]>
Kiindulási pontunk, mint általában, most is egy véletlen kísérlet a hozzá tartozó valószínűségi mezővel és az azon értelmezett valószínűségi mértékkel. Ebben a fejezetben kétféle keverék eloszlást fogunk tanulmányozni: az egyik esetben az eloszlás részben diszkrét, részben folytonos, a másik esetben az eloszlásnak van diszkrét és folytonos koordinátája is.
Legyen egy, a kísérletünktől függő, értékű valószínűségi változó. Ekkor -et kevert típusú eloszlásúnak nevezzük, ha felosztható két részhalmazra, -re és -re úgy, hogy:
Tehát eloszlása részben néhány -beli pontra koncentrálódik, részben pedig folytonosan elkent -n. Az alábbi képen a világoskék felhő jelképezi a folytonos részt, a sötétkék pontok pedig azok, amelyeket pozitív valószínűséggel vesz fel.
Legyen , tehát . Definiálhatunk -n egy parciális valószínűségi súlyfüggvényt, ami az eloszlás diszkrét részét írja le:
Legyen , amint . Igazoljuk, hogy
Ugyanígy, az eloszlás folytonos részét általában egy parciális valószínűségi sűrűségfüggvénnyel jellemzik. Tegyük fel, hogy létezik -n egy nemnegatív függvény, hogy
Igazoljuk, hogy .
eloszlását meghatározzák a és parciális súly- és sűrűségfüggvények. Terjesszük ki a és függvényeket -re a szokásos módon: ha , és ha .
Igazoljuk, hogy
A -n vett feltételes eloszlás diszkrét, a -n vett feltételes eloszlás pedig folytonos.
Igazoljuk, hogy feltételes eloszlása, feltéve, hogy diszkrét, és a valószínűségi súlyfüggvénye
Igazoljuk, hogy feltételes eloszlása, feltéve, hogy folytonos, és a valószínűségi sűrűségfüggvénye:
Tehát eloszlása diszkrét és folytonos eloszlások keveréke. Az ilyen keverékekről részletesebben a feltételes eloszlások részben olvashatunk.
Keverék eloszlás akkor is létrejön, ha egy folytonos eloszlású valószínűségi változót egy bizonyos módon csonkolunk. Például legyen egy alkatrész élettartama, amely folytonos eloszlású sűrűségfüggvénnyel. Az alkatrész időtartamának tesztelésénél nem várhatunk örökké, ezért választunk egy pozitív konstanst, és igazából a -nek az -ban vett csonkoltját figyeljük meg (jelölje ezt ):
Igazoljuk, hogy keverék eloszlású. Pontosabban bizonyítsuk, hogy a fenti jelöléssel:
Tegyük fel, hogy az valószínűségi változó folytonos eloszlású -en, és a sűrűségfüggvénye . Ekkor előállíthatunk egy új, valószínűségi változót úgy, hogy -et csonkoljuk -ban és -ben ():
Igazoljuk, hogy keverék eloszlású. Pontosabban lássuk be, hogy
Legyenek és a kísérletünktől függő valószínűségi változók úgy, hogy értékű, diszkrét eloszlású, míg értékű folytonos eloszlású.
Igazoljuk, hogy amint . Tehát folytonos eloszlású -en.
Ilyenkor persze az párnak nincs klasszikus értelemben vett sűrűségfüggvénye, mégis az alábbi, -en értelmezett függvényt valamilyen értelemben nevezhetjük annak:
Általánosabban -re és -re definiáljuk a -ben vett szeletét: Igazoljuk, hogy
Precízen ezt az függvényt is nevezhetjük az pár halmazon vett sűrűségfüggvényének: ekkor az a mérték, amelyre a sűrűségfüggvény vonatkozik, a számlálómérték -en, és az -dimenziós Lebesgue mérték -n.
Vegyes eloszlású koordinátákkal rendelkező valószínűségi változók az alkalmazásokban gyakran felmerülnek. Például a kabóca adathalmazban 4 folytonos és 2 diszkrét változó írja le egy kabóca adatait, ugyanígy az M&M adathalmazban 6 diszkrét és 1 folytonos eloszlással találkozunk. További gyakori példa, ha egy folytonos eloszlású változó diszkrét paraméterét véletlenítjük, vagy hasonlóan, egy diszkrét eloszlás folytonos paraméterét véletlenítjük.
Tegyük fel, hogy valószínűséggel egyenletes eloszlású az halmazon, valószínűséggel pedig a intervallumon. Mennyi ?
Tegyük fel, hogy az pár valószínűséggel egyenletes eloszlású a halmazon, valószínűséggel pedig a tartományon. Mennyi ?
Egy bizonyos alkatrész élettartamát jelölő valószínűségi változó (1000 órákban mérve) exponenciális eloszlású sűrűségfüggvénnyel. Az élettartam vizsgálatát legfeljebb 2000 óráig folytatjuk, a vizsgált élettartam legyen (azaz csonkolt eloszlású). Határozzuk meg a következőket:
Legyen
Legyen amint és .
A feltételes eloszlások részben látni fogjuk, hogy az előző feladatban tekintett eloszlás a következő változó eloszlása: választunk egy véletlen számot, majd tekintünk egy olyan érmét, amely valószínűséggel mutat fejet. Ezt az érmét feldobjuk háromszor, és a dobott fejek számát -szel jelöljük.
Az M&M adathalmazban legyen a cukorkák száma, pedig a (grammban mért) nettó tömeg. Határozzuk meg az pár empirikus sűrűségfüggvényét!