Molnár Emil (BME, Matematika Intézet)
Kristályok tervezéséről
Sík- és térbeli "minták" elemzésével érzékeltethetjük azt a heurisztikus elképzelést, hogy a kristályok leírhatók egy poliéderkitöltéssel (kövezéssel). Ehhez egy baricentrikus szimplex-felbontás rendelhető, melynek csúcsaiban (vagyis a formálisan, topológikusan tekintett test- (d= 3 esetén), lap-, él- és csúcs-középpontokban) helyezkedhetnek el az atomok. A kövezésen hat továbbá egy G szimmetriacsoport (kristálycsoport vagy tércsoport) úgy, hogy a baricentrikus szimplexek véges sok G-pályába sorolódnak. A baricentrikus szimplexek d-, d-1-, ... 1-, 0-dimenziós lapszomszédosságai indukálják a G-pályák megfelelő szomszédosságait. Így a szabályos kövezéshez egy D-diagramm (D-gráf, B.N. Delone, M.S. Delaney, A.W.M. Dress tiszteletére) rendelhető, melynek csúcsai a baricentrikus szimplexek G-pályái, d+1 színnel színezett élei pedig a megfelelő szimplex-szomszédosságokra utalnak. Az i- és j-szomszédos lapok közös (d-2-dimenziós) élénél csatlakozó baricentrikus szimplexek 2.m(ij) számát az alábbi szorzat: m(ij) = r(ij) . v(ij) szerint a D-diagramm i- és j-szomszédosságai - az r(ij) mátrixfüggvénnyel, 0 <= i <= j <= d - valamint a v(ij) forgásrendek - a G kristálycsoportnak megfelelően - határozzák meg. Kémiailag ez nyilván kapcsolatban van a megfelelő atomok (ionok) vegyértékeivel, kötésszámaival. Tehát egy kristályt ebben a közelítésben egy D-diagramm és egy szimmetrikus m(ij) mátrixfüggvény együttese - ennek neve D-szimbólum -jellemez, mely a poliéderkövezést a kristálycsoporttal együtt kódolja. Ezt a kódot egy számítógép is kezelni tudja: a szomszédosságok n elem (a pályák száma, azaz a D-diagramm csúcsszáma) d+1 darab involutív permutációi lesznek, az n elemhez rendelt m(ij) mátrixfüggvénnyel együtt, néhány természetes követelménynek (később mint axiómának) megfelelően. Izgalmas a fordított kérdés! Egy adott véges D-szimbólumhoz létezik-e egy megfelelő kövezés valamely - nem feltétlenül euklideszi -térben? Természetesen az euklideszi realizálás a gyakorlat számára a legfontosabb probléma. De sok esetben a D-szimbólum nem teszi ezt lehetővé, például az m(ij) mátrixfüggvénytől függően más-más geometriát kaphatunk: 8-féle homogén geometria (Thurston geometria) jön számításba. De fellép(het)nek olyan esetek is, amikor a realizálás - különböző okok miatt- nem lehetséges. Bizonyos természetes fizikai-kémiai vagy matematikai feltételeknek megfelelően számítógép sorolhatja fel a szóbajövő D-szimbólumokat. Ezután egy geometriai elemzés, mely többé-kevésbé ugyancsak algoritmizálható, adhat választ arra, mely kövezések mely térben realizálhatók. Ha a realizálás nem lehetséges, akkor az okokról is felvilágosítást kaphatunk. Az utóbbi problémák sok megoldatlan kérdést vetnek fel, melyek napjainkban már megtámadhatók. A D-diagramm n elemszámától függő exponenciális bonyolultság és persze a dimenzió komoly gondot okoz, de jól körülhatárolt kérdésekre teljes klasszifikációs eredményeket kaphatunk.
Időpont: szept. 24. kedd 16:15 Helye: BME I. épület E. szárny, 213.