|
hét
|
tanult anyag
|
kérdés / feladat
|
|
1-2.
|
numerikus
egyenletmegoldás és
optimalizálás felezős módszerrel és
Newton-iterációval (hibabecsléssel),
Newton-iteráció magasabb dimenzióban,
numerikus optimalizálás Newton-iterációval
és gradiens módszerrel, a "dimenzió átka",
a Monte-Carlo módszer a numerikus integrálásban
és egyéb, a véletlenen alapuló eljárások a gradiens módszer
alkalmazásában, numerikus diffegyenlet-megoldás
véges differenciák-módszerével és
a Picard-Lindelöf tétel bizonyításában megjelenő iterációval
(hibabecsléssel)
|
-
Szeretnénk racionális közelítést adni $\sqrt{43}$ értékére, ezért
Newton-iterációt végzünk az $f(x)=x^2-43$ képlettel definiált
$f$ függvénnyel és $x_1=6$ kezdő-értékkel. Számoljuk ki $x_3$ értékét
és adjunk becslést $x_3$ és $\sqrt{43}$ eltérésére! Hányadik tagik kellene
elmenni, ha azt akarnánk, hogy a hiba egész biztosan kisebb, mint $10^{-10}$-en
legyen?
-
Szeretnénk numerikusan megtalálni az $e^x=x+6$ egyetlen pozitív $x^*$
megoldását. (Gondolkodjunk el: miért létezik, és miért egyértelműen létezik egy
ilyen megoldás?) A keresett $x^*$ érték nyilvánvalóan gyöke mind az
$f(x):=e^x-x-6$, mind pedig a $g(x):=x-{\rm ln}(x+6)$ képlettel definiált
függvénynek. Melyikkel célszerű Newton-iterációt végeznünk; melyikkel
lesz gyorsabb a konvergencia?
-
Adjunk Newton-iteráción alapuló eljárást, mellyel osztás művelet nélkül
numerikusan kiszámolhatjuk egy szám reciprokát!
-
Bár tudjuk, hogy a $\sqrt[3]{x}=0$ egyenlet egyetlen megoldása az $x=0$,
most mégis Newton-iterációt végzünk az $f(x):=\sqrt[3]{x}$ képlettel
definiált függvénnyel egy $x_1\neq 0$ kezdőpontról kiindulva. Mutassuk meg:
az iteráció biztosan divergens lesz.
-
Szeretnénk
(közelítő) megoldást találni a
$$?u:\;\;\;u'(x) = \frac{x+1}{2} + 4 u^2(x),\;\;\; u(0)=0$$
problémára. Ha a véges differenciák módszerét használjuk,
milyen becslést kapunk $u(0.2)$ értékére, ha a választott
lépésköz 0.2, illetve milyet, ha a választott lépésköz 0.1?
-
Szeretnénk
(közelítő) megoldást találni a
$$?u:\;\;\;u'(x) = \frac{x+1}{2} + 4 u^2(x),\;\;\; u(0)=0$$
problémára. Határozzuk meg a Picard-Lindelöf tétel bizonyításán
alapuló iterációs módszerrel
előállított $u_0, u_1$ és $u_2$ függvényeket és adjunk egy olyan
$T>0$ értéket, melyre az iteráció biztosan konvergálni fog
a $[0,T]$ szakaszon!
|
|
3-4.
|
a klasszikus funkcionálanalízis alapjai: függvények mint egy vektortér
elemei, a (komplex) skaláris szorzat fogalma és bevezetése függvénytereken, a
Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség, származtatott
norma és az arra vonatkozó háromszögegyenlőtlenség, az $\mathcal
L^p$ és $l^p$ terek vázlatos definíciója, a Hölder-egyenlőtlenség,
a Minkowski-egyenlőtlenség
|
-
Mutassuk meg, hogy
$\sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} +
\sqrt{x+z} \leq \sqrt{6(x+y+z)}$
tetszőleges $x,y,z\geq 0$ esetén!
-
Bizonyítsuk az alábbi egyenlőtlenségeket!
-
$$
\left| \int_2^5 f(x)\, dx \right|^2 \leq 3 \int_2^5 |f(x)|^2 \, dx,
$$
-
$$
\left| \int_9^\infty f(x)\, dx \right| \leq \frac{1}{3}
\left(\int_9^\infty |xf(x)|^2 \, dx \right)^\frac{1}{2}.
$$
-
Az $f\geq 0$ függvényről annyit tudunk, hogy $\int_1^\infty \frac{f(x)^2}{x}dx =1$.
Mi a legjobb fölső korlát, ami az $I=\int_1^\infty f(x)e^{-x} dx$ integrál értékére
adható? Azt is válaszoljuk meg, van -e olyan függvény, és ha igen: mi az függvény,
amivel ez a legjobb fölső korlát elérhető!
-
Legyen $V$ egy skalárszorzatos tér. A Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség
segitségével mutassuk meg:
$\|\mathbf v\|_2=
{\rm sup}\{ |\langle\mathbf x, \mathbf v\rangle| : \, \|\mathbf x\|_2=1\}$.
Miért következik innen (is) a háromszög-egyenlőtlenség?
-
Legyen $a\lt b$ két való szám, $g$ egy folytonosan diffható valós
függvény melyre $g(a)=0$. Mutassuk meg, hogy $\int_a^b g^2
\leq \frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b(g')^2$ a következő lépéseket követve:
- írjuk függvényünket $g(x)=\int_a^x g'$ alakba (ezt miért tehetjük meg?), majd
- ezt az integrál alakot és a Cauchy-Schwartz egyenlőtlenséget
használva mutassuk meg, hogy $g(x)^2 \leq
(x-a)\int_a^x(g')^2 \leq
(x-a)\int_a^b(g')^2,
$
és végül innen integrálással hozzuk ki a kívánt összefüggést.
-
Mi a legjobb $c$ konstans, melyre tetszőleges $n$ természetes szám és $b\in \mathbb C^n$
esetén teljesül a
$$
\left|\sum_{k=1}^n\frac{b_k}{2^k}\right|^{4/3} \leq c \sum_{k=1}^n |b_k|^{4/3}
$$
egyenlőtlenség?
-
Legyen $0\leq a\leq b \lt \infty$ és $f\geq 0$ egy folytonos függvény az $[a,b]$
intervallumon. Mutassuk meg:
$$
[0,\infty) \ni t \mapsto {\rm ln}\left(\int_a^b x^t f(x) dx\right)
$$
konvex függvény!
-
Tetszőleges $t\geq 0$ értékre legyen
$$I_t:=\int_0^1 \left((t+\frac{2}{3})x^t +e^x\right)^{3/2} dx.$$
A Minkowski-egyenlőtlenség
segítségével adjunk $t$-től független fölső becslést $I_t$ értékére!
|
|
5-6.
|
ortogonális rendszerek, ortogonális projekció, altér adott külső ponthoz
legközelebbi pontja, a teljes ortonormált rendszer fogalma,
a Fourier sorfejtés mint teljes ortonormált rendszer szerinti kifejtés,
unitér transzformációk, a Parseval-egyenlőség,
a Fourier transzformáció mint a Fourier
sorfejtés folytonos határesete,
a Fourier
transzformáció legfontosabb tulajdonságai a skaláris szorzat,
az eltolás, nyújtás, deriválás és konvolúcióval kapcsolatban,
Fourier transzformáció lehetséges sajátértékei, néhány
függvény Fourier-transzformáltja
|
-
Legyen $W$ a legföljebb másodfokú polinomok által
alkotott altér a $\mathcal L^2([-1,1],\mathbb C)$ függvénytérben.
Adjunk ortonormált bázist $W$ -ben, majd ennek fölhasználásával
határozzuk meg azt a legföljebb másodfokú $p$ polinomot, ami
az $f(x)=e^x$ képlettel megadott $f$ függvényt a $[-1,1]$
intervallumon a legjobban
közelíti abban az értelemben, hogy minimalizálja a
$$
\|f-p\|_2 = \sqrt{\int_0^1 |e^x-p(x)|^2 \, dx}
$$
távolságot!
-
Számoljuk ki a ${\rm sgn}$ (mint $\mathcal L^2([-\pi,\pi],\mathbb C)$ -beli
függvény) Fouier-együtthatói!
-
Az előző feladat eredményét és a Parseval-egyenlőséget fölhasználva
határozzuk meg $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ értékét!
-
Számoljuk ki az alábbi képlettel definiált
függvények Fouier-transzformáltját!
$$
i)\; f(x) = \chi_{[a,b]}(x),\;\;\; i\!i)\; g(x)=e^{-x}\chi_{[0,\infty)}(x),\;\;
i\!i\!i)\; h(x)=e^{-|x|}.
$$
-
Az előző számolás során kapottakat felhasználva határozzuk meg az
$f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x^2}$ képlettel megadott függvény Fourier
transzformáltját valamint az alábbi integrálok értékét!
$$
i)\; \int_{-\infty}^
\infty\frac{\sin(2x)}{x(x^2+2x+2)}
{\rm d}\!x,
\;\;\;
i\!i)\; \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2}
{\rm d}\!x,
\;\;\;
i\!i\!i)\; \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-x^2}}{1+x^2}\,
{\rm d}\!x.
$$
-
Fourier transzformáció segítségével mutassuk meg:
$$\left| \left(\frac{d}{dx}\right)^n\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\right| \,
\lt
\, \frac{1}{n+1}$$
minden $x\neq 0$ és $n\in \mathbb N$ esetén!
-
Találjunk egy olyan $0\neq f\in
\mathcal L^2(\mathbb R)\cap
\mathcal L^1(\mathbb R)$ függvényt,
melyre
-
$f\ast f = f+f''$,
-
illetve egy olyat, melyre
$(f\ast f)(x) = f(x+1)+f(x-1)$,
(Ez két külön feladat.)
-
Legyen $\mu \lt \frac{1}{2}$ egy paraméter.
Határozzuk meg azt (vagy azokat) az $u\in \mathcal L^2(\mathbb R)$
függvény(eke)t, melyre
$$
x\mapsto u(x) = e^{-|x|} + \mu\int_{-\infty}^\infty e^{-|x-t|}u(t) {\rm d}t.
$$
|
|
6-7.
|
határozatlansági reláció,
a Schwarz-féle függvénytér invarianciája a Fourier-transzformációra
nézve, Fourier transzformáció magasabb dimenzióban, Fourier vetítési tétel
|
-
Legyen $0\neq f\in \mathcal L^2(\mathbb R,\mathbb C)$ valamint
$a,b\in \mathbb R^+$. Legalább mekkora kell, hogy legyen az
$$
\frac{a\|f'\| + b \|(\mathcal F_{\!+}f)'\|}{\|f\|}
$$
arány?
-
Mutassuk meg: ha $f\in \mathcal L^2(\mathbb R^d,\mathbb C)$ olyan, hogy
$f(x)$ függvénye $\|x\|$ -nek, akkor ugyanez igaz $f$ Fourier
transzformáltjára is!
-
A $(0,0),\, (2,3), \, (4,0),\, (0,-6)$ pontok által meghatározott
négyszöget uniózzuk saját magának a második koordináta-tengelyre
vett tükrözöttjével; legyen $H$ az így kapott "szív" alakzat.
Számoljuk ki $\chi_H$ Fourier transzformáltját!
|
|
8.
|
- (ELMARADT) -
|
-
|
|
9.
|
a disztribúció mint a függvények általánosítása,
disztribúció deriváltja és Fourier transzformáltja,
disztribúciók és függvények konvolúciója, a dominált
konvergencia tétele (bizonyítás nélkül) és
a disztribúció értelemben vett határérték
|
-
Hozzuk egyszerűbb formára! (A kérdéses kifejezésekre mindig
úgy gondoljunk, mint disztribúciókra.)
$$
i)\; \frac{d}{dx}\frac{\sin(x)}{|x|}\;\;\;\;\;\; i\!i)\; x\delta'(x)
\;\;\;\;\; i\!i\!i)\; \delta(x^2-1)
$$
-
Számoljuk ki az $f_n(x)=\frac{n^3}{(n^2x^2+1)^2}$ képlettel definiált
függvénysorozat disztribúció-értelemben vett határértékét!
-
Legyen $\delta_a(x)=\delta(x-a)$. Határozzuk meg a
$$\Theta_t\equiv \sum_{n\in \mathbb Z} \delta_{nt}$$
disztribúció (az úgynevezett "Dirac-fésű") Fourier transzformáltját!
|
|
10.
|
feltételes optimalizáció; a Lagrange-féle
"multiplikátorok" használata
|
-
A Lagrange módszerrel találjuk meg a $F(x,y)=xy$
mennyiségnek az $x^2+2y^2+xy= 1$
feltétel mellett vett maximumát illetve minimumát!
-
Legyen $A$ egy valós, szimmetrikus, n x n -es mátrix. A
Lagrange-féle multiplikátoros módszer segítségével mutassuk meg:
az $\|Ax\|$ mennyiségnek az $\|x\|=1$ feltétel mellett maximuma
csak $A$-nak valamilyen sajátvektora mentén lehet.
-
Legyen t egy adott pozitív szám. A Lagrange-multiplikátoros
módszer segítségével találjuk meg azt a legjobb (tehát legkisebb)
C(t) konstanst,
mely mellett még minden $x,y,z\in \mathbb R$ esetén teljesül az
$$
x^3-\frac{z^3}{t^3} \leq \, C(t)\, (x^2+y^2+z^2)^{3/2}
$$
egyenlőtlenség!
-
Találjuk meg a $z^2=x^2+y^2$ és $x-2z=3$ egyenletek által definiált
térgörbének az origóhoz legközelebb eső pontját!
|
|
11-12.
|
optimalizálás függvénytérben: a variáció-számítás
alapjai, Euler-Lagrange egyenletek,
feltételes optimalizáció függvénytérben: a Lagrange-féle
multiplikátorok használata a variáció-számításban
|
-
Legyen $I(f) = \int_{-1}^1 (|f|^2 + |f'|^2)$.
Találjuk meg azt a
a [-1,1] szakaszon értelmezett
(legalább kétszer folytonossan diffható)
fügvényt, melynek értéke a végpontokban $1$ és
mely ezen feltételek mellett
minimalizálja $I$-t! Van-e $I$-nek (ugyanezen peremfeltételekkel)
maximuma?
-
Legyen $I(f) = \int_{-1}^1 (|f|^2 + |f'|^2 + |f''|^2)$.
Vizsgáljuk meg $I(f)$ lehetséges értékeit
ha $f$ a [-1,1] szakaszon értelmezett
(legalább kétszer folytonossan diffható)
fügvény, melynek értéke a végpontokban $1$!
Van-e minimum, és ha igen hol?
-
Legyen $a=0,b=\pi/4$ és
$I(f)=\int_a^b (|f|^2-|f'|^2)$.
Van-e olyan (kétszer folytonosan diffható)
$f$ függvény, melyre $f(a)=0, f(b)=\sqrt{2}/2$
és mely - a fölsorolt feltételek mellett -
minimalizálja / maximalizálja $I(f)$ értékét?
És ha $b=2\pi+\pi/4$?
-
Két, nem egy szintben lévő pont között
surlódásmentes pályát építünk egy kiskocsi
számára. Milyen alakúra válasszuk a pályát,
ha azt akarjuk, hogy nulla
kezdősebességgel elindítva a kiskocsi a
lehető leggyorsabban érjen a fölső pontból
az alsóba? Vezessünk le egy diferenciál-egyenletet
az optimális görbére!
-
Az energia-minimum elvéből kiindulva, vezessünk le egy
differenciál-egyenletet a láncgörbére!
-
Találjuk meg azt az $f:[-1,1]\to \mathbb R$ (folytonosan diferenciálható)
függvényt, melynek grafikonja a lehető legrövidebb úton köti össze
a $(-1,0)$ és $(1,0)$ pontokat az $\int_{-1}^1 f = 1$ feltétel mellett!
|
|
13-14.
|
a Fourier mátrix, diszkrét Fourier transzformáció, gyors diszkrét Fourier
transzformált és alkalmazásai, Wavelet-transzformáció és Gábor transzformált
|
- (NINCS FELADAT) -
|