]>
Tételezzük fel, hogy van egy véletlen kísérletünk ami Bernoulli kísérletek egy sorozatából áll:
Emlékeztetünk arra, hogy független indikátor változóknak egy sorozata közös valószínűséggel, a folyamat alapparaméterével. Statisztikai értelemben, az első kísérlet a Bernoulli eloszlásból vett elemű véletlen mintát alkot. Ebben a részben azt a két valószínűségi változót tanulmányozzuk, ami az első kísérletből a sikeres kimenetelűek számát és ezek arányát adja meg. Az alapul szolgáló eloszlás a binomiális eloszlás, az egyik legfontosabb eloszlás a valószínűségszámításban.
Mutassuk meg, hogy az első kísérletből a sikeresek száma valószínűségi változó
.Jelöljük az első kísérlet indexhalmazát -nel. A Bernoulli kísérletek feltevéseit felhasználva mutassuk meg, hogy esetén értékkel
minden megadott értékre.Emlékeztetünk arra, hogy az elemű halmazból vett elemű részhalmazok száma a következő binomiális együtthatóval egyezik meg
Felhasználva a 2. gyakorlatot és a valószínűség alaptulajdonságait, mutassuk meg, hogy sűrűségfüggvénye az alábbi módon adható meg:
Az ilyen sűrűségfüggvényű eloszlás és paraméterű binomiális eloszlás néven ismert.
A binomiális pénzérme kísérletben változtassuk és értékét görgetősávokkal és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját és helyzetét. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el 1000-szer a szimulációt, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriságfüggvény elméleti sűrűségfüggvényhez való nyilvánvaló konvergenciáját.
Felhasználva a binomiális tételt mutassuk meg, hogy a binomiális sűrűségfüggvény valóban valószínűségi sűrűségfüggvény.
Mutassuk meg, hogy
Így, a sűrűségfüggvény először nő, majd csökken, maximális értékét az helyen veszi fel. Ez az egész érték az eloszlás módusza. Ez esetben egy 1 és közötti egész, két egymásra következő módusz létezik, -nél és -nél. Mindegyik esetben a binomiális eloszlás alakja egycsúcsú.
Tételezzük fel, hogy egy és paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó. Mutassuk meg, hogy és paraméterű binomiális eloszlású.
Meg fogjuk határozni a binomiális eloszlás várható értékét és varianciáját néhány különböző módszerrel. Az indikátorváltozó használata adja a legelegánsabb módszert.
Mutassuk meg, hogy két különböző módszerrel:
közelítőleg a kísérletek nagy száma esetén a sikeres bekövetkezések aránya. A kérdést tovább elemezzük a sikeres bekövetkezések aránya alfejezetben.
Mutassuk meg, hogy két különböző módszerrel:
Vázoljuk a variancia ábráját, mint függvényét. Különösen érdemes megjegyezni, hogy a variancia az maximális értékét akkor veszi fel, amikor és a 0 minimális értékét akkor veszi fel, amikor vagy .
A binomiális pénzérmekísérletben változtassuk és értékét a görgetősáv segítségével és figyeljük meg az átlag/standard szórás oszlopdiagram méretét és helyét. Végezzük el a szimulációt a paraméterek kiválasztott értékeire 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a mintaméret és standard szórás nyilvánvaló konvergenciáját a megfelelő elméleti értékekhez.
Mutassuk meg, hogy a valószínűség generáló függvény -re kétféle módon:
Felhasználva a valószínűségi generátorfüggvényt számítsuk ki a várható értéket és a varianciát.
Felhasználva a azonosságot -ra és -re mutassuk meg, hogy
Felhasználva az előző gyakorlat rekurziós eredményét, adjunk meg a várható értéknek és varianciának egy, vagy több levezetését.
Az első kísérletben a a sikeres kimenetelek aránya az
valószínűségi változó.Statisztikai értelemben, az véletlen minta minta átlaga. Az a sikeres kimenetelek arányát tipikusan a sikervalószínűség becslésére használjuk, amikor a valószínűség ismeretlen. Alapvető a valószínűség valóságos elképzeléséhez, hogy ha a kísérletek száma nagy, akkor tart - hez. Ennek az elképzelésnek matematikai megszövegezése a nagy számok törvényének egy speciális esete.
Az a sikeres kimenetelek arányának sűrűségfüggvényét könnyű kifejezni a sikerek számának valószínűségi sűrűségfüggvényével. Először megjegyezzük, hogy értékei a következők: , ahol .
Mutassuk meg, hogy
A binomiális pénzérme kísérletben válasszuk a fejek arányát. Változtassuk és értékét a görgetősávval és figyeljük meg a valószínűségi sűrűségfüggvény alakját. A paraméterek kiválastott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, minden 10-edikre frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság függvény nyilvánvaló konvergenciáját a valószínűségi sűrűségfüggvényhez.
Mutassuk meg, hogy . Statisztikai értelemben ez azt jelenti, hogy torzítatlan becslése -nek.
Mutassuk meg, hogy . Speciálisan, minden -re.
Megjegyezzük, hogy , ha ( és valójában a konvergencia intervallumban egyenletes). Így a becslés javítható, ha növekszik; statisztikai szóhasználattal ezt úgy fejezzük ki, hogy a becslés konzisztens.
Felhasználva az utolsó gyakorlat eredményét és a Csebisev egyenlőtlenséget mutassuk meg, hogy ha minden -ra. Valójában a konvergencia -ben egyenletes.
Az utóbbi gyakorlat eredménye a nagy számok gyenge törvényének egy speciális esete és azt jelenti, hogy ha valószínűségben. A nagy számok erős törvénye azt mondja, hogy a konvergencia 1 valószínűséggel érvényes. Lásd a Halmaz becslésről szóló fejezetben a a Bernoulli modellben való halmazbecslés részben a becslési problémájának különböző megközelítéseit.
A binomiális pénzérme kísérletben, válassza ki a fejdobások arányának megjelenítését ()! Változtassuk és értékét és figyeljük meg az átlag/szórás sáv méretét és elhelyezkedését. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 10000-szer, 10-esével frissítve és figyeljük meg az empirikus momentumoknak az elméleti eloszlás momentumaihoz való nyilvánvaló konvergenciáját.
Az véletlen folyamat néhány fontos tulajdonsága abból a tényből származik, hogy egy olyan részletösszeg folyamat, ami a független, azonos eloszlású indikátorváltozók alkotta sorozathoz hasonló.
Az indikátorváltozós tagok átalakításának segítségével bizonyítsuk be a következő tulajdonságokat!
Valójában minden részletösszegfolyamat megfelel egy független, azonos eloszlású sorozatnak, amelyik stacionárius, független növekményű.
Mutassuk meg, hogy ha és egy kísérletre vonatkozóan független valószínűségi változók és binomiális eloszlású és paraméterekkel, binomiális eloszlású és paraméterekkel, akkor binomiális eloszlású és paraméterekkel!
Felhasználva a stacionaritást, a független növekmény tulajdonságait adjuk meg az folyamat együttes valószínűségi sűrűségfüggvényeit: ha és akkor
ahol, mint midig, használjuk a binomiális együtthatókra vonatkozó megállapodásokat: ha vagy .
Tételezzük fel, hogy . Mutassuk meg, hogy
Érdekes módon, az utolsó gyakorlatban az eloszlás -től független. Ez az eloszlás hipergeometrikus eloszlásként ismert , és paraméterekkel Az alapfeladat szerint egy elemű sokaságban darab elem rendelkezik egy adott tulajdonsággal, a többi nem. A sokaságból visszatevés nélkül kiválasztumk egy elemű véletlen mintát. Az eloszlás a kiválasztott mintában található adott tulajdonságú elemek számának a valószínűség-eloszlása.
Nyissuk meg a binomiális idővonal kísérletet. kiválasztott értékeire -től kezdve növeljük az értékét egyesével. mindegyik értéke esetén figyeljük meg a sikeres kísérletek számának valószínűségi sűrűségfüggvényének alakját és a sikeres kísérletek arányát. -ra végezzük el a kísérletet 1000-szer 10-esével frissítgetve. A sikeres kísérletek számára és arányára észrevehetjük az empirikus sűrűségfüggvény konvergenciáját az elméleti valószínűségi sűrűségfüggvényhez.
A jellemző haranggörbe alak, amit az előző gyakorlatban megfigyelhet, a centrális határeloszlás tétel egy példája, mert a binomiális változót felírhatjuk, mint független, azonos eloszlású valószínűségi változó (indikátorváltozók) összege.
Mutassuk meg, hogy standardizáltja ugyanaz, mint standardizáltja:
A centrális határeloszlás tételt alkalmazva mutassuk meg, hogy az előző gyakorlatban megadott standardizált eloszlása a standard normális eloszláshoz konvergál, ha :
A centrális határeloszlás-tétel ezen alakja Moivre-Laplace tételként ismert , nevét Abraham DeMoivre és Simon Laplace után kapta. Gyakorlati szempontból ez az eredmény azt jelenti, hogy nagy értékekre eloszlása közelítőleg normális várható értékkel és standard szórással, továbbá közelítőleg normális várható értékkel és standard szórással. A értékétől függ, hogy milyen nagy -re van szükség ahhoz, hogy a normális közelítés már jól működjön (megfelelő legyen). Hozzávetőleges számítás szerint szükséges, hogy és legyen. Végül, amikor normális közelítést használunk, emlékeznünk kell arra, hogy alkalmazzuk a folytonossági korrekciót, mivel a binomiális eloszlás diszkrét.
Egy hallgató 20 kérdésből álló, többválasztásos tesztet tölt ki, mindegyiknél 5 választási lehetősége van (de csak egyik válasz a helyes). Tételezzük fel, hogy a hallgató vakon találgat. Jelölje azon kérdések számát, amelyekre a hallgató helyesen válaszolt.
Egy bizonyos típusú lőszer 0.02 valószínűséggel hibás. Jelölje 50 próba esetén a hibázások számát.
Tételezzük fel, hogy bizonyos körzetben a regisztrált szavazók 40%-a az jelöltet támogatja. Véletlenszerűen választunk egy 50 fős mintát. Jelölje a mintában azoknak a számát, akik -ra szavaznak.
Emlékeztetünk arra, hogy a standard dobókockának hat lapja van. A szabályos dobókocka esetén mindegyik szám dobásának valószínűsége azonos. Egy egy-hat irányban lapos kocka egy olyan standard kocka, amelyen 1-től 6-ig a számokat az alábbi valószínűségekkel dobhatjuk: valószínűséggel 1-est és 6-ost, valószínűséggel pedig a többit.
Egy standard szabályos dobókockát 10-szer feldobunk. Jelölje a dobott 1-esek számát!
Egy pénzérmét feldobtunk 100-szor és 30-szor kaptunk fejet. Adjuk meg az első 20 dobásban a fejek számának sűrűségfüggvényét!
Egy egy-hat irányban lapos kockát 1000-szer feldobunk. Jelölje az 1-es és 2-es dobások együttes számát.
A binomiális pénzérme kísérletben válasszuk a fejek arányát. Legyen és . Végezzük el a kísérletet 100-szor, mindegyik kísérlet után frissítve! Mindegyik 100 kísérlet után számoljuk ki a hibanégyzetek átlagának négyzetgyökét, amikor -t használjuk becslésére! Ez a szám a becslés mínőségének a mértéke.
A binomiális pénzérmekísérletben, válasszuk -t, a fejek számát és legyen valamint . Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve. Számítsuk ki a következőket:
A binomiális pénzérme kísérletben válasszuk a fejek arányát -nek és legyen , . Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve. Számoljuk ki és hasonlítsuk össze a következőket:
1693-ban Samuel Pepys azt kérdezte Isaac Newton-tól, hogy vajon melyik a valószínűbb: egy kockával hatszor dobva legalább egyszer 1-est, vagy 6-ost dobni; vagy pedig egy kockával 12-szer dobva legalább kétszer 1-est, vagy 6-ost dobni? A probléma Pepys problémája néven ismert. Pepys szabályos dobókockára gondolt.
Pepys problémájára a becslés empirikus adatokon alapul. Szabályos dobókockával és -ra végezzük el a kockakísérlet szimulációját 500-szor, és számítsuk ki annak relatív gyakoriságát, hogy legalább egyszer 1-est, vagy 6-ost dobunk! Ezek után legyen , és végezzük el 500-szor a szimulációt és számítsuk ki annak relatív gyakoriságát, hogy legalább kétszer 1-est, vagy 6-ost dobunk! Hasonlítsuk össze az eredményeket!
Melyik a valószínűbb: egy szabályos dobókockát 4-szer feldobva legalább egyszer 1-est, vagy 6-ost dobunk; vagy pedig két szabályos dobókockát 24-szer feldobva legalább egyszer mindkét kockával 1-est, vagy 6-ost dobunk. Ez De Mere problémája, néven ismert Chevalier De Mere után.
A kabóca adathalmazban számítsuk ki a teljes mintában a himnemű egyedek arányát és a mintában lévő mindegyik fajra a himnemű egyedek arányát.
Az M&M adathalmazban csoportosítsunk zacskókat, hogy elegendő nagy mintát csináljunk az M&M cukorkákból. Számítsuk ki a piros színű M&M cukorkák arányát a mintában!
A Galton deszka egy lejtősen felállított, egyenlőszárú-háromszög alakú deszka, melynek a felső csúcsától az alaplapja felé golyókat lehet legurítani, melyek az útjukba eső akadályokon 1/2 – 1/2 valószínűséggel térnek el jobbra illetve balra, míg végül kis dobozokban gyűlnek össze. (Az 1/2 – 1/2 valószínűségtől lehet eltérés, erre majd még visszatérünk.) A sorok természetes számokkal vannak jelölve felülről lefelé. Az . sorban szög van balról jobbra a számokkal jelölve. Így egy szög egyértelműen aonosítható egy rendezett párral, ahol annak a sornak a száma, amelyikben a szög van és annak a poziciónak a száma, ahol a szög az adott sorban elhelyezkedik. A Galton deszka nevét Francis Galton-tól nyerte.
Most tételezzük fel, hogy egy labdát rádobunk a legfelső szögre, azaz a szögre. A labda minden időpontban nekiütődik egy szögnek és jobbra valószínűséggel, balra valószínűséggel ugrál, az ugrálások egymástól függetlenek.
Mutassuk meg, hogy a szög (sor)száma, aminek a labda nekiütődhet az -edik sorban, és paraméterű binomiális eloszlású.
A Galton deszka kísérletben legyen valószínűségi változó a jobbra mozgások száma. Változtassuk az és paramétereket és figyeljük meg a sűrűségfüggvény helyzetét és alakját, valamint a várható érték/szórásnégyzet oszlopdiagramját. A paraméterek kiválasztott értékei esetén klikkeljünk néhányszor egyet és figyeljük meg a labda mozgását a szögeken keresztül. Ismételjük meg a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítgetve és figyeljük a labda útját. Vegyük észre a relatív gyakorságfüggvénynek és az empirikus momentumoknak a sűrűségfüggvényhez és az eloszlás momentumaihoz való nyilvánvaló konvergenciáját.
Elevenítsük fel a szerkezeti megbízhatóság diszkusszióját, ami a Bernoulli kísérletekről szoló rész utolsó fejezetében szerepelt. Speciálisan van hasonló alkatrészeknek egy rendszere, amelyek egymástól függetenül működnek, mindegyiknek a megbízhatósága . Tételezzük fel, hogy a rendszer akkor és csak akkor működik helyesen, ha legalább alkatrész jó az alkatrészből. Az ilyen rendszert " -ből elegendő a megfelelőséghez" rendszernek nevezünk. Megjegyezzük, hogy az előző fejezetben vizsgált soros és a párhuzamos rendszerek -ből , illetve -ből 1 rendszerek.
Mutassuk meg, hogy -ből rendszer esetén
A binomiális pénzérme kísérletben legyen és Ismételjük meg a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítgetve! Számoljuk ki az empirikus megbízhatóságot és hasonlítsuk össze a valódi megbízhatósággal az alábbi esetekben:
Vizsgáljuk egy alkatrészes rendszert! Vázoljuk fel az , , , és a , grafikonjait ugyanabban a koordinátarendszerben!
Egy -ből rendszert többségi szabály rendszernek nevezzük.
A binomiális pénzérmekísérletben számítsuk ki az empirikus megbízhatóságot, 100 kísérlet elvégzésével a következő esetek mindegyikében:
Mutassuk meg, hogy .
A Weierstrass approximációs tétele nevét Karl Weierstrass után kapta. A tétel azt mondja ki, hogy minden valós értékű, zárt és korlátos intervallumon folytonos függvény polinommal egyenletesen tetszőleges pontossággal megközelíthető az intervallumon. Ez a tétel fontos, mert a polinomok egyszerűen kezelhető alapfüggvények és a tétel egy kicsit meglepő is, mivel a folytonos függvények nagyon furcsa módon is viselkedhetnek.
1911-ben Sergi Bernstein polinomoknak egy ecplicit konstrukcióját adta meg, ami egy adott folytonos függvényt egyenletesen közelített. A konstrukcióhoz a Bernoulli kísérleteket használta. Bernstein eredménye nagyon szép példája a valószínűségszámítási módszer használatának, olyan területeken is eredményre vezet, amiknek látszólag nincs kapcsolata a valószínűségszámítással.
Tételezzük fel, hogy egy valós-értékű, a intervallumon folytonos függvény. -ed fokú Bernstein polinomjának nevezzük az alábbi függvényt:
ahol az első Bernoulli kísérletben a paraméterű események száma, ahogy azt korábban definiáltuk. Kihangsúlyozzuk a várható érték operátorban lévő -től való függőséget. A következő gyakorlat egy explicitebb értelmezést ad és megmutatja, hogy a Bernstein polinom valóban egy polinom.
Felhasználva a várható érték alaptulajdonságait mutassuk meg, hogy
Speciálisan mutassuk meg, hogy
Bizonyítsuk be Bernstein tételét: intervallumon! A bizonyítás főbb lépései a következők:
Számítsuk ki az 1., 2. és 3. rendű Bernstein polinomokat az függvényre, ahol ! Az függvényt és a három polinomot ábrázoljuk ugyanabban a koordinátarendszerben.
Felhasználva egy számítógépes algebrai szoftvert, számítsuk ki a 10., 20. és 30. rendű Bernstein polinomot az alábbi függvényre: Használjon egy számítógépes algebrai szoftvert a függvény és a három polinom egy koordináterendszerben való ábrázolásához!