]> Definíciók, tulajdonságok
  1. Virtual Laboratories
  2. 3. Várható érték
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6

1. Definíciók, tulajdonságok

A várható érték a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Egy valós értékű valószínűségi változó várható értéke bizonyos értelemben az eloszlásának középpontját határozza meg. Továbbá a változó különböző valós transzformáltjai várható értékének meghatározása által az eloszlás egy sor érdekes tulajdonságára (mennyire elkent az eloszlás, mennyire szimmetrikus, stb.) következtethetünk. Bizonyos értelemben azt mondhatjuk, a várható érték általánosabb fogalom, mint maga a valószínűség.

Alapfogalmak

Definíciók

Tekintsünk egy véletlen kísérletet egy valószínűségi mértékkel ellátott Ω valószínűségi mezőn. Tegyük fel, hogy X egy S

értékű, a véletlen kísérlettől függő valószínűségi változó.

Ha X diszkrét eloszlású f súlyfüggvénnyel (azaz S megszámlálható), akkor X várható értéke legyen

X x S x f x ,

feltéve, hogy a fenti szumma abszolút konvergens (azaz, ha a képletben x -et x -re cseréljük, véges értéket kapunk). Az abszolút konvergenciát azért kell feltennünk, hogy az összeg ne függhessen az összeadandók sorrendjétől. Természetesen ha S véges, akkor nincs gond a konvergenciával.

Ha X folytonos eloszlású f sűrűségfüggvénnyel (ekkor általában S egy intervallum), akkor X várható értéke legyen

X x S x f x ,

feltéve, hogy az integrál abszolút konvergens (azaz, ha a kifejezésben x -et x -ra cseréljük, véges értéket kapunk).

Végül tegyük fel, hogy X kevert eloszlású, azaz megadható hozzá egy g parciális súlyfüggvény, ami a D halmazon értelmezett, továbbá egy C tartományon értelmezett h parciális sűrűségfüggvény, ahol D és C diszjunktak, D megszámlálható, C általában egy intervallum, és S D C . Ekkor X várható értékét definiáljuk a következőképpen:

X x D x g x x C x h x ,

ahol megint csak feltesszük az összeg és az integrál abszolút konvergenciáját.

Értelmezés

Az X változó várható értékét nevezhetjük az eloszlása középértékének is, és jelölhetjük μ -vel. Mit is értünk az alatt, hogy X várható értéke épp az eloszlásának középértéke? Gondoljunk az eloszlásra úgy, mint egy tömegeloszlásra (a teljes tömeg 1 egység). Ekkor a várható érték nem más, mint a fizikában jól ismert tömegközéppont. Az alábbi két képen diszkrét súly- és folytonos sűrűségfüggvények láthatók, mindkét esetben a μ -vel jelölt pont a tömegközéppont, vagy nevezhetnénk egyensúlyi pontnak is.

DiscreteCenterMass.png ContinuousCenterMass.png

Emlékezzünk vissza, hogy már bevezettünk két fogalmat, melyek valamilyen értelemben az eloszlás közepét jellemezték:

A várható érték valószínűségszámítási szemléltetéséhez tekintsünk egy összetett kísérletet, ami nem más, mint az eredeti kísérletünk többszöri megismétlése. Így független valószínűségi változók egy X 1 X 2 , sorozatát kapjuk, ahol minden valószínűségi változó eloszlása megegyezik X eloszlásával. Statisztikai kifejezéssel élve mintát veszünk X eloszlásából. Az átlagos érték, vagy mintaátlag n darab kísérlet után

M n 1 n i 1 n X i .

Az M n átlagos érték konvergál az X várható értékhez, amint n . Ezt a konvergenciát matematikailag precíz értelemben a nagy számok törvénye fogalmazza meg, ami a valószínűségszámítás egyik legfontosabb tétele. A szimulációs feladatokban látni fogjuk majd, hogyan teljesül a nagy számok törvénye a gyakorlatban.

Momentumok

Legyen a , és n 0 . Ekkor X a középpontú n -edik momentuma a következő kifejezés:

X a n .

A 0 középpontú momentumokat röviden csak momentumoknak mondjuk. Továbbá az μ X középpontú momentumok a centrált momentumok. A második centrált momentum különösen fontos, részletes tárgyalása a szórásnégyzet fejezetben található. Bizonyos esetekben X összes momentumának ismeretében meghatározhajuk X eloszlását. Ezzel kapcsolatos részletek a generátorfüggvények fejezetben találhatóak.

Feltételes várható érték

Az X valószínűségi változó várható értéke természetesen függ a kísérlethez tartozó valószínűségi mértéktől . Ez a mérték lehet egy feltételes valószínűségi mérték, valamely B Ω feltételre vonatkozólag. (Természetesen B 0 ). Erre szokásos jelölés X B . A feltételes várható érték szintén a fenti definíciók segítségével számolható, azzal a különbséggel, hogy az eredeti f x súly-, vagy sűrűségfüggvényt az f x B feltételes súly-, vagy sűrűségfüggvényre kell cserélnünk. Vegyük észre, hogy (jelöléstől eltekintve) nem vezettünk be új fogalmat. Így minden, a várható értékre vonatkozó állítás megfelelője igaz feltételes várható értéke is.

Alapvető tulajdonságok

Ebben a fejezetben a várható érték legfontosabb tulajdonságait vesszük sorra. Ahol ezt külön nem jelöljük, ott mindig feltesszük, hogy a várható érték létezik.

Változócsere

Egy valós értékű valószínűségi változó várható értéke az eloszlásának középértéke. Ez az intuitív kép sokkal hasznosabb, mint első ránézésre gondolnánk. Hiszen ha meghatározzuk valószínűségi változónk különböző függvényeinek várható értékét, az eloszlás sok érdekes tulajdonságára következtethetünk.

Legyen tehát X egy S értékű valószínűségi változó, és legyen r egy S -ből -be képező függvény. Ekkor r X valós értékű valószínűségi változó, tehát meghatározhatjuk r X -et. Ha azonban a definíció alapján szeretnénk ezt a várható értéket kiszámolni, ismernünk kellene az r X transzformált valószínűségi változó eloszlását, ami általában nehezen meghatározható. Szerencsére ennél sokkal egyszerűbb számolási módszert biztosít a változócserére vonatkozó tétel. Hívhatnánk ezt a tételt a figyelmetlen statisztikus törvényének is, hisz annyira egyszerű, hogy sokszor észre sem vesszük, hogy egy tételt alkalmazunk és nem a definíciót.

Lássuk be, hogy ha X diszkrét eloszlású egy S megszámlálható halmazon, továbbá a súlyfüggvénye f , akkor

r X x S r x f x .
DiscreteDiscrete.png

Hasonlóan, ha X folytonos eloszlású az S n halmazon, sűrűségfüggvénye f , akkor

r X x S r x f x .

A folytonos esetre vonatkozó állítást több lépésben fogjuk bizonyítani, mégpedig a 2. Feladat, 53. Feladat és 56. Feladat segítségével.

Bizonyítsuk be a változócserére vonatkozó tételt abban a speciális esetben, amikor X S n -értékű folytonons valószínűségi változó, r pedig diszkrét (azaz r képtere megszámlálható).

ContinuousDiscrete.png

Az alábbi feladatok a várható érték legfontosabb tulajdonságait tartalmazzák. Az állítások általában igazak, de a bizonyítás során érdemes külön kezelni a diszkrét és a folytonos esetet, és természetesen az előző tételt használni. A következőkben X és Y valós értékű valószínűségi változók, c valós konstans. Mindig feltesszük, hogy a feladatokban szereplő várható értékek léteznek.

Linearitás

Lássuk be, hogy X Y X Y .

Igazoljuk, hogy c X c X .

Tegyük fel, hogy X 1 X 2 X n a kísérletünktől függő valós értékű valószínűségi változók, a 1 a 2 a n pedig konstansok. Ekkor az előző két feladat következménye, hogy

i 1 n a i X i i 1 n a i X i .

Azaz, a várható érték lineáris. Ez egy roppant fontos tulajdonság, ezért érdemes intuitív szinten is érteni. Ehhez a várható érték értelmezésénél kimondott nagy számok törvényét hívjuk segítségül:

Tegyük fel, hogy X 1 X 2 X n valós értékű valószínűségi változók, közös μ várható értékkel. Ha még azt is feltesszük, hogy függetlenek és azonos eloszlásúak, akkor egy n elemű véletlen mintánk van a közös eloszlásukból.

  1. Legyen Y i 1 n X i , a változók összege. Igazoljuk, hogy Y n μ .
  2. Legyen M 1 n i 1 n X i , a változók átlaga. Lássuk be, hogy M μ .

Egyenlőtlenségek

A következő feladatokban a várható értékre vonatkozó egyenlőtlenségeket bizonyíthatjuk be. Az első a legegyszerűbb, melyet érdemes a további feladatokban alkalmazni.

Tegyük fel, hogy X 0 1 . Lássuk be, hogy

  1. X 0 ,
  2. X 0 pontosan akkor, ha X 0 1 .

Tegyük fel, hogy X Y 1 . Lássuk be, hogy:

  1. X Y ,
  2. X Y pontosan akkor, ha X Y 1 .

Tehát azt kaptuk, hogy a várható érték monoton. A linearitás után talán ez a második legfontosabb tulajdonság.

Lássuk be, hogy

  1. X X ,
  2. X X pontosan akkor, ha X 0 1 , vagy X 0 1 .

Igazoljuk a következőket:

  1. X X 0 ,
  2. X X 0 .

Szimmetria

Tegyük fel, hogy X folytonos eloszlású értékű valószínűségi változó, melynek f sűrűségfüggvénye a -ra szimmetrikus, azaz f a t f a t , amint t . Lássuk be, hogy ha X létezik, akkor X a .

Függetlenség

Legyenek X és Y független valós értékű valószínűségi változók. Lássuk be, hogy X Y X Y .

Az előző feladat következménye, hogy a független valószínűségi változók korrelálatlanok. Ez egy nagyon fontos eredmény! Tegyük fel, hogy X és Y független S , illetve T értékű valószínűségi változók, továbbá u S -en és v T -n értelmezett valós értékű függvények. Ekkor u X és v Y független valós értékű valószínűségi változók, így

u X v Y u X v Y .

Példák, alkalmazások

Konstans és indikátor változók

Egy c konstansra úgy is gondolhatunk, mint egy valószínűségi változóra, amely 1 valószínűséggel a c értéket veszi fel. Eloszlását gyakran a c pontra koncentrált eloszlásnak nevezik. Lássuk be, hogy c c .

Legyen X egy indikátor valószínűségi változó (azaz olyan változó, amely csak a 0 és 1 értékeket veszi fel). Lássuk be, hogy X X 1 .

Azaz ha A az A esemény indikátora, akkor A A . Tehát bizonyos értelemeben a várható érték általánosítja a valószínűség fogalmát. Peter Whittle Probability via Expectation című könyvében az alapfogalom a valószínűség helyett a várható érték.

Egyenletes eloszlás

Tegyük fel, hogy X diszkrét egyenletes eloszlású az S véges halmazon.

  1. Igazoljuk, hogy X az S -beli számok számtani közepe.
  2. Speciálisan, ha X egyenletes eloszlású az S m m 1 n halmazon, ahol m n , akkor X m n 2 .

Legyen X folytonos egyenletes eloszlású az a b intervallumon.

  1. Igazoljuk, hogy a várható érték épp az intervallum felezési pontja: X a b 2 .
  2. Határozzuk meg X momentumait!

Legyen X egyenletes eloszlású az a b intervallumon és g integrálható függvény a b -ből -be. Igazoljuk, hogy g X a g függvény a b intervallumon vett átlaga a szokásos értelemben.

g X 1 b a x a b g x .

Határozzuk meg a szinusz függvény átlagát a 0 intervallumon!

Tegyük fel, hogy X egyenletes eloszlású a 1 1 intervallumon.

  1. Határozzuk meg X 2 sűrűségfüggvényét!
  2. Adjuk meg X 2 -et, az (a) pont eredményének felhasználásával!
  3. Számítsuk ki X 2 -et a változócserére vonatkozó tétel segítségével!

Kockadobások

Egy hagyományos kocka alatt hat oldalú dobókockát értünk. Az igazságos kocka olyan, hogy ha feldobjuk, mindegyik oldalára azonos valószínűséggel esik. Az egy-hat irányban lapos kocka egy hagyományos kocka, ami feldobás után az 1 és 6 értékeket 14 , a 2, 3, 4 és 5 értékeket 18 valószínűséggel mutatja.

Két hagyományos igazságos kockát feldobtunk, a kapott értékeket az X 1 X 2 párba lejegyeztük. Határozzuk meg a következő valószínűségi változók várható értékét:

  1. Y X 1 X 2 , a két dobás összege,
  2. M 12 X 1 X 2 , a két dobás átlaga,
  3. Z X 1 X 2 , a két dobás szorzata,
  4. U X 1 X 2 , a két dobás minimuma,
  5. V X 1 X 2 , a két dobás maximuma.

A kockadobálós kísérletben válasszunk két szabályos kockát. Figyeljük meg a valószínűségi súlyfüggvény alakját és a dobások összegének, minimumának és maximumának várható értékét. Szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergálnak a mintaátlagok az elméleti várható értékhez mindhárom esetben.

Oldjuk meg a 19. Feladatot egy-hat irányban lapos kocka esetén!

Oldjuk meg a 20. Feladatot egy-hat irányban lapos kocka esetén!

Bernoulli kísérletek

A Bernoulli kísérletek folyamata nem más, mint egy X 1 X 2 független, azonos eloszlású indikátor változókból álló vektor. Megbízhatóság-elméleti kifejezéssel élve X i jelöli az i -edik kísérlet eredményét, ahol 1 jelenti a sikert, 0 a kudarcot. A siker valószínűsége p X i 1 a folyamat paramétere. Ezt a folyamatot James Bernoulli-ről nevezték el. A Bernoulli kísérletek című külön fejezetben találhatunk további részleteket.

Az első n kísérletből a sikeresek száma Y i 1 n X i . Ez a valószínűségi változó binomiális eloszlású n és p paraméterekkel, és a súlyfüggvénye:

Y k n k p k 1 p n k ,  k 0 1 n .

Igazoljuk, hogy Y n p kétféleképpen is:

  1. a definíció alapján,
  2. az előbb felírt független azonos eloszlású valószínűségi változók összegére való felbontás alapján.

A binomiális eloszlás kísérletében változtassuk n -et és p -t, és vizsgáljuk meg a súlyfüggvény alakját, valamint a várható értéket. Néhány n és p értékre szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergál a mintaátlag a várható értékhez.

Jelölje W az első sikeres kísérlet sorszámát. Ez is egy valószínűségi változó, amely geometriai eloszlású p paraméterrel, és a súlyfüggvénye:

W n p 1 p n 1 ,  n .

Igazoljuk, hogy W 1 p .

A negatív binomiális kísérletben válasszunk k 1 -et, így visszakapjuk a geometriai eloszlást. Változtassuk p -t, és figyeljük meg a súlyfüggvény alakját és a várható értéket. Néhány p értékre szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergál a mintaátlag a várható értékhez.

A hipergeometriai eloszlás

Tegyük fel, hogy egy populáció m egyedből áll, ezek közül r darab 1-es típusú, m r darab pedig 0-ás típusú. Visszatevés nélkül kiválasztunk n véletlen egyedet. Legyen X i az i -edik kiválasztott egyed típusa. Ekkor tudjuk, hogy X 1 X 2 X n azonos eloszlású valószínűségi változók, melyek azonban nem függetlenek. Valójában ez a valószínűségi változó sorozat felcserélhető.

Legyen Y az 1-es típusú kiválasztott egyedek száma, azaz Y i 1 n X i . Ekkor Y hipergeometriai eloszlású az alábbi súlyfüggvénnyel:

Y k r k m r n k m n ,  k 0 1 n .

Igazoljuk, hogy Y n r m kétféleképpen is:

  1. a definíció alapján,
  2. az előbb felírt, független azonos eloszlású valószínűségi változók összegére való felbontás alapján.

A golyók és urnák kísérletben, változtassuk n , r és m értékét, majd figyeljük meg a súlyfüggvény alakját és a várható értéket. Néhány n és p értékre szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergál a mintaátlag a várható értékhez.

Poisson eloszlás

A Poisson eloszlás súlyfüggvénye

f n a a n n ,  n ,

ahol a 0 paraméter (nevét Simeon Poisson-ról kapta). Gyakran használják egy adott halmazba eső véletlen pontok számának leírására, ekkor nyilván az a paraméter arányos a halmaz méretével. A Poisson eloszlás részletes tárgyalása a Poisson folyamat fejezetben található.

Tegyük fel, hogy N Poisson eloszlású a paraméterrel. Igazoljuk, hogy N a , azaz a Poisson eloszlás paramétere egyben a várható értéke is.

A Poisson kísérletben a paraméter a r t . Változtassuk a paramétert, majd figyeljük meg a súlyfüggvény alakját és a várható értéket. Néhány konkrét paraméterválasztás mellett szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergál a mintaátlag a várható értékhez.

Exponenciális eloszlás

Az exponenciális eloszlás egy folytonos eloszlás, melynek sűrűségfüggvénye:

f t r r t ,  t 0 ,

ahol r 0 egy paraméter, melyet gyakran rátának neveznek. Ez az eloszlás jól modellezi bizonyos gépek, alkatrészek meghibásodásáig eltelt időt, vagy egyes érkezési időpontokat. Például ilyen eloszlásúak a Poisson folyamat felújtás hosszai. Az exponenciális eloszlás részletes tárgyalása a Poisson folyamat fejezetben található.

Tegyük fel, hogy T exponenciális eloszlású r rátával.

  1. Igazoljuk, hogy T 1 r .
  2. Igazoljuk, hogy T módusza 0.
  3. Igazoljuk, hogy T mediánja 2 r .
  4. Rajzoljuk fel f grafikonját, és jelöljük be a várható értéket, a mediánt és a móduszt az x -tengelyen.

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk ki a gamma eloszlást. Állítsuk be a k 1 értéket, így exponenciális eloszlást kapunk. Változtassuk az r paraméter értékét, és figyeljük meg, hogyan változik a várható érték. Ezután r 2 paraméterválasztással szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergál a mintaátlag a várható értékhez.

Legyen T exponenciális eloszlású r paraméterrel, és legyen t 0 . Határozzuk meg a T T t várható értéket!

Gamma eloszlás

A gamma eloszlás egy folytonos eloszlás, melynek sűrűségfüggvénye:

f t r n t n 1 n 1 r t ,  t 0 ,

ahol n -et gyakran az eloszlás rendjének, r 0 -et pedig a rátájának nevezik. Jól modellezi bizonyos érkezési idők eloszlását. A gamma eloszlás részletes tárgyalása a Poisson folyamat fejezetben található. Ha X 1 X 2 X n független, azonos eloszlású r paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor T i 1 n X i n -edrendű, r rátájú gamma eloszlású valószínűségi változó.

Tegyük fel, hogy T gamma eloszlású n és r pereméterekkel. Igazoljuk, hogy T n r kétféleképpen is:

  1. definíció alapján,
  2. az előző, független azonos eloszlású valószínűségi változók összegére való felbontás segítségével.

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk ki a gamma eloszlást. Változtassuk a paraméterértékeket, és vizsgáljuk meg a várható érték és a sűrűségfüggvény viszonyát. Néhány paraméterrel szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergál a mintaátlag a várható értékhez.

Béta eloszlás

A következő eloszlások a béta eloszlások családjába tartoznak, melyek alkalmazhatók például véletlenszerűen kialakuló arányok modellezésére. A béta eloszlás részletes tárgyalása a Nevezetes eloszlások fejezetben található.

Tegyük fel, hogy X sűrűségfüggvénye f x 12 x 2 1 x ,  0 x 1 .

  1. Határozzuk meg X várható értékét.
  2. Határozzuk meg X móduszát.
  3. Becsüljük meg X mediánját.
  4. Rajzoljuk le f gráfját, és jelöljük be az x -tengelyen a várható érték, a módusz és a medián helyét.

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk ki a béta eloszlást, és állítsuk be az a 3 , b 2 paraméterértékeket (így kapjuk vissza az előző feladat eloszlását). Szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergál a mintaátlag a várható értékhez.

Tegyük fel, hogy egy gömb véletlen sugara az R valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f r 12 r 2 1 r ,  0 r 1 . Határozzuk meg a következő valószínűségi változók várható értékét:

  1. A gömb térfogata: V 43 R 3 ,
  2. A gömb felszíne: A 4 R 2 ,
  3. A gömb főkörének kerülete: C 2 R .

Tegyük fel, hogy X sűrűségfüggvénye f x 1 x 1 x ,  0 x 1 . Ezt a speciális béta eloszlást arcus szinusz eloszlásnak is nevezik.

  1. Határozzuk meg X várható értékét.
  2. Határozzuk meg X móduszát.
  3. Rajzoljuk le f gráfját, és jelöljük be az x -tengelyen a várható érték, a módusz és a medián helyét.

Pareto eloszlás

A Pareto eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás, melynek sűrűségfüggvénye:

f x a x a 1 ,  x 1 ,

ahol a 0 paraméter. Az eloszlás Vilfredo Pareto-ról kapta a nevét. Ez egy lassan lecsengő eloszlás, melyet gyakran alkalmaznak különböző pénzügyi mennyiségek (pl. bevétel) modellezésére. A Pareto eloszlást részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben tárgyaljuk.

Tegyük fel, hogy X Pareto eloszlású a paraméterrel. Igazoljuk, hogy

X a 0 1 a a 1 a 1 .

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk ki a Pareto eloszlást. A következő a paraméterértékekre szimuláljunk 1000 kísérletet. Figyeljük meg az empirikus várható érték viselkedését.

  1. a 1
  2. a 2
  3. a 3

Cauchy eloszlás

A Cauchy eloszlás sűrűségfüggvénye:

f x 1 1 x 2 ,  x .

Nevét Augustin Cauchy-ról kapta. Ez az eloszlás tagja a Student t eloszláscsaládnak. A t eloszlásokról részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben olvashatunk.

Tegyük fel, hogy X Cauchy eloszlású.

  1. Rajzoljuk le f gráfját.
  2. Igazoljuk, hogy X nem létezik.
  3. Lássuk be, hogy X mediánja 0.
  4. Igazoljuk, hogy X módusza 0.

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk ki a Student féle t eloszlást. Állítsuk be az n 1 paraméterértéket, így megkapjuk a Cauchy eloszlást. Szimuláljunk 1000 kísérletet és figyeljük meg az empirikus várható érték viselkedését.

Normális eloszlás

A standard normális eloszlás egy folytonos eloszlás, melynek sűrűségfüggvénye: φ z 1 2 12 z 2 ,  z . A Normális eloszlás rendkívül széles körben alkalmazható, például hibával terhelt mérési eredmények modellezésére. Részletes tárgyalása a Nevezetes eloszlások fejezetben található.

Tegyük fel, hogy Z standard normális eloszlású.

  1. Rajzoljuk le φ gráfját.
  2. Igazoljuk, hogy Z 0 .
  3. Lássuk be, hogy Z módusza 0.
  4. Lássuk be, hogy Z mediánja 0.

Legyen ismét Z standard normális eloszlású, és μ , σ 0 . Ekkor X μ σ Z normális eloszlású μ hely- és σ skála-paraméterekkel . Igazoljuk, hogy X μ , azaz a hely-paraméter épp a várható érték.

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk ki a normális eloszlást. Változtassuk a paramétereket, és figyeljük meg, hogyan változik a várható érték. Néhány paraméter esetén szimuláljunk 1000 kísérletet, és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus várható érték a valódi várható értékhez.

További feladatok

Tegyük fel, hogy az X Y valószínűségi változó pár együttes sűrűségfüggvénye f x y x y ,  0 x 1 ,  0 y 1 . Határozzuk meg a következő várható értékeket:

  1. X ,
  2. X 2 Y ,
  3. X 2 Y 2 ,
  4. X Y Y X .

Tegyük fel, hogy X és Y valós értékű valószínűségi változók, továbbá X 5 és Y 2 . Határozzuk meg 3 X 4 Y 7 értékét.

Tegyük fel, hogy X és Y valós értékű, független valószínűségi változók, X 5 és Y 2 . Határozzuk meg 3 X 4 2 Y 7 értékét.

5 vadász áll lesben, amikor elrepül előttük 10 kacsa. Mindegyik vadász véletlenszerűen kiválaszt egy kacsát és lelövi (a vadászok jól céloznak, mindannyian eltalálják a kiválasztott kacsát). Határozzuk meg a lelőtt kacsák számának várható értékét! Segítség: a lelőtt kacsák számát írjuk fel indikátor valószínűségi változók összegeként.

A kacsák-vadászok problémakör részletes vizsgálata a Különböző mintaelemek száma részben található a Véges mintavételezési modellek fejezetben.

További tulajdonságok

Nemnegatív változókra vonatkozó eredmények

Igazoljuk a Markov egyenlőtlenséget (nevét Andrei Markov-ról kapta): Ha X nemnegatív valószínűségi változó, akkor tetszőleges t 0 esetén

X t X t .
  1. Jelölje I t az X t esemény indikátorát. Lássuk be, hogy t I t X .
  2. Vegyünk várható értéket az (a) feladatban kapott egyenlőtlenségben.

Legyen X diszkrét, vagy folytonos eloszlású nemnegatív valószínűségi változó. Igazoljuk, hogy

X x 0 X x .

Segítség: A fenti képletben szereplő X x tagot fejezzük ki az X változó súly-, vagy sűrűségfüggvényével (diszkrét esetben egy összeget, folytonos esetben egy integrált kapunk). Ezután cseréljük fel a két integrálás (illetve az integrálás és az összegzés) sorrendjét.

Az 52. feladat eredményét használva igazoljuk a változócserére vonatkozó tételt arra az esetre, amikor X folytonos eloszlású az S n halmazon, sűrűségfüggvénye f , és r egy nemnegatív, S -en értelmezett függvény.

A következő eredmény hasonló az 52. feladatban bizonyítotthoz, azonban csak nemnegatív egész értékű valószínűségi változókra vonatkozik:

Tegyük fel, hogy N egy -értékű diszkrét valószínűségi változó. Igazoljuk, hogy

N n 0 N n n 1 N n .

Segítség: az első egyenlőséghez írjuk fel a N n valószínűséget összeg alakban N súlyfüggvényének segítségével, majd cseréljük fel a két összegzést. A második egyenlőség egy változócserével adódik.

A várható érték általános definíciója

Az 52. feladat segítségével egységesen definiálható a várható érték a diszkrét, folytonos és vegyes eloszlások esetére. Sőt, igazából a sűrűségfüggvény létezését sem kell feltennünk. Tekintsük az 52. feladat formuláját az X valószínűségi változó várható értékét definiáló kifejezésnek abban az esetben, ha X nemnegatív. Ezután x -nek definiáljuk a pozitív és negatív részét a következő képletekkel:

x x 0 ,  x 0 x .

Igazoljuk, hogy

  1. x 0 ,  x 0 ,
  2. x x x ,
  3. x x x .

Legyen X valós értékű valószínűségi változó. Ekkor X és X (azaz X pozitív és negatív részei) nemnegatív valószínűségi változók. Így, feltéve, hogy X vagy X , definiálhatjuk a várható értéket a következő módon:

X X X .

Ezzel a definícióval a korábbi definíciót, mint tételt be lehet bizonyítani. Lényegében ez az 52. feladat megoldása lenne, azzal a különbséggel, hogy a feladatban a feltétel és az állítás szerepét felcserélnénk.

Most már bebizonyíthatjuk a változócserére vonatkozó tételt, ha X folytonos eloszlású az S n halmazon f sűrűségfüggvénnyel, valamint r egy S -en értelmezett valós értékű függvény. Segítség: bontsuk fel r -et pozitív és negatív részre, majd alkalmazzuk az 53. feladat eredményét.

Jensen egyenlőtlenség

A következő néhány feladatban egy fontos összefüggést, a Jensen egyenlőtlenséget bizonyítjuk (nevét Johan Jensen-ről kapta). Szükségünk lesz a következő definícióra. Egy valós értékű g függvényt, mely egy S intervallumon van értelmezve, S -en konvexnek nevezünk, ha minden t S esetén találhatók a és b számok (melyek természetesen függhetnek t -től), hogy

a t b g t  és  a x b g x  amint   x S .

A T x a x b egyenest a t pontbeli támaszegyenesnek nevezzük. Tehát egy konvex függvénynek az értelmezési tartomány minden pontjában van legalább egy támaszegyenese.

A convex function

Egy közismert tétel az analízisből: ha g kétszer folytonosan differenciálható, és a második deriváltja S -en nemnegatív, akkor g konvex az S halmazon. (Hiszen a t pontbeli érintő támaszegyenes is egyben t -ben minden t S -re.)

Igazoljuk a Jensen egyenlőtlenséget: Legyen X egy S értékű valószínűségi változó ( S egy intervallum). Legyen továbbá g az S -en konvex függvény. Ekkor

g X g X .

Segítség: A konvexitás definíciójában válasszunk t X -et, és cseréljük x -et X -re. Ezután vegyünk várható értéket.

Nézzük meg, hogyan általánosítható a Jensen egyenlőtlenség magas dimenziós esetekre. A két dimenziós változata különösen fontos, hiszen ebből fogunk néhány egyenlőtlenséget levezetni a következő fejezetben. Egy S n halmazt konvexnek nevezünk, ha minden S -beli pontpárra az őket összekötő szakasz is S -ben van:

A convex set

Egy S -en értelmezett valós értékű g függvényt konvexnek nevezünk, ha minden t S esetén található a n és b (amik természetesen függhetnek t -től), hogy

a t b g t  és   a x b g x  amint   x S .

2 esetén T x a x b gráfját a t pontbeli támaszsíknak nevezzük. Analízisbeli tétel, hogy ha g kétszer folytonosan differenciálható, és a második derivált mátrixa pozitív szemidefinit S -en, akkor g konvex.

Tegyük fel, hogy az X X 1 X 2 X n függvény értékkészlete az S n halmaz. Legyen X X 1 X 2 X n . Igazoljuk a Jensen egyenlőtlenséget: ha S konvex és g valós értékű, konvex függvény S -en, akkor

g X g X .

Segítség: A konvexitás definíciójában legyen t X és x X . Vegyünk várható értéket az egyenlőtlenség mindkét oldalán. A véletlen vektorok és mátrixok várható értékét részletesen a következő fejezetben tárgyaljuk.

Mind az egy, mind az n -dimenziós esetben tekinthetünk konkáv g függvényt. Ekkor a definícióban és a Jensen egyenlőtlenségben is megfordul a relációs jel.

Feladatok

Tegyük fel, hogy X sűrűségfüggvénye f x r r x ,  x 0 , ahol r 0 , azaz X exponenciális eloszlású r rátával.

  1. Ellenőrizzük, hogy X 1 r az 52. feladatban szereplő formula segítségével.
  2. Számoljuk ki a Markov egyenlőtlenségben szereplő kifejezések értékét.

Tegyük fel, hogy W súlyfüggvénye g n p 1 p n 1 ,  n , ahol p 0 1 , azaz W geometriai eloszlású, és a siker valószínűsége p . Ez a valószínűségi változó egy Bernoulli kísérletsorozatban az első sikeres kísérlet sorszámát adja meg.

  1. Ellenőrizzük, hogy W 1 p az 54. feladatban szereplő formula segítségével.
  2. Számoljuk ki a Markov egyenlőtlenségben szereplő kifejezések értékét.
  3. Határozzuk meg a következő várható értéket: W W  páros .

Tegyük fel, hogy X sűrűségfüggvénye f x a x a 1 ,  x 1 , ahol a 1 , azaz X Pareto eloszlású a paraméterrel.

  1. Határozzuk meg X -et az 52. feladatban szereplő formula segítségével.
  2. Számítsuk ki 1 X -et.
  3. Igazoljuk, hogy g x 1 x konvex 0 -en.
  4. Hasonlítsuk össze (b)-t és (a) reciprokát, ezzel ellenőrizzük, hogy jelen esetben igaz a Jensen egyenlőtlenség.

Tegyük fel, hogy X Y sűrűségfüggvénye f x y 2 x y ,  0 x y 1 .

  1. Igazoljuk, hogy g x y x 2 y 2 konvex f értelmezési tartományán.
  2. Számítsuk ki X 2 Y 2 értékét.
  3. Számítsuk ki X 2 Y 2 értékét.
  4. Ellenőrizzük a Jensen egyenlőtlenség helyességét ebben az esetben a (b) és a (c) feladatok eredményeinek összevetésével.

Legyen x 1 x 2 x n pozitív számok halmaza. Igazoljuk, hogy a számtani közép nem kisebb a geometriai középnél:

x 1 x 2 x n 1 n 1 n x 1 x 2 x n .

Segítség: Legyen X egyenletes eloszlású az x 1 x 2 x n halmazon, és alkalmazzuk a Jensen egyenlőtlenséget a g x x függvényre.