% LaTeX nagyházihoz készített mintafájl.
% Az eredeti fájl elérhető innen:
% http://mat02.math.bme.hu/4felev/funkanal/funkanalea/funkanalea2.jpg
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{fullpage} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

%Az alábbi 3 csomagot mindig betöltjük.
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

%Rosszul elválasztott szavak elválasztását tudjuk javítani
\hyphenation{ke-rék-pár-út}

%Létrehozunk egy tetel, lemma, segtetel, defi, megj, kov és all környezetet. Ezeket használjátok!
\newtheorem{tetel}{Tétel}
\newtheorem{lemma}[tetel]{Lemma} %Ennek hatására a Tétel és Lemma sorszámok egymást követik
\newtheorem{segtetel}[tetel]{Segédtétel}
\newtheorem{defi}{Definíció}
\newtheorem*{megj}{Megjegyzés} %A csillag hatására nem kap sorszámot
\newtheorem*{kov}{Következmény}
\newtheorem*{pelda}{Példa}
\newtheorem{all}[tetel]{Állítás}

%%% EDDIG NE VÁLTOZTASSATOK, AZ ALÁBBI RÉSZT ÍRJÁTOK ÁT!
%%% Bizonyításhoz használjatok \begin{proof} ... \end{proof} környezetet
%%% Tétel és lemma írásához pedig \begin{tetel} ... \end{tetel}, illetve
%%% \begin{lemma} ... \end{lemma} környezetet. Ha a tétel egy emberhez köthető
%%% akkor a gyakorlaton tanult módon azt jelezzétek (a \begin{tetel} után [] jelben)
%%% Írjátok ki a rövidítéseket, például rac. helyett racionális
%%% Nem baj, ha kötőszavakat helyeztek el a részek között a jobb megértés érdekében,
%%% de ne költsétek át.
\begin{document}

\frenchspacing

Például:
\[
\left(
 \begin{array}{cc}
   t & z \\
   \overline{z} & s
 \end{array} \right)\]
 $2\times 2$-es önadjungált mátrix, ahol $t,s \in \mathbb{R}, z \in \mathcal{C}$.
\[
\underbrace{
x_0 \cdot 
\left(
 \begin{array}{cc}
   1 & 0 \\
   0 & 1
 \end{array} \right) +
x_1 \cdot 
\left(
 \begin{array}{cc}
   0 & 1 \\
   1 & 0
 \end{array} \right) +
x_2 \cdot 
\left(
 \begin{array}{cc}
   0 & -\mathrm{i} \\
   \mathrm{i} & 0
 \end{array} \right) +
x_3 \cdot 
\left(
 \begin{array}{cc}
   1 & 0 \\
   0 & -1
\end{array} \right)
}_{\text{Pauli-mátrixok}}
=
\left(
 \begin{array}{cc}
   x_0+x_3 & x_1-\mathrm{i}\cdot x_2 \\
   x_1+\mathrm{i}\cdot x_2 & x_0-x_3
 \end{array} \right)\]

$V_1$, $V_2$ vektorterek

\begin{defi}
 $\varphi \colon V_1\to V_2$ leképezés. $\varphi$ \emph{lineáris}, ha $\varphi(\lambda f+\mu g)=\lambda\cdot \varphi(f)+\mu\cdot \varphi(g)$, ahol $f,g\in V_1$, $\lambda,\mu \in \mathbb{C}$.
 Ha $V_2=\mathbb{C}$, akkor $\varphi$ lineáris funkcionál.
\end{defi}

például:
\begin{enumerate}
 \item[a)] $\mathop{\mathrm{Tr}} \colon M_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}$, $\mathop{\mathrm{Tr}}$: mátrixhoz a nyomát rendeli -- ez egy lineáris funkcionál.
   \[ \mathop{\mathrm{Tr}}\left( \begin{array}{ccc}
     a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
     \vdots & \ddots & \vdots \\
     a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right)
     = \sum_{i=1}^n a_{ii} \]
   \item[b)] $I \colon C_{\mathbb{R}}[0,1] \to \mathbb{R}$, 
      \[ I(f) = \int\limits_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{ez egy lineáris funkcionál} \]
   \item[c)] $\sigma \colon \mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}[x]$ deriválás is lineáris leképezés
    \begin{gather*}
      L(V_1,V_2) = \{ V_1\to V_2 \text{ lineáris leképezések }\}\\
      (c \varphi)(f) = c\cdot \varphi(f)\\
      (\varphi_1+\varphi_2)(f) = \varphi_1(f)+\varphi_2(f)
    \end{gather*}
\end{enumerate}

\begin{defi}
  $L(V,\mathbb{C}) = V^*$ algebrai duálisa $V$-nek
\end{defi}
például:
\begin{enumerate}
\item[a)]
 $\mathop{\mathrm{Tr}} \in M_n(\mathbb{C})^*$
 \[ A=\left( \begin{array}{ccc}
     a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
     \vdots & \ddots & \vdots \\
     a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \in M_n(\mathbb{C}) \]
 $\varphi \colon \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n$ ahol
 \[ \varphi \colon \left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \to
   \left( \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right),
     \quad \text{ahol } y_k=\sum_{j=1}^n a_{kj}\cdot x_j \quad (\underline{\mathbf{x}} \to A\underline{\mathbf{x}})\]
\item[b)]
  $\varphi\colon V_1 \to V_2$ lineáris leképezés, $\mathbf{e_1}, \ldots, \mathbf{e_n} \in V_1$ bázis $V_1$-ben, $\mathbf{f_1},\ldots,\mathbf{f_m} \in V_2$ bázis $V_2$-ben.
  \[ \varphi(\mathbf{e_i}) = \lambda_{1i}\mathbf{f_1} + \lambda_{2i}\mathbf{f_2}+\ldots \lambda_{mi}\mathbf{f_m}\]
  \[
 \left( \begin{array}{ccc}
     \lambda_{11} & \ldots & \lambda_{1n} \\
     \vdots & \ddots & \vdots \\
     \lambda_{n1} & \ldots & \lambda_{nn} \end{array} \right) \quad \leftarrow \quad \text{ez a lineáris leképezés mátrixa}
  \]
\end{enumerate}

\end{document}
