- no title specified

Előadásomban be szeretném mutatni, hogy a matematika tanításában, de akár a matematikán belül is, a tételek bizonyításának némelyikénél miért lehet visszatérni a nonverbális eszközökhöz, és hogy a szavak nélküli matematikai bizonyítások létjogosultságának milyen történelmi előzményei és szemiotikai-érveléstechnikai indokai vannak. A történeti és szemiotikai bevezető után egy konkrét témát dolgozunk fel, a projektív geometrián belüli Desargues-tételkört, illetve ennek tanítását, melyben pusztán ábrákkal, nagyon kevés szóbeli érveléssel a téma nagyon mély rétegeibe dogunk majd eljutni. Ezzel a példával igazoljuk, hogy a diagrammatikus érvelés legalábbis a matematika tanításában, de akár a matematikán belül is egyenértékű képes lenni a verbális bizonyítási stílussal. Megjegyezzük, hogy ezt az igen régi módszert a gyakorlatban is kipróbáltuk a budapesti Sztehlo Gábor Evangélikus Gimnázium kilencedikes és tizedikes rajz és művészetek tagozatos diákjai körében.

Az ókori görög matematika történetéről alkotott kép sokáig a szokásos módon nézett ki. Az egyeditől az absztraktig fokozatosan jut el a tudomány. Kezdőpontja Thalész korszaka, a tetőpontja a Euklidesz elemei és gyümölcsei a számos alkalmazás. Szabó Árpád rámutatott, hogy az ókori görög matematika fejlődése forradalmi változások kíséretében zajlott.1 Ezek a forradalmi változások elsősorban a matematikai igazság megismerésének módszereinek megválasztásában nyilvánultak meg. Thalész korában a matematikai igazság megkeresésének módszere a látható, érzékelhető, kipróbálható, megszerkeszthető eszközökben bővelkedett. A bizonyítás egyik legfontosabb eszköze az átdarabolás volt. Emlékezzünk csak arra, hogy az általános iskolában hogyan „bizonyítottuk”, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180º! Ha egybevágó háromszögeket vágunk ki papírból és a három különböző szöget rendre egymás mellé illesztjük, akkor egy egyenes kapunk. Ám vegyük észre, ezzel a későbbi matematikai korszak igazságkeresési módszerei teljesen ellentétesek. Később a matematika az ilyen kivágás, átdarabolás, egymásra fektetés technikáktól eltávolodott és lehorgonyzott a verbális érvelés mellett. A legkorábbi verbális argumentációk, pl. a párosról és páratlanról szóló tanítás Euklidesz VII. könyvében, a logikai bizonyítási formák teljes repertoárját felmutatja, mintegy belső, matematikai előzmény nélkül. Prototípusai az ilyen érveléseknek Zénón apóriái, melyek a tapasztalattal szemben az ésszel megismerhetőt tekintik elsődlegesnek. (Idézzük fel, mit jelent ez: a tapasztalat bizonytalan, a „lélek” által megismerhető a biztos. Ez maga a platonizmus.)

Ami Euklideszt naggyá teszi, hogy mindként hagyományt őrzi. A Pithagorasz tétel Elemekben található bizonyításának zsenialitását már az ókorban méltatta Proklosz, de a bizonyítás zsenialitása nem az axiomatikus-deduktív módszerben keresendő, hanem abban, hogy Euklidesz meghagyta az ehhez a tételhez illő átdarabolásos módszert. A befogókra írt négyzeteket addig lehet darabolni, rakosgatni, míg együtt ki nem teszik, fedésbe nem kerülnek az átfogóra írt négyzettel. Ez Thalész korának módszere a matematikai igazságok megkereséséhez. Szabó Árpád hangsúlyozza, hogy a bizonyításra használt görög szó (άποδειχνΰναι) azt is jelenti, hogy „megmutatni”. Koránt sem belemagyarázásról van itt szó! Proklosz írja le, hogy Thalész inkább érzékletesebben, kézzelfoghatóbban művelte a matematikát, míg a pythagoreusok tisztán intellektuális okokat hoztak fel a tételeik mellett.2 Kiválóan adja vissza ezt a tudást a matematikai hagyomány, mely a „bizonyítás” szó szinonimájaként kezeli a „belátás” szót.

Kettősség figyelhető meg tehát a matematikai megismerési módszerekben és kettősség mutatkozik a matematika művelésének történetében is. Erre a kettősségre mutat jól rá egy kedves anekdota. Egy kollégám, aki inkább a humaniórák iránt érdeklődött és a matematikát meglehetősen antipatikus tudománynak tartotta említette a „belátás” szó taszító voltát, mintegy végső okként, hogy miért nem szereti a matekot. Bizonyítás, igazolás, megmutatás, belátás. Ezek a fogalmak a matekórán ugyanazt jelentik. Pedig a köznyelvi értelmében szétválnak, akár úgy, hogy ellentétbe kerül a verbális érvelés a láttatással, akár azzal, hogy használjuk azt a fölényeskedő fordulatot, hogy „lássuk be!”, mintha azt mondaná a tanár: „ássuk be, hogy nekem van igazam”. (Néha az ember nem is tudja, hogy a kifejezéseivel milyen lelki traumát okoz a gyanútlan hallgatóságban. Nyilván az előbb említett kollégám félreértette a „belátás” szó matematikában használatos értelmét.)

Talán érdemes Szabó Árpádról néhány szót ejteni. Ő az 50-es évekig a klasszika-filológia tanára volt a debreceni majd a budapesti tudományegyetemen, ahonnan politikai okokból távolították el és fosztották meg katedrájától. A Matematikai Kutatóintézetben talált Rényi Alfréd jóvoltából állást, ahol az Elemek fordítása és ókori görög matematikai szövegek gondozása volt a feladata. Szerencse a szerencsétlenségben, hogy bár az egyetem vesztett egy országos hírű klasszika-filológust, az ország nyert egy világszerte ismert matematikatörténészt. 1990 után rehabilitálták és akadémikussá választották.3

A diagrammatikus érvelés létjogosultsága – az Elemek, mint klasszikus példa

A tárgyalás szempontjából nem lényegtelen, hogy egyáltalán van-e létjogosultsága a grafikus érvelésnek vagy sem. Szerves része-e a matematikai bizonyítási módszernek az ábrákkal történő igazolás? Van-e erre példa, volt-e olyan kor, amikor az ábrákkal való bizonyítás lényeges részét alkották a matematikai érveléseknek? Erre egy történeti példa elemzésén keresztül válaszolunk, éspedig Euklidész Elemek c. klasszikus könyvét vesszük alapul.

Már önmagában az is meglepő, hogy egy ókori könyvben ábrák vannak. Nem így képzeljük el az ókori irodalmat. Az ókor legjelentősebb matematika tankönyvében azonban nem is kis számban vannak ábrák. Az ábrák az Elemekben nem csak a bizonyításokat segítik, hanem önállóan bizonyításokként is működhetnek. Nem állítom, hogy ez nyilvánvalóan így van, éppen ezért megkísérlem érvekkel alaposan alátámasztani. Az állítást egy gyengébb formában először Reuben Hersh fogalmazta meg, miszerint az ábrák az Elemekben nem szükségtelenek, hanem a könyv szerves részei. Hersh megfogalmazásában kiderül, hogy ezt nem csak úgy érti, hogy segítik a megértést. Ha csak ez lenne a szerepe, az ábrák egyáltalán nem lennének szükségesek.5 Ezek azonban Hersh szerint elhagyhatatlanok. Tézisem tehát a következő: az Elemek ábrái komplett bizonyítások, melyeket a szöveg segít, alátámaszt. Állításom mellett módszertan és történeti érveket fogok felhozni. Mindezek előtt azonban lássuk a fogalmi eszköztárat.

Index, ikon, diagram, szimbólum. A nem-verbális jellegű, diagrammatikus bizonyításokról először Charles Sanders Peirce beszélt a matematika jelrendszerét elemző szemiotikai tanulmányaiban. Az ehhez szükséges fogalmi eszköztárat is ő állította össze. Röviden összefoglalva, ez a következő. Ikonnak nevezi az olyan jeleket, melyek a jelölet egy jellegzetes tulajdonságát jeleníti meg, de nem jellemzi teljesen, nem definiálja a jelöletet. Például egy vektort ábrázoló nyíl egy ikon, de egy karikatúra egy emberről szintén ikon és egy mozgásparódia is ikonizálja azt, akinek a mozgását parodizálja. Az index olyan jel, mely pusztán hivatkozik egy objektumra, azaz referál, de nem adja meg a jelentését. A legmagasabb szintű jel a szimbólum, mely definiálja, teljes leírását adja az általa jelölt objektumnak. Az ikonok között találjuk a diagramokat, mely objektumok közti relációkat jelöl.67

Módszertani érvek. A diagramok – Peirce értelmezésében – relációkat kódolnak, amik így alkalmas kijelentések közötti relációk, bizonyítások ábrázolására. A bizonyítás ugyan állítássorozat, a diagram egyetlen kép, de a diagram, mint egymásra rajzolt ikonok sorozata szimbólum, és a rajzolás illetve a kép pontjainak jelölése során ezt az időbeli sorrendet rekonstruálni tudjuk. Arra az ellenvetésre, hogy a diagramok nem kódolják tökéletesen a bizonyítást, azt válaszolhatjuk, hogy ez igaz a szöveges bizonyításokra is. A szöveges bizonyítás sem hézagmentes, pusztán az alapvető gondolati lépéseket vonultatja fel, számos logikai lépést, sőt szakmai, matematikai trivialitást is ismertnek feltételez. Hogy a diagramok alkalmasak a geometriai igazság fennállásának feltárására és bemutatására az teljesen világos.8 Ám, nem csak a geometriában igaz, hogy a diagramok könnyítik a verbális bizonyítás megértését, illetve, ha erre kifejezetten törekszünk akár helyettesítik is azt. Az Elemekben számelméleti tételek mellett is ábrák találhatók, melyek vonásokat, pálcikákat, kavicsokat idéznek fel bennünk, azaz a természetes számoknak a valóságos világban létező modelljére és ezek kapcsolataira utalnak. Az, hogy ezek konkrét számokat jelölnek és nem általánosan jelölnek egy tetszőleges számot, nem igazi ellenérv, mert nem magukat a természetes számokat kell ábrázolni, hanem a legfontosabb tulajdonságaikat, például a rákövetkezést, ami pusztán egyetlen vonás hozzáírásával is ábrázolható.

Történeti érvek. Szabó Árpád dobta be először a matematikatörténeti köztudatba, hogy az a megállapítás, miszerint a matematika módszertana az ógörög korban folyamatosan és töretlenül fejlődött a képi ábrázolásoktól a verbális reprezentációig hamis. Rámutatott arra, hogy a verbális érvelés robbanásszerűen, készen jelent meg a matematikai irodalomban éspedig az éleai filozófia megjelenésével egy időben. Ahogy az ógörög filozófiára, úgy az ógörög matematikai érvelésekre is nagy hatással voltak az éleaták indirekt okoskodásai. Azt, hogy Zénón apóriái szinte egy-az-egyben lefordíthatók a rendezett halmazok elméletének egyes bizonyításaira,9 azt jelentik, hogy ezek az érvek a legabsztraktabb modern kori bizonyítások szerkezetével azonosak.10 Minthogy pedig a püthagoreusok a matematikában szándékozták alkalmazni a kor legújabb filozófiai technikáit, természetes módon gondolták tovább Zénón analitikus érvelési stílusát, a matematikán belül. Mindezzel egy időben még mindig jelen volt a korábbi grafikus igazolási módszer, melyet Eukleidész meg is tartott és a verbális technika mellett fel is vonultatott könyvében. Az Elemek ábrái nem pusztán illusztrációk, hanem egy korábbi módszertani iskola bizonyítási technikáinak enciklopédikus indíttatású felvonultatása.

Most röviden bemutatunk egy olyan témakört, melyben jól látható, hogy szinte szavak nélkül is működik nemcsak a matematikai fogalmak megismerése, de még a tételek feldolgozása és a bizonyításuk kivitelezése is. Ez a témakör a projektív geometria mely ugyan nem része a középiskolai matematika törzsanyagnak, sőt még az emelt szintű tananyagnak sem, mégis a szokásos emelt és középszintű feladatokban fellelhetők a szükséges fogalmak és ezekből az elemekből összeállítható maga a projektív geometria témaköre illetve benne kiemelkedő jelentősségűnek számító Desargues-tétel.11

Két jellegzetes ábrára szinte mindenki emlékszik a geometriai tanulmányaiból. Az egyik a háromszög középpontos nagyítása, a másik a tengelyes tükrözés mindkét ábra a perspektivitás egy-egy központi fogalmát hozza előtérbe. Lássuk először a középpontos hasonlóságot!

A megoldás nagyjából a következőképpen zajlik. Felezzük meg az OA, OB, OC szakaszokat. Ekkor például az OAB háromszög kicsinyített képe az OA'B'C' háromszög lesz, így az ABC háromszög oldalainak kicsinyített képei rendre az A'B'C' háromszög oldalai lesznek.

Rögtön rámutathatunk arra, hogy a háromszög és képe egymáshoz a kicsinyítés középpontjára vonatkozóan perspektív, általában ugyanis a két háromszög pontra vonatkozó perspektivitásának definíciója a következő:

1. Definíció. Az ABC háromszög és a neki megfeleltetett A'B'C' háromszög pontra perspektív, ha van olyan pont, melyen a megfelelő csúcspárok által meghatározott egyenesek mind áthaladnak.

A témakör másik jellegzetes fogalmát idézi fel bennünk háromszög tengelyes tükrözése.

2. Feladat. Adott egyenesre tükrözzünk egy háromszöget, melynek oldalai nem párhuzamosak a tükörtengellyel! Hol metszik egymást a megfelelő oldalak egyenesei?

A tengelyes tükrözést például úgy tudjuk megvalósítani, hogy kijelölünk a tengelyen két tetszőleges pontot, majd előbb az egyikbe, majd a másikba beszúrjuk a körzőt és rendre körívezünk a tükrözni kívánt pontokig kinyitott körzővel. A szerkesztési pontatlanság dacára a szimmetria miatt mindenki számára világos, hogy az egyenesek a tengelyen metszik egymást.

A háromszög és képe egymáshoz egyenesre perspektív lesz, ugyanis az egyenesre vonatkozó perspektivitás definíciója:

2. Definíció. Az ABC háromszöghöz a neki megfeleltetett A'B'C' háromszög egyenesre perspektív, ha a megfelelő oldalegyenesek metszéspontjai egy egyenesre esnek.

Figyeljünk fel arra, hogy a két ábrán megtalálható mindkét tulajdonság említett tulajdonság! Ezek a háromszögpárok a kétféle perspektivitás jellegzetes, de atipikus esetei:12 az első két háromszög egyenesre is perspektív, nemcsak pontra, de a perspektíva egyenese az úgy nevezett ideális egyenes, a második két háromszög pontra is perspektív, de egy úgy nevezett ideális pont a perspektíva középpontja. Ezek lényeges, de kivételes vonatkozások, melyekkel nem kell feltétlenül foglalkoznunk és nem is részei az emelt szintű tananyagnak. Ennek ellenére érdemes kitérni a két ideális síkbeli elem mibenlétére. Az első háromszög pár azért perspektív egyenesre, mert a háromszög oldala és ennek képe párhuzamos egymással, és a projektív síkgeometriában a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást.13 Az ilyen metszéspontokat hívják ideális pontoknak, mert nem a síkon, hanem annak „végtelen pontokkal” való kiterjesztésén vannak rajta. Az ideális pontok maguk egy egyenest alkotnak a kiterjesztett síkon, melyet ideális egyenesnek nevezünk. Az első két háromszögpár tehát azért perspektív egyenesre, mert a megfelelő oldalpárok egy egyenesen, az ideális egyenesen metszik egymást. Hasonlóképpen a második háromszögpár egymáshoz pontra perspektív, mert a megfelelő csúcsokat összekötve egy-egy egyenessel ezek párhuzamosak lesznek, amit egy ideális pontban („a végtelenben”) metszik egymást.

Felvetődik a természetes kérdés: mindig igaz ez? Kis próbálkozás, néhány eset megszerkesztése tután könnyen eljuthatunk a szubjektív bizonyosságig, hogy a háromszögpárok kétféle perspektivitása mindig együtt jár. Egymáshoz perspektív háromszögeknek erről a kettős tulajdonságot mutató sajátosságáról szól Desargues tétele: ha két háromszög pontra perspektív, akkor egyenesre is perspektív (és viszont). Most a tételt csak egy tipikus szituációban igazoljuk, de a bizonyítás nehézség nélkül kivitelezhető a fenti atipikus esetekben is.

Tétel – (Desargues). Ha két háromszög pontra perspektív és a megfelelő oldalak egyenesei metszik egymást, akkor a két háromszög egyenesre is perspektív.

Ha most az ábrát nézzük, akkor könnyen térgeometriaivá tudjuk transzformálni a feladatot azzal, hogy a ABCA'B'C' hatszöget egy háromoldalú csonka gúlának tekintjük. Ekkor az egész tétel, mintha megelevenedne. Mintha magában tartalmazná bizonyítását is. Egyszerűen láthatóvá válik maga az okozat és az ok is.

A Desargues-elrendezés, mint térbeli elrendezés egy nézetének ábrázolása. A keresett egyenest a két sík metszésvonala adja.

Tehát, tekintsük azt a csonka gúlát, melynek alapsíkja az A'B'C' háromszög síkja, a csonkítás síkja pedig az A, B, C pontok által kifeszített sík. Az ABC háromszög oldalegyenesei mind a metsző síkban, az A'B'C' háromszög minden oldalegyenese az alap síkjában van. Tehát ha ezek az egyenesek metszik egymást, akkor a metszéspontok csak a két sík metszésvonalán lehetnek, azaz egy egyenesbe esnek. Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

Mire használható egy olyan tétel, mely ugyan nincs benne még az emelt szintű tananyagban sem, de bizonyításának minden eleme közepes kompetenciaszinten helyezkedik el és belátáshoz csak egy jól kivitelezett ábra kell? Például arra, hogy olyan nagyhírű és olyan ritkán bebizonyított tételek igazolásához jussunk el, mint az Euler-egyenes tétele. Mint ismeretes, az Euler-egyenes egy háromszög súlypontján, magasságpontján és körül írható körének középpontján áthaladó egyenes, a tétel pedig arról szól, hogy a szóban forgó három pont tényleg egy egyenesbe esik. Vegyük észre, hogy pont ilyen állítást tesz maga a Desargues-tétel is, azaz arra ad elégséges feltételt, hogy három pont egy egyenesbe essen. Lássuk tehát a tételt!

Tétel – (az Euler-egyenes, speciális eset). Legyen az ABC nem-egyenlőszárú háromszög. Ekkor a háromszög súlypontja, magasságpontja és köré írható körének középpontja egy egyenesbe esnek.

Természetesen a grafikus bizonyításokkal sem lehet az ötleteket megspórolni. Legfeljebb nem kell annyit írni. Az elrendezésbe bele kell először látni egy Desargues-szituációban álló ponthetest. Az esetleg hosszas morfondírozást követően megszülető ötletet a következő lemmában fogalmazhatjuk meg.

Segédtétel – Legyen Fa az a oldal és Fb a b oldal felezéspontja, valamint O a körülírt kör középpontja, M a magasságpont. Ekkor az ABM háromszög és az FaFbO háromszög az ideális egyenesre perspektív és a perspektivitás középpontja az ABC háromszög súlypontja.

A segédtétel teljesen magától értetődik. Az FaFbO oldalegyenesei két felezőmerőlegessel és egy középvonallal esnek egybe. Ezek párhuzamosak rendre két magasságvonallal és egy oldalegyenessel, azaz az oldalai párhuzamosak az ABM háromszög oldalaival. Tehát a két háromszög pontra (egy ideális pontra) perspektív. A Desargues-tétel következményekén a két háromszög pontra is perspektív, már csak azt kell megkeresni, hogy mi lesz a perspektivitás középpontja. Ha a megfelelő csúcsokat összekötjük, akkor a perspektivitás középpontját kapjuk. Az AFa és a BFb szakaszok metszéspontja a súlypont, hisz maguk a szakaszok a súlypontot adják. Ám a tétel szerint a harmadik pontpár egyenesének, azaz az OM egyenesnek is ezen a ponton kell áthaladnia, azaz az S súlypont, az O és az M egy egyenesbe esnek. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Az Euler-egyenes (MSO egyenese), a két háromszög perspektivitásának tengelye

Mindezzel tehát bemutattuk, hogy a matematikát lehet minimális szöveges érveléssel, pusztán ábrák és diagramok segítségével is igényesen művelni.

*Ez a dolgozat az evangélikus iskolák kutató és alkotó tanárainak második konferenciáján (Deák Téri Evangélikus Gimnázium, 2014. március 25.) a Természettudományi és matematikai szekcióban elhangzott előadás írott, bővített változata.

†Sztehlo Gábor Evangélikus Gimnázium, 1187 Budapest, Kossuth tér 2., molnar.zoltan@sztehloiskola.hu, BME, Matematikai Intézet, Algebra Tanszék, 1111 Budapest, Egry József u. 1., mozow@math.bme.hu

3Szabó Árpádról nagyon sok érdekes részlet tudható meg a Máté 2006 tanulmányból és a Kutrovátz 2002 konferencia előadásból.

7A diagramokkal operáló geometria szemiotikai elemzéséről olvashatunk például a Barbin 2010 tanulmányban.

8Kiváló példa erre a japán IES cég által kifejlesztett ingyenes online java szkriptjei, melyek pl. a geometria leglátványosabb tételeit mutatja be. A Pithagorasz-tétel Elemekben megjelenő bizonyítása például a http://www.ies-math.com/math/java/geo/pythasx/pythasx.html alkalmazásban sajátítható el.

10Ami, persze nem azt jelenti, hogy Zénón bizonyításai az említett absztrakt tételeket szándékoznák igazolni. Ez megalapozatlan szövegkritikai és anakronisztikus matematikatörténeti kijelentés lenne.

11A témának a matematika tanítása szemszögéből részletesebb, matematikailag igényesebb kifejtése található meg a Molnár 2012 cikkben.

12A matematikai szakzsargonban néha tipikusnak nevezünk egy szituációt, ha nem-nulla valószínűséggel bekövetkezik és atipikus a szituáció, ha nem. Például az, hogy két sík a térben párhuzamos, az atipikus, mert elhanyagolhatóan kicsi annak a valószínűsége, hogy ha két síkot tetszőlegesen választunk a térben, akkor azok ugyanolyan állásúak lesznek.

13Ebben semmi misztikus nincs. Nem kell összeveszniük azoknak, akik szerint a párhuzamosok nem metszik egymást a végtelenben, azokkal, akik szerint metszik egymást. A matematikusok birodalmának Pax Romanaja azzal valósul meg, hogy a matematikai körültekintés a két álláspontot más témakörbe csatornázza be. Az euklideszi geometriában nem találkoznak a párhuzamosok. De ez nem euklideszi geometria, hanem annak egy kiterjesztése, a projektív sík geometriája. Ott, a párhuzamosok metszik egymást.