]>
Multinomiális kísérletek folyamata független, azonos eloszlású valószínűségi változók egy sorozata: mindegyikük lehetséges értékkel rendelkezik. Így a multinomiális kísérletek folyamata a Bernoulli trikísérletek folyamatának egyszerű általánosítása (amely megfelel -nek). Az egyszerűség kedvéért jelöljük az eredményhalmazt -val és a kísérleti változók közös sűrűségfüggvényét
-val.Természetesen minden -re és -re. Statisztikai értelemben az sorozat az eloszlásból vett minta.
Mint a binomiális eloszlás diszkussziójában, az a valószínűségi változó érdekel bennünket, amelyik megadja, hányszor következett be a megfigyelt esemény. Így legyen
Megjegyezzük, hogy így, ha ismerjük számláló változó értékeit, meg tudjuk adni a megmaradó számláló változó értékét. Mint minden számláló változót, az változót ki tudjuk fejezni indikátor változók összegeként:
Mutassuk meg, hogy .
Felhasználva a szokásos alapérveket, függetlenséget és kombinatorikát, le tudjuk vezetni a számláló változók együttes, marginális és feltételes sűrűségfüggvényeit. Speciálisan, felelevenítve a multinomiális együtthatók definícióját: a pozitív egészekre, ha
Mutassuk meg, hogy pozitív egészekre, ha , akkor
eloszlását és paraméterű multinomiális eloszlásnak nevezzük. Az is igaz, hogy ugyanilyen eloszlású (emlékeztetünk arra, hogy a számláló változó értéke meghatározza a megmaradó változó értékét). Rendszerint a szövegkörnyezetből a multinomiális eloszlás kifejezés jelentése nyilvánvaló. Újra megemlítjük, hogy a hétköznapi binomiális eloszás megfelel a esetnek.
Mutassuk meg, hogy binomiális eloszlású és paraméterekkel!
A multinomiális eloszlás megörződik, amikor a számláló változóval kombinálunk. Speciálisan, tételezzük fel, hogy az indexhalmaznak egy nem üres részhalmazokra való felosztása. -re legyen
Mutassuk meg, hogy multinomiális eloszlású és paraméterekkel!
A multinomiális eloszlás megörződik, amikor néhány számláló változót figyelünk. Speciálisan tételezzük fel, hogy az indexhalmaznak egy nem üres részhalmazokra való felosztása. Tételezzük fel, hogy nemnegatív egészeknek egy sorozata, mely -vel van indexelve olymódon, hogy
Legyen
Mutassuk meg, hogy feltételes eloszlása feltétel mellett multinomiális és paraméterekkel!
A 4. gyakorlat és az 5. gyakorlat eredményeit kombinálva ki tudjuk számolni mindegyik marginális és feltételes eloszlást.
Ki fogjuk számolni a számláló változók várható értékét, szórásnégyzetét, kovarianciáját, és korrelációját. Ehhez a fő eszközöket a binomiális eloszlás és az indikátor változóval kapcsolatos reprezentációk szolgáltatják.
Mutassuk meg, hogy
Mutassuk meg, hogy ha és különbözik egymástól, akkor
Figyeljük meg, hogy a 7. gyakorlatban az és korrelációja negatív, és a korreláció viszont nem függ sem -től sem -tól. Ez ésszerűnek tűnik?
Felhasználva a 7. gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy ha , akkor a 1-es kimenetelek száma és a 2-es kimenetelek száma teljesen korrelál. Ez ésszerűnek tűnik?
A kockakísérletben válasszuk meg az 1-esek számát. Mindegyik kockaeloszlás esetén egy kockával indulva egyenként növelve a kockák számát figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját és a várható érték/standard szórás grafikonjának helyzetét és méretét. Amikor már 10 kockánk van, végezzük el a szimulációt a gyakoriságot 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság függvénynek a sűrűségfüggvényhez és az empirikus momentumfüggvénynek az elméleti momentumokhoz történő nyilvánvaló konvergenciáját.
Tételezzük fel, hogy feldobunk 10 szabályos dobókockát. Adjuk meg a következő események mindegyikének a valószínűségét:
Tételezzük fel, hogy feldobunk négy darab (lapos) egy-hat dobókockát (Az 1-est és 6-ost valószínűséggel; a 2-es, 3-as, 4-es, és 5-ös mindegyikét valószínűséggel dobjuk). Adjuk meg az együttes sűrűségfüggvényt.
A kocka kísérletben vegyünk 4 darab egy-hat dobókockát. Végezzük el a kísérletet 500-szor, minden futás után frissítve. Számítsuk ki az együttes relatív gyakoriságfüggvényt mindegyik előforduló pontszámra. Hasonlítsuk össze a relatív gyakoriság függvényt az elméleti sűrűségfüggvénnyel.
Tételezzük fel, hogy feldobunk 20 egy-hat dobókockát. Adjuk meg az 1-es és 2-es re esesek számának kovarianciáját és korrelációját.
A kocka kísérletben vegyünk 20 egy-hat dobókockát. Végezzük el a kísérletet 500-szor, minden futás után frissítve. Számítsuk ki az 1-es és 2-es dobások számának empirikus kovarianciáját és korrelációját. Hasonlítsuk össze az eredményeket a 13. problémában kiszámolt elméleti eredményekkel.