]>
Mint általában, tekintsünk egy eseménytéren egy véletlen kísérletet és egy valószínűségi mértéket. Tegyük fel, hogy egy értékű, pedig egy értékű valószínűségi változó. Ebben a fejezetben ismét egy alapvető fontosságú fogalommal ismerkedünk meg: -re vonatkozó feltételes várható értékével. Amint látni fogjuk, -re vonatkozó feltételes várható értéke -nek azon függvénye, amely a legjobban közelíti -t olyan értelemben, hogy minimális az átlagon négyzetes hiba. Fontos megjegyezni, hogy itt általános valószínűségi változó, nem feltétlenül valós értékű. Ebben a fejezetben végig feltesszük, hogy minden valós értékű valószínűségi változónknak létezik a második momentuma..
Az párra úgy gondolunk, mint egy valószínűségi változóra, melynek értékkészlete egy részhalmaza. Először tegyük fel, hogy valamely -ra, és együttesen folytonos eloszlású valamilyen sűrűségfüggvénnyel. Ekkor az változó (marginális) sűrűségfüggvénye a következő:
valamint feltételes sűrűségfüggvénye az feltétel esetén:
Tehát feltételes várható értéke az feltétel mellett épp a fenti feltételes eloszlás várható értéke:
Természetesen feltételes várható értéke függ attól, hogy mely értéket veszi fel. Ideiglenesen jelöljük el az alábbi függvényt -vel (ennek értelmezési tartománya , értékkészlete pedig ):
A fenti függvényt szokás -re vonatkozó regressziós függvényének nevezni. A valószínűségi változót nevezik -re vonatkozó feltételes várható értékének, jelölése . Ha együttesen diszkrét eloszlásúak, a fenti definíció értelemszerűen átírható (az integrálokat összegzésekre kell cserélni). Intuitívan úgy gondolunk -re, mint egy ismert mennyiségre, majd a maradék véletlenség szerint kiátlagoljuk -t.
Az valószínűségi változó eleget tesz egy olyan feltételnek, amely alapján egyértelmű összes függvény között.
Legyen egy -ből -be képező függvény. A változócserére vonatkozó tétel segítségével igazoljuk, hogy
Tulajdonképpen az 1. feladat eredményét tekinthetjük a feltételes várható érték definíciójának, függetlenül eloszlásának típusától. Tehát, definiáljuk általánosan -et úgy, hogy az a valószínűségi változó, amely kielégíti az 1. feladatban szereplő egyenletet, és alakú, valamely , -ből -be képező függvénnyel. Ekkor legyen épp , amint . (Precízebben -nak mérhetőnek kell lennie -re nézve.)
Az 1. feladat következményeként adódik egy formula, mellyel meghatározható várható értéke.
Legyen a konstans 1 függvény az 1. feladatban. Így beláthatjuk, hogy
Kétségtelenül fontos elméleti szempontból a 2. feladat eredménye, de a gyakorlatban is hasznos, ha meg szeretnénk határozni -et, miközben csak -re vonatkozó feltételes eloszlását ismerjük. Erre azt mondjuk, hogy úgy számoljuk ki várható értékét, hogy -re feltételezünk (vagy kondicionálunk).
A következő feladatban belátjuk, hogy az 1. feladatban adott feltétel meghatározza -et:
Tegyük fel, hogy és eleget tesznek az 1. feladatban adott feltételnek, és így igaz rájuk a 2. feladat és a 3. feladat eredménye. Igazoljuk, hogy és ekvivalensek:
Legyen függvény. Az 1. feladatban adott képlet segítségével igazoljuk, hogy
Az előző feladat szemléletes jelentése: ha ismerjük -et, akkor ismerjük összes (determinisztikus) függvényét is. Minden ilyen függvény konstansnak tekinthető, ha -re vonatkozó feltételes várható értéket számolunk. A következő feladat ezt általánosítja az úgynevezett feltételes várató értékre vonatkozó helyettesítési szabállyá.
Legyen függvény. Igazoljuk, hogy
Az 5. feladat vagy a 6. feladat következménye, hogy . A másik szélsőséges eset a következő feladat: ha és függetlenek akkor ismerete semmilyen információt nem ad -ra, tehát -re vonatkozó feltételes várható értéke ugyanaz, mint a feltétel nélküli (hagyományos) várható értéke.
Tegyük fel, hogy és függetlenek. Az 1. feladat segítségével igazoljuk, hogy
A következő feladatokban a feltételes várható érték alapvető tulajdonságait igazolhatjuk, ehhez használjuk az általános definíciót! Legyenek és valós értékű valószínűségi változók, pedig konstans. Az alábbi tulajdonságok hasonlóak a hagyományos várható érték tulajdonságaihoz (e várható érték fogalmakkal szemben általános elvárás a linearitás és a monotonicitás).
Igazoljuk, hogy .
Igazoljuk, hogy .
Igazoljuk, hogy ha 1 valószínűséggel, akkor 1 valószínűséggel.
Igazoljuk, hogy ha 1 valószínűséggel, akkor 1 valószínűséggel.
Igazoljuk, hogy 1 valószínűséggel.
Legyen most valós értékű, és pedig általános valószínűségi változók (természetesen mind ugyanazon a valószínűségi mezőn definiáltak). A következő feladat eredménye szerint az iterált feltételes várható érték megegyezik egy, a minimális információra vonatkozó feltételes várható értékkel:
Igazoljuk, hogy
Az esemény valószínűségi változóra vonatkozó feltételes valószínűsége egy speciális feltételes várható érték. Mint általában, jelölje az esemény indikátor valószínűségi változóját. Definíció szerint:
A feltételes várható érték fent bizonyított tulajdonságai természetesen speciálisan a feltételes valószínűségre is igazak.
Igazoljuk, hogy .
Az előző feladat eredménye hasznos eszköz, ha -t akarjuk meghatározni, miközben -re vonatkozó feltételes valószínűségét ismerjük. Ekkor azt mondjuk, hogy valószínűségét úgy számítjuk ki, hogy feltételezünk -re. Így rendkívül elegáns módon tárgyalható a feltétele valószínűség (lásd korábban a Valószínűségi mezők fejezetben a Feltételes valószínűség részt, vagy az Eloszlások fejezetben a Diszkrét eloszlások részt.
A következő két feladat azt igazolja, hogy összes függvény közül becsüli legjobban -t abban az értelemben, hogy minimalizálja az átlagos négyzetes hibát. Ez alapvető fontosságú az olyan statisztikai problémák esetén, amikor az magyarázó változó (ami lehet vektor is) megfigyelhető, az magyarázott változó viszont nem.
Legyen és függvény. A 3. feladat felhasználásával és algebrai átalakításokkal igazoljuk, hogy
Az előző feladat eredményét felhasználva lássuk be, hogy ha , akkor
és az egyenlőség pontosan akkor áll, ha 1 valószínűséggel.
Legyen most valós értékű valószínűségi változó. A kovariancia és korreláció részben beláttuk, hogy legjobb lineáris becslője ismeretében
Másrészt épp legjobb becslője összes függvénye közül. Következésképp ha lineáris -ben, akkor szükségszerűen
Igazoljuk, hogy
Igazoljuk közvetlen számolással, hogy ha , akkor
-re vonatkozó feltételes szórásnégyzetét a következőképp definiáljuk:
Igazoljuk, hogy .
Igazoljuk, hogy .
Az előző feladat ismét jó módszert biztosít meghatározásához, ha ismert -re vonatkozó feltételes eloszlása. Erre a módszerre azt mondjuk, hogy szórásnégyzetét -re vonatkozó feltételezéssel határozzuk meg.
Foglalkozzunk ismét az valós értékű valószínűségi változó eddig tanult becslőivel, és hasonlítsuk ezeket össze!
Legyen az pár együttes sűrűségfüggvénye .
Legyen az pár együttes sűrűségfüggvénye .
Legyen az pár együttes sűrűségfüggvénye .
Legyen az pár együttes sűrűségfüggvénye .
A kétváltozós egyenletes eloszlás kísérletében válasszunk négyzet alaphalmazt. Szimuláljunk 2000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizediknél), és figyeljük meg a pontfelhő és a regressziós egyenes viszonyát!
A kétváltozós egyenletes eloszlás kísérletében válasszunk háromszög alaphalmazt. Szimuláljunk 2000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizediknél), és figyeljük meg a pontfelhő és a regressziós egyenes viszonyát!
Legyen egyenletes eloszlású a intervallumon, adott esetén pedig egyenletes eloszlású -en. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét:
Két szabályos kockát feldobtunk, a kapott eredmények . Legyen a dobott számok összege, pedig a kisebbik dobott szám. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét:
Egy dobozban 10 érme van, melyeket 0-tól 9-ig megszámoztunk. Az -edik érme esetén a fejdobás valószínűsége . Kiválasztunk véletlenszerűen (egyenletes eloszlással) egy érmét a dobozól, majd azt feldobjuk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fejet dobunk? Ez a feladat egy konkrét esete a Laplace szabálynak.
Tegyük fel, hogy egy független, azonos eloszlású valós értékű valószínűségi változókból álló sorozat. A közös várható értéket, szórásnégyzetet és momentum generáló függvényt jelölje rendre: , és . Legyen
és az -hez tartozó részletösszegek folyamata. Legyen egy értékű valószínűségi változó, amely független -től. Ekkor
valószínűségi változók egy véletlen tagszámú összege; azaz nemcsak maguk az összeadandók, hanem azok száma is véletlen. Ilyen valószínűségi változók sokszor előfordulnak a gyakorlatban. Gondoljunk például arra, hogy jelöli az egy adott üzletbe megérkező vásárlók számát, pedig azt az időt, amennyit az -edik vásárló az üzletben tölt.
Igazoljuk, hogy
A Wald azonosság (amely nevét Wald Ábrahám magyar matematikusról kapta) az előző feladat általánosítása arra az esetre, amikor nem feltétlenül független -től, hanem esetleg egy megállási idő az sorozatra nézve. A Wald azonosság részletes tárgyalása a Véletlen minták fejezet Részletösszegek című fejezetében található.
Igazoljuk, hogy
Jelölje az valószínűségi változó valószínűségi generátorfüggvényét. Az alábbi feladatok segítségével igazoljuk, hogy momentum generáló függvénye :
A következő kísérletet végezzük: dobunk egy dobókockával, majd egy szabályos érmét annyiszor dobunk fel, amennyit dobtunk a kockával. Legyen a kockadobás eredménye, és a dobott fejek száma.
Szimuláljunk 1000 kísérletet a kocka- és érmedobás kísérletben, és frissítsük az ábrát minden tizedik után! Figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus várható érték és szórás a valódi várható értékhez és szóráshoz!
Egy üzletbe egy óra alatt véletlen számú vásárló érkezik, de azt tudjuk, hogy az érkező vásárlók számának várható értéke 20, szórása pedig 3. Minden egyes vásárló mindenki mástól függetlenül véletlen mennyiségű pénzt költ, melynek várható értéke 50$, szórása 5$. Határozzuk meg az egy óra alatt a boltban elköltött összes pénz várható értékét és szórását!
Egy olyan furcsa pénzérmét dobálunk, melynél egy valószínűségi változó jelöli a fejdobás valószínűségét (tehát a fejdobás valószínűsége is függ a véletlentől). Az érmét alkalommal dobjuk fel. Tegyük fel, hogy egyenletes eloszlású -en; pedig paraméterű Poisson eloszlású, továbbá és függetlenek. Jelölje a dobott fejek számát. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét:
Legyen valós értékű valószínűségi változók sorozata. Vezessük be a , és a jelöléseket, amint . Legyen továbbá egy értékű valószínűségi változó, amely független az sorozattól. súlyfüggvényére vezessük be a jelölést, amint . Ekkor az valószínűségi változó eloszlása az eloszlások keveréke az eloszlása, mint keverő eloszlás szerint.
Igazoljuk, hogy
Igazoljuk, hogy
Igazoljuk, hogy
Igazoljuk, hogy
A kocka- és érmedobás kísérletében feldobunk egy hamis érmét, amely valószínűséggel mutat fejet. Ha írást dobtunk, akkor feldobunk egy igazságos dobókockát, ha pedig fejet dobtunk, akkor egy egy-hat irányban lapos kockát dobunk fel (ez utóbbinál az 1 és a 6 valószínűsége a 2, 3, 4 és 5 valószínűsége pedig ). Határozzuk meg a kockával dobott szám várható értékét és szórását!
Szimuláljunk 1000 kísérletet az előző feladat adataival a kocka- és érmedobás kísérletben, és frissítsük az ábrát minden tizedik után! Figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus várható érték és szórás, a valódi várható értékhez és szóráshoz!
A feltételes várható értéket vektorterek nyelvén is meg lehet fogalmazni. Ha ezt a definíciót is megértjük, az segít abban, hogy a fogalmak jobban és mélyebben rögzüljenek.
Ebben a fejezetben a vektortér az olyan valószínűségi mezőn értelmezett valós értékű valószínűségi változókból áll, melyeknek véges a második momentumuk. Két valószínűségi változót ekvivalensnek nevezünk, ha 1 valószínűséggel megegyeznek. Két ilyen valószínűségi változóhoz rendeljük ugyanazt a vektort, így precízen a vektorterünk a fenti ekvivalencia reláció szerinti ekvivalencia osztályokból áll. Az összeadás legyen a valószínűségi változók, mint függvények összeadása, a skalárral való szorzás pedig a valószínűségi változó, mint függvény, adott (determinisztikus) számmal való szorzása.
Szerepelt korábban, hogy egy skalárszorzat tér is, ahol a skalárszorzat (belső szorzat):
Legyen most egy tetszőleges, -beli értékeket felvevő valószínűségi változó, pedig egy -beli valós értékű valószínűségi változó.
Igazoljuk, hogy a következő halmaz altere:
A 3. feladat segítségével igazoljuk, hogy épp vetítése (projekciója) az altérre!
Legyen most . Ekkor a
halmaz szintén altér -ben, és nyilván egyúttal altere is. Beláttuk, hogy épp projekciója a altérre.