]> Hipotézisvizsgálat a Bernoulli modellben
  1. Virtual Laboratories
  2. 8. Hipotézisvizsgálat
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7

3. Hipotézisvizsgálat a Bernoulli modellben

Bevezetés

Tegyük fel, hogy X X 1 X 2 X n egy véletlen minta az ismeretlen p 0 1 sikerparaméterű Bernoulli eloszlásból. Így ezek független valószínűségi változók, amik az 1 illetve a 0 értékeket veszik fel p illetve 1 p valószínűséggel. Ez a modell rendszerint a következő környezetek valamelyikében lép fel:

  1. Van egy alapkísérletbeli esemény, ismeretlen p valószínűséggel. Megismételjük a kísérletet n alkalommal és legyen X i 1 akkor és csak akkor, ha az esemény bekövetkezett az i -edik futásnál.
  2. Van néhány különböző objektumból álló sokaságunk; p a minket érdeklő objektumok ismeretlen aránya. Kiválasztunk véletlenszerűen n objektumot a sokaságból, és legyen X i 1 akkor és csak akkor, ha az i -edik objektum minket érdeklő. Amikor a mintavételezés visszatevéses, ezek a változók Bernoulli eloszlásból származó véletlen mintát alkotnak. Amikor a mintavételezés visszatevés nélküli, a változók függőek, de a Bernoulli modell még közelítőleg érvényes. További információkért erről, lásd visszatevéses és visszatevés nélküli mintavételezés-t a Véges mintavételezési modellek fejezetben.

Ebben a részben a p paraméterre fogunk próbát készíteni. A p -re vonatkozó paramétertér a 0 1 intervallum, és az összes hipotézis ennek a térnek a részhalmazait definiálja. Ez a rész párhuzamos a Becslés a Bernoulli modellben résszel az Intervallumbecslés fejezetben.

p próbái

A binomiális próba

Idézzük fel, hogy a sikerek száma

Y i 1 n X i

binomiális eloszlású n és p paraméterrel, Y n p várható értékkel és Y n p 1 p szórásnégyzettel. Továbbá idézzük fel, hogy Y elégséges p -re. α 0 1 esetén jelölje b n p α az n és p paraméterű binomiális eloszlás α rendű kvantilisét. Mivel a binomiális eloszlás diszkrét, csak bizonyos (pontos) kvantilisek lehetségesek.

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és r 0 1 esetén a következő próbák szignifikancia szintje α :

  1. Elutasítjuk a p p 0 versus p p 0 hipotézist akkor és csak akkor, ha Y b n p 0 α r α vagy Y b n p 0 1 r α
  2. Elutasítjuk a p p 0 versus μ p 0 hipotézist akkor és csak akkor, ha Y b n p 0 α
  3. Elutasítjuk a p p 0 versus p p 0 hipotézist akkor és csak akkor, ha Y b n p 0 1 α

Szokás szerint az (a) részbeli kétoldali próbák közül a torzítatlan próba ( r 12 ) a leggyakrabban használt:

Elutasítjuk a p p 0 versus p p 0 hipotézist akkor és csak akkor, ha Y b n p 0 α 2 vagy Y b n p 0 1 α 2 .

Egy közelítő normál próba

Amikor n nagy, Y eloszlása közelítőleg normális a centrális határeloszlás tétel szerint. Így egy közelítő normál próba konstruálható a

Z p 0 Y n p 0 n p 0 1 p 0

próbafüggvény felhasználásával.

Jegyezzük meg, hogy Z p 0 az Y standardizáltja, ha p p 0 . Szokás szerint α 0 1 esetén jelölje z α a standard normális eloszlás α rendű kvantilisét. α kiválasztott értékeire z α megkapható a t eloszlás táblázat utolsó sorából, a standard normális eloszlás táblázatból, a kvantilis appletből, vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból. Szimmetria okok miatt z 1 α z α

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és r 0 1 esetén a következő próbák szignifikancia szintje α :

  1. Elutasítjuk a p p 0 versus p p 0 hipotézist akkor és csak akkor, ha Z p 0 z α r α vagy Z p 0 z 1 r α
  2. Elutasítjuk a p p 0 versus p p 0 hipotézist akkor és csak akkor, ha Z p 0 z α
  3. Elutasítjuk a p p 0 versus p p 0 hipotézist akkor és csak akkor, ha Z p 0 z 1 α

Szokás szerint az (a) részbeli kétoldali próbák közül a torzítatlan próba ( r 12 ) a leggyakrabban használt:

Elutasítjuk a p p 0 versus p p 0 hipotézist akkor és csak akkor, ha Z p 0 z α 2 vagy Z p 0 z 1 α 2

Szimulációs gyakorlatok

Az arány próba kísérletben legyen p p 0 , és legyen a mintanagyság 10, a szignifikancia szint 0,1 és p 0 0,5 ! Minden p 0,1 0,2 0,9 esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, és jegyezzük fel a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát! Ábrázoljuk a tapasztalati erőfüggvényt!

Az arány próba kísérletben ismételjük meg az előző gyakorlatot 20-as mintanagysággal!

Az arány próba kísérletben legyen p p 0 , és legyen a mintanagyság 15, a szignifikancia szint 0,05 és p 0 0,3 ! Minden p 0,1 0,2 0,9 esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, és jegyezzük fel a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát! Ábrázoljuk a tapasztalati erőfüggvényt!

Az arány próba kísérletben ismételjük meg az előző gyakorlatot 30-as mintanagysággal!

A arány próba kísérletben legyen p p 0 , és legyen a mintanagyság 20, a szignifikancia szint 0,01 és p 0 0,6 ! Minden p 0,1 0,2 0,9 esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, és jegyezzük fel a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát! Ábrázoljuk a tapasztalati erőfüggvényt!

Az arány próba kísérletben ismételjük meg az előző gyakorlatot 50-es mintnagysággal!

Számítási feladatok

Egy bizonyos körzetben 1000 regisztrált szavazó közül 427 preferálta az X jelöltet. Elégséges-e a bizonyíték arra, hogy 0,1 szinten a regisztrált szavazók több, mint 40%-a preferálja X-et?

Egy pénzérmét feldobtunk 500-szor és 302 fej lett. Teszteljük le, hogy 0,05 szinten az érme szabálytalan!

Egy gyártósornál 400 memória chipet teszteltek és 32 hibás volt. Teszteljük le 0,05 szinten, hogy a hibás chipek aránya kisebb, mint 0,1!

50 pácienst egy új gyógyszerrel kezeltek, és 42 esetben hatásos volt a kezelés. Teszteljük le 0,1 szinten, hogy az új gyógyszer sikeraránya nagyobb, mint 0,8!

Az M&M adatok felhasználásával teszteljük a következő alternatív hipotéziseket 0,1 szignifikancia szinten:

  1. a piros M&M-ek aránya különbözik 16 -tól!
  2. a zöld M&M-ek aránya kisebb, mint 16 !
  3. a sárga M&M-ek aránya nagyobb, mint 16 !

Az előjelpróba

Tegyük fel, hogy van egy alap véletlen kísérletünk egy U valós értékű valószínűségi változóval. Feltételezzük, hogy X folytonos eloszlású valamilyen intervallumán. Legyen p 0 1 , és jelölje m az U eloszlásának p -ed rendű kvantilisét. Így definíció szerint:

p P U m

Tegyük fel, hogy m ismeretlen, és hogy m -re akarunk próbát készíteni. Egy adott m 0 próbaértékre legyen

p 0 P U m 0

Mutassuk meg, hogy

  1. m m 0 akkor és csak akkor, ha p p 0 !
  2. m m 0 akkor és csak akkor, ha p p 0 !
  3. m m 0 akkor és csak akkor, ha p p 0 !

Szokás szerint megismételjük az alapkísérletet n alkalommal, hogy generáljunk egy U U 1 U 2 U n n elemű véletlen mintát U eloszlásából. Legyen X i az U i m esemény indikátorváltozója i 1 2 n -re.

Mutassuk meg, hogy X X 1 X 2 X n egy n elemű, p paraméterű Bernoulli eloszlású véletlen minta!

A 14. és a 15. feladat alapján az m ismeretlen kvantilisre vonatkozó próbák átalakíthatók a p Bernoulli paraméter próbáivá, és így az előző alfejezetben kifejlesztett próbák használhatók. Ezt az eljárást előjelpróbának hívjuk, mivel lényegében csak U i m 0 előjelét kell feljegyezni minden i -re. Ez az eljárás példa egy nemparaméteres próbára is, mivel U eloszlásáról nem tételeztünk fel semmit (a folytonosságon kívül). Speciálisan, nem kellett feltételezni, hogy U eloszlása egy speciális paraméteres családhoz tartozik.

Az előjelpróba legfontosabb speciális esete az az eset, amikor p 0 12 ; ez a medián előjelpróbája. Ha U eloszlása szimmetrikus, akkor a medián és a várható érték egybeesik. Ebben az esetben a medián előjelpróbája a várható értéket is teszteli.

Szimulációs gyakorlatok

Az előjelpróba kísérletben legyen a minta eloszlás normális 0 várható értékkel és 2 szórással. Legyen a mintanagyság 10 és a szignifikancia szint 0,1. m 0 mind a kilenc értékére futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal!

  1. Amikor m m 0 , adjuk meg a próba szignifikancia szintjének tapasztalati becslését, és hasonlítsuk össze 0,1-del!
  2. Egyéb esetekben adjuk meg a próba erejének tapasztalati becslését!

Az előjelpróba kísérletben legyen a mintaeloszlás egyenletes eloszlás a 0 5 intervallumon! Állítsuk be a mintanagyságot 20-ra és a szignifikancia szintet 0,05-re! m 0 mind a kilenc értékére futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal!

  1. Amikor m m 0 , adjuk meg a próba szignifikancia szintjének tapasztalati becslését, és hasonlítsuk össze 0,05-dal!
  2. Egyéb esetekben adjuk meg a próba erejének tapasztalati becslését!

Az előjelpróba kísérletben legyen a mintaeloszlás gamma eloszlás 2 alakparaméterrel és 1 skálaparaméterrel! Legyen a mintanagyság 30 és a szignifikancia szint 0,025! m 0 mind a kilenc értékére futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal!

  1. Amikor m m 0 , adjuk meg a próba szignifikancia szintjének tapasztalati becslését, és hasonlítsuk össze 0,025-del!
  2. Egyéb esetekben adjuk meg a próba erejének tapasztalati becslését!

Számítási feladatok

Felhasználva az M&M adatokat, teszteljük, hogy a medián tömeg meghaladja-e a 47,9 grammot 0,1 szinten!

Felhasználva a Fisher írisz adatokat, hajtsuk végre a következő próbákat 0,1 szinten!

  1. A Setosa íriszek sziromhosszának mediánja különbözik 15 mm-től.
  2. A Verginica íriszek sziromhosszának mediánja kisebb, mint 52 mm.
  3. A Versicolor íriszek sziromhosszának mediánja kisebb, mint 42 mm.