]> Hipotézisvizsgálat a kétmintás normál modellben
  1. Virtual Laboratories
  2. 8. Hipotézisvizsgálat
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7

4. Hipotézisvizsgálat a kétmintás normál modellben

Bevezetés

Ebben az alfejezetben a kétmintás normál modellben és a kétváltozós normál modellben fogjuk a hipotézisvizsgálatot tanulmányozni. Ez az alfejezet megfelel a Becslés a kétmintás normál modellben alfejezetnek az Intervallumbecslés fejezetben.

A kétmintás normál modell

Tegyük fel, hogy X X 1 X 2 X m egy m elemű véletlen minta a normális eloszlásból μ várható értékkel és σ szórással, és hogy Y Y 1 Y 2 Y n egy n elemű véletlen minta a normális eloszlásból ν várható értékkel és τ szórással. Továbbá tegyük fel, hogy az X és Y minták függetlenek.

Ez a szituáció gyakran fellép, amikor a valószínűségi változók a populáció objektumainak minket érdeklő mérőszámait reprezentálják, és a mintákat két különböző eljárásnak vetettük alá. Például páciensek egy csoportjának a vérnyomása érdekel minket. Az X vektor a kontrolcsoport vérnyomásadatait tartalmazza, míg az Y vektor azok vérnyomásadatait tartalmazza, akik egy új gyógyszert kapnak. Hasonlóan, a kukorica hozama érdekel minket. Az X vektor tartalmazza a hozamadatokat, ahol a minta az egyik féle műtrágyát kapta, míg az Y vektor egy más műtrágyát kapott minta adatait tartalmazza.

Rendszerint a két mintaeloszlás paramétereinek (az átlagok vagy a szórások) összehasonlítása a célunk. Ebben az alfejezetben próbákat fogunk konstruálni a szórásnégyzetek hányadosára és az átlagok különbségére. Ahogy a korábban tanulmányozott becslési problémák esetén is, az eljárás változik attól függően, hogy mely paraméterek ismertek vagy ismeretlenek. Az eddigieknek megfelelően a próbák konstruálásában kulcselemek a mintaközép és a minta szórásnégyzet és ezen statisztikák speciális tulajdonságai, mikor a mintavételezett eloszlás normális.

Jelölések

A következő jelöléseket fogjuk használni egy U U 1 U 2 U k általános minta esetén; a pedig egy valós szám:

M U 1 k i 1 k U i ,  W 2 U a 1 k i 1 k U i a 2 ,  S 2 U 1 k 1 i 1 k U i M U 2

A szórásnégyzetek hányadosának próbái

Próbák ismert várható értékek esetén

Először a szórásnégyzetek hányadosára, τ 2 σ 2 -re vonatkozó próbákat vizsgálunk azon feltételezés mellett, hogy a μ és ν várható értékek ismertek. Természetesen általában ez egy nem valószerű feltételezés, de jó kiindulási pont, mivel a vizsgálat elég egyszerű. Az alap próbafüggvényünk:

F X Y ρ W 2 X μ W 2 Y ν ρ

ahol ρ a szórásnégyzetek hányadosának a sejtett értéke.

Mutassuk meg, hogy F X Y τ 2 σ 2 F eloszlású m szabadságfokkal a számlálóban és n szabadságfokkal a nevezőben!

Most p 0 1 és m 0 és n 0 , jelölje f m n p a p -ed rendű kvantilist az F eloszlásra m szabadságfokkal a számlálóban és n szabadságfokkal a nevezőben. m , n és p kiválasztott értékeire f m n p kiszámítható a kvantilis applettel vagy megkapható a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból.

Mutassuk meg, hogy a következő próbák szignifikancia szintje α:

  1. Elutasítjuk τ 2 σ 2 ρ versus τ 2 σ 2 ρ -t akkor és csak akkor, ha F X Y ρ f m n 1 α 2 vagy F X Y ρ f m n α 2
  2. Elutasítjuk τ 2 σ 2 ρ versus τ 2 σ 2 ρ -t akkor és csak akkor, ha F X Y ρ f m n α
  3. Elutasítjuk τ 2 σ 2 ρ versus τ 2 σ 2 ρ -t akkor és csak akkor, ha F X Y ρ f m n 1 α

A 2. feladatban szereplő próbák mindegyike esetén mutassuk meg, hogy -t α szignifikancia szinten akkor és csak akkor fogadjuk el, ha ρ 0 a kapcsolódó 1 α szintű konfidencia intervallumba esik!

Próbák ismeretlen várható értékek esetén

A következőkben a szórásnégyzetek hányadosára, τ 2 σ 2 -re vonatkozó próbákat vizsgálunk azon valószerűbb feltevés mellett, hogy a μ és ν várható értékek ismeretlenek. Ebben az esetben a próbafüggvényünk

F X Y ρ S 2 X S 2 Y ρ

ahol ρ a szórásnégyzetek hányadosának a sejtett értéke.

Mutassuk meg, hogy F X Y τ 2 σ 2 F eloszlású m 1 szabadságfokkal a számlálóban és n 1 szabadságfokkal a nevezőben!

Mutassuk meg, hogy a következő próbák szignifikancia szintje α:

  1. Elutasítjuk τ 2 σ 2 ρ versus τ 2 σ 2 ρ -t akkor és csak akkor, ha F X Y ρ f m 1 n 1 1 α 2 vagy F X Y ρ f m 1 n 1 α 2
  2. Elutasítjuk τ 2 σ 2 ρ versus τ 2 σ 2 ρ -t akkor és csak akkor, ha F X Y ρ f m 1 n 1 α
  3. Elutasítjuk τ 2 σ 2 ρ versus τ 2 σ 2 ρ -t akkor és csak akkor, ha F X Y ρ f m 1 n 1 1 α

Az 5. feladatban szereplő próbák mindegyike esetén mutassuk meg, hogy -t α szignifikancia szinten akkor és csak akkor fogadjuk el, ha ρ 0 a kapcsolódó 1 α szintű konfidencia intervallumba esik!

A várható értékek különbségének próbái

Próbák ismert szórásnégyzetek esetén

A következőkben a várható értékek különbségére, ν μ -re vonatkozó próbákat vizsgálunk azon feltételezés mellett, hogy a σ és τ szórások ismertek. Ez újfent nem valószerű feltételezés, de jó kiindulópont, mivel a vizsgálat elég egyszerű. Az alap próbafüggvényünk:

Z X Y δ M Y M X δ σ 2 m τ 2 n

ahol δ a várható értékek különbségének sejtett értéke.

Mutassuk meg, hogy Z X Y δ normális eloszlású ν μ δ várható értékkel és 1 szórásnégyzettel!

Szokás szerint p 0 1 esetén jelölje z p a standard normális eloszlás p -ed rendű kvantilisét. p kiválasztott értékeire z p megkapható a t eloszlás táblázat utolsó sorából, a standard normális eloszlás táblázatból, a kvantilis appletből vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból. Szimmetria okok miatt z 1 p z p .

Mutassuk meg, hogy a következő próbák szignifikancia szintje α :

  1. Elutasítjuk ν μ δ versus ν μ δ -t akkor és csak akkor, ha Z X Y δ z α 2 vagy Z X Y δ z 1 α 2
  2. Elutasítjuk ν μ δ versus ν μ δ -t akkor és csak akkor, ha Z X Y δ z α
  3. Elutasítjuk ν μ δ versus ν μ δ -t akkor és csak akkor, ha Z X Y δ z 1 α

A 8. feladatban szereplő próbák mindegyikére mutassuk meg, hogy -t α szignifikancia szinten akkor és csak akkor fogadjuk el, ha δ a kapcsolódó 1 α szintű konfidencia intervallumba esik!

Próbák ismeretlen szórásnégyzet esetén

Végül a várható értékek különbségére, ν μ -re vonatkozó próbákat vizsgálunk azon reálisabb feltételezés mellett, hogy a σ és τ szórások ismeretlenek. Ebben az esetben nehezebb megfelelő próbafüggvényt találni, de elvégezhetjük az elemzést abban a speciális esetben, mikor a szórások megegyeznek. Így feltételezzük, hogy σ τ , és a közös érték, σ , ismeretlen. Ez a feltételezés elfogadható, ha a mért változók olyan belső változékonysággal rendelkeznek, ami nem módosul akkor sem, ha különböző eljárásoknak vetjük alá a populáció objektumait. Idézzük fel, hogy a közös szórásnégyzet összesített becslése σ 2

S 2 X Y m 1 S 2 X n 1 S 2 Y m n 2

A próbafüggvényünk

T X Y δ M Y M X δ S X Y 1 m 1 n

Mutassuk meg, hogy T X Y ν μ t eloszlású m n 2 szabadságfokkal!

Szokás szerint k 0 és p 0 1 esetén jelölje t k p a p -ed rendű kvantilist a k szabadságfokú t eloszlásra. k és p kiválasztott értékeire t k p értékét megkaphatjuk a Student-féle t eloszlás táblázatból, a kvantilis appletből vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból. Szimmetria okok miatt t k 1 p t k p .

Mutassuk meg, hogy a következő próbák szignifikancia szintje α :

  1. Elutasítjuk ν μ δ versus ν μ δ -t akkor és csak akkor, ha T X Y δ t m n 2 α 2 vagy T X Y δ t m n 2 1 α 2
  2. Elutasítjuk ν μ δ versus ν μ δ -t akkor és csak akkor, ha T X Y δ t m n 2 α
  3. Elutasítjuk ν μ δ versus ν μ δ -t akkor és csak akkor, ha T X Y δ t m n 2 1 α

A 11. feladatban szereplő próbák mindegyikére mutassuk meg, hogy -t α szignifikancia szinten akkor és csak akkor fogadjuk el, ha δ 0 a kapcsolódó 1 α szintű konfidencia intervallumba esik!

Hipotézisvizsgálat a kétváltozós normál modellben

Ebben az alfejezetben olyan modellt vizsgálunk, ami látszólag hasonló a kétmintás normál modellhez, de valójában sokkal egyszerűbb. Tegyük fel, hogy

X 1 Y 1 X 2 Y 2 X n Y n

egy n elemű véletlen minta az X Y kétváltozós normális eloszlásból X μ , Y ν , X σ 2 , Y τ 2 , és X Y δ jellemzőkkel.

Így mintapár helyett páros minta áll rendelkezésünkre. Ez a típusú modell gyakran fellép előtte és utána kísérletekben, ahol egy populáció n objektumáról gyűjtünk adatokat egy eljárás előtt és után. Például n páciens vérnyomás adatait jegyezzük fel egy bizonyos gyógyszer használata előtt és után.

A szokásos jelöléseket fogjuk használni X X 1 X 2 X n és Y Y 1 Y 2 Y n mintaközepére és szórásnégyzetére. Emlékezzünk vissza, az X Y minta kovarianciája

S X Y 1 n 1 i 1 n X i M X Y i M Y

Mutassuk meg, hogy Y X Y 1 X 1 Y 2 X 2 Y n X n egy n elemű véletlen minta Y X eloszlásából, ami normális eloszlású a következő paraméterekkel:

  1. Y X ν μ
  2. Y X σ 2 τ 2 2 δ

Mutassuk meg, hogy

  1. M Y X M Y M X
  2. S 2 Y X S 2 X S 2 Y 2 S X Y

Az Y X különbségekből vett minta illeszkedik az egyváltozós normál modellhez. A Hipotézisvizsgálat a normál modellben részben leírtak felhasználhatók próbák végrehajtásához a ν μ σ 2 τ 2 2 δ paraméterekre.

Számítási feladatok

Egy új orvosságot fejlesztenek a vér bizonyos vegyi anyagának csökkentésére. Páciensek egy 36 fős mintája placebot kap, míg egy 49 fős minta a gyógyszert kapja. A statisztikák (mg-ban) a következők: m 1 87 , s 1 4 , m 2 63 , s 2 6 . Teszteljük a következőket 10%-os szignifikancia szinten:

  1. σ 1 σ 2 versus σ 1 σ 2 !
  2. μ 1 μ 2 versus μ 1 μ 2 (feltesszük, hogy σ 1 σ 2 )!
  3. (b)-t figyelembe véve hatásos-e a gyógyszer?

Egy cég azt állítja, hogy egy bizonyos növényi táplálékkiegészítő növeli az intelligenciát. Egy 25 főből álló minta standard IQ-tesztet végzett a kiegészítő használata előtt és után. A kísérlet előtti és utáni statisztikák m 1 105 , s 1 13 , m 2 110 , s 2 17 , s 1 2 190 . 10%-os szignifikancia szinten hihető-e a cég állítása?

A Fisher írisz adatok esetén vizsgáljuk a szirmok hosszát a Versicolor és Virginica mintákra. Teszteljük a következőket 10%-os szignifikancia szinten:

  1. σ 1 σ 2 versus σ 1 σ 2
  2. μ 1 μ 2 versus μ 1 μ 2 (feltételezve, hogy σ 1 σ 2 )

Egy üzem két gépe körkeresztmetszetű rudakat gyárt, melyek átmérője (cm-ben) kritikus. Az első gépről való 100 elemű mintára az átlag 10,3 és a szórás 1,2. A második gépről való 100 elemű mintára az átlag 9,8 és a szórás 1,6. Teszteljük a következő hipotéziseket 10%-os szinten!

  1. σ 1 σ 2 versus σ 1 σ 2 .
  2. μ 1 μ 2 versus μ 1 μ 2 (feltéve, hogy σ 1 σ 2 ).