BME matekverseny 2021

1. feladat

Bizonyítsuk be, hogy $\forall m\in \mathbb N, \, m>1$ esetén $(\sqrt{3}+1)^{2m}$ fölső egészrésze osztható $2^{m+1}$-el! (8 pont)

2. feladat

Legyenek $x_1, x_2, \ldots , x_n$ olyan pozitív számok, melyekre $x_1+x_2+\ldots + x_n \geq x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2$. Mutassuk meg, hogy $x_1^{x_1}x_2^{x_2}\ldots x_n^{x_n}\leq 1$ és állapítsuk meg az egyenlőség pontos feltételét! (9 pont)

3. feladat

Egy körtúra állomáspontjain előre felhalmozott üzemanyag-készletek várnak. Bizonyítsuk be, hogy ha az összesen kikészített üzemanyaggal járművünk legalább kétszer meg tudná tenni a körtúrát, akkor van olyan állomás, ahonnan - üres tankkal kezdve, csak az állomások üzemanyag-készleteit használva - akár az egyik, akár a másik irányba elindulva a teljes körtúrát meg tudnánk tenni! (Az állomásokon lévő üzemanyag-mennyiségek valamint az állomások közti távok nem feltétlen azonosak. A járművünk tankjába akár a teljes körtúra megtételéhez szükséges üzemanyagmennyiség belefér.) (11 pont)

4. feladat

Egy 3-dimenziós egységgömb felszínén van 2021 pontunk. A pontok által meghatározott $2021 \choose 2$ szakasz között akadhatnak rövidebbek és hosszabbak is. (A szakaszok alatt nem gömbi ív-darabokat, hanem tényleges szakaszokat, tehát a gömb belsejében is futó egyenes-darabokat értjük.) Adjunk fölső korlátot a $\sqrt{\frac{8}{3}}$ -nál hosszabb szakaszok számára! (Az optimális korlát megtalálásáért - ha az optimalitás is bizonyított - $12$ pont jár. Szuboptimális korlát megadása vagy optimális korlát megadása az optimalitás bizonyítása nélkül kevesebb pontot ér.)

5. feladat

Egy természetes szám színes, ha (10-es számrendszerben felírt) számjegyei közt mind a 10 lehetséges érték előfordul. Mutassuk meg, hogy megadható olyan $n$ természetes szám, melyre az $n, 2n, 3n, \ldots , 2021n$ számok mindegyike színes! Esetleg olyan $n$ is adható, melynek minden (pozitív egész) többszöröse színes? (8+4 pont)

6. feladat

Legyen $X,Y,Z$ három olyan méretű mátrix, melyre az $XYZ$ mátrix-szorzat értelmezett. Mutassuk meg, hogy egy $M$ mátrix rangját $r(M)$ -mel jelölve teljesül az $$r(XY)+r(YZ)\leq r(XYZ)+r(Y)$$ egyenlőtlenség! (11 pont)

7. feladat

Legyen $\alpha >0$ rögzített paraméter. Bizonyítsuk be, hogy az $f(x)=\frac{e^x}{x^\alpha}$ képlettel definiált $f$ függvény tetszőleges páratlanadik deriváltja monoton növő a $(0,\infty)$ félegyenesen! (12 pont)

8. feladat

Egy $n$ oldalú dobókocka lapjai $1$-től $n$-ig vannak számozva. (A dobókocka súlyeloszlása olyan, hogy mindegyik oldalnak azonos esélye van legfelülre kerülnie.) A dobókockával egymás után $n+1$-szer dobunk és a kapott értékeket sorra fölírjuk egy lapra. Legyen $p_n$ annak valószínűsége, hogy az így kialakult $n+1$ hosszú listából kiválasztható $n$ tag úgy, hogy azok összege osztható $n$-nel. Határozzuk meg a $p_1,p_2,p_3,\ldots $ sorozat határértékét (ha egyátalán van neki)! (10 pont)

9. feladat

Legyen $n>1$ egy egész szám és $H$ pedig azon $(a,b)$ rendezett pozitív számpárok halmaza, melyekre $a,b\leq n$, ${\rm gcd}(a,b)=1$ és $a+b>n$. Bizonyítsuk be, hogy teljesül a $$ \sum_{(a,b)\in H}\frac{1}{ab} = 1 $$ egyenlőség! (11 pont)