\documentclass{article}
\usepackage{fullpage} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

%Az alábbi 3 csomagot mindig betöltjük.
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{refcheck} %hatására a label paranccsal megjelölt sorszámok mellett
	% láthatjuk az elnevezést. Segít azt is eldönteni, hogy hivatkozunk-e erre
	% a label-re.

%Rosszul elválasztott szavak elválasztását tudjuk javítani
\hyphenation{ke-rék-pár-út}

%Létrehozunk egy tetel, lemma és defi környezetet.
\newtheorem{tetel}{Tétel}
\newtheorem{lemma}[tetel]{Lemma} %Ennek hatására a Tétel és Lemma sorszámok egymást követik
\newtheorem{defi}{Definíció}

\title{8. gyakorlat}
\author{Gyakorlatvezetők: Tóth Ágnes, Móra Péter\\Ludvig Ádám, Szabolcs Barnabás}
\date{2007. november 5., 10., 13.}

\begin{document}

\frenchspacing

\maketitle % Ennek hatására elkészíti a címet

\section{Képletek}

\begin{defi}
A természetes számok a $0$-ból és a pozitív számokból áll:
\[ % Képletből a \text{} paranccsal tudunk ideiglenesen visszaváltani
\mathbb{N} \stackrel{\text{def}}{:=} \{ 0, \underbrace{1, 2, 3, 4, \ldots}_{\text{pozitív számok}} \}
\]
\end{defi}

\begin{tetel}[Wilson]
  Egy $p$ szám pontosan akkor prím, ha 
  \begin{equation}\label{1} %A \pmod{p} kiteszi a "(mod p)" részt. Ha "mod"-ot szetnénk írni, azt a \bmod paranccsal tehetjük meg.
    (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}.
   \end{equation}
\end{tetel}
\begin{proof} %Bizonyítás kezdete
  Ha $p$ nem prím, akkor (\ref{1}) nyílvánvalóan nem teljesül. A másik oldal házi feladat.
\end{proof}

\begin{tetel}[De Morgan]
\[
\mathcal{A} \setminus (\mathcal{B} \cup \mathcal{C}) = (\mathcal{A}\setminus \mathcal{B})\cap (\mathcal{A}\setminus \mathcal{C})
\]
\end{tetel}

Minden komplex szám felírható $z=a+b\mathrm{i}$ alakban, amely számnak a konjugáltja:
\[ \overline{z} = \overline{a+b\mathrm{i}} = a-b\mathrm{i}\]


Az alábbi képletben, aminek a száma (\ref{e}), a limesz az $e^2$ számhoz tart:

\begin{equation}\label{e}
  \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac1{n} \right)^{2n} = e^2.
\end{equation}

A deriválás definíció szerint:

\begin{equation}\label{2}
  f'(a) := \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
\end{equation}
 Nézzünk rá egy példát:

\[ 
  \left( a^2 \right)' = \lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^2}{x-a} = \lim_{x \to a} x+a = 2a,
\] %a \aref hatására nem csak a sorszámot teszi ki, hanem névelőt is tesz elé.
ahol az első egyenlőségnél \aref{2}. egyenletet alkalmaztuk. Újabb példa a deriválásra:
\[
(\mathop{\mathrm{tan}}(x))' = \left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)' = \frac1{\cos^2(x)}
\]

 Pár gyakorlattal ezelőtt megnéztük, hogy mennyi
 \[ \left(3+\sqrt{5}\right)^{7171} \]
 tizedesvessző utáni 32. jegye. Feladatmegoldó szemináriumon megbeszéltétek, hogy
 \begin{multline*} %azért csillagozzuk meg a multline könyezetet, hogy ne kapjon sorszámot
 \left(3+\sqrt{5}\right)^{7171} + \left(3-\sqrt{5}\right)^{7171} = \\
 \sum_{k=0}^{7171} \binom{7171}{k}\left(\sqrt{5}^k3^{7171-k} + \left(-\sqrt{5}\right)^k3^{7171-k}\right) =\\
 \sum_{k=0}^{7171} \binom{7171}{k}3^{7171-k}\left(\sqrt{5}^k+\left(-\sqrt{5}\right)^k\right) \in \mathbb{N}
 \end{multline*}
 teljesül, és mivel $ \left| 3-5\sqrt{5} \right| < 1 $ ezért a kérdéses összeg elég közel lesz egy egész számhoz.

  Az előző órán már volt integrál:
  \[ \int_{0}^{\pi} \sin(x)\,\mathrm{d}x = 2, \]
  ám a \emph{\textbackslash limits} opcióval elérhetjük, hogy a határok az integrál jel felé, illetve alá kerüljenek:
  \[ \int\limits_{0}^{\pi} \sin(x)\,\mathrm{d}x = 2. \]

 Vegyük az alábbi két vektort:

 \[ \mathbf{v}:= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right), \qquad 
    \mathbf{w}:= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right) \]
  A skaláris szorzatuk: $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = 32$.

  %az array esetében a c betűk az elemek igazítását állítják be, ezáltal minden elem középre lesz igazítva
 Egy $2\times 2$-es $A$ mátrix determinánsa általános esetben:
  \[
\det(A)=
\left|
\begin{array}{cc}
  \alpha & \beta \\
  \gamma & \delta
 \end{array}
\right|
= \alpha\delta-\beta\gamma.
\]

Egy $2\times 2$-es márix inverze pedig:
\[
\left[
\begin{array}{cc}
  \alpha & \beta \\
  \gamma & \delta
 \end{array}
 \right]^{-1}
=
\frac{1}{\det(A)}
\left[
\begin{array}{cc}
 \delta  & -\beta \\
  -\gamma & \alpha
 \end{array}
 \right]
\]

Végül egy tartalmazási lánc:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset\mathbb{Q} \subset\mathbb{R} \subset\mathbb{C} \]

Alapvető analízis példa a következő függvény:
\[ f(x):= \begin{cases} 0 & \text{ha $x$ irracionális}\\
  		1 & \text{ha $x$ racionális.} \end{cases}\]

\end{document}
