]>
Mint általában, tekintsünk egy eseménytéren egy véletlen kísérletet és egy valószínűségi mértéket. Egy valószínűségi változó generátorfüggvénye nem más, mint bizonyos transzformáltjának a várható értéke. A legtöbb generátorfüggvényre jellemző a következő négy tulajdonság:
Az 1. tulajdonság a legfontosabb. Gyakran egy valószínűségi változó eloszlását konkrétan nem tudjuk meghatározni, viszont a generátorfüggvényét igen, és így az eloszlását is azonosítani tudjuk. Az ilyen eljárást nevezik inverziónak. A 2. tulajdonság nagyon hasznos, ha független valószínűségi változók összegének eloszlását akarjuk meghatározni. Emlékezzünk vissza, hogy ha ezt sűrűségfüggvények segítségével szeretnénk meghatározni, akkor a konvolúciót kell alkalmaznunk, ami sokszor bonyolult számolásokhoz vezet. A 3. tulajdonság azért fontos, mert sokszor adódik olyan eset, amikor a momentumokat könnyebb a generátorfüggvény segítségével meghatározni, mint a definíció közvetlen alkalmazásával. Az utolsó tulajdonságot nevezik folytonossági tételnek. Igen gyakran könnyebb a generátorfüggvények konvergenciáját igazolni, mint az eloszlásfüggvényekét.
Legyen egy értékű valószínűségi változó. Az változó valószínűségi generátorfüggvénye a helyen a következő:
feltéve, hogy ez a várható érték véges.Jelölje az valószínűségi súlyfüggvényét, azaz .
Igazoljuk, hogy
Tehát egy hatványsor -ben, ahol az együtthatók a súlyfüggvény helyettesítési értékei. Az ilyen esetekben a kombinatorikában is használt megnevezés, hogy az függvény generátorfüggvénye. Alapvető tétel az analízisben, hogy minden hatványsor esetén található egy szám, hogy a hatványsor esetén abszolút konvergens, esetén pedig divergens. Ezt az számot nevezik konvergenciasugárnak.
Igazoljuk, hogy tehát .
Az analízisből szintén jól ismert, hogy egy hatványsort tagonként lehet deriválni, mint a polinomokat. Továbbá a derivált konvergenciasugara megegyezik az eredeti hatványsor konvergenciasugarával. Jelöljük az -edik deriváltat -nel.
Igazoljuk, hogy minden esetén. Tehát a valószínűségi generátorfüggvény meghatározza eloszlását.
Igazoljuk, hogy .
Legyenek és nemnegatív egészek, . Ekkor elemből darabot
-féleképp választhatunk ki, ha a sorrend is számít. Ezt nevezik ismétlés nélküli variációnak.Tegyük fel, hogy a konvergenciasugárra teljesül. Igazoljuk, hogy minden esetén. Ezeket nevezik faktoriális momentumoknak. Speciálisan azt kaptuk, hogy minden momentuma véges.
Igazoljuk, hogy
Legyenek és független valószínűségi változók és valószínűségi generátorfüggvénnyel. Igazoljuk, hogy valószínűségi generátorfüggvénye
Legyen valós értékű valószínűségi változó. Ekkor momentum generáló függvénye a következő függvény:
Vegyük észre, hogy majdnem biztosan, így bármely esetén vagy véges vagy .
Legyen folytonos eloszlású -en sűrűségfüggvénnyel. Igazoljuk, hogy
Tehát momentum generáló függvénye nagyon hasonlít az eloszlásának Laplace transzformáltjára. A Laplace transzformáltat Simeon Laplace-ról nevezték el, és igen széles körben használják az alkalmazott matematikában.
A momentum generáló függvényekre vonatkozó inverzió tétel azt állítja, hogy ha a 0 egy nyílt környezetében, akkor meghatározza eloszlását. Tehát ha két -en értelmezett eloszlás momentum generáló függvénye megegyezik, és véges a nulla egy környezetében, akkor a két eloszlás megegyezik.
Legyen momentum generáló függvénye , és véges a 0 egy környezetében. Ekkor minden momentuma véges. Igazoljuk a következő formula helyességét (a várható érték és az összegzés a végességre tett feltevés miatt cserélhető fel)!
Igazoljuk, hogy minden esetén. Tehát a momentum generáló függvény 0-ban vett deriváltjai meghatározzák az eloszlás momentumait (innen a momentum generáló elnevezés). A kombinatorikában azt mondanánk, hogy a momentum generáló függvény a momentumok sorozatának exponenciális generátorfüggvénye.
Következésképp, ha egy eloszlásnak valamelyik momentuma végtelen, nem lehet véges a momentum generáló függvénye sem. Viszont az is előfordulhat, hogy a valószínűségi változónk minden momentuma véges, mégsem létezik a momentum generáló függvénye. Nemsokára mutatunk erre példát.
Legyen valós értékű valószínűségi változó momentum generáló függvénnyel, és pedig konstansok. Igazoljuk, hogy momentum generáló függvénye
Tegyük fel, hogy és független, valós értékű valószínűségi változók és momentum generáló függvénnyel. Igazoljuk, hogy momentum generáló függvénye
Legyen egy értékű valószínűségi változó valószínűségi generátorfüggvénnyel. Igazoljuk, hogy momentum generáló függvénye
Legyen valós értékű valószínűségi változó momentum generáló függvénnyel. Igazoljuk a Chernoff korlátokat:
Segítség: Igazoljuk, hogy ha és ha , majd használjuk a Markov egyenlőtlenséget.
Természetesen a legjobb Chernoff korlát (akár az (a) akár a (b) esetben) az a , amelyre a kifejezés minimális.
Matematikus szemmel nézve a leghasznosabb generátorfüggvény a karakterisztikus függvény, mely egy valós értékű valószínűségi változó esetén a következő függvény:
Mivel egy komplex értékű függvény, ezért ezen rész megértéséhez feltételezünk bizonyos szintű komplex függvénytani ismereteket. Vegyük észre, hogy jól definiált minden -re, hisz a valószínűségi változó, melynek a várható értékét vesszük, korlátos. Valóban, minden esetén. A karakterisztikus függvény tulajdonságai elegánsabbak, mint a momentum generáló függvény tulajdonságai, mivel a karakterisztikus függvény mindig létezik.
Tegyük fel, hogy folytonos eloszlású -en sűrűségfüggvénnyel. Igazoljuk, hogy
Tehát karakterisztikus függvénye megegyezik Fourier transzformáltjával. A Fourier transzformáltat Joseph Fourier-ről nevezték el, és nagyon sokat használják az alkalmazott matematikában.
A karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást, azaz és pontosan akkor azonos eloszlású valószínűségi változók, ha a karakterisztikus függvényük megegyezik. Valóban, az általános inverziós formula szerint, ha akkor
A jobb oldalon szereplő valószínűségek pedig egyértelműen meghatározzák eloszlását. Legyen folytonos eloszlású, sűrűségfüggvénnyel. Az inverziós formula speciális esete szerint ekkor minden olyan pontban, ahol differenciálható,
Mint a többi generátorfüggvény, a karakterisztikus függvény is alkalmas arra, hogy a segítségével meghatározzuk momentumait. Sőt, ezt akkor is megtehetjük, ha nem minden momentum véges. Ha akkor
és így
Legyen valós értékű valószínűségi változó karakterisztikus függvénnyel, valamint legyenek és konstansok. Igazoljuk, hogy karakterisztikus függvénye
Legyenek és független, valós értékű valószínűségi változók és karakterisztikus függvénnyel. Igazoljuk, hogy karakterisztikus függvénye
Egy valószínűségi változó karakterisztikus függvényét megkaphatjuk a momentum generáló függvényéből, ha ez utóbbi létezik. Konkrétan, ha egy valós értékű valószínűségi változó momentum generáló függvénnyel, amelyre a 0 egy környezetében, és karakterisztikus függvényét -vel jelöljük, akkor fennáll amint .
Végül a karakterisztikus függvények és az eloszlásban való konvergencia (más néven gyenge konvergencia) kapcsolatát tárgyaljuk. Legyen valós értékű valószínűségi változók sorozata, amelyek karakterisztikus függvénye rendre . A fenti valószínűségi változók nem feltétlen azonos valószínűségi mezőn definiáltak.
A folytonossági tétel szerint ha eloszlásban konvergál az valószínűségi változó eloszlásához, amint , és karakterisztikus függvénye , akkor amint minden -re. Megfordítva, ha amint a 0 egy nyílt környezetében, és folytonos a 0-ban, akkor egy valószínűségi változó karakterisztikus függvénye, és eloszlásban tart eloszlásához, amint .
A folytonossági tétel segítségével igazolható a centrális határeloszlás tétel, a valószínűségszámítás egyik legfontosabb tétele. Továbbá a folytonossági tétel könnyen általánosítható -en értelmezett eloszlásokra.
Legyen most egy véletlen vektor, amely -en veszi fel az értékeit. Ekkor (együttes) karakterisztikus függvénye:
Mint az előbb, legfontosabb tulajdonsága most is a kölcsönösen egyértelműség: két értékű vektor valószínűségi változónak pontosan akkor egyezik meg a karakterisztikus függvénye, ha megegyezik az eloszlása.
Az együttes momentumok deriválással megkaphatók a karakterisztikus függvényből. Legyen és . Ha , akkor
Jelölje ezután , és rendre az , és valószínűségi változók karakterisztikus függvényét.
Igazoljuk, hogy
Igazoljuk, hogy és pontosan akkor függetlenek, ha minden vektor esetén.
Természetesen a kétváltozós karakterisztikus függvényekre vonatkozó tételek igazak több változó esetén is, csak a formalizmus bonyolultabb.
Legyen indikátor valószínűségi változó, és , ahol paraméter. Igazoljuk, hogy valószínűségi generátorfüggvénye amint
A Bernoulli kísérletek folyamata egy független, azonos eloszlású indikátor valószínűségi változókból álló sorozat. Megbízhatóság-elméleti kifejezéssel élve jelöli az -edik kísérlet eredményét, ahol 1-et írunk, ha sikeres volt a kísérlet és 0-t, ha sikertelen. A siker valószínűsége ez a folyamat paramétere. Nevét James Bernoulli-ról kapta. A folyamat részletes tárgyalása a Bernoulli kísérletek fejezetben található.
Az első kísérlet között a sikeresek száma . Ez a valószínűségi változó binomiális eloszlású és paraméterekkel, és a súlyfüggvénye:
Igazoljuk, hogy valószínűségi generátorfüggvénye kétféleképpen is:
Igazoljuk, hogy
Tegyük fel, hogy valószínűségi súlyfüggvénye , ahol paraméter. Azaz, geometriai eloszlású -on paraméterrel, és az első sikeres kísérletet modellezi egy Bernoulli kísérletsorozatban. Jelölje valószínűségi generátorfüggvényét. Igazoljuk, hogy
Legyen binomiális eloszlású és paraméterekkel, pedig szintén binomiális eloszlású és paraméterekkel, továbbá legyenek és függetlenek.
A Poisson eloszlás súlyfüggvénye
ahol
paraméter (nevét Simeon Poisson-ról kapta). Gyakran használják egy adott halmazba eső véletlen pontok
számának leírására, ekkor nyilván az
paraméter arányos a halmaz méretével. A Poisson eloszlás részletes tárgyalása a Poisson folyamat fejezetben található.
Legyen Poisson eloszlású paraméterrel. Jelölje az változó valószínűségi generátorfüggvényét. Igazoljuk, hogy
Legyen Poisson eloszlású paraméterrel, pedig paraméterű Poisson eloszlású. Legyenek továbbá és függetlenek. Igazoljuk, hogy Poisson eloszlású paraméterrel.
Tegyük fel, hogy Poisson eloszlású paraméterrel. A Chernoff korlát segítségével igazoljuk, hogy
Jelölje az és paraméterű binomiális eloszlás valószínűségi generátorfüggvényét, ahol amint (és ). Jelölje az paraméterű Poisson eloszlás valószínűségi generátorfüggvényét. Igazoljuk, hogy amint minden esetén! Tehát az és paraméterű binomiális eloszlás konvergál az paraméterű Poisson eloszláshoz, amint .
Az exponenciális eloszlás egy folytonos eloszlás, melynek sűrűségfüggvénye
ahol
egy paraméter, melyet gyakran rátának neveznek. Ez az eloszlás jól modellezi bizonyos gépek, alkatrészek meghibásodásáig eltelt időt, vagy egyes érkezési időpontokat
. Az exponenciális eloszlás részletes tárgyalása a Poisson folyamat fejezetben található.
Tegyük fel, hogy exponenciális eloszlású paraméterrel. Jelölje az változó momentum generáló függvényét. Igazoljuk, hogy
Tegyük fel, hogy független, azonos, paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók sorozata. Határozzuk meg momentum generáló függvényét! A valószínűségi változó és paraméterű gamma eloszlást követ.
Tegyük fel, hogy egyenletes eloszlású az intervallumon. Legyen az változó momentum generáló függvénye. Igazoljuk, hogy
Tegyük fel, hogy egyenletes eloszlású a háromszögön.
Legyen az pár együttes sűrűségfüggvénye
A standard normális eloszlás egy folytonos eloszlás, melynek sűrűségfüggvénye:
A Normális eloszlás rendkívül széles körben alkalmazható, például hibával terhelt mérési eredmények modellezésére. Részletes tárgyalása a Nevezetes eloszlások fejezetben található.
Tegyük fel, hogy standard normális eloszlású, és jelölje a momentum generáló függvényét. Igazoljuk, hogy
Legyen ismét standard normális eloszlású. Ekkor normális eloszlású várható értékkel és szórással. Igazoljuk, hogy momentum generáló függvénye amint !
Tegyük fel, hogy és független, normális eloszlású valószínűségi változók. Igazoljuk, hogy szintén normális eloszlású.
Tegyük fel, hogy Pareto eloszlású, ami egy folytonos eloszlás,
sűrűségfüggvénnyel, ahol paraméter. Az eloszlás Vilfredo Pareto-ról kapta a nevét. Ez egy lassan lecsengő eloszlás, melyet gyakran alkalmaznak különböző pénzügyi mennyiségek (pl. bevétel) modellezésére. A Pareto eloszlást részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben tárgyaljuk.
Legyen az változó momentum generáló függvénye. Igazoljuk, hogy
Tegyük fel, hogy Cauchy eloszlású, ami egy folytonos eloszlás
sűrűségfüggvénnyel. Ez az eloszlás nevét Augustin Cauchy-ról kapta, és tagja a Student eloszláscsaládnak. A eloszlásokról részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben olvashatunk. Az függvény gráfját szokás Agnesi boszorkányának nevezni Maria Agnesi tiszteletére.
Legyen az változó momentum generáló függvénye. Igazoljuk, hogy
Jelölje karakterisztikus függvényét. Igazoljuk, hogy amint !
A Pareto eloszlásnál nem minden momentum véges, ezért természetesen a momentum generáló függvény végtelen. Most mutatunk egy példát olyan eloszlásra, ahol az összes momentum véges, mégis végtelen a momentum generáló függvény. Sőt, látni fogunk két különböző eloszlást, melyek összes momentuma megegyezik.
Tegyük fel, hogy Z standard normális eloszlású, és legyen . Ezen eloszlását lognormális eloszlásnak nevezik.
Változócserével igazoljuk, hogy sűrűségfüggvénye
A standard normális eloszlás momentum generáló függvénye segítségével igazoljuk, hogy , amint . Tehát minden momentuma véges.
Igazoljuk, hogy amint . Azaz momentum generáló függvénye végtelen minden pozitív helyen.
Legyen most . Igazoljuk, hogy esetén
ahol normális eloszlású várható értékkel és 1 szórással. Segítség: használjuk az változócserét, és a kitevőben alkalmazzunk teljes négyzetté alakítást!
Az előző feladat eredményét felhasználva szimmetria érveléssel igazoljuk, hogy esetén
Legyen . Az előző feladat eredményét felhasználva igazoljuk, hogy egy valószínűségeloszlás sűrűségfüggvénye.
Legyen az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye . A 40. feladat eredményét felhasználva igazoljuk, hogy momentumai megegyeznek momentumaival. Azaz, amint .
Az és a függvény gráfjai láthatók az alábbi ábrán kékkel, illetve pirossal jelölve.