Elméleti(bb) jellegű kérdések és feladatok
Minden vizsgán fog szerepelni olyan feladat, ami a zárthelyik feladataival szemben nem igazán a gyakorlatok, hanem
kifejezetten az előadásokon elhangzott elméletre kérdez rá. Kisebb-nagyobb változtatásoktól eltekintve az
ilyen kérdések alapvetően az alábbi listából lesznek kiválasztva.
- Mit mond ki pontosan az algebra komplex számokkal kapcsolatos alaptétele? Van -e olyan $z$ komplex szám,
ami kielégíti a $z^5+z+3=0$ egyenletet? És olyan, amelyik kielégíti a
${(z↖ {-}z)}^5+{(z↖ {-}z)}+3 = 0$ egyenletet?
- Mondjuk ki és bizonyítsuk a sorozatok határértékének egyértelműségéről tanult állítást!
- Legyen $b,c$ két sorozat és tekintsük az alábbi két kijelentést:
- $∃ \lim↙{n}(b_n + c_n) ∈ \ℝ$,
- $∃ \lim↙{n}(b_n) ∈ \ℝ$ és $∃ \lim↙{n}(c_n) ∈ \ℝ$.
Következik -e az első a másodikból? És fordítva?
Ha valamelyik következtetés helyes, bizonyítsuk; ha hamis, adjunk ellenpéldát.
- Definiáljuk általában egy $H⊂ \ℝ$ halmaz infimumát és szupremumát. Legyen most
$H ⊂ (0,1)$ és tekintsük az alábbi állításokat:
- $∃$min$(H)$,
- $∃$inf$(H)∈ H$,
- ha $∃$inf$(H)∈ H$ akkor $∃$min$(H)$,
- $∃$inf$(H)∈ [0,1]$.
Keressük meg a fentiek közül a hamisakat és adjunk rájuk ellenpéldát!
(Az igazakról most elég bizonyítás nélkül kijelenteni, hogy igazak.)
-
Definiáljuk a torlódási pont fogalmát és (bizonyítás nélkül) mondjuk ki
a torlódási pontok és részsorozatok kapcsolatáról tanult tételt!
- Mi a függvényhatárértékkel kapcsolatban tanult "átviteli elv"? (Tételkimondás bizonyítás nélkül.)
Az átviteli elv segítségével bizonyítsuk, hogy $∄ \lim↙{x→ 0}\cos({1}/{x})$.
- Legyen $f:\ℝ → \ℝ $. Matematikai jelekkel írjuk föl annak a kijelentésnek
a pontos értelmét / definícióját, hogy $\lim↙{x→ 3}(f(x)) = +∞$.
-
Nem igazán látszik, hogyan lehetne
az $x e^x = 1/{x+1}$ egyenletet
egzakt módon megoldani. Ennek ellenére
azt mégis könnyen beláthatjuk, hogy
a $(0,1)$ intervallumban egyenletünknek
van megoldása. A tanult tételekre
való hivatkozásokkal, adjunk erre precíz
indoklást!
-
Az $f$ folytonos függvény értelmezési tartománya $[0,1]$ és $[2,3]$ zárt intervallumok uniója.
Az alábbiak közül mely halmazok biztosan nem lehetnek az $f$ értékkészlete? Válaszunkat precíz érveléssel,
illetve a tanult tételekre való hivatkozásokkal indokoljuk!
- a teljes valós számegyenes,
- egyetlen valós szám,
- az $[1,3)$ félig nyílt intervallum,
- az $[1,3)$ és a $(3,7]$ intervallumok uniója,
- az $[1,3]$ intervallum.
- A határérték fogalmának segítségével definiáljuk egy $f$ függvény
$x$ pontban vett deriváltját. Következik -e a deriválhatóság a folytonosságból?
És fordítva? Ha valamelyik következtetés helyes, bizonyítsuk; ha hamis, adjunk ellenpéldát!
-
Igaz-e, hogy egy deriválható függvény deriváltja automatikusan folytonos?
Válaszunk indoklásához számoljuk ki az $f(0) = 0$, $x≠ 0:$ $f(x)=x^2 \sin({1}/{x})$
képlettel definiált $f$ függvény deriváltját!
- Bizonyítsuk a szorzat-függvényre vonatkozó deriválási szabályt!
-
Tegyük föl, hogy $f$ deriválható az $I$ intervallumon, és tekintsük az alábbi kijelentéseket:
- $f$ monoton nő $I$ -n,
- $f'(x) ≥ 0$ minden $x ∈ I$ -re,
- $f$ szigorúan monoton nő $I$ -n,
- $f'(x) > 0$ minden $x ∈ I$ -re.
Mi a kapcsolat az első kettő, illetve második kettő kijelentés
között? (Tételkimondás bizonyítás nélkül + ellenpélda.)
-
Definiáljuk a lokális szélsőérték-hely fogalmát.
Legyen most $f:\ℝ → \ℝ $ egy deriválható függvény.
Melyikből következik melyik: i) $f'(x)=0$, ii)
$f$ -nek $x$ -nél lokális szélsőérték-helye van.
(Tételkimondás illetve ellenpélda.)
- Definiáljuk egy függvény konvexitásának fogalmát és mondjuk ki a konvexitás és
a második derivált kapcsolatáról tanult tételt!
-
A következő számolások esetleg nem mind jók. Találjuk meg a
hibásakat, magyarázzuk el, mi velük a baj és azt is mondjuk meg: mi
lenne ezekben az esetekben a helyes eredmény!
-
$\lim↙{x→ 0^+}(\ln(\arctan(x))-\ln(x)) =
\ln(\lim↙{x→ 0^+}{\arctan(x)}/{x})
{=}↖{\LH}
\ln(\lim↙{x→ 0^+}{(1/{1+x^2})}/{1})
= \ln({(1/{1+0})}/{1})=0$
-
$\lim↙{x→ ∞}{x+\sin(x)}/{x+8}
{=}↖{\LH}
\lim↙{x→ ∞}{1+\cos(x)}/{1+0} = ∄$
-
$
\lim↙{x→ 1}
{\sin^2(x-1)}/{x^2-x}
{=}↖{\LH}
\lim↙{x→ 1}
{2\sin(x-1)\cos(x-1)}/{2x-1}
{=}↖{\LH}
\lim↙{x→ 1}
{2\cos^2(x-1)-2\sin^2(x-1)}/{2}=
{2\cos^2(1-1)-2\sin^2(1-1)}/{2}=1$
- Milyen olyan feltételt tanultunk, ami biztosíthatja
egy Riemann-integrál létezését? Magyarázzuk el, hogy a
Dirichlet-függvény (melynek értéke $1$ minden racionális,
és $0$ minden irracionális pontban) miért nem Riemann-integrálható
a $[0,1]$ intervallumon!
- Bár az általunk tanult "elemi" függvények segítségével nem
tudjuk zárt alakban megadni az $∫ e^{x^2} \dx$ határozatlan integrál
eredményét, miért lehetünk benne mégis biztosak, hogy egyátalán létezik
olyan $F$ melyre $F'(x) = e^{x^2}$ minden valós $x$ helyen?
Indoklásunkban hivatkozzunk a tanult tételekre!
-
Az integrálfüggvényről tanultak alapján határozzuk meg a $∫_1^{1/x} e^{t^2} \dt$
kifejezés $x$-szerinti deriváltját!
-
Bár egzakt módon nehéz lenne kiszámolni az $∫_{-5}^{7}
1/{√^3{e^{-3x}+1}} \dx$
integrál értékét, a határozott integrálról tanult összefüggések és becslések
segítségével mutassuk meg, hogy értéke $0$ és $(e^0-e^{-5}) + 7 = 8-e^{-5}$ között van.
-
Legyen $f$ egy folytonos függvény a pozitív számokon.
Adjuk meg az $∫_{√2}^{∞}f(x)\dx$ improprius integrál pontos értelmét,
és számítsuk is ki ennek értékét az $f(x) = {\d}/{\dx}(x \sin({1}/{x}))$
esetben!