]>
Tételezzük fel, hogy a véletlen kíséretünk abból áll, hogy végrehajtjuk a Bernoulli kísérleteknek egy sorozatát paraméterrel. Ebben a fejezetben azt az valószínűségi változót tanulmányozzuk, amelyet az első sikeres kísérlet sorszáma ad meg:
Mutassuk meg, hogy
Felhasználva az első gyakorlat eredményét és a függetlenséget, mutassuk meg, hogy sűrűségfüggvénye a következő:
.A 2. gyakorlatban a sűrűségfüggvény által definiált eloszlás paraméterű geometriai eloszlás néven ismeretes, amely az számhalmazon van értelmezve. A változó az első bekövetkezés előtti kísérletek száma.
Mutassuk meg, hogy sűrűségfüggvénye
.Ezen valószínűségi változó eloszlása az halmazon értelmezett paraméterű geometriai eloszlás néven ismert. Nyilvánvaló és lényegében ugyanazt az információt szolgáltatja.
A negatív binomiális kísérletben legyen hogy az -on értelmezett geometriai eloszlást kapjuk. Változtassuk értékét a görgetősávval és figyeljük meg a sűrűségfüggvény helyét és alakját! kiválasztott értékeire végezzük el a szimulációt 1000-szer, a gyakoriságot 10-esével frissítgetve. Figyeljük meg a relatív gyakoriságfüggvény nyilvánvaló konvergenciáját a sűrűségfüggvényhez!
Mutassuk meg közvetlenül, hogy a 2. gyakorlatban szereplő függvény valóban sűrűségfüggvény!
A következő gyakorlatokban adjuk meg az -on értelmezett geometriai eloszlás valószínűségi változójának várható érékét, szórásnégyzetét, és generátor függvényét.
Mutassuk meg, hogy ! Erre több lehetőségünk is van:
Mutassuk meg, hogy !
Mutassuk meg, hogy !
A negatív binomiális kísérletben legyen , hogy geometriai eloszlást kapjunk. Változtassuk értékét a görgetősávval és figyeljük meg a várható értéket és a szórást ábrázoló sáv méterét és helyzetét. kiválasztott értékeire végezzük el a szimulációt 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a minta várható értékének és empirikus szórásának nyilvánvaló konvergenciáját az eloszlás várható értékéhez és szórásához.
Tételezzük fel, hogy geometriai eloszlású az halmazon. Mutassuk meg, hogy
Emlékeztetünk arra, hogy az első kísérletben a vizsgált események bekövetkezésének száma és paramétreű binomiális eloszlású.
Mutassuk meg, hogy az feltételes eloszlása feltétel mellett -en egyenletes. Megjegyezzük, hogy az eloszlás nem függ -től. Magyarázzuk meg ezt az eredményt valószínűségszámítási módon!
A következő problémák a geometriai eloszlás egy fontos jellegzetességét vizsgálják.
Tételezzük fel, hogy egy valószínűségi változó, értékeit az halmazból veszi. Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor paraméterű geometriai eloszlású valószínűségi változó, ha
Ha geometriai eloszlású az halmazon, akkor mutassuk meg, hogy kielégíti az örökifjú tulajdonságot:
Fordítva, mutassuk meg, hogy ha egy valószínűségi változó, mely értékeit az halmazból veszi, és kielégíti az örökifjú tulajdonságot, akkor geometriai eloszlású valószínűségi változó.
Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor rendelkezik az örökifjú tulajdonsággal, ha feltételes eloszlása feltétel mellett ugyanaz, mint eloszlása.
Egy standard egy-hat irányban lapos kockát addig dobunk, ameddig 1-est, vagy 6-ost nem dobunk. Jelölje a dobások számát!
Egy rakétalövés 0.02 valószínűséggel sikertelen. Jelölje az első sikeres lövés előtti indítások számát.
Egy hallgató egy 10 kérdésből álló, többszörös választási lehetőségű tesztet tölt ki, mindegyiknél 5 közül kell választani (csak egy helyes válasz van). A hallgató véletlenszerűen találgat és jelöl meg egy választ. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy az első négy kérdésből egy helyes választ jelöl be.
Emlékeztetünk arra, hogy az amerikai rulett 38 nyílásból áll: 18 vörös, 18 fekete és 2 zöld. Tételezzük fel, hogy 10 egymásutáni vörös és zöld forgást figyeltünk meg! Adjuk meg a feltételes eloszlását azon forgatásszámnak, ami ahhoz szükséges, hogy az ezt követő forgatásoknál először fekete mezőt kapjunk!
A rulett játékot részletesebben a Szerencsejátékok fejezetben tanulmányozzuk.
A negatív binomiális eloszlás kísérletben legyen hogy geometriai eloszláshoz jussunk és legyen ! Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve! Számítsuk ki a megfelelő relatív gyakoriságokat és tapasztalati úton vizsgáljuk meg az örökifjú tulajdonságot:
Most meg fogunk magyarázni egy szerencsejáték helyzetet, ami Pétervári probléma néven ismert, és számos híres és meglepő eredményre vezet. Tételezzük fel, hogy fogadunk paraméterű Bernoulli kísérleteknek egy sorozatára. Egy kísérletbn bármekkora összeget feltehetünk a téttel megegyező lesz az eredmény: ha a kísérlet sikeres, annyit nyerünk, amennyit feltettünk, ha nem, elveszítjük a pénzünket. A következő stratégia szerint játszunk, ami martingál stratégia néven ismert:
Jelölje a nettó nyereséget. Mutassuk meg, hogy .
Így nem valószínűségi változó és független -től! Mivel tetszőleges konstans, úgy tűnik, hogy van ideális stratégiánk. Mégis tanulmányozzuk a pénzösszeget, ami szükséges a stratégia megjátszásához.
Mutassuk meg, hogy . ahol szokás szerint az első sikeres kísérlet sorszáma.
Felhasználva az előző gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy
!Így a stratégia használhatatlanná válik számunkra kedvezőtlen, de még szabályos kísérlet kimenetelek esetén is.
A negatív binomiális kísérletben, legyen . mindegyik soron következő értékére futtassuk le a kísérletet 100-szor, mindegyik futtatás után frissítve! Mindegyik esetben számoljuk ki értékét( értékkel)! Adjuk meg 100 futás utáni átlagértékét:
A szerencsjátékok stratégiáiról további infomációkért ld. a Vörös és fekete fejezetet.
Egy pénzérmekísérletben a fejdobás valószínűsége . Van játékos, akik az alábbiak szerint játszanak: először az 1, majd a 2.,..., majd az -edik játékos dobja fel a pénzérmét, majd újra az 1., és így tovább. Az a játékos nyer, aki először dob fejet.
Jelölje az első fejet eredményező dobás számát. Természetesen geometriai eloszlású az halmazon paraméterrel. Ezenfelül jelölje a játék nyertesének (sor)számát; értékeit így az halmazból veszi fel. A sűrűségfüggvényét kétféle módon fogjuk kiszámolni.
Mutassuk meg, hogy esetén akkor és csak akkor, ha valamilyen -re. Azaz, használva az elemi aritmetikában tanultakat
.Felhasználva az előző gyakorlat eredményét és a geometriai eloszlást, mutassuk meg, hogy
Bizonyítsuk be, hogy . Felhasználva ezt az eredményt, vezessük le újra az előző gyakorlatban szereplő sűrűségfüggvényt.
Megjegyezzük, hogy a 27. gyakorlatból következik, hogy egy csonkított geometriai eloszlás..
Mutassuk meg, hogy eloszlása megegyezik az feltételes ( feltétel melletti) eloszlásával, azaz:
!A következő problémák néhány határeloszlást vizsgálnak meg a váltakozó pénzérme játékkal kapcsolatban.
Mutassuk meg, hogy fix esetén eloszlása paraméterű geometriai eloszláshoz konvergál, ha !
Mutassuk meg, hogy fix esetén eloszlása az halmazon egyenletes eloszláshoz konvergál, ha !
Mi történik a játékban, amikor ? Hasonlítsuk össze a határértéket az előző gyakorlatban szereplő határértékkel!