]> A binomiális eloszlás
  1. Virtuális laboratóriumok
  2. 10. Bernoulli kísérletek
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6

2. A binomiális eloszlás

Alapelmélet

Tételezzük fel, hogy van egy véletlen kísérletünk ami Bernoulli kísérletek egy sorozatából áll:

X X 1 X 2

Emlékeztetünk arra, hogy X független indikátor változóknak egy sorozata közös p valószínűséggel, a folyamat alapparaméterével. Statisztikai értelemben, az első n kísérlet X 1 X 2 X n a Bernoulli eloszlásból vett n elemű véletlen mintát alkot. Ebben a részben azt a két valószínűségi változót tanulmányozzuk, ami az első n kísérletből a sikeres kimenetelűek számát és ezek arányát adja meg. Az alapul szolgáló eloszlás a binomiális eloszlás, az egyik legfontosabb eloszlás a valószínűségszámításban.

Mutassuk meg, hogy az első n kísérletből a sikeresek száma valószínűségi változó

Y n i 1 n X i .

A sűrűségfüggvény

Jelöljük az első n kísérlet indexhalmazát N 1 2 n -nel. A Bernoulli kísérletek feltevéseit felhasználva mutassuk meg, hogy K N esetén K k értékkel

i K X i 1 i N K X i 0 p k 1 p n k minden megadott i értékre.

Emlékeztetünk arra, hogy az n elemű halmazból vett k elemű részhalmazok száma a következő binomiális együtthatóval egyezik meg

n k n k n k

Felhasználva a 2. gyakorlatot és a valószínűség alaptulajdonságait, mutassuk meg, hogy Y n sűrűségfüggvénye az alábbi módon adható meg:

Y n k n k > p k 1 p n k ,  k 0 1 n

Az ilyen sűrűségfüggvényű eloszlás n és p paraméterű binomiális eloszlás néven ismert.

A binomiális pénzérme kísérletben változtassuk n és p értékét görgetősávokkal és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját és helyzetét. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el 1000-szer a szimulációt, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriságfüggvény elméleti sűrűségfüggvényhez való nyilvánvaló konvergenciáját.

Felhasználva a binomiális tételt mutassuk meg, hogy a binomiális sűrűségfüggvény valóban valószínűségi sűrűségfüggvény.

Mutassuk meg, hogy

  1. Y n k Y n k 1 akkor és csak akkor, ha k n 1 p
  2. Y n k Y n k 1 akkor és csak akkor, ha k n 1 p egy 1 és n közé eső szám.

Így, a sűrűségfüggvény először nő, majd csökken, maximális értékét az n 1 p helyen veszi fel. Ez az egész érték az eloszlás módusza. Ez esetben m n 1 p egy 1 és n közötti egész, két egymásra következő módusz létezik, m 1 -nél és m -nél. Mindegyik esetben a binomiális eloszlás alakja egycsúcsú.

Tételezzük fel, hogy U egy n és p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó. Mutassuk meg, hogy n U n és 1 p paraméterű binomiális eloszlású.

  1. Adjunk a Bernoulli kísérleteken alapuló valószínűségelméleti bizonyítást!
  2. Adjunk egy analitikus bizonyítást, ami valószínűségi sűrűségfüggvényeken alapul!

Momentumok

Meg fogjuk határozni a binomiális eloszlás várható értékét és varianciáját néhány különböző módszerrel. Az indikátorváltozó használata adja a legelegánsabb módszert.

Mutassuk meg, hogy Y n n p két különböző módszerrel:

  1. a sűrűségfüggvényt használva.
  2. az indikátor változók összegét használva.
Ez az eredmény intuitív értelmet nyer, mivel

p közelítőleg a kísérletek nagy száma esetén a sikeres bekövetkezések aránya. A kérdést tovább elemezzük a sikeres bekövetkezések aránya alfejezetben.

Mutassuk meg, hogy Y n n p 1 p két különböző módszerrel:

  1. a sűrűségfüggvényt használva.
  2. a független indikátor változók összegét használva.

Vázoljuk a variancia ábráját, mint p függvényét. Különösen érdemes megjegyezni, hogy a variancia az 14 maximális értékét akkor veszi fel, amikor p 12 és a 0 minimális értékét akkor veszi fel, amikor p 0 vagy p 1 .

A binomiális pénzérmekísérletben változtassuk n és p értékét a görgetősáv segítségével és figyeljük meg az átlag/standard szórás oszlopdiagram méretét és helyét. Végezzük el a szimulációt a paraméterek kiválasztott értékeire 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a mintaméret és standard szórás nyilvánvaló konvergenciáját a megfelelő elméleti értékekhez.

Mutassuk meg, hogy a valószínűség generáló függvény t Y n 1 p p t n t -re kétféle módon:

  1. felhasználva a valószínűségi sűrűségfüggványt.
  2. felhasználva a független indikátorváltozók összegének reprezentációját.

Felhasználva a valószínűségi generátorfüggvényt számítsuk ki a várható értéket és a varianciát.

Felhasználva a j n j n n 1 j 1 azonosságot n -ra és j -re mutassuk meg, hogy

Y n k n p Y n 1 1 k 1 ;  n  ,  k

Felhasználva az előző gyakorlat rekurziós eredményét, adjunk meg a várható értéknek és varianciának egy, vagy több levezetését.

A sikeres kimenetelek aránya

Az első n kísérletben a a sikeres kimenetelek aránya az

M n Y n n 1 n i 1 n X i valószínűségi változó.

Statisztikai értelemben, M n az X 1 X 2 X n véletlen minta minta átlaga. Az M n a sikeres kimenetelek arányát tipikusan a p sikervalószínűség becslésére használjuk, amikor a valószínűség ismeretlen. Alapvető a valószínűség valóságos elképzeléséhez, hogy ha a kísérletek száma nagy, akkor M n tart p - hez. Ennek az elképzelésnek matematikai megszövegezése a nagy számok törvényének egy speciális esete.

Az M n a sikeres kimenetelek arányának sűrűségfüggvényét könnyű kifejezni a sikerek Y n számának valószínűségi sűrűségfüggvényével. Először megjegyezzük, hogy M n értékei a következők: k n , ahol k 0 1 n .

Mutassuk meg, hogy

M n k n n k p k 1 p n k ,  k 0 1 n

A binomiális pénzérme kísérletben válasszuk a fejek arányát. Változtassuk n és p értékét a görgetősávval és figyeljük meg a valószínűségi sűrűségfüggvény alakját. A paraméterek kiválastott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, minden 10-edikre frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság függvény nyilvánvaló konvergenciáját a valószínűségi sűrűségfüggvényhez.

Mutassuk meg, hogy M n p . Statisztikai értelemben ez azt jelenti, hogy M n torzítatlan becslése p -nek.

Mutassuk meg, hogy M n p 1 p n . Speciálisan, M n 1 4 n minden p 0 1 -re.

Megjegyezzük, hogy M n 0 , ha n ( és valójában a konvergencia p 0 1 intervallumban egyenletes). Így a becslés javítható, ha n növekszik; statisztikai szóhasználattal ezt úgy fejezzük ki, hogy a becslés konzisztens.

Felhasználva az utolsó gyakorlat eredményét és a Csebisev egyenlőtlenséget mutassuk meg, hogy M n p δ 0 ha n minden δ 0 -ra. Valójában a konvergencia p 0 1 -ben egyenletes.

Az utóbbi gyakorlat eredménye a nagy számok gyenge törvényének egy speciális esete és azt jelenti, hogy M n p ha n valószínűségben. A nagy számok erős törvénye azt mondja, hogy a konvergencia 1 valószínűséggel érvényes. Lásd a Halmaz becslésről szóló fejezetben a a Bernoulli modellben való halmazbecslés részben a p becslési problémájának különböző megközelítéseit.

A binomiális pénzérme kísérletben, válassza ki a fejdobások arányának megjelenítését ( M )! Változtassuk n és p értékét és figyeljük meg az átlag/szórás sáv méretét és elhelyezkedését. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 10000-szer, 10-esével frissítve és figyeljük meg az empirikus momentumoknak az elméleti eloszlás momentumaihoz való nyilvánvaló konvergenciáját.

Független binomiális változók összege

Az Y Y 1 Y 2 véletlen folyamat néhány fontos tulajdonsága abból a tényből származik, hogy Y egy olyan részletösszeg folyamat, ami a független, azonos eloszlású indikátorváltozók alkotta X sorozathoz hasonló.

Az indikátorváltozós tagok átalakításának segítségével bizonyítsuk be a következő tulajdonságokat!

  1. Ha m és n pozitív egészek, m n akkor Y n Y m ugyanolyan eloszlású, mint Y n m , mégpedig binomiális, n m és p paraméterekkel. Így az Y folyamat stacionárius növekményű.
  2. Ha n 1 n 2 n 3  ···   akkor Y n 1 Y n 2 Y n 1 Y n 3 Y n 2 független valószínűségi változóknak egy sorozata. Így az Y folyamat független növekményű.

Valójában minden részletösszegfolyamat megfelel egy független, azonos eloszlású sorozatnak, amelyik stacionárius, független növekményű.

Mutassuk meg, hogy ha U és V egy kísérletre vonatkozóan független valószínűségi változók és U binomiális eloszlású m és p paraméterekkel, V binomiális eloszlású n és p paraméterekkel, akkor U V binomiális eloszlású m n és p paraméterekkel!

  1. Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást felhasználva az előző gyakorlatot!
  2. Adjunk analitikus bizonyítást felhasználva a valószínűségi sűrűségfüggvényt!
  3. Adjunk analitikus bizonyítást felhasználva a valószínűségi generátorfüggvényt!

Felhasználva a stacionaritást, a független növekmény tulajdonságait adjuk meg az Y folyamat együttes valószínűségi sűrűségfüggvényeit: ha n 1 n 2 n k és j 1 j 2 j k akkor

Y n 1 j 1 Y n 2 j 2 Y n k j k n 1 j 1 n 2 n 1 j 2 j 1 n k n k 1 j k j k 1 p j k 1 p n k j k

ahol, mint midig, használjuk a binomiális együtthatókra vonatkozó megállapodásokat: a b 0 ha b 0 vagy b a .

Kapcsolat a hipergeometrikus eloszlással

Tételezzük fel, hogy m n . Mutassuk meg, hogy

Y m j Y n k m j m n k j n k ,  j 0 1 n

Érdekes módon, az utolsó gyakorlatban az eloszlás p -től független. Ez az eloszlás hipergeometrikus eloszlásként ismert n , m és k paraméterekkel Az alapfeladat szerint egy n elemű sokaságban m darab elem rendelkezik egy adott tulajdonsággal, a többi nem. A sokaságból visszatevés nélkül kiválasztumk egy k elemű véletlen mintát. Az eloszlás a kiválasztott mintában található adott tulajdonságú elemek számának a valószínűség-eloszlása.

A normális közelítés

Nyissuk meg a binomiális idővonal kísérletet. p 0 1 kiválasztott értékeire n 1 -től kezdve növeljük az n értékét egyesével. n mindegyik értéke esetén figyeljük meg a sikeres kísérletek számának valószínűségi sűrűségfüggvényének alakját és a sikeres kísérletek arányát. n 100 -ra végezzük el a kísérletet 1000-szer 10-esével frissítgetve. A sikeres kísérletek számára és arányára észrevehetjük az empirikus sűrűségfüggvény konvergenciáját az elméleti valószínűségi sűrűségfüggvényhez.

A jellemző haranggörbe alak, amit az előző gyakorlatban megfigyelhet, a centrális határeloszlás tétel egy példája, mert a binomiális változót felírhatjuk, mint n független, azonos eloszlású valószínűségi változó (indikátorváltozók) összege.

Mutassuk meg, hogy Y n standardizáltja ugyanaz, mint M n standardizáltja:

Y n n p n p 1 p M n p p 1 p n

A centrális határeloszlás tételt alkalmazva mutassuk meg, hogy az előző gyakorlatban megadott standardizált eloszlása a standard normális eloszláshoz konvergál, ha n :

A centrális határeloszlás-tétel ezen alakja Moivre-Laplace tételként ismert , nevét Abraham DeMoivre és Simon Laplace után kapta. Gyakorlati szempontból ez az eredmény azt jelenti, hogy nagy n értékekre Y n eloszlása közelítőleg normális n p várható értékkel és n p 1 p standard szórással, továbbá M n közelítőleg normális p várható értékkel és p 1 p n standard szórással. A p értékétől függ, hogy milyen nagy n -re van szükség ahhoz, hogy a normális közelítés már jól működjön (megfelelő legyen). Hozzávetőleges számítás szerint szükséges, hogy n p 5 és n 1 p 5 legyen. Végül, amikor normális közelítést használunk, emlékeznünk kell arra, hogy alkalmazzuk a folytonossági korrekciót, mivel a binomiális eloszlás diszkrét.

Példák és alkalmazások

Egy hallgató 20 kérdésből álló, többválasztásos tesztet tölt ki, mindegyiknél 5 választási lehetősége van (de csak egyik válasz a helyes). Tételezzük fel, hogy a hallgató vakon találgat. Jelölje X azon kérdések számát, amelyekre a hallgató helyesen válaszolt.

  1. Adjuk meg X sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg X várható értékét!
  3. Adjuk meg X szórásnégyzetét!
  4. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy a hallgató legalább 12 kérdésre helyesen válaszol (az a pontszám, amikor átmegy a vizsgán)!

Egy bizonyos típusú lőszer 0.02 valószínűséggel hibás. Jelölje Y 50 próba esetén a hibázások számát.

  1. Adjuk meg Y sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg Y várható értékét!
  3. Adjuk meg Y szórásnégyzetét!
  4. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy legalább 47 próba sikeres lesz!

Tételezzük fel, hogy bizonyos körzetben a regisztrált szavazók 40%-a az A jelöltet támogatja. Véletlenszerűen választunk egy 50 fős mintát. Jelölje Z a mintában azoknak a számát, akik A -ra szavaznak.

  1. Adjuk meg Z sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg Z várható értékét!
  3. Adjuk meg Z szórásnégyzetét!
  4. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy Z kisebb, mint 19.
  5. Számítsuk ki (d)-ben a valószínűség normális közelítését!

Pénzérmék és dobókocka

Emlékeztetünk arra, hogy a standard dobókockának hat lapja van. A szabályos dobókocka esetén mindegyik szám dobásának valószínűsége azonos. Egy egy-hat irányban lapos kocka egy olyan standard kocka, amelyen 1-től 6-ig a számokat az alábbi valószínűségekkel dobhatjuk: 14 valószínűséggel 1-est és 6-ost, 18 valószínűséggel pedig a többit.

Egy standard szabályos dobókockát 10-szer feldobunk. Jelölje N a dobott 1-esek számát!

  1. Adjuk meg N sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg N várható értékét!
  3. Adjuk meg N szórásnégyzetét!

Egy pénzérmét feldobtunk 100-szor és 30-szor kaptunk fejet. Adjuk meg az első 20 dobásban a fejek számának sűrűségfüggvényét!

Egy egy-hat irányban lapos kockát 1000-szer feldobunk. Jelölje Z az 1-es és 2-es dobások együttes számát.

  1. Adjuk meg Z sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg Z várható értékét!
  3. Adjuk meg Z szórásnégyzetét!
  4. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy Z legalább 400.
  5. Adjuk meg (d)-ben a normális közelítést!

A binomiális pénzérme kísérletben válasszuk a fejek arányát. Legyen n 10 és p 0.4 . Végezzük el a kísérletet 100-szor, mindegyik kísérlet után frissítve! Mindegyik 100 kísérlet után számoljuk ki a hibanégyzetek átlagának négyzetgyökét, amikor M n -t használjuk p becslésére! Ez a szám a becslés mínőségének a mértéke.

A binomiális pénzérmekísérletben, válasszuk Y -t, a fejek számát és legyen p 0.5 valamint n 15 . Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve. Számítsuk ki a következőket:

  1. 5 Y 10 .
  2. Az 5 Y 10 esemény relatív gyakorisága.
  3. A 5 Y 10 valószínűség normális megközelítése.

A binomiális pénzérme kísérletben válasszuk a fejek arányát M -nek és legyen n 30 , p 0.6 . Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve. Számoljuk ki és hasonlítsuk össze a következőket:

  1. 0.5 M 0.7
  2. A 0.5 M 0.7 esemény relatív gyakoriságát.
  3. A 0.5 M 0.7 valószínűség normális közelítését.

Híres problémák

1693-ban Samuel Pepys azt kérdezte Isaac Newton-tól, hogy vajon melyik a valószínűbb: egy kockával hatszor dobva legalább egyszer 1-est, vagy 6-ost dobni; vagy pedig egy kockával 12-szer dobva legalább kétszer 1-est, vagy 6-ost dobni? A probléma Pepys problémája néven ismert. Pepys szabályos dobókockára gondolt.

Pepys problémájára a becslés empirikus adatokon alapul. Szabályos dobókockával és n 6 -ra végezzük el a kockakísérlet szimulációját 500-szor, és számítsuk ki annak relatív gyakoriságát, hogy legalább egyszer 1-est, vagy 6-ost dobunk! Ezek után legyen n 12 , és végezzük el 500-szor a szimulációt és számítsuk ki annak relatív gyakoriságát, hogy legalább kétszer 1-est, vagy 6-ost dobunk! Hasonlítsuk össze az eredményeket!

Oldjuk meg Pepys problémáját, felhasználva a binomiális eloszlást!

Melyik a valószínűbb: egy szabályos dobókockát 4-szer feldobva legalább egyszer 1-est, vagy 6-ost dobunk; vagy pedig két szabályos dobókockát 24-szer feldobva legalább egyszer mindkét kockával 1-est, vagy 6-ost dobunk. Ez De Mere problémája, néven ismert Chevalier De Mere után.

Adatelemző gyakorlatok

A kabóca adathalmazban számítsuk ki a teljes mintában a himnemű egyedek arányát és a mintában lévő mindegyik fajra a himnemű egyedek arányát.

Az M&M adathalmazban csoportosítsunk zacskókat, hogy elegendő nagy mintát csináljunk az M&M cukorkákból. Számítsuk ki a piros színű M&M cukorkák arányát a mintában!

A Galton deszka

A Galton deszka egy lejtősen felállított, egyenlőszárú-háromszög alakú deszka, melynek a felső csúcsától az alaplapja felé golyókat lehet legurítani, melyek az útjukba eső akadályokon 1/2 – 1/2 valószínűséggel térnek el jobbra illetve balra, míg végül kis dobozokban gyűlnek össze. (Az 1/2 – 1/2 valószínűségtől lehet eltérés, erre majd még visszatérünk.) A sorok természetes számokkal vannak jelölve 0 1 felülről lefelé. Az n . sorban n 1 szög van balról jobbra a 0 1 n számokkal jelölve. Így egy szög egyértelműen aonosítható egy n k rendezett párral, ahol n annak a sornak a száma, amelyikben a szög van és k annak a poziciónak a száma, ahol a szög az adott sorban elhelyezkedik. A Galton deszka nevét Francis Galton-tól nyerte.

Most tételezzük fel, hogy egy labdát rádobunk a legfelső szögre, azaz a 0 0 szögre. A labda minden időpontban nekiütődik egy szögnek és jobbra p valószínűséggel, balra 1 p valószínűséggel ugrál, az ugrálások egymástól függetlenek.

Mutassuk meg, hogy a szög (sor)száma, aminek a labda nekiütődhet az n -edik sorban, n és p paraméterű binomiális eloszlású.

A Galton deszka kísérletben legyen Y valószínűségi változó a jobbra mozgások száma. Változtassuk az n és p paramétereket és figyeljük meg a sűrűségfüggvény helyzetét és alakját, valamint a várható érték/szórásnégyzet oszlopdiagramját. A paraméterek kiválasztott értékei esetén klikkeljünk néhányszor egyet és figyeljük meg a labda mozgását a szögeken keresztül. Ismételjük meg a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítgetve és figyeljük a labda útját. Vegyük észre a relatív gyakorságfüggvénynek és az empirikus momentumoknak a sűrűségfüggvényhez és az eloszlás momentumaihoz való nyilvánvaló konvergenciáját.

Megbízhatóság

Elevenítsük fel a szerkezeti megbízhatóság diszkusszióját, ami a Bernoulli kísérletekről szoló rész utolsó fejezetében szerepelt. Speciálisan van n hasonló alkatrészeknek egy rendszere, amelyek egymástól függetenül működnek, mindegyiknek a megbízhatósága p . Tételezzük fel, hogy a rendszer akkor és csak akkor működik helyesen, ha legalább k alkatrész jó az n alkatrészből. Az ilyen rendszert " n -ből k elegendő a megfelelőséghez" rendszernek nevezünk. Megjegyezzük, hogy az előző fejezetben vizsgált soros és a párhuzamos rendszerek n -ből n , illetve n -ből 1 rendszerek.

Mutassuk meg, hogy n -ből k rendszer esetén

  1. A rendszer állapota 1 Y n k ahol Y n a működő alkatrészek száma!
  2. A megbízhatósági függvény r n k p i k n n i p i 1 p n i

A binomiális pénzérme kísérletben legyen n 10 és p 0.9 Ismételjük meg a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítgetve! Számoljuk ki az empirikus megbízhatóságot és hasonlítsuk össze a valódi megbízhatósággal az alábbi esetekben:

  1. 10-ből 10 (soros) rendszer.
  2. 10-ből 1 (párhuamos) rendszer.
  3. 10-ből 4 rendszer.

Vizsgáljuk egy n 4 alkatrészes rendszert! Vázoljuk fel az r 4 1 , r 4 2 , r 4 3 , és a r 4 4 , grafikonjait ugyanabban a koordinátarendszerben!

Egy 2 n 1 -ből n rendszert többségi szabály rendszernek nevezzük.

  1. Számítsuk ki a 3-ból 2 rendszer megbízhatóságát!
  2. Számítsuk ki az 5-ből 3 rendszer megbízhatóságát!
  3. Milyen p értékekre lesz az 5-ből 3 rendszer megbízhatóbb, mint a 3-ból 2 rendszer?
  4. Vázoljuk fel a r 3 2 és r 5 3 , grafikonjait ugyanabban a koordinátarendszerben!

A binomiális pénzérmekísérletben számítsuk ki az empirikus megbízhatóságot, 100 kísérlet elvégzésével a következő esetek mindegyikében:

  1. A 3-ból 2 rendszer esetén p 0.3 értékkel.
  2. Az 5-ből 3 rendszer esetén p 0.3 értékkel.
  3. A 3-ból 2 rendszer esetén p 0.8 értékkel.
  4. Az 5-ből 3 rendszer esetén p 0.8 értékkel.

Mutassuk meg, hogy r 2 n 1 n 12 12 .

A Bernstein polinomok

A Weierstrass approximációs tétele nevét Karl Weierstrass után kapta. A tétel azt mondja ki, hogy minden valós értékű, zárt és korlátos intervallumon folytonos függvény polinommal egyenletesen tetszőleges pontossággal megközelíthető az intervallumon. Ez a tétel fontos, mert a polinomok egyszerűen kezelhető alapfüggvények és a tétel egy kicsit meglepő is, mivel a folytonos függvények nagyon furcsa módon is viselkedhetnek.

1911-ben Sergi Bernstein polinomoknak egy ecplicit konstrukcióját adta meg, ami egy adott folytonos függvényt egyenletesen közelített. A konstrukcióhoz a Bernoulli kísérleteket használta. Bernstein eredménye nagyon szép példája a valószínűségszámítási módszer használatának, olyan területeken is eredményre vezet, amiknek látszólag nincs kapcsolata a valószínűségszámítással.

Tételezzük fel, hogy f egy valós-értékű, a 0 1 intervallumon folytonos függvény. f n -ed fokú Bernstein polinomjának nevezzük az alábbi függvényt:

b n p p f M n ,  p 0 1

ahol M n az első n Bernoulli kísérletben a p paraméterű események száma, ahogy azt korábban definiáltuk. Kihangsúlyozzuk a várható érték operátorban lévő p -től való függőséget. A következő gyakorlat egy explicitebb értelmezést ad és megmutatja, hogy a Bernstein polinom valóban egy polinom.

Felhasználva a várható érték alaptulajdonságait mutassuk meg, hogy

b n p k 0 n f k n n k p k 1 p n k ,  p 0 1

Speciálisan mutassuk meg, hogy

  1. b n 0 f 0 és b n 1 f 1 . Így b n grafikonja átmegy a 0 f 0 és az 1 f 1 pontokon.
  2. b 1 p f 0 f 1 f 0 p ,  p 0 1 végpontokon. Ezért b 1 grafikonja a végpontokra ileszkedő egyenes.
  3. b 2 p f 0 2 f 12 f 0 p f 1 2 f 12 f 0 p 2 ,  p 0 1 . Így, b 2 grafikonja a végpontokon és a 12 14 f 0 12 f 12 14 f 1 ponton átmenő parabola.

Bizonyítsuk be Bernstein tételét: b n f  ha  n  egyenletesen a   0 1 intervallumon! A bizonyítás főbb lépései a következők:

  1. Mivel f a 0 1 zárt, korlátos intervallumon folytonos függvény, ezért az korlátos ezen az intervallumon. Így létezik egy C konstans úgy, hogy f p C minden p 0 1 értékre.
  2. Mivel f folytonos a zárt, korlátos 0 1 intervallumon, ezért egyenletesen folytonos ezen az intervallumon. Így minden ε 0 esetén létezik olyan δ 0 hogy ha p 0 1 , q 0 1 , és p q δ akkor f p f q ε
  3. A várható érték alaptulajdonságaiból b n p f p p f M n f p M n p δ p f M n f p M n p δ
  4. Felhasználva az (a) és (b) pontokat, b n p f p ε 2 C P p M n p δ minden p 0 1 értékre.
  5. A 20. gyakorlat segítségével mutassuk meg, hogy P p M n p δ 0 ha n a p 0 1 intervallumon egyenletesen.

Számítsuk ki az 1., 2. és 3. rendű Bernstein polinomokat az f függvényre, ahol f x x ,  x 0 1 ! Az f függvényt és a három polinomot ábrázoljuk ugyanabban a koordinátarendszerben.

Felhasználva egy számítógépes algebrai szoftvert, számítsuk ki a 10., 20. és 30. rendű Bernstein polinomot az alábbi f függvényre: Használjon egy számítógépes algebrai szoftvert a függvény és a három polinom egy koordináterendszerben való ábrázolásához!

f x 0 x 0 x x x 0 1
  1. Virtuális laboratóriumok
  2. 10. Bernoulli kísérletek
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6