]> A multinomiális eloszlás
  1. Virtuális laboratóriumok
  2. 10. Bernoulli kísérletek
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6

5. A multinomiális eloszlás

Alapelmélet

Multinomiális kísérletek

Multinomiális kísérletek folyamata független, azonos eloszlású valószínűségi változók egy sorozata: X X 1 X 2 mindegyikük k lehetséges értékkel rendelkezik. Így a multinomiális kísérletek folyamata a Bernoulli trikísérletek folyamatának egyszerű általánosítása (amely megfelel k 2 -nek). Az egyszerűség kedvéért jelöljük az eredményhalmazt 1 2 k -val és a kísérleti változók közös sűrűségfüggvényét

p i X j i ,  i 1 2 k -val.

Természetesen p i 0 minden i -re és i 1 k p i 1 -re. Statisztikai értelemben az X sorozat az eloszlásból vett minta.

Mint a binomiális eloszlás diszkussziójában, az a valószínűségi változó érdekel bennünket, amelyik megadja, hányszor következett be a megfigyelt esemény. Így legyen

Y n i j 1 2 n X j i ,  i 1 2 k

Megjegyezzük, hogy i 1 k Y n i n így, ha ismerjük k 1 számláló változó értékeit, meg tudjuk adni a megmaradó számláló változó értékét. Mint minden számláló változót, az Y n i változót ki tudjuk fejezni indikátor változók összegeként:

Mutassuk meg, hogy Y n i j 1 n X j i .

Felhasználva a szokásos alapérveket, függetlenséget és kombinatorikát, le tudjuk vezetni a számláló változók együttes, marginális és feltételes sűrűségfüggvényeit. Speciálisan, felelevenítve a multinomiális együtthatók definícióját: a j 1 j 2 j k pozitív egészekre, ha i 1 k j i n

n j 1 j 2 j k n j 1 j 2 j k

Együttes eloszlás

Mutassuk meg, hogy j 1 j 2 j k pozitív egészekre, ha i 1 k j i n , akkor

Y n 1 j 1 Y n 2 j 2 Y n k j k n j 1 j 2 j k p 1 j 1 p 2 j 2 p k j k

Y n Y n 1 Y n 2 Y n k eloszlását n és p p 1 p 2 p k paraméterű multinomiális eloszlásnak nevezzük. Az is igaz, hogy Y n 1 Y n 2 Y n k 1 ugyanilyen eloszlású (emlékeztetünk arra, hogy a számláló változó k 1 értéke meghatározza a megmaradó változó értékét). Rendszerint a szövegkörnyezetből a multinomiális eloszlás kifejezés jelentése nyilvánvaló. Újra megemlítjük, hogy a hétköznapi binomiális eloszás megfelel a k 2 esetnek.

Marginális eloszlások

Mutassuk meg, hogy Y n i binomiális eloszlású n és p i paraméterekkel!

Y n i j n j p i j 1 p i n j ,  j 0 1 n
  1. Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást, definiálva Bernoulli kísérletek egy megfelelő sorozatát!
  2. Adjunk analitikus bizonyítást, felhasználva az együttes sűrűségfüggvényt!

Csoportosítás

A multinomiális eloszlás megörződik, amikor a számláló változóval kombinálunk. Speciálisan, tételezzük fel, hogy A 1 A 2 A m az 1 2 k indexhalmaznak egy nem üres részhalmazokra való felosztása. j 1 2 m -re legyen

Z n j i A j Y n i ,  q j i A j p i

Mutassuk meg, hogy Z n Z n 1 Z n 2 Z n m multinomiális eloszlású n és q 1 q 2 q m paraméterekkel!

  1. Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást, definiálva multinomiális kísérletek egy megfelelő sorozatát!
  2. Adjunk analitikus bizonyítást, felhasználva az együttes sűrűségfüggvényt!

Feltételes eloszlás

A multinomiális eloszlás megörződik, amikor néhány számláló változót figyelünk. Speciálisan tételezzük fel, hogy A B az 1 2 k indexhalmaznak egy nem üres részhalmazokra való felosztása. Tételezzük fel, hogy j i i B nemnegatív egészeknek egy sorozata, mely B -vel van indexelve olymódon, hogy

j i B j i n

Legyen

p i A p i

Mutassuk meg, hogy Y n i i A feltételes eloszlása Y n i j i i B feltétel mellett multinomiális n j és p i p i A paraméterekkel!

  1. Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást, definiálva Bernoulli kísérletek egy megfelelő sorozatát!
  2. Adjunk analitikus bizonyítást, felhasználva az együttes sűrűségfüggvényt!

A 4. gyakorlat és az 5. gyakorlat eredményeit kombinálva ki tudjuk számolni mindegyik marginális és feltételes eloszlást.

Momentumok

Ki fogjuk számolni a számláló változók várható értékét, szórásnégyzetét, kovarianciáját, és korrelációját. Ehhez a fő eszközöket a binomiális eloszlás és az indikátor változóval kapcsolatos reprezentációk szolgáltatják.

Mutassuk meg, hogy

  1. Y n i n p i .
  2. Y n i n p i 1 p i

Mutassuk meg, hogy ha i és j különbözik egymástól, akkor

  1. Y n i Y n j n p i p j .
  2. Y n i Y n j p i p j 1 p i 1 p j .

Figyeljük meg, hogy a 7. gyakorlatban az i és j korrelációja negatív, és a korreláció viszont nem függ sem n -től sem k -tól. Ez ésszerűnek tűnik?

Felhasználva a 7. gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy ha k 2 , akkor a 1-es kimenetelek száma és a 2-es kimenetelek száma teljesen korrelál. Ez ésszerűnek tűnik?

Példák és alkalmazások

A kockakísérletben válasszuk meg az 1-esek számát. Mindegyik kockaeloszlás esetén egy kockával indulva egyenként növelve a kockák számát figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját és a várható érték/standard szórás grafikonjának helyzetét és méretét. Amikor már 10 kockánk van, végezzük el a szimulációt a gyakoriságot 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság függvénynek a sűrűségfüggvényhez és az empirikus momentumfüggvénynek az elméleti momentumokhoz történő nyilvánvaló konvergenciáját.

Tételezzük fel, hogy feldobunk 10 szabályos dobókockát. Adjuk meg a következő események mindegyikének a valószínűségét:

  1. Az 1-es és 6-os egyszer, a többi kétszer fordul elő.
  2. A 2-es és 4-es háromszor fordul elő.
  3. 4 párosat és 6 páratlant dobtunk.
  4. Az 1-es és a 3-as kétszer, az 5-ös háromszor, a 2-es egyszer fordul elő.

Tételezzük fel, hogy feldobunk négy darab (lapos) egy-hat dobókockát (Az 1-est és 6-ost 14 valószínűséggel; a 2-es, 3-as, 4-es, és 5-ös mindegyikét 18 valószínűséggel dobjuk). Adjuk meg az együttes sűrűségfüggvényt.

A kocka kísérletben vegyünk 4 darab egy-hat dobókockát. Végezzük el a kísérletet 500-szor, minden futás után frissítve. Számítsuk ki az együttes relatív gyakoriságfüggvényt mindegyik előforduló pontszámra. Hasonlítsuk össze a relatív gyakoriság függvényt az elméleti sűrűségfüggvénnyel.

Tételezzük fel, hogy feldobunk 20 egy-hat dobókockát. Adjuk meg az 1-es és 2-es re esesek számának kovarianciáját és korrelációját.

A kocka kísérletben vegyünk 20 egy-hat dobókockát. Végezzük el a kísérletet 500-szor, minden futás után frissítve. Számítsuk ki az 1-es és 2-es dobások számának empirikus kovarianciáját és korrelációját. Hasonlítsuk össze az eredményeket a 13. problémában kiszámolt elméleti eredményekkel.