]> Véletlen háromszögek
  1. Virtuális laboratóriumok
  2. 9. Geometriai modellek
  3. 1
  4. 2
  5. 3

3. Véletlen háromszögek

Előzmények

A probléma felvetése

Tételezzük fel, hogy egy pálcát véletlenszerűen két helyen eltörünk. Mi a valószínűsége, hogy a három pálcadarabból háromszög alkotható?

Vizsgálódás nélkül végezzünk egy becslést.

Végezzük el a háromszög kísérletet 50-szer. Nem törődve az applet által kijelzett információk mindegyikével, de pontosan jegyezzük fel, vajon a darabokból tudunk-e háromszöget alkotni. Vajon módosítani akarjuk az 1. gyakorlatban adott becslésünket?

Matematikai megszövegezés

Ahogy szokás, első lépésként matematikailag modellezzük a véletlen kísérletet. Tekintsük a pálca hosszát a mérési egységnek, így pálcát a 0 1 intervallummal tudjuk azonosítani. A pálca három darabra töréséhez az intervallumban meg kell adnunk két pontot. Így jelölje X az első pontot és Y a második pontot. Megjegyezzük, hogy X és Y véletlen változók és így kísérletünk mintatere:

S 0 1 2 .

Most, hogy modellezzük az állítást, hogy a pontokat véletlenszerűen választjuk, tételezzük fel, mint az előző részben, hogy X és Y független , s mindegyikük egyenletes eloszlású a 0 1 intervallumon.

Mutassuk meg, hogy X Y egyenletes eloszlású a S 0 1 2 -en.

Innen következik, hogy

X Y A A S ,  A S

A háromszög kialakulásának valószínűsége

Bizonyítsuk be, hogy a három pálcadarabból akkor és csak akkor rakható ki háromszög, ha teljesülnek a háromszög egyenlőtlenségek: két darab hosszának összege nagyobb, mint a harmadik darab.

Mutassuk meg, hogy az az esemény, hogy a három pálcadarabból háromszög rakható össze, a következő: T T 1 T 2 ahol

  1. T 1 x y S <és /> y 12 x 12 y x 12
  2. T 2 x y S <és /> x 12 y 12 x y 12

Váoljuk a T eseményt. Érdekes módon, a T háromszögekből tevődik össze!

The event that the pieces form a triangle

Mutassuk meg, hogy T 14 .

Mennyire sikerült ehhez közeli értékre tippelnie az 1. gyakorlatban? A 6. gyakorlatban a valószínűség relatíve alacsony értéke meglepő.

Végezzük el a háromszög kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítgetve. Figyeljük meg, hogy T c empirikus valószínűsége jól láthatóan a valódi valószínűséghez konvergál.

Különböző típusú háromszögek

Most ki fogjuk számolni annak valószínűségét, hogy a pálcikadarabok adott típusú háromszöget alkotnak. Emékeztetünk arra, hogy egy hegyesszögű háromszögben mind a három szög kisebb, mint 90°, míg egy tompaszögű háromszögnek pontosan egy olyan szöge van, amely nagyobb, mint 90°. Egy derékszögű háromszögben természetesen egy 90°-os szög van.

Tételezzük fel, hogy a háromszög oldalának hosszai rendre a , b , és c , ahol c a legnagyobb oldal. Emlékeztetünk arra (vagy mutassuk meg), hogy egy háromszög

  1. akkor és csak akkor hegyesszögű, ha c 2 a 2 b 2 .
  2. akkor és csak akkor tompaszögű, ha c 2 a 2 b 2 .
  3. akkor és csak akkor derékszögű, ha c 2 a 2 b 2 .

A (c) rész a jól ismert Pitagorasz tétel, amely az ókori görög matematikusról, Pitagoraszról kapta a nevét.

Mutassuk meg, hogy a derékszögű háromszög esetén a pálcikadarabok hosszára felírt egyenlőségek a következők:

  1. y x 2 x 2 1 y 2 T 1 -ben.
  2. 1 x 2 x 2 y x 2 T 1 -ben
  3. x 2 y x 2 1 y 2 T 1 -ben.
  4. x y 2 y 2 1 x 2 T 2 -ben.
  5. 1 x 2 y 2 x y 2 T 2 -ben.
  6. y 2 x y 2 1 x 2 T 2 -ben.
The events that the pieces form acute and obtuse triangles

Jelölje R azt az eseményt, hogy a pálcikadarabok derékszögű háromszöget alkotnak, Mutassuk meg, hogy R 0

Mutassuk meg: az az esemény, hogy a pálcikadarabokból hegyesszögű háromszög alkotható A A 1 A 2 ahol

    az esemény
  1. A 1 9. gyakorlat (a), (b), és (c) görbék belsejébe eső tartomány.
  2. A 2 9. gyakorlat (d), (e), és (f) görbék belsejébe eső tartomány.

Mutassuk meg: az az esemény, hogy a pálcikadarabokból tompaszögű háromszög alkotható B B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 ahol

  1. B 1 , B 2 , és B 3 tartományok a T 1 belsejében és a 9. gyakorlat (a), (b), és (c) görbéin kívül helyezkedik el.
  2. B 4 , B 5 , és B 6 T 2 belsejében és a 9. gyakorlat (d), (e), és (f) görbéin kívül helyezkedik el.

Mutassuk meg, hogy

  1. B 1 x 0 12 x 1 2 x 2 2 x 38 2 2
  2. B 2 x 0 12 x 1 2 x 2 2 x 38 2 2
  3. B 3 y 0 12 y 1 2 y 32 38 2 2

Bizonyítsuk be a szimmetria felhasználásával, hogy

B 94 3 2 0.1706

A szimmetria felhasználásával még be tudjuk bizonyítani, hogy B i minden i -re ugyanaz, annak ellenére, hogy (pédául) B 1 és B 2 nem egybevágóak.

Mutassuk meg, hogy

A 3 2 2 0.07944

Futtassuk le a háromszög kísérletet 1000-szer,10-esével frissítve. Figyeljük meg, hogy az empirikus valószínűség konvergenciája a valódi valószínűséghez nyilvánvaló.