]> Bertrand féle paradoxon
  1. Virtuális laboratóriumok
  2. 9. Geometriai modellek
  3. 1
  4. 2
  5. 3

2. Bertrand féle paradoxon

A probléma felvetése

A Bertrand féle probléma abból áll, hogy adjuk meg annak valószínűségét, hogy a körnek egy véletlen húrja nem hosszabb, mint a körbe írt szabályos háromszögnek az oldala. A problémát Joseph Louis Bertrand tanulmányozta 1889-ben, ezért róla kapta a nevét.

Kiderül, hogy a Bertrand problémára legalább három válasz adható, attól függően, hogyan interpretáljuk a véletlen húr kifejezést. Az egyértelmű válasz hiányát ekkor paradoxonként kezelték, mivel azt feltételezték (naív módon, utólagos előrelátással), hogy csak egyetlen természetes válasz létezhet.

Végezzük el a Bertrand kísérletet 100-szor, minden kísérlet után frissítve a következő modellek mindegyikére. Ne törődjünk azzal, hogy mi a modellek jelentése, de lássuk a különbséget a kimenetelek viselkedésében.

  1. Egyenletes távolság
  2. Egyenletes szög
  3. Egyenletes végpont

Matematikai megfogalmazás

Ahhoz, hogy matematikailag megfogalmazzuk a problémát, vegyük a kör középpontjának a 0 0 pontot és a kör sugara legyen egységnyi. Ezek a feltevések nem befolyásolják a feladat általánosságát, mert a kör középpontjához való távolság és a kör sugara, mint hosszegység relatív. Vizsgáljunk egy húrt a körön. Feltehetjük, hogy a húr egyik végpontja 1 0 és a másik végpontja X Y , ahol Y 0 Ekkor a következő adatok megadásával teljesen meghatároztuk a húr helyzetét:

A chord in the circle

Mutassuk meg, hogy D A .

Mutassuk meg, hogy X 2 D 2 1 .

Mutassuk meg, hogy Y 2 D 1 D 2 .

Mutassuk meg, hogy a 2. és 3. gyakorlat relációi megfordíthatók és adjuk meg az inverz relációkat!

Ha a húrt valószínűségelméleti módon generáljuk, akkor D , A , X , és Y valószínűségi változók lesznek. Az 5. gyakorlat eredményének fényében, tehát ha a D , A , vagy X változók bármelyikének megadjuk az eloszlását, az mind a négy változó eloszlását meghatározza.

Mutassuk meg, hogy A a húr és a kör 1 0 pontjában húzott érintő egyenesének a szögével egyezik meg!

Most vizsgáljuk az körbe írt egyenlőoldalú háromszöget olymódon, hogy a háromszög egyik csúcsa az 1 0 pont. Vizsgáljuk azt a húrt, amelyet a háromszög felső oldala határoz meg.

Mutassuk meg, hogy ilyen húr esetén a szög, a távolság, és a koordináta változók az alábbi értékeket veszik fel:

  1. A 3
  2. D 12
  3. X 12
  4. Y 34
The equilateral triangle

Tételezzük fel, hogy a húrt valószínűségelméleti úton választjuk.

Felhasználva a 7. gyakorlatot mutassuk meg, hogy a húr hossza akkor és csak akkor nagyobb, mint az egyenlőoldalú háromszög oldala, ha a következő ekvivalens feltételek teljesülnek:

  1. 0 D 12
  2. 3 A 2
  3. 1 X 12

Modellek

Amikor egy dolgot véletlenszerűen generálunk, az objektumot meghatározó természetes változók sorozatának egyenletes eloszlásúnak kell lenni. A pénzérme középpontjának a koordinátái egy ilyen sorozatot alkotnak a Buffon féle pénzérme kísérletben; a szög és a távolságváltozók ilyen sorozatot alkotnak a Buffon féle tűkísérletben. A Bertrand paradoxon nehézsége abban áll, hogy a D , távolság, az A , szög és az X koordináta mindegyike természetes változónak tűnik, hogy meghatározza a húrt, de különböző modelleket kapunk attól függően, hogy melyik határozza meg az egyenletes eloszlást.

Az egyenletes távolság modellje (Modell, ha a távolság egyenletes eloszlású változó)

Tételezzük fel, hogy D egyenletes eloszlású a 0 1 intervallumon.

Mutassuk meg, hogy a Bertrand paradoxon problémájának a megoldása:

D 12 12

A Bertrand kísérletben válasszuk az egyenletes távolság modellt. Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a húr esemény relatív gyakoriság függvényének a valószínűséghez való nyilvánvaló konvergenciáját.

Használja fel a változók felcserélésének a formuláját, hogy megmutassa, hogy az A (szög)változó sűrűségfüggvénye a következő

g A A ,  0 A 2

Használja fel, a változók felcserélésének formuláját, hogy megmutassa, hogy az X változó sűrűségfüggvénye a következő

h x 1 8 x 1 ,   1 x 1

Megjegyezzük, hogy A és X nem egyenletes eloszlású.

Mutassuk meg, hogyan szimuláljuk a D , A , X és Y változókat, felhasználva a véletlen számokat.

Az egyenletes szög modellje (Modell, ha a szög egyenletes eloszlású változó)

Tételezzük fel, hogy A egyenletes eloszlású a 0 2 intervallumon.

Mutassuk meg, hogy a Bertrand probléma megoldása

A 3 13

A Bertrand kísérletben válasszuk az egyenletes szögmodellt. Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a húr esemény relatív gyakoriság függvényének a valószínűséghez való nyilvánvaló konvergenciáját.

Használja fel a változók felcserélésének a formuláját, hogy megmutassa, hogy a D változó sűrűségfüggvénye a következő

f D 2 1 D 2 ,  0 D 1

Használja fel a változók felcserélésének a formuláját, hogy megmutassa, hogy az X -nek van sűrűségfüggvénye

h X 1 1 X 2 ,  1 X 1

Megjegyezzük, hogy D és X nem egyenletes eloszlású.

Mutassuk meg, hogyan szimuláljuk a D , A , X , és Y változókat felhasználva a véletlen számokat.

Az egyenletes végpont modellje (Modell, ha az X változó / a végpont X koordinátája egyenletes eloszlású)

Tételezzük fel, hogy X egyenletes eloszlású a 1 1 intervallumon.

Mutassuk meg, hogy a Bertrand probléma megoldása

1 X 12 14

A Bertrand kísérletben válasszuk az egyenletes végpont modellt. Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a húr esemény relatív gyakoriság függvényének a valószínűséghez való nyilvánvaló konvergenciáját.

Használja fel a változók felcserélésének a formuláját, hogy megmutassa, hogy a D -nek van sűrűségfüggvénye

f D 2 D ,  0 D 1

Használja fel a változók felcserélésének a formuláját, hogy megmutassa, hogy az A -nak van sűrűségfüggvénye

g a 2 a a ,  0 a 2

Megjegyezzük, hogy D és A nem egyenletes eloszlású; valójában D béta eloszlású, és a két paraméter 2 és 1.

Fizikai kísérletek

Tételezzük fel, hogy egy véletlen húrt generálunk egy egységsugarú pénzérme feldobásával, melyet egy párhuzamos vonalakból álló táblán végzünk, a vonalak távolsága 2 egység. Melyik model írja le ezt a fizikai kísérletet (ha van ilyen modell)?

Tételezzük fel, hogy egy tű hozzá van erősítve egy egységsugarú korong széléhez. Egy véletlen húrt generálhatunk a tű forgatásával. Melyik modell írja le ezt a fizikai kísérletet (ha van ilyen modell)?

Tételezzük fel, hogy egy egységsugarú korong szélén egy vékony vályút hoztunk létre. Egy golyót gördítünk a vályuba, amely a kör egy véletlen pontját generálja, ezt kétszer végrehajtva, generálhatunk egy véletlen húrt. Melyik modell írja le ezt a fizikai kísérletet (ha van ilyen modell)?