Elméleti(bb) jellegű kérdések és feladatok
Minden vizsgán fog szerepelni olyan feladat, ami - a zárthelyik feladataival
szemben -
kifejezetten az előadásokon elhangzott elméletre
kérdez rá. Kisebb-nagyobb változtatásoktól eltekintve az
ilyen kérdések alapvetően az alábbi listából lesznek kiválasztva.
- Mit mond ki pontosan az algebra komplex számokkal kapcsolatos alaptétele? Van -e olyan $z$ komplex szám,
ami kielégíti a $z^5+z+3=0$ egyenletet? És olyan, amelyik kielégíti a
$
(\overline{z}z)^5+(\overline{z}z)+3 = 0
$ egyenletet?
- Mondjuk ki és bizonyítsuk a sorozatok határértékének egyértelműségéről tanult állítást!
- Legyen $b,c$ két sorozat és tekintsük az alábbi két kijelentést:
- $∃ \lim_n(b_n + c_n) \in ℝ$,
- $∃ \lim_n(b_n) \in ℝ$ és $∃ \lim_n(c_n) \in ℝ$.
Következik -e az első a másodikból? És fordítva?
Ha valamelyik következtetés helyes, bizonyítsuk; ha hamis, adjunk ellenpéldát.
- Definiáljuk általában egy $H⊂ ℝ$ halmaz infimumát és szupremumát. Legyen most
$H ⊂ (0,1)$ és tekintsük az alábbi állításokat:
- $\exists$min$(H)$,
- $\exists$inf$(H)\in H$,
- ha $\exists$inf$(H)\in H$ akkor $\exists$min$(H)$,
- $\exists$inf$(H)\in[0,1]$.
Keressük meg a fentiek közül a hamisakat és adjunk rájuk ellenpéldát!
(Az igazakról most elég bizonyítás nélkül kijelenteni, hogy igazak.)
-
Definiáljuk a torlódási pont fogalmát és (bizonyítás nélkül) mondjuk ki
a torlódási pontok és részsorozatok kapcsolatáról tanult tételt!
- Mi a függvényhatárértékkel kapcsolatban tanult "átviteli elv"? (Tételkimondás bizonyítás nélkül.)
Az átviteli elv segítségével bizonyítsuk, hogy $∄ \lim_{x→ 0}\cos({1}/{x})$.
- Legyen $f:ℝ → ℝ $. Matematikai jelekkel írjuk föl annak a kijelentésnek
a pontos értelmét / definícióját, hogy $\lim_{x→ 3}(f(x)) = +\infty$.
-
Nem igazán látszik, hogyan lehetne
az $x e^x = 1/{x+1}$ egyenletet
egzakt módon megoldani. Ennek ellenére
azt mégis könnyen beláthatjuk, hogy
a $(0,1)$ intervallumban egyenletünknek
van megoldása. A tanult tételekre
való hivatkozásokkal, adjunk erre precíz
indoklást!
-
Az $f$ folytonos függvény értelmezési tartománya $[0,1]$ és $[2,3]$ zárt intervallumok uniója.
Az alábbiak közül mely halmazok biztosan nem lehetnek az $f$ értékkészlete? Válaszunkat precíz érveléssel,
illetve a tanult tételekre való hivatkozásokkal indokoljuk!
- a teljes valós számegyenes,
- egyetlen valós szám,
- az $[1,3)$ félig nyílt intervallum,
- az $[1,3)$ és a $(3,7]$ intervallumok uniója,
- az $[1,3]$ intervallum.
- A határérték fogalmának segítségével definiáljuk egy $f$ függvény
$x$ pontban vett deriváltját. Következik-e a deriválhatóság a folytonosságból?
És fordítva? Ha valamelyik következtetés helyes, bizonyítsuk; ha hamis, adjunk ellenpéldát!
-
Igaz-e, hogy egy deriválható függvény deriváltja automatikusan folytonos?
Válaszunk indoklásához számoljuk ki az $f(0) = 0$, $x≠ 0:$ $f(x)=x^2 \sin({1}/{x})$
képlettel definiált $f$ függvény deriváltját!
- Bizonyítsuk a szorzat-függvényre vonatkozó deriválási szabályt!
-
Tegyük föl, hogy $f$ deriválható az $I$ intervallumon, és tekintsük az alábbi kijelentéseket:
- $f$ monoton nő $I$ -n,
- $f'(x) ≥ 0$ minden $x ∈ I$ -re,
- $f$ szigorúan monoton nő $I$ -n,
- $f'(x) > 0$ minden $x ∈ I$ -re.
Mi a kapcsolat az első kettő, illetve második kettő kijelentés
között? (Tételkimondás bizonyítás nélkül + ellenpélda.)
-
Definiáljuk a lokális szélsőérték-hely fogalmát.
Legyen most $f:ℝ → ℝ $ egy deriválható függvény.
Melyikből következik melyik: i) $f'(x)=0$, ii)
$f$ -nek $x$ -nél lokális szélsőérték-helye van.
(Tételkimondás illetve ellenpélda.)
- Definiáljuk egy függvény konvexitásának fogalmát és mondjuk ki a konvexitás és
a második derivált kapcsolatáról tanult tételt!
-
A következő számolások esetleg nem mind jók. Találjuk meg a
hibásakat, magyarázzuk el, mi velük a baj és azt is mondjuk meg: mi
lenne ezekben az esetekben a helyes eredmény!
-
$\lim_{x→ 0^+}(\ln(\arctan(x))-\ln(x)) =
\ln(\lim_{x→ 0^+}(\frac{\arctan(x)}{x}))
\stackrel{LH}{=}
\ln(\lim_{x→ 0^+}(\frac{1/(1+x^2)}{1}))
= \ln(\frac{1/(1+0)}{1})=0$
-
$\lim_{x\to\infty}(\frac{x+\sin(x)}{x+8})
\stackrel{LH}{=}
\lim_{x\to\infty}(\frac{1+\cos(x)}{1+0}) = \nexists$
-
$
\lim_{x\to 1}
(\frac{\sin^2(x-1)}{x^2-x})
\stackrel{LH}{=}
\lim_{x\to 1}
(\frac{2\sin(x-1)\cos(x-1)}{2x-1})
\stackrel{LH}{=}
\lim_{x\to 1}
(\frac{2\cos^2(x-1)-2\sin^2(x-1)}{2})=
(\frac{2\cos^2(1-1)-2\sin^2(1-1)}{2})=1$
- Milyen olyan feltételt tanultunk, ami biztosíthatja
egy Riemann-integrál létezését? Magyarázzuk el, hogy a
Dirichlet-függvény (melynek értéke $1$ minden racionális,
és $0$ minden irracionális pontban) miért nem Riemann-integrálható
a $[0,1]$ intervallumon!
- Bár az általunk tanult "elemi" függvények segítségével nem
tudjuk zárt alakban megadni az $\int e^{x^2} {\rm d}\! x$ határozatlan integrál
eredményét, miért lehetünk benne mégis biztosak, hogy egyátalán létezik
olyan $F$ melyre $F'(x) = e^{x^2}$ minden valós $x$ helyen?
Indoklásunkban hivatkozzunk a tanult tételekre!
-
Az integrálfüggvényről tanultak alapján határozzuk meg a $\int_1^{1/x} e^{t^2} dt$
kifejezés $x$-szerinti deriváltját!
-
Bár egzakt módon nehéz lenne kiszámolni az $∫_{-5}^{7}
\frac{1}{\sqrt[3]{e^{-3x}+1}} {\rm d}\!x$
integrál értékét, a határozott integrálról tanult összefüggések és becslések
segítségével mutassuk meg, hogy értéke $0$ és $(e^0-e^{-5}) + 7 = 8-e^{-5}$ között van.
-
Legyen $f$ egy folytonos függvény a pozitív számokon.
Adjuk meg az $∫_{\sqrt{2}}^\infty f(x) {\rm d}\!x$ improprius integrál pontos értelmét,
és számítsuk is ki ennek értékét az $f(x) = \frac{\rm d}{{\rm d}x}(x \sin(1/x))$
esetben!
-
Lehet egy negatív értéket soha föl nem vevő függvény
integrálja a [-1,2] szakaszon negatív? Akkor hol a
hiba az alábbiakban, és mi a helyes eredmény?
$$
\int_{-1}^2 \frac{1}{x^2}\,{\rm d}x = \left[\frac{-1}{x}\right]_{-1}^2 =
\frac{-1}{2} - \frac{-1}{-1} = - \frac{3}{2}
$$