]> Gyenge konvergencia
  1. Virtual Laboratories
  2. 2. Eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8

8. Gyenge konvergencia

Általános elmélet

Definíció

Legyenek X n ,  n , és X valós értékű valószínűségi változók, melyek eloszlásfüggvényei F n ,  n , illetve F . Azt mondjuk, hogy X n gyengén konvergál X -hez (vagy más szóval eloszlásban konvergál; az eloszlásaik konvergálnak), amint n , ha

F n x F x  amint   n

minden olyan x -re, ahol F folytonos. Nagyon fontos, hogy az eloszlásban való konvergencia csak a valószínűségi változók eloszlásától függ, azaz az is előfordulhat, hogy a valószínűségi változók nem ugyanazon a valószínűségi mezőn definiáltak (azaz nem ugyanattól a véletlen kísérlettől függenek). Ez lényeges eltérés az eddig tárgyalt konvergencia típusokhoz képest, melyek a következők:

Amint látni fogjuk, az eloszlásban való konvergencia a leggyengébb konvergencia típus (ahogy a gyenge konvergencia kifejezés ezt sugallja is). Ennek ellenére nagyon fontos konvergenciatípus, hiszen például a centrális határeloszlás-tétel - a valószínűségszámítás egyik legfontosabb tétele - is erre a konvergenciára vonatkozik.

Példák

Az alábbi példák rávilágítanak arra, hogy miért az eloszlásfüggvénnyel definiáltuk ezt a konvergenciatípust (és nem a súly-, vagy sűrűségfüggvénnyel), illetve hogy miért csak a folytonossági pontokban való konvergenciát követeljük meg.

Legyen X n 1 n , amint n , és legyen X 0 . Jelölje f n , illetve f a megfelelő súly-, F n , illetve F pedig a megfelelő eloszlásfüggvényeket. Lássuk be, hogy

  1. f n x 0 amint n minden x esetén,
  2. F n x 0 x 0 1 x 0 amint n ,
  3. F n x F x amint n minden x 0 esetén.

Legyen X n diszkrét egyenletes eloszlású az 1 n 2 n n 1 n 1 halmazon, ahol n , és legyen X folytonos egyenletes eloszlású a 0 1 intervallumon.

  1. Lássuk be, hogy X n eloszlásban konvergál X -hez, amint n !
  2. A szokásos jelölés szerint jelöli a racionális számokat. Lássuk be, hogy X n 1 minden n -re, de X 0 .
  3. Legyen f n az X n változó súlyfüggvénye. Lássuk be, hogy f n x 0 , amint n minden x 0 1 esetén!

Súly- és sűrűségfüggvények

Ahogy a 2. feladat mutatja, előfordulhat, hogy diszkrét eloszlású valószínűségi változók gyenge limesze folytonos eloszlású (vagy akár fordítva). Ezt a konvergenciát nem lehetett volna súly-, illetve sűrűségfüggvényekkel definiálni, hisz a konvergens változóknak súly-, a határértéknek pedig sűrűségfüggvénye van. Ez is egy szemléletes ok arra, miért fontos az eloszlásfüggvények vizsgálata. Ha azonban súly-, vagy sűrűségfüggvények konvergálnak, akkor az eloszlások is. Ez az állítás (amely a Scheffe tétel következménye) pontosan így hangzik:

Tegyük fel, hogy f n ,  n és f az S megszámlálható halmazon értelmezett diszkrét eloszlások súlyfüggvényei, továbbá f n x f x amint n minden x S esetén. Ekkor az f n által definiált eloszlások konvergálnak az f által definiált eloszláshoz, amint n . Hasonlóan, ha f n ,  n és f valós értékű folytonos eloszlások sűrűségfüggvényei, és f n x f x amint n minden x esetén (esetleg egy Lebesgue nullmértékű halmaz kivételével), akkor az f n által definiált eloszlások konvergálnak az f által definiált eloszláshoz, amint n .

Kapcsolat a valószínűségben való konvergenciával

Legyenek X 1 X 2 és X közös valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változók, melyek eloszlásfüggvényei rendre F 1 F 2 , illetve F . Lássuk be, hogy ha X n X amint n valószínűségben, akkor X n gyengén konvergál X -hez, amint n .

  1. Lássuk be, hogy X n x X n x X x ε X n x X x ε amint ε 0 .
  2. Innen lássuk be, hogy F n x F x ε X n X ε amint ε 0 .
  3. Igazoljuk, hogy X x ε X x ε X n x X x ε X n x amint ε 0 .
  4. Lássuk be, hogy F x ε F n x X n X ε amint ε 0 .
  5. Az (a) és a (b) részfeladatokat felhasználva igazoljuk, hogy F x ε X n X ε F n x F x ε X n X ε amint ε 0 .
  6. Az (e) pontban n limeszt tekintve lássuk be, hogy F x ε n F n x n F n x F x ε amint ε 0 .
  7. Az (f) pontban az ε 0 limesz segítségével igazoljuk, hogy ha F folytonos x -ben, akkor F n x F x  amint   n .

A következő példa azt mutatja be, hogy ha még azonos valószínűségi mezőn definiáltak is a változók, előfordulhat, hogy csak gyengén konvergensek, semmilyen erősebb értelemben nem.

Legyen X indikátor változó, melyre X 1 X 0 12 , és legyen X n X minden n esetén. Lássuk be, hogy

  1. 1 X ugyanolyan eloszlású, mint X ,
  2. X n eloszlása konvergál 1 X eloszlásához, amint n ,
  3. X n 1 X 1 bármely n estén,
  4. X n  nem konvergál   1 X -hez, amint   n 1 ,
  5. X n 1 X 12 1 minden n esetén, így X n nem konvergál valószínűségben 1 X -hez, amint n ,
  6. X n 1 X 1 minden n 1 2 esetén, így X n nem konvergál átlagban 1 X -hez, amint n .

Összegezve, az általunk definiált konvergencia típusokra pontosan az alábbi implikációk igazak:

A következő feladat az utolsó implikáció bizonyos értelemben vett megfordítottját tárgyalja: ha konstans a határeloszlás, a gyenge konvergencia ekvivalens a valószínűségben való konvergenciával. (Természetesen a konstans függvény felfogható tetszőleges valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változóként.)

Legyen X 1 X 2 azonos valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változók sorozata, melyekre igaz, hogy X n eloszlásban konvergál a konstans c valószínűségi változóhoz, amint n . Lássuk be, hogy X n c valószínűségben, amint n :

  1. X n x 0 x c 1 x c amint n ,
  2. X n c ε 1 amint n tetszőleges ε 0 esetén.

Példák, alkalmazások

Néhány fontos, nevezetes eloszlás gyengén konvergál valamilyen nevezetes eloszláshoz, amint bizonyos paramétere a megfelelő értékhez tart (ezért is nevezetesek az ilyen eloszlások). Ilyen konvergenciákra nézünk most néhány példát.

A binomiális eloszlás, mint a hipergeometrikus eloszlás limesze

Ahogy azt már tárgyaltuk, az m , r és n paraméterű hipergeometrikus eloszlás adja meg egy n elemű mintában lévő egyes típusú elemek számát, ahol a mintát visszatevés nélkül vettük egy r darab egyes típusú elemet tartalmazó m elemszámú halmazból. Az eloszlás súlyfüggvénye:

f k n k r k m r n k m n ,  k 0 1 n .

Tegyük fel, hogy r m függ m -től, és r m m p amint m . Lássuk be, hogy rögzített n -re az m , r m és n paraméterű hipergeometrikus eloszlás konvergál az n és p paraméterű binomiális eloszláshoz, amint ,m .

Gyakorlati szempontból is fontos az előző eredmény, miszerint ha m nagy (az n populációmérethez képest), akkor az m , r , és n paraméterű hipergeometrikus eloszlás - amely a visszatevés nélküli mintavételnek felel meg - jól közelíthető az n és p r m paraméterű binomiális eloszlással, amely pedig a visszatevés nélküli mintavételnek felel meg. Azon túl, hogy a binomiális eloszlás egyszerűbb, hisz kevesebb paramétere van, a gyakorlatban azért is alkalmazzák gyakran, mert sokszor előfordul, hogy a paraméterek nem ismertek pontosan, csak közelítőleg. Vegyük ugyanis észre, hogy a binomiális eloszlás esetén nem kell ismernünk külön-külön m -et (az összes elem számát) és r -et (az egyes típusú elemek számát), hanem elég, ha az r m arányt ismerjük.

A golyók és urna kísérletében állítsuk be az m 100 , r 30 paraméterértékeket! Az összes alábbi minta elemszám ( n ) esetén tekintsünk visszatevés nélküli mintavételt (hipergeometrikus eloszlás) és visszatevéses mintavételt (binomiális eloszlás). Vizsgáljuk meg, mennyire különböznek egymástól a súlyfüggvények! Szimuláljunk 1000 kísérletet, és frissítsük az ábrát minden tizedik után mindkét mintavételezési eljárás esetén!

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 40
  5. 50

A Poisson eloszlás, mint a binomiális eloszlás limesze

Ahogy azt már tárgyaltuk, a n és p 0 1 paraméterű binomiális eloszlás nem más, mint n független Bernoulli kísérlet között a sikeresek száma, ahol p az egy rögzített kísérletben való siker valószínűsége. Az eloszlás súlyfüggvénye:

f k n k p k 1 p n k ,  k 0 1 n .

Továbbá az r 0 paraméterű Poisson eloszlás súlyfüggvénye:

g k r r k k ,  k .

Tegyük fel, hogy a binomiális eloszlásban a siker valószínűsége, azaz p függ n -től, és n p n r amint n , ahol r 0 . Lássuk be, hogy ezek a binomiális eloszlások konvergálnak sz r paraméterű Poisson eloszláshoz, amint n .

Az előző eredményünk a gyakorlatban azt jelenti, hogy ha az n kísérletek száma nagy, miközben a p siker valószínűség kicsi úgy, hogy az r n p szorzat se nem túl nagy, se nem túl kicsi, akkor az n és p paraméterű binomiális eloszlás jól közelíthető az r paraméterű Poisson eloszlással. Azon túl, hogy a Poisson eloszlás egyszerűbb, hisz kevesebb paramétere van, a gyakorlatban azért is alkalmazzák gyakran, mert sokszor előfordul, hogy a paraméterek nem ismertek pontosan, csak közelítőleg. Vegyük ugyanis észre, hogy a Poisson eloszlás esetén nem kell ismernünk külön-külön n -et (a kísérletek számát) és p -t (a siker valószínűségét), elegendő, ha az n p szorzatot ismerjük.

Geometriai eloszlás

Tegyük fel, hogy az U valószínűségi változó súlyfüggvénye U k p 1 p k 1 ,  k , ahol p 0 1 paraméter, azaz U geometriai eloszlású az halmazon (vagy más szóval optimista geometriai eloszlású) p paraméterrel. Ekkor gondolhatunk úgy U -ra, mint az első sikeres kísérlet sorszámára egy Bernoulli kísérlet sorozatban.

  1. Határozzuk meg U feltételes súlyfüggvényét az U n feltétel mellett!
  2. Igazoljuk, hogy az (a) pontban tekintett eloszlás konvergál az 1 2 n halmazon értelmezett egyenletes eloszláshoz, amint p 0 .

Legyen U n geometriai eloszlás az halmazon p n paraméterrel, és tegyük fel, hogy n p n r , amint n , ahol r 0 . Lássuk be, hogy U n n eloszlása konvergál az r paraméterű exponenciális eloszláshoz, amint n .

Vegyük észre, hogy az előző feladatban n -re és p -re tett feltételek ugyanazok, mint amelyeket a binomiális eloszlás Poisson eloszláshoz való konvergenciájánál tettünk. Ezen határértékek mélyebb megértéséhez javasoljuk a Bernoulli kísérletek és a Poisson folyamat című rész tanulmányozását.

A Poisson eloszlás, mint a véletlen permutációk fixpontjai számának limesze

Legyen X 1 X 2 X n az 1 2 n számok egy véletlen permutációja. Azt mondjuk, hogy i a permutáció fixpontja, ha X i i .

Lássuk be, hogy X i i 1 n minden i 1 2 n -re. Azaz minden szám azonos valószínűséggel fixpont, és ez a valószínűség fordítottan arányos a halmaz méretével.

Lássuk be, hogy X i i X j j 1 n n 1 ahol i 1 2 n , j 1 2 n és i j . Tehát azok az események, hogy különböző számok egy permutáció fixpontjai, nem függetlenek, hanem pozitívan korreláltak. Speciálisan nem alkotnak Bernoulli kísérlet sorozatot.

Egy permutáció fixpontjainak számáról, vagy más szóval az egyező elemek számának problémájáról részletesen a Véges mintavételezési eljárások fejezetben olvashatunk. A fixpontok számára az N jelölést használva, a súlyfüggvényre igaz az alábbi képlet:

N k 1 k j 0 n k 1 j j ,  k 0 1 n .

Lássuk be, hogy N eloszlása konvergál az 1 paraméterű Poisson eloszláshoz, amint n .

Extrémérték eloszlás

Legyenek X 1 X 2 standard exponenciális eloszlású független valószínűségi változók, azaz a közös eloszlásfüggvényük:

G x 1 x ,  x 0 .

Határozzuk meg az alábbi valószínűségi változók eloszlásfüggvényét:

  1. V n X 1 X 2 X n ,
  2. Y n V n n .

Lássuk be, hogy Y n eloszlása konvergál a következő eloszlásfüggvényhez, amint n :

F x x .

Az előző feladatban kapott limesz eloszlást nevezik első típusú extrémérték eloszlásnak vagy más szóval Gumbel eloszlásnak (Emil Gumbel tiszteletére). Az Extrémérték eloszlásokról részletesen a Nevezetes eloszlások című fejezetben olvashatunk.

Pareto eloszlás

Legyen X n 1 értékű valószínűségi változó, ahol n , és X n eloszlásfüggvénye F n x 1 1 x n ,  x 1 . Azaz X n Pareto eloszlású n paraméterrel. A Pareto eloszlást Vilfredo Pareto-ról nevezték el, részletes tárgyalása a Nevezetes eloszlások című fejezetben található.

  1. Határozzuk meg az X n valószínűségi változók gyenge limeszét, amint n .
  2. Határozzuk meg az Y n n X n n valószínűségi változók gyenge limeszét, amint n .

Két fontos tétel

A valószínűségszámítás két legfontosabb tételét, a nagy számok törvényét és a centrális határeloszlás-tételt részletesen a Véletlen minták fejezetben tárgyaljuk, itt csak kimondjuk őket.

Legyen X 1 X 2 független, azonos eloszlású, valós értékű valószínűségi változók változók sorozata (melyek egy közös valószínűségi mezőn definiáltak), μ várható értékkel és σ szórással. Legyen

Y n i 1 n X i

az első n változó összege. A nagy számok gyenge törvénye azt állítja, hogy az M n 1 n Y n átlag gyengén konvergál a μ pontra koncentrált eloszláshoz, amint n . Ekkor az 5. feladat értelmében az átlag valószínűségben is konvergál a várható értékhez. Továbbá egy erősebb állítás is igaz: a nagy számok erős törvénye szerint majdnem biztosan is konvergálnak a μ konstanshoz. A centrális határeloszlás-tétel állítása pedig, hogy a

Z n Y n n μ n σ

úgynevezett standardizált valószínűségi változó eloszlásban konvergál a standard normális eloszláshoz, amint n .

Haladó témák

Szkorohod reprezentáció

Legyenek F 1 F 2 és F eloszlásfüggvények, hogy F n F amint n , azaz az eloszlások gyengén konvergálnak. Ebben a részben a Szkorohod reprezentációs tételt bizonyítjuk, mely szerint ekkor léteznek X 1 X 2 és X közös valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változók, melyekre

A következő lépésekben igazoljuk a Szkorohod reprezentációs tételt!

  1. Legyen U egyenletes eloszlású a 0 1 intervallumon.
  2. Legyen X n F n U , illetve X F U , ahol F n és F az F n és F eloszlások kvantilisfüggvényei.
  3. Már beláttuk, hogy X n eloszlásfüggvénye F n minden n esetén, és ugyanígy, X eloszlásfüggvénye F .
  4. Rögzített ε 0 -hoz és u 0 1 -hez válasszunk olyan x pontot, ahol F folytonos, és F u ε x F u .
  5. Lássuk be, hogy F x u .
  6. Lássuk be, hogy F n x u elég nagy n esetén.
  7. Lássuk be, hogy F u ε x F n u elég nagy n esetén.
  8. Tekintsük az n , majd az ε 0 limeszeket, és következtessünk arra, hogy F u n F n u tetszőleges u 0 1 esetén.
  9. Legyen most v olyan, melyre 0 u v 1 és legyen ε 0 . Válasszunk olyan x pontot, melyben F folytonos és F v x F v ε .
  10. Lássuk be, hogy u v F x .
  11. Lássuk be, hogy u F n x elég nagy n esetén.
  12. Következtessünk arra, hogy F n u x F v ε elég nagy n esetén.
  13. Az n , majd az ε 0 limeszek vételével lássuk be, hogy n F n u F v tetszőleges u , v esetén, ahol 0 u v 1 .
  14. Legyen v u , majd lássuk be, hogy n F n u F u ha u -ban F folytonos.
  15. Következtessünk arra, miszerint F n u F u  amint   n , ahol u F folytonossági pontja.
  16. Analízisből közismert tény, hogy ha F növekvő, akkor szakadási pontjainak D 0 1 halmaza megszámlálható.
  17. Innen következik, hogy U D 0 .
  18. Végül lássuk be, hogy X n X  amint   n 1 .

A következő, önmagában is fontos állítás szemlélteti, milyen hasznos a Szkorohod reprezentáció.

Legyenek X 1 X 2 , illetve X valós értékű valószínűségi változók, hogy X n gyengén konvergál X -hez, amint n . Lássuk be a következő állítást: ha g egy folytonos valós-valós függvény, akkor g X n gyengén konvergál g X -hez, amint n .

  1. Legyenek Y n ,  n és Y egy közös valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változók, melyekre igaz, hogy Y n ugyanolyan eloszlású, mint X n minden n -re, Y ugyanolyan eloszlású, mint X , és Y n Y amint n majdnem biztosan.
  2. Igazoljuk, hogy g Y n g Y amint n majdnem biztosan.
  3. Igazoljuk, hogy g Y n eloszlásban konvergál g Y -hez amint n .
  4. Lássuk be, hogy g Y n ugyanolyan eloszlású, mint g X n , és g Y ugyanolyan eloszlású, mint g X .

Scheffé tétel

A következő feladatban az Henry Scheffé-ről elnevezett Scheffé tételt igazoljuk.

Legyen f n a valós tengelyen egy n folytonos eloszlás sűrűségfüggvénye minden n esetén, f pedig a valós tengelyen a folytonos eloszlás sűrűségfüggvénye. Tegyük fel továbbá, hogy f n x f x amint n Lebesgue-majdnem minden x pontban. Ekkor n A A amint n minden A (mérhető) halmazra egyenletesen.

  1. Az integrál alaptulajdonságait használva lássuk be, hogy A n A x f x f n x .
  2. Legyen g n f f n , és jelölje g n a g n függvény pozitív, g n pedig a negatív részét. Lássuk be, hogy g n f .
  3. Igazoljuk, hogy g n x 0 amint n minden x esetén (esetleg egy Lebesgue nulla mértékű halmaztól eltekintve).
  4. A (b), (c) pontok és a dominált konvergencia tétel segítségével igazoljuk, hogy x g n x 0 amint n .
  5. Lássuk be, hogy x g n x 0 .
  6. Igazoljuk, hogy x g n x x g n x .
  7. Igazoljuk, hogy x g n x 2 x g n x .
  8. Az (a), (d) és (g) pontok felhasználásával fejezzük be a bizonyítást.

A Scheffé tétel akkor is igaz marad, ha a sűrűségfüggvények nem a hagyományos (Lebesgue) mértékre vonatkoznak, hanem tetszőleges -en értelmezett mértékre (a bizonyítás lényegében ugyanúgy megy, mint fent). Speciálisan ha számlálómértéket veszünk, a Scheffé tétel diszkrét eloszlásokra vonatkozó változatát kapjuk.

Generátorfüggvények

A Generátorfüggvényekkel részletesen a Várható érték című fejezetben foglalkozunk. A generátorfüggvények egyik fontos alkalmazása az úgynevezett folytonossági tétel: valószínűségi változók pontosan akkor konvergálnak gyengén egy valószínűségi változóhoz, ha a generátorfüggvényeik pontonként konvergálnak a megfelelő generátorfüggvényhez. Sokszor ezzel a tétellel a legegyszerűbb eloszlások gyenge konvergenciáját bizonyítani.

  1. Virtual Laboratories
  2. 2. Eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8