]>
Kiindulási pontunk, mint általában, most is egy véletlen kísérlet a hozzá tartozó valószínűségi mezővel és az azon értelmezett valószínűségi mértékkel. Egy -értékű valószínűségi változóról azt mondjuk, hogy folytonos eloszlású, ha
Első ránézésre ellentmondásnak tűnhet, hogy
tetszőleges értéket nulla valószínűséggel vesz fel. Azonban ez mégsem ellentmondás, mert nagyon sok
lehetséges
érték van. Ugyanez a jelenség az is, hogy egy
-beli intervallum lehet pozitív hosszúságú annak ellenére, hogy nulla hosszúságú pontokból áll, vagy hogy
egy részhalmaza lehet pozitív területű annak ellenére, hogy nulla területű pontokból (vagy görbékből) áll.
Igazoljuk, hogy tetszőleges megszámlálható esetén!
Tehát a folytonos eloszlások alapvetően eltérnek a diszkrétektől, ahol a teljes eloszlás egy megszámlálható halmazra koncentrálódik. Ezzel ellentétben a folytonos esetben a tömegeloszlás egész -en folytonosan van elkenve. Vegyük észre továbbá, hogy maga nem lehet megszámlálható. Az alábbi képen a világoskék felhő szimbolizál egy folytonos eloszlást a síkon.
Tegyük fel, hogy folytonos eloszlású -en. Egy -en értelmezett, valós értékű függvényt az valószínűségi változó sűrűségfüggvényének (vagy valószínűségi sűrűségfüggvényének) nevezünk, ha -re igazak az alábbiak:
A fenti definíció (c) pontja azért is nagyon fontos, mert ennek következménye, hogy eloszlását egyértelműen meghatározza a sűrűségfüggvénye. Fordítva, minden függvény, amely teljesíti az (a) és (b) pontokat, egy valószínűségi sűrűségfüggvény, és egy ilyen függvényből a (c) pont segítségével előállíthatunk egy folytonos eloszlást -en.
Ha , akkor a (b) és (c) pontokban lévő integrálok többváltozósak, és valamely részhalmaza felett értelmezettek, továbbá és . Matematikailag precíz módon fogalmazva a szokásos -dimenziós (Lebesgue) mértékre vonatkozó sűrűségfüggvény, amely mérték a
képlettel definiálható. Vegyük észre, hogy pozitív kell, hogy legyen (esetleg lehet végtelen is). Speciálisan,
A fenti alacsony dimenziós esetek () szemléltetés szempontjából hasznosak, de más, kitüntetett szerepük nincs. Az érdekes véletlen kísérletekben általában több valószínűségi változó (azaz egy véletlen vektor) is megjelenik. Vegyük észre továbbá, hogy egy sűrűségfüggvény mindig kiterjeszthető az egész -re úgy, hogy . Ez a kiterjesztés néha leegyszerűsítheti a jelöléseket.
Az olyan elemet, amelyre az sűrűségfüggvény maximális, az eloszlás móduszának nevezzük.
A folytonos eloszlások sűrűségfüggvénye lényegesen különbözik a diszkrét súlyfüggvényektől a következők miatt:
Tegyük fel, hogy egy nemnegatív függvény -en. Legyen
Igazoljuk, hogy ha akkor egy valószínűségi sűrűségfüggvényt definiál -en!
Vegyük észre, hogy -nek egy skálázottja. Így az előző feladat értelmében előállíthatunk előírt tulajdonságú sűrűségfüggvényt (megfelelő tartományon értelmezettet, bizonyos alakút, vagy szimmetria tulajdonságokkal rendelkezőt, stb.). A konstanst normáló konstansnak nevezzük.
Tegyük fel, hogy egy értékű folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénnyel. Ekkor nyilván függ az eseménytéren értelmezett valószínűségi mértéktől. Ez a mérték lehet feltételes valószínűségi mérték valamely feltétellel (ekkor persze ). A szokásos jelölés:
Vegyük észre, hogy a jelöléstől eltekintve semmilyen új fogalmat nem definiáltunk. Azaz az előző függvény egy folytonos eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye, azaz teljesíti az (a) és (b) pontokat, míg a (c) pont jelen esetben
Minden, a sűrűségfüggvényekre vonatkozó általános állítás megfelelője igaz feltételes sűrűségfüggvényekre is.
Legyen úgy, hogy . Igazoljuk, hogy feltételes sűrűsége az feltétel mellett
Legyen , ahol paraméter.
Az előző feladatban szereplő sűrűségfüggvény az paraméterű exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye. Az exponenciális eloszlást leggyakrabban véletlen időtartamok modellezésére használják. Részletes tárgyalása a Poisson folyamat című fejezetben található.
Egy alkatrész élettartama (jelölje ) 1000 órákban mérve, exponenciális eloszlású paraméterrel. Mennyi ?
Az exponenciális eloszlás kísérletében állítsuk be az paraméterértéket! Szimuláljunk 1000 kísérletet, és frissítsük az ábrát minden tizedik után. Figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
A Bertrand problémában egy bizonyos véletlen szög valószínűségi sűrűségfüggvénye .
A Bertrand kísérletben tekintsük az egyenletes eloszlású távolság modelljét! Szimuláljunk 200 kísérletet, frissítsük az ábrát minden egyes kísérlet után, és határozzuk meg a esemény relatív gyakoriságát! Hasonlítsuk össze ezt az előző feladatban meghatározott valódi értékkel!
Legyen , ahol paraméter.
Az előző, diszkrét eloszlásokról szóló részben beláttuk, hogy egy valószínűségi súlyfüggvény -en minden esetén. A sűrűségfüggvényű folytonos eloszlást pedig gamma eloszlásnak nevezzük, ahol az eloszlás paramétere. A gamma eloszlást részletesen a Poisson folyamat című fejezetben tárgyaljuk. Vegyük észre, hogy az eset épp az 1 paraméterű exponenciális eloszlást adja vissza.
Tegyük fel, hogy egy alkatrész élettartama, , 1000 órákban mérve, paraméterű gamma eloszlású. Mennyi ?
A gamma eloszlás kísérletében állítsuk be az és a értékeket! Szimuláljunk 200 kísérletet (frissítsük az ábrát minden egyes kísérlet után) és határozzuk meg a esemény relatív gyakoriságát! Hasonlítsuk ezt össze az előző feladatban kapott elméleti valószínűség értékével!
Legyen
Legyen
Segítség: Az integrálásnál használjuk az helyettesítést!
Az előző két feladatban tekintett eloszlások béta eloszlások. A 13. feladat eloszlását arcus sinus eloszlásnak is nevezik. A béta eloszlásokat részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben tárgyaljuk.
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a béta eloszlást. A következő paraméterértékekre figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját! Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
Legyen , ahol paraméter.
Az előző feladatban definiált eloszlás a Pareto eloszlás, melyet Vilfredo Pareto-ról neveztek el. Ennek paramétere az szám (így a paraméter pozitív). A Pareto eloszlás részletes tárgyalása a Nevezetes eloszlások fejezetben található.
Tegyük fel, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott ember jövedelme, , 3 paraméterű Pareto eloszlású. Mennyi ?
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk ki az paraméterű Pareto eloszlást. Szimuláljunk 1000 kísérletet, és frissítsük az ábrát minden tizedik után. Határozzuk meg az esemény relatív gyakoriságát, és hasonlítsuk ezt össze az előző feladatban meghatározott elméleti valószínűséggel!
Legyen .
Az előző feladatban definiált eloszlás az Augustin Cauchy-ról elnevezett Cauchy eloszlás (vagy más néven arcus tangens eloszlás). Ez az eloszlás a Student féle eloszláscsalád tagja; a eloszlások részletes tárgyalása a Nevezetes eloszlások fejezetben található. A függvény gráfját néhol Agnesi boszorkányának nevezik Maria Agnesi tiszteletére.
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a Student féle eloszlást. Állítsuk be az paraméterértéket, így megkapjuk a Cauchy eloszlást. Szimuláljunk 1000 kísérletet, frissítsük az ábrát minden tizediknél, és vizsgáljuk meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi valószínűségi sűrűségfüggvényhez!
Legyen .
Az előző feladatban definiált eloszlás a standard normális eloszlás, ami talán a legfontosabb eloszlás a valószínűségszámításban. Normális eloszlással szokás közelíteni a fizikai kísérletekben fellépő hibákat. A normális eloszlások családját részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben tárgyaljuk.
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a normális eloszlást (az alapértelmezett beállítás ekkor a standard normális eloszlást adja). Szimuláljunk 1000 kísérletet, frissítsük az ábrát minden tizediknél, és vizsgáljuk meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi valószínűségi sűrűségfüggvényhez!
Legyen , amint .
Az előző feladatban definiált eloszlást nevezik 1. típusú extrémérték eloszlásnak, vagy Gumbel eloszlásnak (Emil Gumbel tiszteletére). Az extrémérték eloszlásokat részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben tárgyaljuk.
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk ki az extrémérték eloszlást, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját! Szimuláljunk 1000 kísérletet, frissítsük az ábrát minden tizediknél, és vizsgáljuk meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi valószínűségi sűrűségfüggvényhez!
Legyen
Legyen .
Legyen .
Legyen .
Legyen .
Legyen .
Legyen .
Legyen .
A következő feladat a folytonos eloszlások egy fontos osztályát írja le.
Tegyük fel, hogy , hogy . Igazoljuk, hogy
Azt az valószínűségi változót, melynek a sűrűségfüggvénye a 32. feladatbeli függvény, -en vett folytonos egyenletes eloszlásúnak nevezzük. A (b) feladatból következik, hogy egy részhalmazának valószínűsége az szokásos (Lebesgue) mértékével arányos. Vegyük észre, hogy mind a diszkrét, mind a folytonos esetben egy valószínűségi változó egyenletes eloszlású az halmazon akkor és csak akkor, ha a súly-, vagy sűrűségfüggvénye konstans -en. A síkbeli négyzeteken vett egyenletes eloszlású valószínűségi változók alapvető fontosságúak a Geometriai modelleknél.
Határozzuk meg értékét az alábbi esetekben:
A kétváltozós egyenletes eloszlás kísérletében válasszuk ki a következő tartományokat, majd szimuláljunk 100 kísérletet (frissítsük az ábrát minden kísérlet után)! Vizsgáljuk meg a kapott pontfelhőt! Határozzuk meg az halmaz relatív gyakoriságát, és vessük ezt össze az előző feladatban meghatározott valódi valószínűséggel!
Tegyük fel, hogy egyenletes eloszlású az kockán. Mennyi ?
Egy bizonyos munka elvégzéséhez szükséges idő (percekben mérve) egyenletes eloszlású a intervallumon!
Tegyük fel, hogy úgy, hogy és , melyre . Igazoljuk, hogy ha egyenletes eloszlású -en, akkor feltételes eloszlása az feltétel mellett egyenletes -n!
Ha adott egy adathalmaz az folytonos eloszlású valószínűségi változó realizációról, akkor szerkeszthetünk egy empirikus sűrűségfüggvényt úgy, hogy az adathalmazunk értelmezési tartományát pici részhalmazokra bontjuk, majd minden kis részhalmazhoz hozzárendeljük a benne található pontok sűrűségét. Az empirikus sűrűségfüggvényeket részletesen a Véletlen minták című fejezetben tárgyaljuk.
A kabóca adathalmazban jelölje a testtömeget, a testhosszt és a nemet. Határozzuk meg a következő valószínűségi változók empirikus sűrűségfüggvényét (és ábrázoljuk azokat) az adathalmaz alapján!
A kabóca adathalmazban jelölje a szárnyhosszt, pedig a szárnyszélességet. Határozzuk meg az pár empirikus sűrűségfüggvényét az adathalmaz alapján!
A diszkrét esettel ellentétben a folytonos eloszlás sűrűségfüggvénye nem feltétlenül létezik, csak eddig feltettük a létezését. Előfordulhat, hogy egy halmazon értelmezett valószínűségi változónak nincs sűrűségfüggvénye; az ilyen eloszlást nevezzük elfajultnak, vagy degeneráltnak (néha pedig a sűrűségfüggvénnyel rendelkező eloszlásokat nevezik abszolút folytonos eloszlásoknak). Ebben a részben degenerált eloszlásokra nézünk fontos példákat.
Legyen egy értékű valószínűségi változó, ahol . Előfordulhat, hogy folytonos eloszlású, de biztosan nincs -re vonatkozó valószínűségi sűrűségfüggvénye. Ugyanis a definícióbeli (c) tulajdonság nem állhat fenn, mivel tetszőleges függvényre és részhalmazra. Mindazonáltal előfordulhat, hogy alacsonyabb dimenziós, sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változókkal kifejezhető.
Például tegyük fel, hogy egy folytonos eloszlású valószínűségi változó a halmazon, ahol , és valamilyen folytonos, -ből -be képező függvénnyel. Természetesen minden, segítségével definiált esemény definiálható -val is. A következő feladatban egy ilyen példát nézünk.
Tegyük fel, hogy egyenletes eloszlású a intervallumon. Legyen .
A sűrűségfüggvénnyel nem rendelkező folytonos eloszlásokra másik példa egy olyan -beli véletlen vektor (), amelynek néhány koordinátája diszkrét, néhány pedig folytonos eloszlású. Az ilyen, keverék eloszlásokkal a keverék eloszlásokról szóló részben foglalkozunk, azonban a következő feladatban is mutatunk egy példát.
Tegyük fel, hogy egyenletes eloszlású a halmazon, egyenletes eloszlású a intervallumon, továbbá és függetlenek.
Végül léteznek olyan folytonos eloszlások -en, ahol , melyeknek mégsincs sűrűségfüggvényük. Az ilyen eloszlásokat (melyek a gyakorlatban elég ritkák) szinguláris eloszlásoknak nevezzük. Konstruáljunk egy ilyen eloszlást! Legyen Bernoulli kísérletek sorozata, ahol a siker valószínűsége . A valószínűségi mérték -től való függését úgy jelöljük, hogy -t írunk az alsó indexbe. Tehát adott független indikátor változók egy sorozata, amelyre
Gondoljunk -re úgy, mint az , értékű valószínűségi változó -edik bináris jegyére (azaz kettes számrendszerbeli alakjának -edik jegyére). Azaz
Megfordítva, tudjuk, hogy minden szám felírható bináris alakban:
Ez a felírás egyértelmű azon esetek kivételével, amikor bináris racionális, azaz alakú valamely számmal. Ez utóbbi esetben kétféle felírás létezik, az egyikben véges sok jegy után minden jegy nulla, a másiknál véges sok jegy után minden jegy egyes. Tekintsük definíció szerint ilyen esetekben a végtelen sok nullát tartalmazó felírást. Vegyük azonban észre, hogy a bináris racionális számok halmaza megszámlálható.
Igazoljuk, hogy folytonos eloszlású, azaz minden esetén.
Most definiáljuk azon számok halmazát, ahol az egyesek relatív gyakoriságának határértéke . Legyen
Igazoljuk, hogy
Tehát azt kaptuk, hogy lehetséges eloszlásai, amint 0 és 1 között változik, kölcsönösen szingulárisak.
Tegyük fel, hogy . Igazoljuk, hogy egyenletes eloszlású a intervallumon! Azaz eloszlása ebben az esetben a standard (Lebesgue) mérték -en.
Az előző két feladat következménye, hogy ha , akkor eloszlásának nincs sűrűségfüggvény (a szokásos, -en értelmezett mértékre nézve). A fenti eredmények a gyakorlatban is alkalmazhatók, például egy ilyen alkalmazást láthatunk a Vörös és fekete nevű játékban játszható, úgynevezett merész stratégia leírásánál.