Lotka-Volterra és kvázipolinom-rendszerek stabilitási tartományának meghatározása Maximális Ljapunov-függvények segítségével

 

Bokányi Ágnes, V. évf.  

Konzulensek: Prof. Hangos Katalin, Szederkényi Gábor, PhD
MTA SZTAKI Folyamatirányítási Kutatócsoport

Koncentrált paraméterű dinamikus rendszerek közönséges differenciálegyenlet-rendszerrel modellezhetők. A rendszerek fontos tulajdonsága egy adott egyensúlyi pont körüli stabilitási tartományuk; hiszen ez a tartomány mutatja, hogy mekkora külső és belső zavarással szemben marad a rendszer stabil. A stabilitási tartomány olyan tartomány, amelyből indítva a rendszer a meghatározott egyensúlyi helyzetbe kerül. Ez a legnagyobb ilyen tartomány a rendszert leíró autonóm differenciálegyenlet-rendszer adott egyensúlyi pontja körül.

 

A stabilitási tartomány becslésére az egyik módszer, hogy Ljapunov függvényt konstruálunk az adott autonóm differenciálegyenlet-rendszerhez. Leggyakrabban kvadratikus Ljapunov függvény jelölteket használnak, amelyekkel a stabilitási tartomány becslése egy korlátos tartomány. Egy másik, ismert algoritmus [1] iteratív módon konstruál egy ún. maximális Ljapunov függvényt, majd ennek segítségével ad meg egy becslést, amely nem korlátos tartomány is lehet. A maximális Ljapunov függvény valójában a klasszikus Ljapunov függvény kiterjesztése, oly módon, hogy a stabilitási tartomány pontjaiban rendelkezzen a klasszikus Ljapunov függvény tulajdonságaival, a tartomány határán pedig tartson a végtelenbe. Az eddig ismert módszerek által használt kvadratikus Ljapunov függvényektől eltérően a maximális Ljapunov függvények racionális törtfüggvény alakúak. Ezen algoritmust csak olyan differenciál-rendszerekre lehet alkalmazni, melyeknek az origó aszimptotikusan stabil egyensúlyi helyzete, becsülni pedig csak ezen pont körüli stabilitási tartományt lehet.

A dolgozatban az [1] közleményben leírt becslési algoritmust pontosítottuk, és vizsgáltuk a hangoló paraméterek hatását a becslési eredményre. Ennek alapján tettünk javaslatot a hangoló paraméterek beállítására. Az algoritmust kiterjesztettük ranghiányos lokális Jacobi mátrixú esetre is.

Az algoritmust alkalmaztuk Lotka-Volterra rendszerekre [2], amelyeket eleinte együttélő populációk dinamikájának modellezésére használtak, napjainkban viszont egyre szélesebb rendszerosztályokat írnak le  segítségükkel, például kémiai reakciók, neuronhálók plazmafizikája, közgazdaságtani modellek. Az úgynevezett kvázipolinom rendszerek is beágyazhatók a Lotka-Volterra rendszerek osztályába. A kvázi-polinom rendszerek szerep egyre nő a dinamikus rendszerek modellezésében, hiszen a gyakorlati alkalmazásoknál előforduló nemlineáris rendszerek könnyen transzformálhatók ilyen alakra.

A  becslési algoritmus implementáltuk MATLAB és MAPLE környezetben, és ennek segítségével numerikusan becsültünk stabilitási tartományokat teljes rangú, illetve ranghiányos Lotka-Volterra rendszerekre. Az algoritmust a 3. iterációs lépésig számoltuk. Míg a teljes rangú esetben más módszerekkel is igazolható a kapott eredmény, addig a ranghiányos esetben csak ezzel az algoritmussal kapunk reális, azaz nem korlátos becslést.

Irodalom:

1.      A. Vannelli, M. Vidyasagar: Maximal Lyapunov functions and domains of attraction for autonmous nonlinear systems. Automatica, vol. 21, no. 1, 69-80 (1985).

2.      Yu. A. Pykh: Lyapunov functions for Lotka-Volterra systems: an overview and problems, In Proc. IFAC Conference on Nonlinear Control Systems 1655-1660 (2001).