\documentstyle[12pt]{article}

\newcommand{\xxhat}{\Rightarrow  }
\newcommand{\xxnyo}{$ \mbox{8??} $ }
\newcommand{\xxc}  {\subseteq}
\newcommand{\xxe}  {\in}
\newcommand{\xxn}  {\cap}
\newcommand{\xxq}  {\circ }
\newcommand{\xxu}  {\bigcup}
\newcommand{\xxdol}{\not=}
\newcommand{\xxnag}{\geq}
\newcommand{\xxkis}{$ \mbox{<??} $ }
\newcommand{\xxfug}{\mid}
\newcommand{\xye}  {$ \mbox{e!?} $ }
\newcommand{\xyf}  { \phi }
\newcommand{\xyq}  {\theta }
\newcommand{\xyp}  {\pi}
\newcommand{\xys}  {$ \mbox{s!?} $ }
\newcommand{\lek}{lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\ite}{iter\'{a}ci\'{o}}
\newcommand{\fn}{\{F^{[n]}(z);\;\;z\in{\cal D}\}}
\newcommand{\sor}{sorozat}
\newcommand{\has}{hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\xl}{\lim_{n \rightarrow\infty}}
\newcommand{\xk}{kontraktiv}
\newcommand{\xit}{iter\'{a}lt}
\newcommand{\xfe}{f\'{e}nyk\'{e}p}
\newcommand{\xha}{hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}s}
\newcommand{\Fn}{\{F^{[n]}(z);\;\;z\in{\cal D}\}}
\newcommand{\fr}{F: R^n \rightarrow R^n}
\newcommand{\xxi}{i=1,2,\dots, n}
\newcommand{\fne} {f^{[n]}(x)}
\newcommand {\xr}{\rightarrow}
\newcommand{\xn}{n=1,2,\dots}
\newcommand{\xxk}{k=1,2,\dots, n}
\newcommand{\xWb} {W^{[n]}({\cal B})}
\newcommand {\xs} {sequence}
\newcommand{\FK}{F^{[n]}({\cal K})}
\newcommand{\FN}{F^{[n]}(x)}
\newcommand{\xN}{i=1,2,\dots, N}
\newcommand{\xU}{\bigcup_{i=1}^N F_i}
\newcommand{\xu}{\cup_{i=1}^N F_i}
\newcommand{\Fi}{\{F_i; \;\; \xN \}}
\newcommand{\xHA}{halmazf\"{u}ggv\'{e}ny}
\newcommand{\xtu}{tulajdons\'{a}g}
\newcommand{\Fix}{F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_n}}
\newcommand{\k} {k=1,2,\dots}
\newcommand{\Ha} {Hausdorff t\'{a}vols\'{a}g}
\newcommand{\iter} {iter\'{a}lt f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer}
\newcommand{\rs} {r_{\sigma_1}\dots r_{\sigma_k}}
\newcommand{\rss} {r_{\sigma_1}^s\dots r_{\sigma_k}^s}
\newcommand{\Uk} {\{{\cal U}_k; \;\;  {\k}\}}
\newcommand{\Fsb} {F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_k}({\cal B})}
\newcommand{\Fsa} {F_{\sigma_1}\circ\dots\circ F_{\sigma_k}({\cal A})}
\newcommand{\xge}{geometriai sor}
\newcommand{\xxWb}{\{W^{[n]}({\cal B}); \;\; \;\; n=1,2,\dots\}}
\newcommand{\xmny}{matematika nyelv\'{e}n}
\newcommand{\xxWc}{\{W^{[n]}({\cal C}); \;\; \;\; n=1,2,\dots\}}
\newcommand{\xsz}{sz\'{a}mit\'{o}g\'{e}pes grafika}
\newcommand{\xh}{hat\'{a}rtalanul nagyithat\'{o}}
\newcommand{\xfe}{f\'{e}nyk\'{e}p}



\begin{document}

{\sf\LARGE IV. \ \ SZ\'{A}M\'{I}T\'{O}G\'{E}PES  GRAFIKA.}\\
\\  

Sz\'{a}mos esetben az IFS modell olyan halmazokat \'{a}llit el\H{o}, amelyek val\'{o}s\'{a}gos objektumok benyom\'{a}s\'{a}t keltik  mint amilyen a
fa\'{a}g, fa \'{e}s a csill\'{a}r vagy a m\'{o}dositott Koch g\"{o}rb\'{e}k ({\em  1.6, 6.2, 3.4, 1.5 \'{a}br\'{a}k}). 
 ez\'{e}rt az IFS modell a sz\'{a}mit\'{o}g\'{e}pes grafika szempontj\'{a}b\'{o}l is \'{e}rdekes.  

A sz\'{a}m\'{\i}t\'{o}g\'{e}pes grafikai alkalmaz\'{a}sban megfordul az IFS modellalkot\'{a}s folyamata: a {\em k\'{e}phez kell
 tal\'{a}lni} olyan
IFS-t, amely a k\'{e}pet j\'{o} k\"{o}zelit\'{e}ssel el\H{o}\'{a}llitja. Pontosabban, meg kell oldani a k\"{o}vetkez\H{o} 
u.n. {\sf inverz probl\'{e}m\'{a}t}:\\

 Adott egy $\cal B$ halmaz \'{e}s $\epsilon >0$,
hogyan tal\'{a}lunk hozz\'{a} $\Fi$ \lek eket \'{u}gy hogy az \'{a}ltaluk
meghat\'{a}rozott
IFS $\cal A$ invari\'{a}ns halmaza legfeljebb $\epsilon $  t\'{a}vols\'{a}gra
legyen $\cal B$-t\H{o}l (a \Ha  ban m\'{e}rve).\\
\vspace{30mm}\\

\\
{\bf\Large A koll\'{a}zst\'{e}tel}\\
\vspace{5mm}
\\
{\bf\Large 14.1}\\

{\large\bf Az IFS modellalkot\'{a}s megford\'{\i}t\'{a}sa}\\

  Az {\large 5.fejezetben}  megmutattuk, hogy minden IFS-hez tartozik egy 
invari\'{a}ns halmaz. Most, forditva, adott $\cal B$ halmazhoz keres\"{u}nk
 egy olyan IFS-t, amelynek $\cal A$ invari\'{a}ns halmaza 
 tetsz\"{o}leges pontoss\'{a}ggal megk\"{o}zeliti a $\cal B$-t,
vagyis gyakorlatilag $\cal B$-nek tekinthet\H{o}.\\

A {\em 14.1 \'{a}br\'{a}kon} egy ilyen elj\'{a}r\'{a}s l\'{a}that\'{o}. Adott $\cal B$ 
halmazhoz (\'{a}rnyk\'{e}phez), amely  egy juharlev\'{e}l \'{a}rnyk\'{e}pe, 
keres\"{u}nk megfelel\H{o} $\Fi$ affin \lek eket. Az  $\Fi$ affin \lek eket
\'{u}gy v\'{a}lasztjuk, hogy 
$$h[{\cal B}, \bigcup_{i=1}^N F_i({\cal B})]$$
 " optim\'{a}lisan " kicsi legyen. Az {\em 14.1 \'{a}br\'{a}kon} ezt \"{o}t
$ F_i({\cal B})$ halmazzal \'{e}rj\"{u}k el \'{e}s amint l\'{a}tjuk, ezek uni\'{o}ja ( az  1-5 foltok 
\"{o}sszes\'{e}ge a 14.1B \'{a}br\'{a}n}) csak kev\'{e}ss\'{e} t\'{e}r el $\cal B$-t\H{o}l.

Az  $\{F_i; \; i=1,2,3,4,5\}$f\"{u}ggv\'{e}nyekb\H{o}l k\'{e}pezett
$$W^{[n]}({\cal C});  \;\; n=1,2,\dots \leqno{(IT)}$$
iter\'{a}ci\'{o}k v\'{e}geredm\'{e}nye, az (IT) sorozat hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}ke, {\em  b\'{a}rmely kompakt $\cal C$ mellett}, 
egy erezett, szerfelett lyukacsos v\'{a}ltozata a $\cal B$  juharlev\'{e}lnek ({\em 14.2 \'{a}bra}).\\

 A 14.1 \'{a}br\'{a}kon szeml\'{e}ltetett
$\{F_i; \; i=1,\dots,5\}$ affin f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer a juharlev\'{e}l
egyik matematikai leir\'{a}s\'{a}nak is tekinthet\H{o} hiszen az $\Fi$ f\"{u}ggv\'{e}nyrendszerb\H{o}l, a megadott iter\'{a}ci\'{o}s
elj\'{a}r\'{a}ssal, {\em  b\'{a}rmely halmazb\'{o}l} a juharlev\'{e}l   \'{a}ll  el\H{o}. Ez egy igen 
t\"{o}m\"{o}r matematikai leir\'{a}s, hiszen csup\'{a}n  
k\'{e}t dimenzi\'{o}s blokkokban elrendezett $5\times 6$ sz\'{a}mmal megadhat\'{o}.

A juharlevelet el\H{o}\'{a}ll\'{\i}t\'{o} IFS a k\"{o}vetkez\H{o}:\\
\\
$F_1(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0 & 0 \\ 0 & 0.16 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)\\ 
 \\   \\
$F_2(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.85 & 0.04 \\ -0.04 & 0.85 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 0 \\ 1.6 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_3(x)=
\left( \begin{array}{cc}  0.2 & -0.26 \\ 0.23 & 0.22 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 0 \\ 1.6 \end{array}\right)$\\
\\   \\
$F_4(x)=
\left( \begin{array}{cc}  -0.15 & 0.28 \\ 0.26 & 0.24 \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) + 
  \left(\begin{array} {c} \ 0 \\ 0.44 \end{array}\right)$\\
\\  

A 14.1--14.2 \'{a}br\'{a}k azt mutatj\'{a}k, hogy ha az $\Fi$ affin \lek et \'{u}gy v\'{a}lasszuk, hogy $\cal B$ \'{e}s $\cup_{i=1}^N F_i({\cal B})$
 k\"{o}zel vannak a Hausdorff t\'{a}vols\'{a}gban
 m\'{e}rve, akkor $\cal A$ j\'{o} k\"{o}zelit\'{e}se a $\cal B$ halmaznak. Erre a megfigyel\'{e}sre \'{e}p\"{u}l az az elj\'{a}r\'{a}s, amit majd a 
{\large 14.2}-ben fogunk tal\'{a}lni \'{e}s nemcsak \'{a}rnyk\'{e}pek, hanem m\'{a}r "val\'{o}di 
f\'{e}nyk\'{e}pek", k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} sz\"{u}rke sk\'{a}l\'{a}j\'{u}
k\'{e}pek el\H{o}\'{a}llit\'{a}s\'{a}ra is alkalmas.\\

 Mi a kapcsolat $h[{\cal B}, W({\cal B})]$  \'{e}s  $h[{\cal B}, {\cal A}]$  k\"{o}z\"{o}tt?  Erre ad v\'{a}laszt  a
{\sf koll\'{a}zst\'{e}tel:} \\
\\
{\large\bf T\'{e}tel.} \  Legyenek $\Fi$ \xk \ \lek ek $r_i$ \xk it\'{a}si
t\'{e}nyez\H{o}kkel, legyen $\cal A$ az $\Fi$ f\"{u}ggv\'{e}nyekkel adott IFS invari\'{a}ns halmaza \'{e}s
$\cal B$ {\em tetsz\H{o}leges} (nem \"{u}res kompakt) halmaz. Ekkor
$$ h[{\cal B},{\cal A}] \leq {1 \over 1-r} \; h\left[{\cal B},\;
\bigcup_{i=1}^N   F_i({\cal B})\right] \: . \leqno {(14.1)}$$
ahol $r=\max_i r_i$.\\
\\
{\large\bf Bizony\'{\i}t\'{a}s.} A bizony\'{\i}t\'{a}s  alap\"{o}tlete az, hogy l\'{e}pegetve pr\'{o}b\'{a}lunk eljutni $\cal B$-b\H{o}l $\cal A$-ba. 
A $ h[{\cal B}, {\cal A}]$ helyett az 
$$ h[{\cal B}, W({\cal B})]+h[W({\cal B}), W^{[2]}({\cal B})]+\dots + 
h[W^{[n-1]}({\cal B}), W^{[n]}({\cal B})]$$
\"{o}sszeget fogjuk tekinteni nagy $n$-re. Ebb\H{o}l  a $h[{\cal B}, W^{[n]} ({\cal B})]$ nagys\'{a}g\'{a}ra fogunk egy becsl\'{e}st adni, ami
 nagy $n$ \'{e}rt\'{e}kre  m\'{a}r k\"{o}zel van a keresett $h[{\cal B},{\cal A}]$-hoz.

A h\'{a}romsz\"{o}g egyenl\H{o}tlens\'{e}gb\H{o}l ({\large 4.1 III.})
$$    h[B,W^{[n]} ({\cal B})] \leq  h[{\cal B},W({\cal B})]+
h[W({\cal B}),W^{[2]} ({\cal B})]+ \ldots  \leqno{(14.2)}$$
              $$ + h[W^{[n-1]} ({\cal B}),W^{[n]}({\cal B})]$$
 tov\'{a}bb\'{a}
$$h[W^{[n]} ({\cal B}),W^{[n+1]}({\cal B})]\leq r \cdot h[W^{[n-1]}
({\cal B}),W^{[n]}({\cal B})]\;\; \;\; n=1,2,\dots$$
 amib\H{o}l (teljes indukci\'{o}val)
 $$h[W^{[n]} ({\cal B}),W^{[n+1]}({\cal B})]\leq  r^n 
 \cdot h[{\cal B}, W({\cal B})] \;\; \;\; n=1,2,\dots .$$

 Ezt (14.2)-be helyettesitve
$$  h[{\cal B}, W^{[n]}({\cal B})]\leq (1+r+r^2 + \ldots +r^{[n-1]})\cdot 
h[{\cal B}, W({\cal B})] \leq {1 \over 1-r}   h[{\cal B}, W({\cal B})]$$
amib\H{o}l a (14.1) m\'{a}r k\"{o}vetkezik, hiszen 
$h[{\cal B}, W^{[n]}({\cal B})]\xxhat h[{\cal B},{\cal A}]$.
 \\  

A {\sf koll\'{a}zst\'{e}telb\H{o}l k\"{o}vetkezik}, hogy ha $\cal B$ \'{e}s $W({\cal B})$
k\"{o}zel vannak egym\'{a}shoz, akkor $\cal A$ megadja, j\'{o} k\"{o}zelit\'{e}ssel, a $\cal B$ halmazt (k\'{e}pet).

A (14.1)-b\H{o}l leolvashat\'{o}, hogy ha a kontraktivit\'{a}si t\'{e}nyez\H{o}k  $0.5$ k\"{o}r\"{u}l vannak, akkor a
$ h[{\cal B},{\cal A}]$ t\'{a}vols\'{a}g legfeljebb a dupl\'{a}ja a 
$h[{\cal B}, W({\cal B})]$ t\'{a}vols\'{a}gnak. Ez l\'{a}tszik optim\'{a}lisnak. Ugyanis {\em nagyobb $r_i$ \'{e}rt\'{e}kek mellett}
a $ h[{\cal B},{\cal A}]$ \'{e}s a  $h[{\cal B}, W({\cal B})]$ ar\'{a}nya rohamosan n\"{o}vekszik. P\'{e}ld\'{a}ul, 
ha $0.5<r_i<0.75$, akkor $ h[{\cal B},{\cal A}]$ m\'{a}r n\'{e}gyszerese is lehet a (k\"{o}zvetlen\"{u}l lem\'{e}rhet\H{o}) $h[{\cal B}, W({\cal B})]$
t\'{a}vols\'{a}gnak. {\em Nagyon kis $r_i$  \'{e}rt\'{e}kek
mellett} a {\em 14.1  \'{a}bra} szerinti lefed\'{e}shez tuls\'{a}gosan sok $F_i$ f\"{u}ggv\'{e}ny sz\"{u}ks\'{e}geltetik.\\            
\\  \\
{\Large 14.2}

{\large\bf Egy k\'{e}pt\"{o}m\"{o}r\'{\i}t\H{o} elj\'{a}r\'{a}s}\\

Megadunk egy elj\'{a}r\'{a}st  arra, hogy adott $\cal B$ halmazhoz (k\'{e}phez) hogyan keress\"{u}k meg a megfelel\H{o}
$\Fi$ affin f\"{u}ggv\'{e}nyeket.  Az elj\'{a}r\'{a}s nemcsak \'{a}rnyk\'{e}pek, hanem m\'{a}r "val\'{o}di 
f\'{e}nyk\'{e}pek", k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} sz\"{u}rke sk\'{a}l\'{a}j\'{u}
k\'{e}pek el\H{o}\'{a}llit\'{a}s\'{a}ra is szolg\'{a}l. Az elj\'{a}r\'{a}s
meg\'{e}rt\'{e}s\'{e}t segiti, ha a f\'{e}nyk\'{e}pet egy domborzatnak
k\'{e}pzelj\"{u}k el, \'{u}gy hogy min\'{e}l vil\'{a}gosabb egy r\'{e}szlet
ann\'{a}l jobban kiemelkedik a k\'{e}p sikj\'{a}b\'{o}l. A matematika
nyelv\'{e}n: a \xfe et egy $f=f(x,y)$ k\'{e}tv\'{a}ltoz\'{o}s
f\"{u}ggv\'{e}nnyel adjuk meg, amelynek a maximuma $1$, ahol a \xfe \
feh\'{e}r, \'{e}s minimuma $0$, ott ahol a \xfe \ fekete.

Ilym\'{o}don {\sf a f\'{e}nyk\'{e}pet azonositjuk az $f(x,y)$ k\'{e}tv\'{a}ltoz\'{o}s f\"{u}ggv\'{e}nnyel}. A f\'{e}nyk\'{e}p rajzolat\'{a}t,
 \'{a}rnyalatait az $f(x,y)$ f\"{u}ggv\'{e}nyt \'{a}br\'{a}zol\'{o} fel\"{u}let domborzat\'{a}val \'{\i}rjuk le({\em 14.3A \'{a}bra}).

A \xfe et (k\"{o}zelit\"{o}leg) el\"{o}\'{a}llit\'{o} IFS megszerkeszt\'{e}se
azon alapszik, hogy {\sf a \xfe \ k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} r\'{e}szletei,
 j\'{o} k\"{o}zelit\'{e}ssel, egym\'{a}snak affin k\'{e}pei lehetnek} 
({\em 14.3B \'{a}bra}). Ilyen r\'{e}szletek b\'{a}rmilyen f\'{e}nyk\'{e}pen fellelhet\H{o}k.

 Ez alatt azt \'{e}rtj\"{u}k, hogy van olyan affin
$R^3\rightarrow R^3$  (vagyis {\em t\'{e}rbeli}) \lek \  amely a nagyobbik $D_a$ illetve $D_b$ keretben lev\H{o}   k\'{e}pet  (a k\'{e}pnek
megfelel\H{o} domborzati r\'{e}szt) a kisebbik keretben lev\H{o}  $R_a$ illetve $R_b$ k\'{e}pbe (a  a k\'{e}pnek megfelel\H{o} domborzati r\'{e}szbe)
viszi. Term\'{e}szetesen ez {\em csup\'{a}n megfelel\H{o} k\"{o}zelit\'{e}ssel} \'{e}rhet\H{o}  el.
Ilyen affin \lek eknek az uni\'{o}ja adja majd a $W$ f\"{u}ggv\'{e}nyt. 

\'{E}pp\'{u}gy mint az "eredeti" IFS modell eset\'{e}n, egy tetsz\H{o}leges $g=g(x,y)$ f\"{u}ggv\'{e}nyb\H{o}l indul\'{o}
$$\{W^{[n]}(g);  \;\; \;\;  n=1,2,\dots\}\leqno{(IT)}$$
iter\'{a}ci\'{o}s sorozat fogja el\H{o}\'{a}llitani, megfelel\H{o} k\"{o}zelit\'{e}ssel, a f\'{e}nyk\'{e}pet. \\
\\ 
MEGJEGYZ\'{E}S. C\'{e}lszer\H{u}  a $g(x,y)=C$ konstans f\"{u}ggv\'{e}nyb\H{o}l indulni.\\

Az elj\'{a}r\'{a}s egy r\'{e}szletes leir\'{a}sa a k\"{o}vetkez\H{o}\\ 
\\
\fbox{ \em 1. l\'{e}p\'{e}s} \ \ A \xfe \ sikj\'{a}t felosztjuk
$64 \times 64$ egybev\'{a}g\'{o} n\'{e}gyzetre \'{e}s
mindegyik n\'{e}gyzeten meg\'{a}llapitjuk a \xfe \ \'{a}tlagos
sz\"{u}rkes\'{e}gi fok\'{a}t, amelyhez term\'{e}szetes m\'{o}don egy 
$\lambda \in [0,1]$ sz\'{a}mot
rendel\"{u}nk. Az igy kapott diszkretiz\'{a}lt  (vagyis l\'{e}pcs\H{o}sf\"{u}ggv\'{e}ny) $f=f(x,y)$  fogja reprezent\'{a}lni  
a \xfe et az elj\'{a}r\'{a}s sor\'{a}n.

Az $f=f(x,y)$  f\"{u}ggv\'{e}ny az  lesz, amelynek az \'{e}rt\'{e}ke a
$64 \times 64$ n\'{e}gyzet mindegyik\'{e}n bel\"{u}l \'{a}lland\'{o}, m\'{e}gpedig $\lambda$, az 
\'{a}tlagos sz\"{u}rkes\'{e}gi foknak megfelel\H{o}en az
$$n\frac{1}{256} \;\; \;\; n=1,2,\dots , 256$$
\'{e}rt\'{e}kek egyike.

Legyenek $R_i; \;\;i=1,2,\dots, 16$  a \xfe re fektetett n\'{e}gyzetr\'{a}cs elemei \'{e}s
 $D_j$ olyan n\'{e}gyzetek a \xfe \ sikj\'{a}ban amelyek line\'{a}ris m\'{e}rete (oldal\'{e}le)
az  $R_i$ n\'{e}gyzetek\'{e}nek a dupl\'{a}ja ({\em 14.4 \'{a}bra}). (1024 ilyen n\'{e}gyzet van). Az elj\'{a}r\'{a}s
 k\"{o}vetkez\H{o} l\'{e}p\'{e}se az lesz, hogy adott $R_i$-hez keress\"{u}k
 azt a $D_j$-t amely feletti $f(x,y)$ domborzat, megfelel\H{o} affin 
m\'{o}dosit\'{a}ssal, el\'{e}g k\"{o}zel lesz az $R_i$ feletti $f(x,y)$-hoz.\\
 
{\sf A tov\'{a}bbiakban a $D_j$ ill.
$R_i$ feletti k\'{e}pr\'{e}szleteket, vagyis az
$$f=f(x,y) \;\; (x,y)\in D_j \;\; \;\; ill. \;\; \;\; f=f(x,y) \;\; (x,y)\in R_i$$
f\"{u}ggv\'{e}nyeket sokszor, r\"{o}viden,  a $D_j$ ill.
$R_i$  k\'{e}pr\'{e}szletnek fogjuk nevezni.}\\
\\
MEGJEGYZ\'{E}SEK. {\large 1.} Az ismertetett elj\'{a}r\'{a}s adatai term\'{e}szetesen "nem k\"{o}telez\H{o}ek".
Az els\H{o} l\'{e}p\'{e}sben nem kell ragaszkodni a $64 \times 64$ n\'{e}gyzethez, csup\'{a}n ahoz, hogy
a n\'{e}gyzetekkel diszkretiz\'{a}lt f\"{u}ggv\'{e}nyb\H{o}l "felismerhet\H{o} legyen" $f=f(x,y)$. A m\'{a}sodik
l\'{e}p\'{e}sben a $D_j$ n\'{e}gyzetek \'{e}le a $B_i$ n\'{e}gyzetek\'{e}nek a dupl\'{a}ja legyen \'{e}s a $D_j$ n\'{e}gyzetek
sz\'{a}ma a lehets\'{e}ges ilyen r\'{e}szhalmazok legal\'{a}bb 80 sz\'{a}zal\'{e}ka legyen.\\
{\large 2.} \  A n\'{e}gyzeth\'{a}l\'{o}hoz sem kell ragaszkodni. $B_i$ \'{e}s a $D_j$ h\'{a}romsz\"{o}gek is lehetnek \'{e}s a
h\'{a}l\'{o} a  \xfe  \ r\'{e}szletd\'{u}s r\'{e}szein s\H{u}r\H{u}bb is lehet. Ekkor $D_j$ a h\'{a}romsz\"{o}gh\'{a}l\'{o}
n\'{e}gyeseib\H{o}l \"{o}ssze\'{a}llitott elemek.\\
\\
\fbox{ \em 2. l\'{e}p\'{e}s} \ \  Megvizsg\'{a}ljuk, hogy a $\{ D_j; \;\;\; j=1,2,\dots 1024\}$ feletti k\'{e}preszletek k\"{o}z\"{u}l, {\em  a fenti \'{e}rtelemben},  
melyik lesz legk\"{o}zelebb az $R_1$-hez, az els\H{o} r\'{a}csn\'{e}gyzet feletti k\'{e}pr\'{e}szlethez. Ez a  $D_j$ ker\"{u}l majd az $R_1$ hely\'{e}re.
 Ezut\'{a}n ugyanezt elv\'{e}gezz\"{u}k az $\{R_i; \;\;\; i=2,\dots ,16\}$ n\'{e}gyzetekkel is.\\
 \\
 P\'{E}LDA. ({\em 14.5 \'{a}bra}.)  Mindegyik  k\'{e}p   bekeretezett r\'{e}szei, "j\'{o} k\"{o}zel\'{\i}t\'{e}ssel",  egym\'{a}snak affin k\'{e}pei. A nagyobbik keretben lev\H{o} k\'{e}p
 affin k\'{e}pe ker\"{u}l a kisebbik  keretben lev\H{o} k\'{e}p hely\'{e}re.
 
  Az elj\'{a}r\'{a}s r\'{e}szleteit a {\em 14.5 \'{a}br\'{a}k} mutatj\'{a}k.
 
 A {\sf Domain}, a nagyobbik keretben lev\H{o} k\'{e}p kinagy\'{\i}tva. Ezt megfelel\H{o}en elforgatjuk ({\sf 1}), majd a k\'{e}p  $s$ kontrasztj\'{a}t
 \'{e}s   $o$ sz\"{u}rkes\'{e}gi fok\'{a}t \'{u}gy m\'{o}dos\'{\i}tjuk, hogy az "alig k\"{u}l\"{o}nb\"{o}zz\'{e}k" a {\sf Range}, a kisebbik keretben lev\H{o} k\'{e}p kinagy\'{\i}tott
 hasonm\'{a}s\'{a}t\'{o}l ({\sf 2}).  A kisebbik keretben lev\H{o} k\'{e}p hely\'{e}be a {\sf 2} ker\"{u}l,  line\'{a}risan fele m\'{e}retben ({\sf 3}). 

Az affinit\'{a}s eset\"{u}nkben azt jelenti, hogy  a line\'{a}risan k\'{e}tszeres  kicsiny\'{\i}t\'{e}sen
  kiv\"{u}l 
  a k\'{e}p  $o$ sz\"{u}rkes\'{e}gi fok\'{a}t   (f\'{e}nyess\'{e}g\'{e}t) \'{e}s  $s$  kontrasztj\'{a}t
   megfelel\H{o}en  v\'{a}ltoztatatjuk. Ugyanis ez a v\'{a}ltoztat\'{a}s,  a k\'{e}pnek megfelel\H{o} domborzat  affin megv\'{a}ltoz\'{a}s\'{a}t  eredm\'{e}nyezi.\\
MEGJEGYZ\'{E}S. A 14.5B \'{e}s a 14.5D \'{a}br\'{a}n az aktu\'{a}lis r\'{a}csozatot is felt\"{u}ntett\"{u}k. A 14.5B \'{a}br\'{a}n nincsen sz\"{u}ks\'{e}g elforgat\'{a}sra,
ez\'{e}rt az {\sf 1} azonos a {\sf Domain} k\'{e}ppel. A 14.5C \'{a}br\'{a}n a {\sf Domain} \'{e}s {\sf Range}  lapos, r\'{e}szlet n\'{e}lk\"{u}li
sz\"{u}rke k\'{e}pek  egym\'{a}sba vihet\H{o}k csup\'{a}n a sz\"{u}rkes\'{e}gi fokozat, $o$, el\'{e}g nagy megv\'{a}ltoztat\'{a}s\'{a}val. \\
\\

 {\sf Az elj\'{a}r\'{a}s lelke ez a} {\em 2.l\'{e}p\'{e}s}. Ez\'{e}rt 
 megadjuk a  v\'{a}zolt k\'{e}pcsere  leir\'{a}s\'{a}t  {\sf a matematika nyelv\'{e}n} is.

Adott $R_i$, $D_j$ p\'{a}rhoz tekints\"{u}k azt a $g_{ij}$ \xha t amely a
$D_j$ n\'{e}gyzetet az $R_i$ n\'{e}gyzetbe viszi. N\'{e}gy ilyen
lek\'{e}pez\'{e}s l\'{e}tezik. Ha
 $$g_{ij}({\bf x}) = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{lr} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}
									\right )\left ( \begin{array}{c} x_{1} \\x_{2} \end{array} \right )
+ \left ( \begin{array}{c} b_{1} \\b_{2} \end{array} \right ) ;   \;\;  \;\; {\bf x}=\left ( \begin{array}{c} x_{1} \\x_{2} \end{array} \right )
 \leqno {(14.6)} $$
 akkor a (14.6) formul\'{a}ban a $2\times 2$ m\'{a}trix a k\"{o}vetkez\H{o} 
n\'{e}gy  m\'{a}trix egyike
 $$  \left ( \begin{array}{lr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right ),
	 \;\;\;
	 \left ( \begin{array}{lr} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right ),
	\;\;\;
	 \left ( \begin{array}{lr} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right ),
 \;\;\;
	 \left ( \begin{array}{lr} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array} \right ).  $$

 Ugyanis, a $D_j$ n\'{e}gyzetet, line\'{a}risan a fel\'{e}re cs\"{o}kkentve,
megfelel\H{o} {\sf b} vektorral az $R_i$ hely\'{e}re toljuk az els\H{o}
esetben. A marad\'{e}k h\'{a}rom esetben pedig m\'{e}g $90^0, 180^0$
illetve $270^0$ elforgat\'{a}st is v\'{e}gz\"{u}nk.\\

Ennek a lek\'{e}pez\'{e}snek a m\'{a}trix alakja a ($14.7^*$), hiszen az
 $$F_{ij}({\bf x}) = \left ( \begin{array}{lcr} a_{11} & a_{12} & 0 \\a_{21} & a_{22} & 0 \\
									0 & 0 & 1 \\ \end{array}
								\right )
 \left ( \begin{array}{c} x_{1} \\x_{2} \\ f(x_1 , x_2) \end{array} \right )
+ \left ( \begin{array}{c} b_{1} \\b_{2} \\0 \end{array} \right )
\leqno{(14.7^*)} $$
 \\
 f\"{u}ggv\'{e}ny ekkor a $D_j$-hez tartoz\'{o} {\em k\'{e}pr\'{e}szletet}
 az $R_i$ n\'{e}gyzet f\"{o}l\'{e}  viszi.

 Ha a fenti m\'{a}trixban az $1$ hely\'{e}be $0< s_{ij}<1$ \'{e}rt\'{e}ket
 tesz\"{u}nk, akkor a $D_j$ feletti k\'{e}p kontrasztj\'{a}t
 cs\"{o}kkentj\"{u}k (a domborzatot az alapsikra mer\"{o}legesen, "$Z$
 ir\'{a}nyba", \"{o}sszenyomjuk). Ha a {\bf b} oszlop\'{a}ban a $0$
 hely\'{e}be egy $ o_{ij}\neq 0$ \'{e}rt\'{e}ket tesz\"{u}nk, akkor a domborzatot az alapsikra
  mer\"{o}legesen, "$Z$ ir\'{a}nyba", eltoljuk.
  Az $s_{ij}$ ({\sf kontraszt}) \'{e}s $o_{ij}$
 ({\sf f\'{e}nyer\H{o}}) megad\'{a}s\'{a}val kapjuk az
 $$F_{ij}({\bf x}) = \left ( \begin{array}{lcr} a_{11} & a_{12} & 0 \\a_{21} & a_{22} & 0 \\
							0 & 0 & s_{ij} \\ \end{array}
																													\right )
 \left ( \begin{array}{c} x_{1} \\x_{2} \\ f(x_1 , x_2) \end{array} \right )
+ \left ( \begin{array}{c} b_{1} \\b_{2} \\ o_{ij}\end{array} \right ) \;\;  \;\;    
{\bf x}\in D_j \leqno {(14.7)}$$
  \lek eket.\\

\'{I}gy az $F_{ij}$ f\"{u}ggv\'{e}ny a $D_j$ minden {\bf x} pontj\'{a}t \'{a}tviszi az $R_i$ egy meghat\'{a}rozott pontj\'{a}ba \'{e}s az $f({\bf x})$
f\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}rt\'{e}ket, eme k\'{e}pponthoz tartoz\'{o} 
$$s_{ij}f(x,y)+o_{ij} \leqno{(14.8^*)}$$
f\"{u}ggv\'{e}ny\'{e}rt\'{e}kbe viszi.

Ezzel  az $R_i$ n\'{e}gyzet f\"{o}l\'{e}  ker\"{u}l a $D_j$-hez tartoz\'{o} {\em k\'{e}pr\'{e}szlet} (m\'{a}s sz\'{o}val, a $D_j$ feletti fel\"{u}let)
affin k\'{e}pe.\\

{\sf Mikor alkalmazzuk ezt a (14.7) formul\'{a}t, vagyis mikor alkalmazzuk a {\em 2. l\'{e}p\'{e}sben} leirt k\'{e}pcser\'{e}t?}

Akkor, amikor a (14.8*), megfelel\H{o} $s_{ij}, b_{ij}$ v\'{a}laszt\'{a}ssal, el\'{e}g k\"{o}zel hozhat\'{o}
az $R_i$ feletti k\'{e}pr\'{e}szlethez (az $R_i$ feletti
 $f(x,y)$ domborzathoz). Pontosabban, akkor amikor  (14.8*) \'{e}s az $R_i$ felett fel\"{u}let  {\sf n\'{e}gyzetes elt\'{e}r\'{e}se}
egy  el\H{o}re megadott $\epsilon$-n\'{a}l kisebb. A matematika nyelv\'{e}n
 $$ \sum_{(x_1,x_2)\in D_j} (s_{ij} f(x_1 , x_2)+o_{ij} -
         f\circ g_{ij}(x_1, x_2))^2 <\epsilon . \leqno {(14.8)}$$
 Jobb eredm\'{e}nyt ad az a valamivel hosszabb elj\'{a}r\'{a}s, amikor minden olyan
$D_j$ k\"{o}z\"{u}l, amelyre $f$ teljesiti a (14.8) egyenl\H{o}tlens\'{e}get, kiv\'{a}lasztjuk azt, amelyre a (14.8)
baloldala a legkisebb \'{e}s ezzel a $D_j$ k\'{e}pr\'{e}szlettel v\'{e}gezz\"{u}k el a cser\'{e}t.\\ 
 \\
\fbox{ \em 3. l\'{e}p\'{e}s} \ \  Ha az el\H{o}z\H{o} {\em 2.l\'{e}p\'{e}sben}
 minden $R_i$-hez kaptunk $F_{ij}$ \lek t, akkor a $W$ \lek t a
 k\"{o}vetkez\H{o}, {\em 4.l\'{e}p\'{e}sben} leirt m\'{o}don \"{o}ssze\'{a}llitjuk.
 Ha maradt olyan $R_i$ amelyhez
 nem tal\'{a}ltunk megfelel\H{o} $F_{ij}$-t (vagyis a (14.8) elt\'{e}r\'{e}s
 minden $j$-re nagyobb, mint a megadott hibakorl\'{a}t), akkor 
{\sf a {\em 2.l\'{e}p\'{e}s}
 elj\'{a}r\'{a}s\'{a}t megism\'{e}telj\"{u}k a kimaradt n\'{e}gyzeteken
 feleakkora line\'{a}ris m\'{e}ret\H{u} $D_j ,R_i$ p\'{a}rokkal}.\\
 \\
 \fbox{ \em 4. l\'{e}p\'{e}s} \ \ A (14.7) formul\'{a}val adott $F_{ij}$ f\"{u}ggv\'{e}nyekb\H{o}l \"{o}ssze\'{a}llitjuk  a  $W$ \lek t.
  $W$ minden $f$ f\"{u}ggv\'{e}nyhez hozz\'{a}rendel egy $W(f)$ f\"{u}ggv\'{e}nyt. A $W(f)$ f\"{u}ggv\'{e}nyt az $R_i$
tartom\'{a}nyokban az $F_{ij}$ f\"{u}ggv\'{e}nyek hat\'{a}rozz\'{a}k meg. Pontosabban 
$$W(f)(R_i)= F_{ij}(f(D_j));   \;\;  \;\;   i=1,2,\dots .$$
Ez egy t\"{o}m\"{o}r leir\'{a}sa a {\em 2. l\'{e}p\'{e}s}ben} megadott elj\'{a}r\'{a}snak. Azt fejezi ki, hogy a $W(f)$ fel\"{u}letnek az $R_i$
feletti r\'{e}sz\'{e}t \'{u}gy kapjuk meg, hogy a $D_j$ feletti fel\"{u}letr\'{e}szre alkalmazzuk az  $F_{ij}$ affin \lek t (ahogyan azt a P\'{E}LD\'{A}BAN
l\'{a}ttuk).

\'{I}gy ezeknek a fel\"{u}letdaraboknak az 
$$\bigcup F_{ij}(f(D_j)) \leqno{(14.9)}$$
egyes\'{\i}t\'{e}se adja egy  $f$ fel\"{u}let $W(f)$ k\'{e}p\'{e}t.

Az {\em 1-4 l\'{e}p\'{e}sben} le\'{\i}rt elj\'{a}r\'{a}s v\'{e}geredm\'{e}nyek\'{e}nt kapott $F_{ij}; \; i=1,2,\dots ,N$ f\"{u}ggv\'{e}nyekb\H{o}l
megszerkesztett 
$$\{W^{[n]}(g);  \;\; \;\;  n=1,2,\dots\}\leqno{(IT)}$$
sorozat, {\em b\'{a}rmely $g$ indul\'{o} k\'{e}ppel}, a f\'{e}nyk\'{e}pnek ugyanazt az ${\cal A}^*$
 k\"{o}zel\'{\i}t\'{e}s\'{e}t \'{a}ll\'{\i}tja  el\H{o}. Ezt a folyamat az IFS {\sf dek\'{o}dol\'{a}sa}.
 
  Ezt illusztr\'{a}lj\'{a}k a {\em 14.6} \'{e}s {\em 14.8 \'{a}br\'{a}k}. A {\em 14.6 \'{a}br\'{a}n} a {\em 14.3C \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o} n\H{o}i 
  arck\'{e}p IFS formul\'{a}j\'{a}nak a dek\'{o}dol\'{a}s\'{a}t l\'{a}tjuk, a {\em 14.6B \'{a}br\'{a}n} pedig a {\em 14.3B \'{a}br\'{a}n} l\'{a}that\'{o}
  Lenn\'{a}\'{e}t. A {\em 14.8 \'{a}bra}
   pedig a {\em 14.7 \'{a}bra} bet\H{u}inek dek\'{o}dol\'{a}s\'{a}t mutatja be a "k\'{a}oszb\'{o}l". \\
 \\

Az iter\'{a}ci\'{o}s sorozat ${\cal A}^*$ v\'{e}gterm\'{e}ke, a k\'{o}dolt k\'{e}p, alig
k\"{u}l\"{o}nb\"{o}ztethet\H{o} meg az
eredeti k\'{e}pt\H{o}l. M\'{e}gis {\em l\'{e}nyeges elt\'{e}r\'{e}s van
k\"{o}z\"{o}tt\"{u}k}. Az egyik
elt\'{e}r\'{e}s az, hogy a k\'{o}dolt k\'{e}p {\sf hat\'{a}rtalanul
nagyithat\'{o}} az eredeti
f\'{e}nyk\'{e}p viszont nem. A m\'{a}sik elt\'{e}r\'{e}s az, hogy a k\'{o}dolt k\'{e}p
huszad annyi helyen t\'{a}rolhat\'{o} mint az eredeti f\'{e}nyk\'{e}p,
m\'{a}s sz\'{o}val, az elj\'{a}r\'{a}s ill. az algoritmus kiv\'{a}lasztja a
\xfe et meghat\'{a}roz\'{o} \"{o}sszinform\'{a}ci\'{o}knak $5\%$-\'{a}t, az $\Fi$
szab\'{a}lyok form\'{a}j\'{a}ban, \'{u}gy hogy ebb\H{o}l az $5\%$-b\'{o}l m\'{a}r
rekonstru\'{a}lhat\'{o} a k\'{e}p. Egy ilyen elj\'{a}r\'{a}st
{\sf adatt\"{o}m\"{o}rit\'{e}snek} nevez\"{u}nk.

Mit jelent az, hogy egy halmaz \xh \ ? Ismeretes az, hogy minden \xfe  \
csak egy bizonyos m\'{e}rt\'{e}kig nagyithat\'{o}. Nagyit\'{a}skor a k\'{e}p egyre
"laposabb\'{a}"  v\'{a}lik, egyre jobban \'{e}szre vehet\H{o} hogy a f\'{e}nyk\'{e}pen a
val\'{o}s\'{a}g nem minden r\'{e}szlete van jelen. Igy a bizonyos m\'{e}rt\'{e}ken
t\'{u}l nagyitott k\'{e}pen a r\'{e}szleteknek olyan hi\'{a}ny\'{a}t vessz\"{u}k \'{e}szre
amely azt \'{e}lvezhetetlenn\'{e} teszi \'{e}s ez adja meg a nagyithat\'{o}s\'{a}g
hat\'{a}r\'{a}t.

Ugyanez a helyzet a {\em kinyomtatott} k\'{o}dolt k\'{e}ppel is. Ha azonban
a k\'{o}dolt k\'{e}pet \'{u}gy nagyitjuk fel hogy k\"{o}zben az iter\'{a}ci\'{o}k
sz\'{a}m\'{a}t is n\"{o}velj\"{u}k,  ahogyan ezt a {\large 6.5}-ben le\'{\i}rtuk, akkor ez nem t\"{o}rt\'{e}nik meg. Ugyanis az
iter\'{a}ci\'{o}k sz\'{a}m\'{a}nak n\"{o}vel\'{e}s\'{e}vel a k\'{o}dolt k\'{e}p \'{u}jabb \'{e}s
\'{u}jabb r\'{e}szletei bukkannak el\H{o}, amit csak a k\'{e}perny\H{o},
fot\'{o}papir vagy m\'{a}s k\'{e}phordoz\'{o} objektum korl\'{a}toz. M\'{a}s
sz\'{o}val, az iter\'{a}ci\'{o}k megfelel\H{o} n\"{o}vel\'{e}s\'{e}vel t\'{a}rsitott
nagyit\'{a}skor a k\'{o}dolt k\'{e}p felbont\'{a}sa {\em mindig} a k\'{e}perny\H{o}
maxim\'{a}lis felbont\'{o} k\'{e}pess\'{e}g\'{e}vel azonos.\\
\\   \\
{\Large 14.3}

{\large\bf Az elj\'{a}r\'{a}s igazol\'{a}sa}\\

Mivel itt m\'{a}s terepen alkalmazzuk az IFS modellt mint az 5. fejezetben, ez\'{e}rt fel\"{u}l kell vizsg\'{a}lnunk azt, hogy 
milyen felt\'{e}telek mellett alkalmazhat\'{o} itt az IFS modell. V\'{a}laszolni kell a k\"{o}vetkez\H{o}kre\\
I. \  Mikor tekint\"{u}nk k\'{e}t sz\"{u}rkesk\'{a}l\'{a}j\'{u} f\'{e}nyk\'{e}pet k\"{o}zel egym\'{a}shoz ?\\
II.  \  Mikor \'{a}ll\'{\i}tja el\H{o} az (IT) iter\'{a}ci\'{o}s sorozat az ${\cal A}^*$ halmazt?\\
III. \  Mi a kapcsolat ${\cal A}^*$ \'{e}s a f\'{e}nyk\'{e}p k\"{o}z\"{o}tt?\\ 

A {\large 4. fejezetben} megmutattuk, hogy kompakt halmazok k\"{o}z\"{o}tt a Hausdorff t\'{a}vols\'{a}g egy term\'{e}szetes metrika.

 A (korl\'{a}tos) f\"{u}ggv\'{e}nyek k\"{o}z\"{o}tt egy  term\'{e}szetes t\'{a}vols\'{a}gfogalom 
$$d[f, g]=\max\{ \mid f(x,y)-g(x,y)\mid  \}. \leqno{(14.10)}$$
vagyis {\sf a f\"{u}ggv\'{e}nyg\"{o}rb\'{e}j\"{u}k maxim\'{a}lis elt\'{e}r\'{e}se}.
Ez\'{e}rt el\H{o}sz\"{o}r azt kell  megvizsg\'{a}lni, hogy a (14.10) t\'{a}vols\'{a}gban kontraktivok-e a {\large 14.3}-ban megszerkesztett $F_{ij}$
\lek ek.

Adott $(x_1, x_2)\in D_j$ pontban
$$W(f)-W(g)=F_{ij}(f)-F_{ij}(g)$$
\'{e}s a (14.7) \'{e}s (14.8*) alapj\'{a}n
$$\max\mid F_{ij}(f)-F_{ij}(g)\mid \leq s_{ij} \max\mid f-g\mid  \;\; \;\; (x_1, x_2)\in D_j.$$
Ez\'{e}rt
$$d[W(f)-W(g)]=\max_{i,j} \mid F_{ij}(f)-F_{ij}(g)\mid\leq s d[f,g]$$
ahol $s=\max_i s_{ij}$

vagyis minden $F_i$ (\'{e}s igy $W$ is) kontraktiv ebben a t\'{a}vols\'{a}gban (metrik\'{a}ban) pontosan akkor, ha
$$0<s_{ij}<1.$$
A {\sf kontraktiv \lek ek t\'{e}tele} ekkor is (vagyis a (14.10) t\'{a}vols\'{a}gban is) \'{e}rv\'{e}nyes ({\large F.14.1}).\\
\\

{\bf T\'{e}tel.} \ Ha $f_n$ folytonos a {\em kompakt} $\cal D$-ben \'{e}s $f_n\rightarrow f$ a $\max$ metrik\'{a}ban,
 akkor $f$ folytonos $\cal D$-ben.\\
\\
{\bf Bizony\'{\i}t\'{a}s.} \ 
$$|f(x), f(z)|\leq  |f(x), f_n(x)|+|f_n(x), f_n(z)|+ |f_n(z), f(z)|; \;\; x,z\in {\cal D}$$
a jobboldal els\H{o}  \'{e}s harmadik tagja $<\varepsilon$ ha  $n>N(\varepsilon)$ ("el\'{e}g nagy")  
{\em b\'{a}rmely} $x,z\in {\cal D}$ mellett a $\max$ miatt.

Legyen $n$ egy r\"{o}gz\'{\i}tett $n>N(\varepsilon)$.

Ekkor a k\"{o}z\'{e}ps\H{o} tag is$<\varepsilon$ mivel $f_n$ folytonos.\\

A kontraktivit\'{a}s felt\'{e}tele,
$$0<s_{ij}<1$$
azt jelenti, hogy a kontrasztot cs\"{o}kkentj\"{u}k. Node
mi van akkor, ha a kontrasztott n\"{o}velni kell? Ha ez ut\'{o}bbi eset
viszonylag ritk\'{a}n fordul el\H{o} akkor m\'{e}g az elj\'{a}r\'{a}s
 konvergens marad. Pontosabban, ha van olyan $K$, hogy a  $\{W^{[n]}(g);  \;\; \;\;  n=1,2,\dots\}$ halmazokat el\H{o}\'{a}llit\'{o} l\'{a}ncokban minden
 $K$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} kompozici\'{o} kontraktiv, akkor ez elegend\H{o} arra, hogy a $\xxWb $ sorozat
konvergens legyen.

Ennek igazol\'{a}sa roppant egyszer\H{u}. Arra kell csak gondolni, hogy ekkor az ${\cal A}^*$ {\em legfeljebb $N^K$ 
kontraktiv f\"{u}ggv\'{e}nnyel alkotott} IFS attraktorak\'{e}nt (invari\'{a}ns halmazak\'{e}nt) \'{a}ll el\H{o}. ( {\large F 14.4})\\
\\  

Az alapvet\H{o} elt\'{e}r\'{e}s az} {\large 5. fejezetben}  bemutatott "klasszikus" IFS \'{e}s a k\'{e}pt\"{o}m\"{o}rit\H{o}
elj\'{a}r\'{a}sban alkalmazott IFS k\"{o}z\"{o}tt a k\"{o}vetkez\H{o}:

 a "klasszikus" IFS $F_i$ f\"{u}ggv\'{e}nyei {\em az $\cal A$-t k\'{e}pezik le} a vele affin r\'{e}szhalmazokra, vagyis
$${\cal A}=\bigcup_i F_i({\cal A}).$$
Ezzel szemben az $F_{ij}$ f\"{u}ggv\'{e}nyek  {\em az ${\cal A}^*$  r\'{e}szeit} (a $D_j$ feletti ${\cal A}^*_{D_j}$ fel\"{u}leteket)
 k\'{e}pezik le} a vele affin r\'{e}szhalmazokra, vagyis
$${\cal A}^*=\bigcup_i F_{ij}({\cal A}^*_{D_j}).$$

Ez\'{e}rt az elj\'{a}r\'{a}ssal kaphat\'{o} ${\cal A}^*$ halmazok  "mikro-szerkezete",
 a nagyit\'{a}skor felbukkan\'{o} k\'{e}pek sokas\'{a}ga, sokkal v\'{a}ltozatosabb  mint  a "klasszikus" IFS-el
kaphat\'{o} $\cal A$ halmazok eset\'{e}n. Ezt \'{u}gy szokt\'{a}k kifejezni, hogy   ${\cal A}^*$-nak nagyobb a komplexit\'{a}sa mint $\cal A$-nak.

Ne felejts\"{u}k el hogy a sok apr\'{o} technikai r\'{e}szlet m\"{o}g\"{o}tt itt is a kontraktiv \lek ek t\'{e}tele \'{a}ll. Ennek
\'{e}rv\'{e}nyess\'{e}ge  biztositja, hogy a k\"{u}l\"{o}nb\"{o}z\H{o} technik\'{a}kkal k\'{e}sz\"{u}lt elj\'{a}r\'{a}sok sikerre vezetnek.\\
 \\    \\
{\large \bf Feladatok \'{e}s kieg\'{e}szit\'{e}sek.} \\
\\
{\Large F. 14.1} \  \  {\sf A kontrakt\'{\i}v \lek \ t\'{e}tele.}  Legyen $X$ egy {\em teljes} metrikus t\'{e}r \'{e}s $f: \; X\rightarrow X$ 
kontrakt\'{\i}v f\"{u}ggv\'{e}ny. Ekkor az
$$\{f^{[n]}(x); \;\; n=1,2,\dots\}$$
iter\'{a}ci\'{o}s sorozat konvergens. A hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k f\"{u}ggetlen $x$-t\H{o}l, b\'{a}rmely $x$ \'{e}rt\'{e}kb\H{o}l 
indulva ugyanaz lesz a  hat\'{a}r\'{e}rt\'{e}k.\\
\\
{\sf Bizony\'{\i}t\'{a}s.} \'{E}pp\'{u}gy mint a koll\'{a}zst\'{e}tel bizony\'{\i}t\'{a}s\'{a}ban, 
$$d[  f^{[n+1]}(x), f^{[n]}(x)]\leq r^nd[x, f(x)]\leqno{(14.11)}$$
amib\H{o}l
$$d[f^{[m]}(x), f^{[n]}(x)]\leq (r^m+r^{m+1}+\dots r^n)d[x, f(x)] \;\; \;\; m<n$$
\'{e}s 
$$r^m+r^{m+1}+\dots r^n<r^m\frac{1}{1-r}.$$
\'{I}gy a Cauchy konvergencia felt\'{e}tel teljes\"{u}l.\\
\\
{\Large F. 14.2} \  \  A 14.2 \'{a}br\'{a}n a juharlev\'{e}lnek k\'{e}t verzi\'{o}ja l\'{a}that\'{o},
egy erezett, szerfelett lyukacsos \'{e}s egy \'{a}rnyk\'{e}pszer\H{u}. 
Az erezett v\'{a}ltozat kevesebb iter\'{a}ci\'{o}val k\'{e}sz\"{u}lt, m\'{e}gis az van k\"{o}zelebb $\cal A$-hoz. Ugyanis a k\'{e}pfelbont\'{o}
 k\'{e}pess\'{e}g korl\'{a}tja miatt, t\'{u}l sok iter\'{a}ci\'{o} ut\'{a}n a vonalak \"{o}sszefolynak.\\
\\
 {\Large F. 14.3} \  \  A (14.1) \'{a}ltal\'{a}nosit\'{a}sa
arra az esetre amikor az F f\"{u}ggv\'{e}nynek csup\'{a}n valamelyik $F^{[K]}$
iter\'{a}ltja kontraktiv.

Legyen $\fr$ olyan, hogy
 $$d[F(x), F(y)]<s.d[x, y] \;\;\; x, y\in R^n$$
 vagyis $\fr$ egy Lipschitz tipus\'{u} f\"{u}ggv\'{e}ny $s$ Lipschitz 
 konstanssal. Legyen $F^{[K]}$ kontraktiv, $s_K$ kontraktivit\'{a}si 
 t\'{e}nyez\H{o}vel. Legyen a $F^{[K]}$ fixpontja z. Ekkor
 $$ d[x, z]\leq{1\over{1-s_K}}{1-s^K\over{1-s}}d[x, F(x)]$$ 
 Igazoljuk ezt a formul\'{a}t!\\
 \\
 {\Large F. 14.4} \  Ha van olyan $K$, hogy a  $\{W^{[n]}(g);  \;\; \;\;  n=1,2,\dots\}$ halmazokat el\H{o}\'{a}llit\'{o}
 l\'{a}ncokban minden
 $K$ hossz\'{u}s\'{a}g\'{u} kompozici\'{o} kontraktiv, akkor $W^{[K]$ kontrakt\'{\i}v (mivel $W^{[K]$ a $K$ hossz\'{u} kompoziciok unioja).
  Ekkor, ha $n=mK+l$ ahol  $m>0,  ll\geq 0$, akkor
$$d[W^{[n]}(g), W^{[n+1]}(g)]= d[W^{[mK]}\circ W^{[l]}(g), W^{[mK]}\circ W^{[l+1]}(g)]< $$
$$r^{mK}d[ W^{[l]}(g), W^{[l+1]}(g)] \;\; \;\;  0\leq l\leq K-1$$
amib\H{o}l, hasonl\'{o}an mint a (14.11)-b\'{o}l, k\"{o}vetkezik a konvergencia.\\
\\
 {\Large F. 14.5} A {\em 14.9 \'{a}br\'{a}n} egy vonalas (fekete-feh\'{e}r sz\"{u}rke \'{a}tmenetek n\'{e}lk\"{u}li) \'{a}br\'{a}t hasonl\'{\i}tunk 
 \"{o}ssze a dek\'{o}dol\'{a}s  v\'{e}geredm\'{e}ny\'{e}vel.  Szemmel l\'{a}that\'{o}an rosszabb  
 eredm\'{e}nyt kaptunk mint a f\'{e}nyk\'{e}pek eset\'{e}ben. Az \'{a}rnyaltabb k\'{e}pet jobban k\"{o}zel\'{\i}ti meg az  ${\cal A}^*$  mint a kem\'{e}ny, csup\'{a}n
  fekete-feh\'{e}r k\'{e}pet.
 Ennek oka l\'{e}nyeg\'{e}ben az, hogy a k\'{e}p domborzati megfelel\H{o}je
 nem folytonos f\"{u}ggv\'{e}ny.\\
\\
{\Large **F. 14.6} \   Megadhat\'{o}-e minden $\cal B$ kompakt (korl\'{a}tos,
 z\'{a}rt) halmazhoz \'{e}s $\epsilon >0$-hoz \'{e}s $r_0\in(0,1)$-hez olyan $\{\Fi\}$ amelyre  $r_i<r_0$
 \'{e}s
 $$      h\left[{\cal B}, \bigcup_{i=1}^N  F_i ({\cal B})\right]< \varepsilon \:? $$
 
 Meg fogjuk mutatni, hogy b\'{a}rmely kompakt $\cal B$-hez {\em m\'{a}r hasonl\'{o}s\'{a}gi} $\{\Fi\}$ is} tal\'{a}lhat\'{o}.\\
  
 Minden pozit\'{\i}v  $\varepsilon$-hoz meg tudunk adni v\'{e}ges sok $\rho\leq \varepsilon /2$ sugar\'{u}
k\"{o}rt amelyek egy\"{u}ttesen befedik a ${\cal B}$ form\'{a}t \'{e}s megadhat\'{o} egy
elegend\H{o}en nagy sugar\'{u} k\"{o}r amely tartalmazza ${\cal B}$-t
({\em 14.10 \'{a}bra}).
Ezt formul\'{a}kkal, a matematika nyelv\'{e}n kifejezve: Minden pozitiv
$\varepsilon$-hoz
megadhat\'{o} v\'{e}ges sok $\xyq_i$  k\"{o}z\'{e}ppont\'{u} \'{e}s $\rho$  sugar\'{u} ${\cal
K}_i$  k\"{o}rlap \'{u}gy hogy
$$            \bigcup_{i=1}^K  {\cal K}_i \supset  {\cal B} $$
\'{e}s $\xyq_i\in {\cal B}$ (mivel $\cal B$ kompakt). Ezen kiv\"{u}l
 megadhat\'{o} m\'{e}g egy $R$ sugar\'{u} ${\cal K}$ k\"{o}r \'{u}gy hogy
${\cal B} \subset {\cal K}$ (mivel ${\cal B}$ korl\'{a}tos halmaz).

		Meg fogjuk mutatni, hogy tetsz\H{o}leges
$$      F_i : {\cal K} \xxhat {\cal K}_i \  \ \
i=1,2, \ldots ,K$$
 hasonl\'{o}s\'{a}gi lek\'{e}pez\'{e}sekre ekkor
$$      h\left[{\cal B}, \bigcup_{i=1}^N  F_i ({\cal B})\right]< 
\varepsilon \:. $$
A legegyszer\H{u}bb ilyen $\{F_i ; \ \ i=1,2, \ldots ,K\}$ az amely a
${\cal K}$ k\"{o}rlap sugar\'{a}t a ${\cal K}_i$  k\"{o}rlap\'{e}ra,
$\rho$-ra cs\"{o}kkenti \'{e}s az
\'{\i}gy kapott k\"{o}rlapot eltolja a a ${\cal K}_i$-be. 

 Az $F_i$  lek\'{e}pez\'{e}s nyilv\'{a}n a ${\cal K}_i$  belsej\'{e}be 
k\'{e}pezi le a ${\cal B}$ halmazt ({\em 14.11 \'{a}bra}).

A szerkeszt\'{e}sekb\H{o}l r\"{o}gt\"{o}n k\"{o}vetkezik \'{e}s a
		 14.10-11 \'{a}br\'{a}kb\'{o}l is leolvashat\'{o},
$$     {\cal B} \subset  \bigcup_{i=1}^K {\cal K}_i  \subset {\cal
B}+\rho \leqno{(14.13)} $$
(hiszen $\xyq_i\in {\cal B}$ \'{e}s $\cup_{i=1}^K {\cal K}_i$ lefedi 
$\cal B$-t) \'{e}s
$$ F_i ({\cal B})\xxc {\cal K}_i \xxc F_i ({\cal B})+2\rho \: .
\leqno{(14.14)} $$
(hiszen ${\cal B \subset {\cal K}$ \'{e}s a $\rho$ sugar\'{u} k\"{o}rlap
b\'{a}rmely k\'{e}t pontja legfeljebb $2\rho$ t\'{a}vols\'{a}gban van 
egym\'{a}st\'{o}l.)\\

A (14.13) \'{e}s (14.14) formul\'{a}kb\'{o}l k\"{o}vetkezik, hogy
$$ h \left[ {\cal B},  \bigcup_{i=1}^K  F_i  ({\cal B}) \right] \leq 
  2\rho \:$$
mivel a (14.13) \'{e}s (14.14) formul\'{a}k megfelel\H{o} \'{a}trendez\'{e}s\'{e}vel
$$ \bigcup_{i=1}^K F_i ({\cal B})\xxc  \bigcup_{i=1}^K{\cal K}_i
\subset  {\cal B}+\rho $$
\'{e}s
$${\cal B} \subset  \bigcup_{i=1}^K  {\cal K}_i  \subset
\bigcup_{i=1}^K F_i ({\cal B})+2\rho \: .$$
(ld. a Hausdorff t\'{a}vols\'{a}g definici\'{o}j\'{a}t a {\large 4.2}-ben).\\
\\
{\Large F. 14.7} \  \  Mivel  $F_{ij}(\emptyset )=\emptyset$  \'{e}s
$$F_{ij}({\cal C}):= F_{ij}({\cal C})\bigcap D_j$$
ez\'{e}rt az ${\cal A}^*$ sorozatos el\H{o}\'{a}llit\'{a}s\'{a}ban sz\'{a}mos kompozici\'{o} "elveszhet". Els\H{o}sorban olyankor
van ez, amikor a kompozici\'{o} l\'{a}nc olyan                       
$$F_{\sigma_i}\circ F_{\sigma_{i+1}}\circ\dots\circ F_{\sigma_j} \leqno {(14.12)}$$
r\'{e}szt tartalmaz, ahol
$$R_{\sigma_{i+1}}\bigcap D_{\sigma_i}=\emptyset .$$
Ez\'{e}rt a ${\cal A}^*$ halmazt el\H{o}\'{a}llit\'{o} $F_{ij}$ f\"{u}ggv\'{e}nyrendszer egy {\sf parci\'{a}lis IFS}-t alkot.

Ekkor  $\sigma_i\sigma_{i+1}\dots\sigma_j$  a tiltott sz\'{o} szerep\'{e}t t\"{o}lti be, a (14.12) kompozici\'{o} nem 
szerepel a f\'{e}nyk\'{e}pet el\H{o}\'{a}ll\'{\i}t\'{o} l\'{a}ncokban. Ez\'{e}rt a (14.12) kompozici\'{o}nak {\sf NEM kell
kontrakt\'{\i}vnak lenni.}\\
\\
{\Large F. 14.8} \  \  A Koll\'{a}zs T\'{e}tel k\'{e}t jelens\'{e}gnek mutatja meg {\em a matematikai} h\'{a}tter\'{e}t.\\
\\
{\large I.} \ A $\cal B$ halmaz (k\'{e}p) N m\'{a}trixba (6N sz\'{a}madatba) t\"{o}m\"{o}r\'{\i}thet\H{o}\\
{\large II.} \  A $\cal B$ halmazt (k\'{e}pet)tetsz\H{o}leges pontoss\'{a}ggal megk\"{o}zel\'{\i}t\H{o} $\cal A$ egy
{\sf \"{o}nhasonl\'{o} halmaz} (praktikusan, \"{o}naffin).\\
\\
MEGJEGYZ\'{E}S. B\'{a}rmilyen halmazb\'{o}l ind\'{\i}thatjukaz IFS iter\'{a}ci\'{o}t. A  $h[{\cal B}, {\cal A}]$ 
\'{e}rt\'{e}k\'{e}re mind\'{\i}g a Koll\'{a}zs T\'{e}tel \'{e}rv\'{e}nyes.\\ 




\end{document}













