A geometriai eloszlás

Felhasználva az első gyakorlat eredményét és a függetlenséget, mutassuk meg, hogy $U$ sűrűségfüggvénye a következő:

U n p 1 p n 1, n

A 2. gyakorlatban a sűrűségfüggvény által definiált eloszlás

p

paraméterű geometriai eloszlás néven ismeretes, amely az

számhalmazon van értelmezve. A

V U 1

változó az első bekövetkezés előtti kísérletek száma.

Mutassuk meg, hogy $V$ sűrűségfüggvénye

V n p 1 p n, n

Ezen valószínűségi változó eloszlása az

halmazon értelmezett

p

paraméterű geometriai eloszlás néven ismert. Nyilvánvaló

U

és

V

lényegében ugyanazt az információt szolgáltatja.

A negatív binomiális kísérletben legyen $k 1$ hogy az -on értelmezett geometriai eloszlást kapjuk. Változtassuk $p$ értékét a görgetősávval és figyeljük meg a sűrűségfüggvény helyét és alakját! $p$ kiválasztott értékeire végezzük el a szimulációt 1000-szer, a gyakoriságot 10-esével frissítgetve. Figyeljük meg a relatív gyakoriságfüggvény nyilvánvaló konvergenciáját a sűrűségfüggvényhez!

Mutassuk meg közvetlenül, hogy a 2. gyakorlatban szereplő függvény valóban sűrűségfüggvény!

Momentumok

Mutassuk meg, hogy $U 1 p$ ! Erre több lehetőségünk is van:

Vezessük le az eredményt közvetlenül a sűrűségfüggvény felhasználásával!
Az első kísérlet feltétele alapján mutassuk meg, hogy $U 1 1 p U$ !

Mutassuk meg, hogy $var U 1 p p 2$ !

Mutassuk meg, hogy $t U p t 1 1 p t, t 1 1 p$ !

A negatív binomiális kísérletben legyen $k 1$ , hogy geometriai eloszlást kapjunk. Változtassuk $p$ értékét a görgetősávval és figyeljük meg a várható értéket és a szórást ábrázoló sáv méterét és helyzetét. $p$ kiválasztott értékeire végezzük el a szimulációt 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a minta várható értékének és empirikus szórásának nyilvánvaló konvergenciáját az eloszlás várható értékéhez és szórásához.

Tételezzük fel, hogy $V U 1$ geometriai eloszlású az halmazon. Mutassuk meg, hogy

$V 1 p p$ .
$V 1 p p 2$ .
$t V p 1 1 p t, t 1 1 p$ .

Az egyenletes eloszlással való kapcsolat

Emlékeztetünk arra, hogy

Y n

az első

n

kísérletben a vizsgált események bekövetkezésének száma

n

és

p

paramétreű binomiális eloszlású.

Mutassuk meg, hogy az $U$ feltételes eloszlása $Y n 1$ feltétel mellett $12 n$ -en egyenletes. Megjegyezzük, hogy az eloszlás nem függ $p$ -től. Magyarázzuk meg ezt az eredményt valószínűségszámítási módon!

Örökifjú tulajdonság

A következő problémák a geometriai eloszlás egy fontos jellegzetességét vizsgálják.

Tételezzük fel, hogy $U$ egy valószínűségi változó, értékeit az halmazból veszi. Mutassuk meg, hogy $U$ akkor és csak akkor $p$ paraméterű geometriai eloszlású valószínűségi változó, ha

U n 1 p n, n

Ha $U$ geometriai eloszlású az halmazon, akkor mutassuk meg, hogy $U$ kielégíti az örökifjú tulajdonságot:

U n m U m U n, n m 2

Fordítva, mutassuk meg, hogy ha $U$ egy valószínűségi változó, mely értékeit az halmazból veszi, és kielégíti az örökifjú tulajdonságot, akkor $U$ geometriai eloszlású valószínűségi változó.

Mutassuk meg, hogy $U$ akkor és csak akkor rendelkezik az örökifjú tulajdonsággal, ha $U m$ feltételes eloszlása $U m$ feltétel mellett ugyanaz, mint $U$ eloszlása.

Példák és alkalmazások

Egy standard egy-hat irányban lapos kockát addig dobunk, ameddig 1-est, vagy 6-ost nem dobunk. Jelölje $U$ a dobások számát!

Adjuk meg $U$ sűrűségfüggvényét!
Adjuk meg $U$ várható értékét!
Adjuk meg $U$ szórásnégyzetét!
Adjuk meg annak valószínűségét, hogy a kockát legalább 5-ször fogjuk feldobni!

Egy rakétalövés 0.02 valószínűséggel sikertelen. Jelölje $N$ az első sikeres lövés előtti indítások számát.

Adjuk meg $N$ sűrűségfüggvényét!
Adjuk meg $N$ várható értékét!
Adjuk meg $N$ szórásnégyzetét!
Adjuk meg annak valószínűségét, hogy 20 egymásutáni lövés sikeres lesz!

Egy hallgató egy 10 kérdésből álló, többszörös választási lehetőségű tesztet tölt ki, mindegyiknél 5 közül kell választani (csak egy helyes válasz van). A hallgató véletlenszerűen találgat és jelöl meg egy választ. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy az első négy kérdésből egy helyes választ jelöl be.

Emlékeztetünk arra, hogy az amerikai rulett 38 nyílásból áll: 18 vörös, 18 fekete és 2 zöld. Tételezzük fel, hogy 10 egymásutáni vörös és zöld forgást figyeltünk meg! Adjuk meg a feltételes eloszlását azon forgatásszámnak, ami ahhoz szükséges, hogy az ezt követő forgatásoknál először fekete mezőt kapjunk!

A negatív binomiális eloszlás kísérletben legyen $k 1$ hogy geometriai eloszláshoz jussunk és legyen $p 0.3$ ! Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve! Számítsuk ki a megfelelő relatív gyakoriságokat és tapasztalati úton vizsgáljuk meg az örökifjú tulajdonságot:

U 5 U 2 U 3

Pétervári probléma

Most meg fogunk magyarázni egy szerencsejáték helyzetet, ami Pétervári probléma néven ismert, és számos híres és meglepő eredményre vezet. Tételezzük fel, hogy fogadunk

p 0

paraméterű Bernoulli kísérleteknek egy sorozatára. Egy kísérletbn bármekkora összeget feltehetünk a téttel megegyező lesz az eredmény: ha a kísérlet sikeres, annyit nyerünk, amennyit feltettünk, ha nem, elveszítjük a pénzünket. A következő stratégia szerint játszunk, ami martingál stratégia néven ismert:

Jelölje $W$ a nettó nyereséget. Mutassuk meg, hogy $W c$ .

Így

W

nem valószínűségi változó és

W

független

p

-től! Mivel

c

tetszőleges konstans, úgy tűnik, hogy van ideális stratégiánk. Mégis tanulmányozzuk a

Z

pénzösszeget, ami szükséges a stratégia megjátszásához.

Mutassuk meg, hogy $Z c 2 U 1$ . ahol szokás szerint $U$ az első sikeres kísérlet sorszáma.

Felhasználva az előző gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy

Z c 2 p 1 p 1 2 p 1 2

Így a stratégia használhatatlanná válik számunkra kedvezőtlen, de még szabályos kísérlet kimenetelek esetén is.

Számítsuk ki $Z$ -t explicit alakban, ha $c 100$ és $p 0.55$ !

A negatív binomiális kísérletben, legyen $k 1$ . $p$ mindegyik soron következő értékére futtassuk le a kísérletet 100-szor, mindegyik futtatás után frissítve! Mindegyik esetben számoljuk ki $Z$ értékét( $c 1$ értékkel)! Adjuk meg $Z$ 100 futás utáni átlagértékét:

$p 0.2$
$p 0.5$
$p 0.8$

A szerencsjátékok stratégiáiról további infomációkért ld. a Vörös és fekete fejezetet.

A váltakozó pénzfeldobás játék

Egy pénzérmekísérletben a fejdobás valószínűsége

p 01

. Van

n

játékos, akik az alábbiak szerint játszanak: először az 1, majd a 2.,..., majd az

n

-edik játékos dobja fel a pénzérmét, majd újra az 1., és így tovább. Az a játékos nyer, aki először dob fejet.

Jelölje

U

az első fejet eredményező dobás számát. Természetesen

U

geometriai eloszlású az

halmazon

p

paraméterrel. Ezenfelül jelölje

W

a játék nyertesének (sor)számát;

W

értékeit így az

12 n

halmazból veszi fel. A

W

sűrűségfüggvényét kétféle módon fogjuk kiszámolni.

Mutassuk meg, hogy $i 12 n$ esetén $W i$ akkor és csak akkor, ha $U i k n$ valamilyen $k$ -re. Azaz, használva az elemi aritmetikában tanultakat

W U 1 n 1

Felhasználva az előző gyakorlat eredményét és a geometriai eloszlást, mutassuk meg, hogy

W i p 1 p i 1 1 1 p n, i 12 n

Bizonyítsuk be, hogy $W i 1 p i 1 W 1$ . Felhasználva ezt az eredményt, vezessük le újra az előző gyakorlatban szereplő sűrűségfüggvényt.

Számítsuk ki explicit módon $W$ sűrűségfüggvényét, amikor a pénzérme szabályos ( $p 1 2$ )!

Megjegyezzük, hogy a 27. gyakorlatból következik, hogy

W

egy csonkított geometriai eloszlás..

Mutassuk meg, hogy $W$ eloszlása megegyezik az $U$ feltételes ( $U n$ feltétel melletti) eloszlásával, azaz:

W i U i U n, i 12 n

A következő problémák néhány határeloszlást vizsgálnak meg a váltakozó pénzérme játékkal kapcsolatban.

Mutassuk meg, hogy fix $p 01$ esetén $W$ eloszlása $p$ paraméterű geometriai eloszláshoz konvergál, ha $n$ !

Mutassuk meg, hogy fix $n$ esetén $W$ eloszlása az $12 n$ halmazon egyenletes eloszláshoz konvergál, ha $p 0$ !

Mi történik a játékban, amikor $p 0$ ? Hasonlítsuk össze a határértéket az előző gyakorlatban szereplő határértékkel!

3. A geometriai eloszlás

Alapelmélet

A sűrűségfüggvény