'{e}s 
 $$ \parallel x \parallel_\infty \leq \parallel x \parallel_2
 \leq n.\parallel x \parallel_\infty. $$
 alapj\'{a}n:\\
\\
 {\large\bf 3. T\'{e}tel.} Ha a 
 $$F(x)=Ax+b \;\; \;\; x\in R^2$$
affin) \lek \  \xk \ a max. 
 t\'{a}vols\'{a}gban,vagyis (KA) teljes\"{u}l, akkor az IFS modell konvergens minden $x\in R^n$ kezd\H{o}\'{e}rt\'{e}kkel \'{e}s a
 hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k f\"{u}ggetlen az $x$-t\"{o}l.\\
\\
{\large\bf P\'{e}lda} arra, hogy az affin $F$ lek\'{e}pez\'{e}s kontrakt\'{\i}v a {\em  max} t\'{a}vols\'{a}gban de nem kontrakt\'{\i}v az euklideszi t\'{a}vols\'{a}gban, ha
 az affin lek\'{e}pez\'{e}s m\'{a}trixa
$$ A=\left ( \begin{array} {lr} 0.5 & c\\ c &0.5 \end{array} \right )$$ 
ahol $0<c<0.5$.
\vspace{10mm}\\
{\bf \large Feladatok \'{e}s tov\'{a}bbi inform\'{a}ci\'{o}k.}\\
\vspace{3mm}\\
{\bf\Large F 7.1} \ \  Mi a k\"{o}rlap megfelel\H{o}je, vagyis az
$$\{ x:\; d[x,x_0]\leq R \}$$
halmaz ha $d$ a $\max$ t\'{a}vols\'{a}got jelenti?\\
\\
{\bf\Large F 7.2} \ \  Igazoljuk, hogy
$$\lim_{p\rightarrow \infty} (\sum_{k=1}^N \mid x_k \mid^p )^{\frac{1}{p}} =
		\max\{ \mid x_i \mid ; \;\;\;\; i=1,2,\dots , N\} $$
 \\                  
{\bf\Large **F 7.3} \ \  Irjuk le a {\large 7.2(KA)} formula bizonyit\'{a}s\'{a}t 
r\'{e}szletesen $n=2$-re.\\
\\
{\bf\Large F 7.4} \ \  Megszerkeszt\"{u}nk egy {\bf z} oszlopvektort, amelyre
$\mid z \mid_\infty =1$ \'{e}s (7.4)-ben {\em egyenl\"{o}s\'{e}g} van vagyis (7.5)
\'{e}rv\'{e}nyes.

Legyen az $i$-edik sor az, amelyben $\sum_{k=1}^n \mid a_{ik} \mid $ a 
legnagyobb (maxim\'{a}lis). Ekkor, ha
$$z_k = +1\;\;\;{\rm ha}\;\;\;a_{ik}\geq 0$$
$$z_k = -1\;\;\;{\rm ha}\;\;\;a_{ik} < 0$$
akkor $\mid z \mid_\infty =1$ \'{e}s (7.4)-ben egyenl\"{o}s\'{e}g van.\\
\\
{\bf P\'{e}ld\'{a}ul}, legyen
$$A=\left( \begin{array}{rl} -0.2 & 0.5\\
				  -0.7 & -0.1 \end{array} \right ) $$
 ekkor a 2. sor abszol\'{u}t\"{o}sszege a maxim\'{a}lis \'{e}s igy, ha
 $${\bf b}=\left ( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right ) $$
 akkor $\mid Az \mid_\infty = \mid a_{21}\mid + \mid a_{22}\mid$.\\ 
	\\    
  {\Large F 7.5} \  \ Vizsg\'{a}ljuk meg, hogy mi a kapcsolat az
$$ \left(\begin{array}{clcr} a_{11} & a_{12} & b_1\\ 
a_{21} & a_{22} & b_2\\0 & 0 & 1 \end{array} \right )$$
m\'{a}trixal az $R^3$-ban adott line\'{a}ris \lek \ \'{e}s az $R^2$-beli                             
$$ F \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end {array}\right)=
\left( \begin{array}{lr} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} 
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 
\end {array}\right )
+ \left( \begin{array}{c} b_{1} \\b_{2} \end{array} \right )$$                                                                                                                                          
   affin \lek \ k\"{o}z\"{o}tt.\\
\\
{\Large F 7.6} \  \  {\sf Az uccat\'{a}vols\'{a}g.} Ha $x,y\in R^n$, akkor
 $$d_1(x,y)=\sum_{i=1}^n \mid x_i - y_i \mid $$
spec\'{a}lisan ha $n=2$ akkor
 $$d_1(x,y)= \mid x_1 - y_1 \mid + \mid x_2 - y_2 \mid .  \leqno {(7.6)}$$
 MEGJEGYZ\'{E}S. Az {\em uccat\'{a}vols\'{a}g} n\'{e}v onnan sz\'{a}rmazik, hogy egy nagyon 
 szab\'{a}lyosan \'{e}p\"{u}lt v\'{a}rosban egy $x$ helyr\H{o}l valamely 
$y$  helyre akarunk eljutni, akkor a (7.6) t\'{a}vols\'{a}got kell megtenni 
 ({\em 7.2 \'{a}bra}).

{\large I.} Igazoljuk, hogy az uccat\'{a}vols\'{a}g teljesiti a t\'{a}vols\'{a}gaxi\'{o}m\'{a}kat ( {\large 4.1 I.-\'{\i}I.}).\\
{\large \'{\i}.} Legyen $F$ egy affin \lek \ (f\"{u}ggv\'{e}ny). Mi a felt\'{e}tele annak, hogy $F$ kontrakt\'{\i}v legyen  az 
uccat\'{a}vols\'{a}gban?\\
{\large \'{\i}I.} Mi a k\"{o}rlap megfelel\H{o}je, vagyis az
$$\{ x:\; d[x,x_0]\leq R \}$$
halmaz az uccat\'{a}vols\'{a}gban?\\
\\
{\bf\Large F 7.7} \  \  K\'{e}t t\'{a}vols\'{a}g, $d_1$ \'{e}s $d_2$, {\sf ekvivalens}, ha van olyan $A, B$ sz\'{a}mp\'{a}r hogy
$$A.d_1[x, y]\leq d_2[x, y]\leq B.d_1[x, y].\leqno{(7.7)}$$
P\'{e}ld\'{a}ul, $R^2$-ben az uccat\'{a}vols\'{a}g \'{e}s a max. t\'{a}vols\'{a}g ekvivalens az euklideszi ("k\"{o}z\"{o}ns\'{e}ges")
t\'{a}vols\'{a}ggal. Igazoljuk, hogy ha (7.7) \'{e}rv\'{e}nyes, akkor van olyan $C, D$ sz\'{a}mp\'{a}r amelyre
$$C.d_2[x, y]\leq d_1[x, y]\leq D.d_2[x, y].$$
 \\  \\  
{\Large F 7.8}  \  \  Ha egy $F$ lek\'{e}pez\'{e}s kontrakt\'{\i}v a $max$ (maximum) t\'{a}vols\'{a}gban, akkor a {\bf 3. T\'{e}tel} szerint
"az IFS modell m\H{u}k\"{o}dik". 

Vizsg\'{a}ljuk meg a k\"{o}vetkez\H{o} \'{a}ll\'{\i}t\'{a}s \'{e}rv\'{e}nyess\'{e}g\'{e}t:

{\em Ha $F$ kontrakt\'{\i}v a $max$ t\'{a}vols\'{a}gban, akkor van olyan $n$, hogy az $F$ n-edik iter\'{a}ltja kontrakt\'{\i}v
 (az Euklideszi t\'{a}vols\'{a}gban).}\\
\\
{\bf\Large **F 7.9} \  \  Milyen numerikus vizsg\'{a}lattal d\"{o}nthet\H{o} el egy tetsz\H{o}leges 
differenci\'{a}lhat\'{o} \mbox {$R^2\rightarrow R^2$} f\"{u}ggv\'{e}nyr\H{o}l
hogy \xk -e \ ?

Az egydimenzi\'{o}s eset ($n=1$) roppant egyszer\H{u} \'{e}s 
ir\'{a}nymutat\'{o} az $n>1$ eset vizsg\'{a}lat\'{a}ra is. 
$R$-ben az affin 
\lek ek $$f(x)= ax+b$$
alak\'{u}ak \'{e}s  egy ilyen f\"{u}ggv\'{e}ny pontosan akkor \xk \  ha 
$\mid a \mid < 1$. 

\'{A}ltal\'{a}nosabb 
f\"{u}ggv\'{e}nyekre \'{a}tt\'{e}rve, a k\"{o}vetkez\H{o} \'{e}rv\'{e}nyes:\\
\\
{\bf T\'{e}tel.} Legyen $D\subset R$ egy z\'{a}rt intervallum \'{e}s $f: D\rightarrow D$ 
differenci\'{a}lhat\'{o} Ekkor $f$ pontosan akkor \xk , \  ha 
$\mid {f^'}(x)\mid <1$ ha $x\in D$.\\
\\
{\bf Bizonyit\'{a}s.} A differenci\'{a}lsz\'{a}mit\'{a}s k\"{o}z\'{e}p\'{e}rt\'{e}k t\'{e}tele 
azt mondja hogy minden $x,y\in D$ p\'{a}rhoz van $\xi \in [x,y]$ hogy
$$d[f(x) , f(y)] = f^{'}(\xi) d[x , y]$$
 amib\H{o}l m\'{a}r k\"{o}vetkezik az \'{a}llit\'{a}s egyik fele.
({\bf Melyik?})

Forditva, legyen $f$ \xk . \ Ekkor minden $x,y\in D$ p\'{a}rra
$${\Large\mid} \frac {f(x)-f(y)}{x-y} {\Large\mid} \leq s \hspace{15mm} s<1$$
amib\H{o}l a megfelel\H{o} hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}kkel k\"{o}vetkezik, hogy 
$\mid f^{'}(x)\mid\leq s$ ha $x\in D$.\\

Az egydimenzi\'{o}s eset mint\'{a}j\'{a}ra, ha az $F:\;R^n\rightarrow R^n$ 
 f\"{u}ggv\'{e}ny differenci\'{a}lhat\'{o}, akkor a \xk it\'{a}s felt\'{e}tele az, hogy a
 {\sf deriv\'{a}ltm\'{a}trix (tenzor)}, amely a parci\'{a}lis 
 deriv\'{a}ltakb\'{o}l 
 alkotott $n\times n$ m\'{a}trix,  egyn\'{e}l kisebb "nagys\'{a}g\'{u}" legyen. 
 A max. t\'{a}vols\'{a}gban m\'{e}rve ez azt jelenti, hogy minden $x\in D$ 
 helyen, a 
 deriv\'{a}ltm\'{a}trix minden sor\'{a}nak "abszol\'{u}t\"{o}sszege" 
 egyn\'{e}l kisebb legyen.\\
 \\
MEGJEGYZ\'{E}S. Az affin eset nyilv\'{a}n a fent mondottak speci\'{a}lis
esete.
S\H{o}t, a differenci\'{a}lh\'{a}nyados geometriai jelent\'{e}s\'{e}t tekintve, azt 
mondhatjuk, hogy az $f$ pontosan akkor \xk \ ha az "{\em $x\in D$ 
pontokban lineariz\'{a}lt}" $f$ \xk \. \\
\\
{\Large F 7.10}  \  \  Legyen $(r_i,\phi_i)$ az $P_i\in R^2$ pol\'{a}rkoordin\'{a}t\'{a}ja. Igazoljuk, hogy ha
$$d[P_j,P_k]=|r_j-r_i|+\phi_j-\phi_i|$$
akkor $d$ egy t\'{a}vols\'{a}g (metrika) az $ R^2\ \{0\}$ halmazon. Ekvivalens ez a metrika az euklideszi t\'{a}vols\'{a}ggal?.\\
\\
{\Large F 7.11}  \  \  K\'{e}t metrikus t\'{e}r, $(X_1, d_1)$ \'{e}s $(X_2, d_2)$ ekvivalens, ha van
$$h: X_1\rightarrow X_2$$
$1-1$ \'{e}s r\'{a}k\'{e}pez\H{o} ({\em onto }) olyan, hogy
$$d_1(x,y)=d_2(h(x), h(y)).$$
Igaz-e, hogy $X_1=X_2$ eset\'{e}n ez a defin\'{\i}ci\'{o} "azonos" a {\large F. 7.7} defin\'{\i}ci\'{o}val?\\
\\
\\
{\Large F. 7.12} \  \  Legyen $\cal B}$ az $r=0,5$ sugar\'{u}  k\"{o}rlap, amelynek k\"{o}z\'{e}ppontja az origo \'{e}s $P=(1,1)$.\\
a/ \ Hat\'{a}rozzuk meg a $d[P, {\cal B}]$ \'{e}rt\'{e}k\'{e}t, ha $d$ az Euklideszi t\'{a}vols\'{a}g, ha $d$ az uccat\'{a}vols\'{a}g \'{e}s
arra az esetre is, amikor $d$ a max. t\'{a}vols\'{a}g.\\
\\
{\Large F. 7.13} \  \  az {\large F. 7.12} a  $h[\{P\}, {\cal B}]$   Hausdorff	t\'{a}vols\'{a}gra.\\
\\
{\Large F. 7.14} \ Igazoljuk a m\'{a}trix norma geometriai jelent\'{e}s\'{e}t \'{e}s azt, hogy minden m\'{a}trixnak van (v\'{e}ges) norm\'{a}ja.\\
\\
{\Large F. 7.15} \ A k\'{e}s\H{o}bbiekben haszn\'{a}lni fogjuk a m\'{a}trix norma k\"{o}vetkz\H{o} tulajdons\'{a}gait.\\
\\
{\Large 1.} \|\lambda A\|=\lambda\|A\|\\
{\Large 2.} \| A+B\|\leq\|A\|+\|B\|\\
{\Large 3.} \|AB\|\leq \|A\|\|B\|\\


\end{document}








