Alapelmélet

A Bernoulli kísérlet folyamat, melynek névadója Jacob Bernoulli a valószínűségszámítás egyik legegyszerűbb, de egyben egyik legfontosabb véletlen kísérlet folyamata is. Lényegében a folyamat az érmefeldobás matematikai absztrakciója, de széleskörű alkalmazhatóságának következtében megállapodunk abban, hogy kielégíti a következő feltételeket:

1. Minden kísérletnek két lehetséges kimenetele van, melyeket a megbízhatóság vizsgálatából származó kifejezésekkel sikeresnek és sikertelennek nevezünk.
2. A kísérletek függetlenek. Egyik kísérlet kimenetele sem befolyásolja egy másik kísérlet kimenetelét.
3. Minden kísérletnél annak valószínűsége, hogy a kísérlet sikeres és annak valószínűsége, hogy sikertelen .

Valószínűségi változók

Matematikailag a Bernoulli kísérleteket egy valszínűségi változó indikátor sorozatának tekintjük:

Egy indikátor változó egy valószínűségi változó, amely csak az 1 vagy 0 értéket veszi fel aszerint, hogy a kísérlet sikeres, vagy nem sikeres. Az indikátor változó egyszerűen a -edik kísérlet kimenetelének az eredménye. Így az indikátor változók függetlenek és ugyanolyan eloszlású sűrűségfüggvénnyel rendelkeznek:

Az ezen sűrűségfüggvény által definiált eloszlás Bernoulli eloszlás néven ismeretes. Statisztikai értelemben a Bernoulli kísérletek a Benoulli eloszlásból vett mintának felelnek meg. Speciálisan, az első kísérlet a Bernoulli eloszlásból vett elemű véletlen mintát alkot. Megjegyezzük, hogy a Bernoulli kísérletek egy paraméterrel, a valószínűséggel jellemezhetők.

Megjegyezzük, hogy az előző gyakorlatban a Bernoulli kísérletek a paraméter minden lehetséges értéke esetén egy közös valószínűségi téren vannak definiálva. A konstrukció ezen típusára néha mint összekapcsolt kísérletekre hivatkozunk. Ez a gyakorlat azt is mutatja, hogyan szimuláljuk a Benoulli kísérleteket véletlen számok segítségével. Az összes többi véletlen kísérlet (folyamat), amit ebben a fejezetben tanulmányozunk a Bernoulli kísérletsorozatnak a függvényei és ezért is tudjuk szimulálni.

Momentumok

A későbbi hivatkozásokhoz számítsuk ki a paraméterű általános indikátor változó várható értékét, varianciáját, és a valószínűség generáló függvényét.

Példák és alkalmazások

Mint korábban megjegyeztük, a Bernoulli kísérletek egy kézenfekvő pédája a pénzérmekísérletek, ahol a síker jelenti a fej, a sikertelenség az írásdobást. A paraméter a fejdobás valószínűsége(így általában az érme nem szabályos.).

Általános példák

Egy bizonyos értelemben a Bernoulli kísérletek legáltalánosabb példája akkor fordul elő, amikor egy kísérletet megismétlünk. Speciálisan tételezzük fel, hogy van egy alapkísérletünk és egy esemény érdekel minket. Tegyük fel, hogy egy összetett eseményt hozunk létre, ami az alapkísérlet független megismétléseiből áll. Azt mondjuk, hogy az -edik kísérlet sikeres, ha az esemény bekövetkezik az -edik ismétlésre és az -edik kísérlet sikertelen, ha az esemény nem következik be az -edik ismétlésre. Ez nyilvánvalóan egy Bernoulli kísérlet sorozatot definiál.

Bernoulli kísérleteket dichotom populációból is alkothatunk. Speciálisan tételezzük fel, hogy van egy populációnk, amelynek két típusú kimenetele van, amelyekre 0-val és 1-gyel hívatkozunk. Például lehet szó személyről aki vagy férfi vagy nő, vagy egy alkatrészről, ami vagy jó vagy hibás. Válasszunk ki objektumot véletlenszerűen a populációból; definíció szerint ez azt jelenti, hogy ha egyszerre (visszatevés nélkül) történik az elemek kiválasztása, akkor a populációban mindegyik objektum egyenlő valószínűséggel választható ki. Ha a mintavétel visszatevéssel történik, akkor mindegyik objektum a következő húzás elött visszakerül a kihúzandók közé. Ebben az esetben az egymás utáni húzások függetlenek, így a mintában lévő objektumok típusai paraméterű Bernoulli kísérleteknek egy sorozatát alkotják. Ez a paraméter a populációban lévő 1-es objektumtípusainak hányada. Ha a mintavétel visszatevés nélküli, akkor az egymás utáni húzások nem függetlenek, így a mintában lévő objektumok típusai nem alkotják Bernoulli kísérleteknek egy sorozatát. Azonban, ha a populáció mérete a mintavétel méretéhez viszonyítva nagy, a függőség elhanyagolható, így az összes gyakorlati tervben a mintában lévő objektumok típusai Bernoulli kísérletek sorozataként kezelhetők. További diszkussziók találhatók a dichotom populációból való mintavételről a Véges elemű mintamodellek c. fejezetben.

A Rulettet részletesebben a Szerencsejáték fejezetben elemezzük.

Megbízhatóság

Emlékeztetünk ara, hogy a szerkezeti megbízhatóság standard modelljében a rendszer komponensből áll, amelyek egymástól függetlenül működnek. Jelölje az -edik komponens állapotát, ahol 1 jelenti, hogy működik, 0 jelenti, hogy hibás a komponens. Ha a komponensek mindegyike ugyanolyan típúsú, akkor alapfeltevésünk, hogy az

állapot vektor Bernoulli kísérleteknek egy sorozata. A rendszer állapota (ismét 1 jelenti, hogy működik, 0 jelenti, hogy hibás a komponens) csak a komponensek állapotától függ és így egy valószínűségi változó

ahol a struktúra függvény. Általában annak valószínűsége, hogy az eszköz működik, az eszköz megbízhatósága, így a Bernoulli kísérletsorozat paramétere a komponensek közös megbízhatósága. A függetlenség miatt a rendszer megbízhatósága a komponens megbízhatóságnak egy függvénye:

ahol hangsúlyozzuk a paraméteren értelmezett valószínűségi mező függetlenségét. Általában elég, ha ezt a függvényt, mint megbízhatósági függvényt ismerjük. Rendszerint az a feladatunk, hogy megtaláljuk a megbízhatósági függvényt, és megtaláljuk a struktúrafüggvényt.

Emlékeztetünk arra, hogy néhány esetben a rendszert reprezentálhatjuk, mint egy gráfot vagy hálózatot. Az élek a komponenseket, a csúcsok a komponensek közötti kapcsolatokat reprezentálják. A rendszer akkor és csak akkor működik, ha létezik két kijelölt csúcs között működő útvonal, amelyeket -val és -vel jelölünk.

Adjuk meg az alábbi Wheatstone híd hálózatának megbízhatóságát (a névadó Charles Wheatstone)

Összegyűjtött vérvizsgálat

Tételezzük fel, hogy egy populációban minden személy, egymástól függetlenül valószínűséggel rendelkezik egy bizonyos betegséggel. Így, a betegséget illetően a populációban lévő személyek Bernoulli kísérletsorozatot alkotnak. A betegséget egy vérvizsgálattal lehet azonosítani, aminek természetesen költsége van.

Egy létszámú csoport ( ) esetén két stratégiát követhetünk. Az első szerint minden személyt megvizsgálunk egyenként, s ezért személyt kell vizsgálnunk, s így vérvizsgálatot kell végeznünk. A második stratégia szerint összegyűjtjük a személy vérmintáját és először együtt vizsgáljuk (egyetlen egy teszttel). Feltételezzük, hogy a teszt eredménye akkor és csak akkor negatív, ha a személy mindegyike egészséges. Ebben az esetben egy teszt elvégzése szükséges. Másrészről a teszt eredménye akkor és csak pozitív, ha legalább egy személy beteg, ekkor egyenként tesztelni kell a személyeket. Ennél a stratégiánál teszt végrehajtása szükséges. Jelölje az összegyüjtött stratégia esetén a szükséges tesztek számát.

A kritikus érték ábráját, mint -nak a függvényét mutatja az alábbi ábra:

A 18. gyakorlatból következik, hogy ha , akkor az összegyűjtésnek nincs értelme, tekintet nélkül a csoport méretére. A másik szélsőséges esetben, ha nagyon kicsi, a betegség igen ritka, az összegyűjtés jobb, kivéve, ha a csoportméret nagyon nagy.

Most tételezzük fel, hogy személyünk van. Ha akkor tudunk csinálni részpopulációkat, csoport van és mindegyik csoportban személy. Alkalmazzuk az összegyüjtött stratégiát mindegyik csoportra. Megjegyezzük, hogy megfelelel egyetlen egy tesztnek és megfelelel a teljes populációra vonatkozó összegyűjtött stratégiának. Jelölje az csoporthoz szükséges tesztek számát.

Az ehhez szükséges tesztek teljes számára az alábbi terv érvényes

Így, a várható értékkel kapcsolatban az optimális stratégia a populáció felosztása darab fős csoportra, ahol a 20. gyakorlatban definiált függvényt minimalizálja. Igen nehéz optimális értékére zárt formulát adni, de ez az érték numerikusan meghatározható konkrét és értékekre.

Ha nem osztója -nek, akkor az személyből álló populációt csoportra bontjuk személyt téve mindegyik csoportba és a maradék csoport személyből áll. Ez nyilvánvalóan bonyolítja az elemzést, de nem vezet be új ötletet, így ennek az esetnek a vizsgálatát az érdeklődő olvasóra bízzuk.