]> Hipotézisvizsgálat a normál modellben
  1. Virtual Laboratories
  2. 8. Hipotézisvizsgálat
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7

2. Hipotézisvizsgálat a normál modellben

Bevezetés

A normál modell

Tegyük fel, hogy X X 1 X 2 X n egy n elemű véletlen minta a normális eloszlásból μ várható értékkel és σ 0 szórással. Általában mindkét paraméter ismeretlen, így a paramétertér 0 .

Ebben az alfejezetben μ -re és σ -ra vonatkozó próbákat fogunk konstruálni, amik a hipotézisvizsgálat legfontosabb esetei közé tartoznak. Különböző próbafüggvényeken alapuló próbákat fogunk kifejleszteni. Ezen próbák némelyike jobban teljesít, mint mások, attól függően, mely paraméterek ismertek. Ezen alfejezet párhuzamos az Intervallumbecslés fejezet Becslés a normál modellben alfejezetével, és speciálisan a dualitás a halmazbecslés és a hipotézisvizsgálat között fontos szerepet fog játszani.

Az alap próbafüggvények

Végső soron a próbafüggvényeink mindegyike létrehozható az alap próbafüggvényekből, amik az adatváltozóink standardizált változatai. a és b 0 esetén legyen:

Z i a b X i a b ,  i 1 2 n

Mutassuk meg, hogy Z a b Z 1 a b Z 2 a b Z n a b egy n elemű véletlen minta normális eloszlásból μ a b várható értékkel és σ b szórással!

Speciálisan Z μ σ egy véletlen minta a standard normális eloszlásból. Így elfogadhatónak tűnik, hogy a Z a b alapján létrehozott próbafüggvények hasznosak lehetnek a -ra illetve b -re - mint μ illetve σ előzetes értékeire - vonatkozó próbákhoz.

Normál statisztikán alapuló próbák

A próbafüggvény

Idézzük fel, hogy az adatvektorunk mintaátlaga

M 1 n i 1 n X i

Az első próbafüggvényünk a mintaátlag lineáris transzformációja. a és b 0 esetén legyen:

Z a b M a b n

Mutassuk meg, hogy Z a b normális eloszlású μ a b n várható értékkel és σ b szórással!

Speciálisan a Z μ σ valószínűségi változó az M standardizáltja és standard normális eloszlású; ez a változó volt az egyik pivot változó, amit a konfidencia halmazok a normál modellben konstruálásához használtunk.

Mutassuk meg, hogy a 2. feladatban szereplő próbafüggvény felírható az 1. feladatban szereplő alap próbafüggvények segítségével a következőképpen:

Z a b 1 n i 1 n Z i a b

Szokás szerint jelölje φ a standard normális sűrűségfüggvényt és Φ a standard normális eloszlásfüggvényt. p 0 1 esetén jelölje z p a standard normális eloszlás p -ed rendű kvantilisét. Azaz z p Φ p . p kiválasztott értékeire z p megkapható a Student-féle t eloszlás táblázat utolsó sorából, a standard normális eloszlás táblázatából, a kvantilis appletből vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból.

Mutassuk meg vagy idézzük fel a következő tulajdonságokat! A (d) rész az analízis inverzfüggvény tételéből következik (inverz függvény deriválása).

  1. z p z 1 p
  2. z p , ha p 0
  3. z p , ha p 1
  4. z p 1 φ z p

Hipotézis próbák

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és p 0 1 esetén a következő próba szignifikancia szintje α ! Elutasítjuk μ σ μ 0 σ 0 versus μ σ μ 0 σ 0 -t akkor és csak akkor, ha Z μ 0 σ 0 z α p α  vagy  Z μ 0 σ 0 z 1 p α . Ekvivalensen: elfogadjuk -t akkor és csak akkor, ha

M z 1 p α σ 0 n μ 0 M z α p α σ 0 n
Confidence set

Jegyezzük meg, hogy az 5. feladatban szereplő próba a Becslés a normál modellben alfejezetben, a Z μ σ pivot változóval konstruált konfidencia halmaz duálisa. Azaz a μ 0 σ 0 -ok halmaza, amire elfogadjuk -t α szinten, pontosan megegyezik a μ σ -ra vonatkozó 1 α szintű konfidencia halmazzal. Ez a halmaz látható a fenti ábrán. Megjegyezzük, hogy p az α szignifikancia szint aránya a pivot változó eloszlásának jobb farkában; 1 p az α aránya a bal farokban. Az egyenlő-farkú eset, amikor p 12 , a legáltalánosabban használt; ezt a próbát hívjuk torzítatlannak.

Világos, hogy egy két valós paraméterre vonatkozó próba, ami egy valós értékű próbafüggvényen alapul, nem lehet nagyon jó. Az alfejezet hátralévő részében feltesszük, hogy σ ismert. Ez gyakran, bár nem mindig, mesterséges feltételezés; lásd a 43. feladatot, ami példa arra, hogy ez a feltételezés elfogadható lehet. Ha σ ismert, az alap próbafüggvényünket a következőképpen írjuk fel: Z μ 0 Z μ 0 σ .

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és p 0 1 esetén a következő próba szignifikancia szintje α :

  1. Elutasítjuk μ μ 0 versus μ μ 0 -t akkor és csak akkor, ha Z μ 0 z α p α vagy Z μ 0 z 1 p α
  2. Elutasítjuk μ μ 0 versus μ μ 0 -t akkor és csak akkor, ha Z μ 0 z α z 1 α
  3. Elutasítjuk μ μ 0 versus μ μ 0 -t akkor és csak akkor, ha Z μ 0 z 1 α

Az (a) részben a torzítatlan próba - p 12 - a leggyakrabban használt: Elutasítjuk μ μ 0 versus μ μ 0 -t akkor és csak akkor, ha Z μ 0 z 1 α 2 vagy Z μ 0 z 1 α 2

A 6. feladatban szereplő próbák esetén mutassuk meg, hogy elfogadjuk -t α szignifikancia szinten akkor és csak akkor, ha μ 0 beleesik a megfelelő 1 α szintű konfidencia intervallumba!

Erőfüggvények

Idézzük fel, hogy egy paraméterre vonatkozó próba erőfüggvénye a nullhipotézis elutasításának valószínűsége a paraméter valódi értékének a függvényében. A következő feladatok a 6. feladatban szereplő próbák erőfüggvényét vizsgálják.

Mutassuk meg, hogy a 6(a) feladatban szereplő próba erőfüggvényét a következő képlet adja meg, és kielégíti az alábbi tulajdonságokat:

Q μ Φ z α p α n σ μ μ 0 Φ n σ μ μ 0 z 1 p α
  1. Q csökkenő m 0 -on és növekvő m 0 -en, ahol m 0 μ 0 z α p α z 1 p α n 2 σ .
  2. Q μ 0 α .
  3. Q μ 1 , ha μ és Q μ 1 , ha μ .
  4. Ha p 12 , akkor Q szimmetrikus μ 0 -ra.
  5. Ahogy p növekszik, Q μ nő, ha μ μ 0 és csökken, ha μ μ 0

Mutassuk meg, hogy a 6(b) feladatban szereplő próba erőfüggvényét a következő képlet adja meg, és kielégíti az alábbi tulajdonságokat:

Q μ Φ z α n σ μ μ 0
  1. Q növekvő -en.
  2. Q μ 0 α .
  3. Q μ 1 , ha μ és Q μ 0 , ha μ

Mutassuk meg, hogy a 6(c) feladatban szereplő próba erőfüggvényét a következő képlet adja meg, és kielégíti az alábbi tulajdonságokat:

Q μ Φ z α n σ μ μ 0
  1. Q csökkenő -en.
  2. Q μ 0 α .
  3. Q μ 0 , ha μ és Q μ 1 , ha μ

Mutassuk meg, hogy a 6. feladatban szereplő három próba mindegyike az n mintanagyság növelésével vagy a σ szórás csökkentésével egyenletesen erősebb próbát eredményez!

Az átlag próba kísérletben válasszuk a normál próbafüggvényt és válasszunk normális mintaeloszlást σ 2 szórással, α 0,1 szignifikancia szintet, n 20 mintanagyságot és μ 0 0 -t! Futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal az eloszlás valódi μ várható értékének néhány értékére! μ minden értékére figyeljük meg a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát! Vázoljuk fel a tapasztalati erőfüggvényt!

Az átlag becslés kísérletben válasszuk a normál pivot változót és válasszunk normális eloszlást μ 0 várható értékkel és σ 2 szórással, 1 α 0,90 konfidencia szintet és n 10 mintanagyságot! Mindhárom konfidencia intervallum típusra futtassuk a kísérletet hússzor, minden futás után frissítve! Állítsuk fel a megfelelő hipotéziseket, és adjuk meg a szignifikancia szintet, és minden futás esetén adjuk meg a μ 0 -ra vonatkozó halmazt, amire a nullhipotézist el kellene utasítani!

A kísérlet megtervezése

Sok esetben az első lépés a kísérlet megtervezése úgy, hogy a szignifikancia szint α legyen, és úgy, hogy adott μ 1 alternatíva esetén a próba ereje egy adott β legyen.

A 6. feladatban szereplő bármelyik egyoldali próba esetén mutassuk meg, hogy α szignifikancia szintű és μ 1 alternatívára vonatkozó β erejű próbához szükséges n mintanagyság a következő:

n σ z β z α μ 1 μ 0 2

Útmutatás: Legyen az erőfüggvény egyenlő β -val, és oldjuk meg n -re az egyenletet!

A torzítatlan, kétoldali próba esetén mutassuk meg, hogy α szignifikancia szintű és μ 1 alternatívára vonatkozó β erejű próbához szükséges n közelítő mintanagyság a következő:

n σ z β z α 2 μ 1 μ 0 2

Útmutatás: A 8. feladatban szereplő, a kétoldali próbára vonatkozó erőfüggvény esetén hanyagoljuk el az első tagot, ha μ 1 μ 0 és hanyagoljuk el a második tagot, ha μ 1 μ 0 .

Khi-négyzet statisztikán alapuló próbák

Próbafüggvények

Ebben a részben a korrigált tapasztalati szórásnégyzethez kapcsolódó próbafüggvényeket fogunk használni. Először is idézzük fel, hogy a korrigált tapasztalati szórásnégyzet:

S 2 1 n 1 i 1 n X i M 2

Továbbá idézzük fel, hogy az egyik legfontosabb speciális tulajdonsága a normál mintáknak az, hogy az M mintaátlag és az S 2 korrigált tapasztalati szórásnégyzet függetlenek. a és b 0 esetén definiáljuk a következőket:

W 2 a 1 n i 1 n X i a 2 ,  U a b n b 2 W 2 a ,  V b n 1 b 2 S 2

Idézzük fel, hogy W 2 μ -t már használtuk, mint a tapasztalati szórásnégyzet speciális esetét, abban a valószínűtlen esetben, ha a μ várható érték ismert volt.

Mutassuk meg, hogy U a b az 1. feladatban szereplő alap próbafüggvények négyzetösszege:

U a b i 1 n Z i 2 a b

Mutassuk meg, hogy V b U a b Z 2 a b , ahol Z a b a 2. feladatban szereplő próbafüggvény! Így speciálisan ebből következik, hogy V b szintén felírható az 1. feladatban szereplő alap próbafüggvények segítségével.

Mutassuk meg, hogy

  1. U μ σ khi-négyzet eloszlású n szabadságfokkal!
  2. V σ khi-négyzet eloszlású n 1 szabadságfokkal!

A 18. feladatban szereplő változók voltak a pivot változók, amiket a konfidencia halmazok a normál modellben megkonstruálásához használtunk.

Jelölje g k illetve G k a k szabadságfokú khi-négyzet eloszlás sűrűség- illetve eloszlásfüggvényét. Továbbá p 0 1 esetén jelölje k p az eloszlás p -ed rendű kvantilisét; definíció szerint k p G k p . k és p kiválasztott értékeire k p megkapható a khi-négyzet eloszlás táblázatból, a kvantilis appletből vagy a legtöbb statisztikai programcsomagból.

Mutassuk meg vagy idézzük fel a következő tulajdonságokat! A (c) rész az analízis inverzfüggvény tételéből következik:

  1. k p 0 , ha p 0
  2. k p , ha p 1
  3. p k p 1 g k k p

Hipotézis próbák

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és p 0 1 esetén a következő próba szignifikancia szintje α : Elutasítjuk μ σ μ 0 σ 0 versus μ σ μ 0 σ 0 -t akkor és csak akkor, ha U μ 0 σ 0 n α p α vagy U μ 0 σ 0 n 1 p α . Ekvivalensen mutassuk meg, hogy elfogadjuk -t akkor és csak akkor, ha

n W 2 μ 0 n 1 p α σ 0 2 n W 2 μ 0 n α p α
Confidence set

Jegyezzük meg, hogy a 20. feladatban szereplő próba a Becslés a normál modellben alfejezetben, a U μ σ pivot változóval konstruált konfidencia halmaz duálisa. Azaz a μ 0 σ 0 -ok halmaza, amire elfogadjuk -t α szinten, pontosan megegyezik az 1 α szintű konfidencia halmazzal μ σ -ra. Ez a halmaz látható a fenti ábrán.

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és p 0 1 esetén a következő próba szignifikancia szintje α : Elutasítjuk μ σ μ 0 σ 0 versus μ σ μ 0 σ 0 -t akkor és csak akkor, ha V σ 0 n 1 α p α vagy V σ 0 n 1 1 p α . Ekvivalensen mutassuk meg, hogy elfogadjuk -t akkor és csak akkor, ha

n 1 S 2 n 1 1 p α σ 0 2 n 1 S 2 n 1 α p α
Confidence set

Jegyezzük meg, hogy a 21. feladatban szereplő próba a Becslés a normál modellben alfejezetben, a V σ pivot változóval konstruált konfidencia halmaz duálisa. Azaz a μ 0 σ 0 -ok halmaza, amire elfogadjuk -t α szinten, pontosan megegyezik az 1 α szintű konfidencia halmazzal μ σ -ra. Ez a halmaz látható a fenti ábrán.

Megjegyezzük, hogy mindkét próba esetén p az α szignifikancia szint aránya a pivot változó eloszlásának jobb farkában; 1 p az α aránya a bal farokban. Az egyenlő-farkú eset, amikor p 12 , a legáltalánosabban használt; ezt a próbát hívjuk torzítatlannak.

Világos, hogy egy két valós paraméterre vonatkozó próba, ami egy valós értékű próbafüggvényen alapul, nem lehet nagyon jó. Viszont mivel a V σ 0 próbafüggvény nem ad semmilyen információt μ -ről, természetes, hogy ezt csak σ -ra vonatkozó próbák esetén használjuk. Ha μ ismert lenne, használhatnánk az U σ 0 U μ σ 0 próbafüggvényt is. Ezen rész minden eredménye érvényes lenne n helyett n 1 -gyel. Viszont az, hogy a μ ismert, nagyon mesterséges feltételezés.

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és p 0 1 esetén a következő próba szignifikancia szintje α :

  1. Elutasítjuk σ σ 0 versus σ σ 0 -t akkor és csak akkor, ha V σ 0 n 1 α p α vagy V σ 0 n 1 1 p α
  2. Elutasítjuk σ σ 0 versus σ σ 0 -t akkor és csak akkor, ha V σ 0 n 1 α
  3. Elutasítjuk σ σ 0 versus σ σ 0 -t akkor és csak akkor, ha V σ 0 n 1 1 α

Az (a) részben a torzítatlan próba - p 12 - a leggyakrabban használt: Elutasítjuk σ σ 0 versus σ σ 0 -t akkor és csak akkor, ha V σ 0 n 1 α 2 vagy V σ 0 n 1 1 α 2

A 22. feladatban szereplő próbák esetén mutassuk meg, hogy elfogadjuk -t α szignifikancia szinten akkor és csak akkor, ha σ 0 beleesik a megfelelő 1 α szintű konfidencia intervallumba!

Erőfüggvények

Idézzük fel, hogy egy paraméterre vonatkozó próba erőfüggvénye a nullhipotézis elutasításának valószínűsége a paraméter valódi értékének a függvényében. A következő feladatok a 22. feladatban szereplő próbák erőfüggvényeit vizsgálják.

Mutassuk meg, hogy a 22(a) feladatban szereplő próba erőfüggvényét a következő képlet adja meg, és kielégíti az alábbi tulajdonságokat:

Q σ 1 G n 1 σ 0 2 σ 2 n 1 1 p α G n 1 σ 0 2 σ 2 n 1 α p α
  1. Q csökkenő σ 0 -on és növekvő σ 0 -en.
  2. Q σ 0 α .
  3. Q σ 1 , ha σ és Q σ 1 , ha σ 0

Mutassuk meg, hogy a 22(b) feladatban szereplő próba erőfüggvényét a következő képlet adja meg, és kielégíti az alábbi tulajdonságokat:

Q σ 1 G n 1 σ 0 2 σ 2 n 1 1 α
  1. Q növekvő 0 -en
  2. Q σ 0 α .
  3. Q σ 1 , ha σ és Q σ 0 , ha σ 0

Mutassuk meg, hogy a 22(c) feladatban szereplő próba erőfüggvényét a következő képlet adja meg, és kielégíti az alábbi tulajdonságokat:

Q σ G n 1 σ 0 2 σ 2 n 1 α
  1. Q csökkenő 0 -en
  2. Q σ 0 α .
  3. Q σ 0 , ha σ és Q σ 1 , ha σ 0

Mutassuk meg, hogy a 22. feladatban szereplő három próba mindegyike az n mintanagyság növelésével egyenletesen erősebb próbát eredményez!

A szórásnégyzet próba kísérletben válasszuk a normális eloszlást 0 várható értékkel, és válasszunk 0,1 szignifikancia szintet, 10-es mintanagyságot, és 1,0 teszt szórást! A valódi szórás különböző értékeire futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frisítési gyakorisággal! Jegyezzük fel a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát, és ábrázoljuk az empirikus erő görbét!

  1. Kétoldali próba
  2. Bal oldali próba
  3. Jobb oldali próba

A szórásnégyzet becslés kísérletben válasszuk a normális eloszlást 0 várható értékkel és 2 szórással, és válasszunk 0,90 konfidencia szintet és 10-es mintanagyságot! Futtassuk a kísérletet hússzor, minden futás után frissítve! Állítsuk fel a megfelelő hipotéziseket, és adjuk meg a szignifikancia szintet, és minden futásra adjuk meg a teszt szórások halmazát, amire a nullhipotézist el kellene utasítani!

  1. Kétoldali konfidencia intervallum
  2. Alsó konfidencia korlát
  3. Felső konfidencia korlát

Student-féle t statisztikán alapuló próbák

A próbafüggvény

Következő próbafüggvényünk μ jó próbáihoz vezet anélkül a feltételezés nélkül, hogy σ ismert. a -re definiáljuk:

T a M a S n

Mutassuk meg, hogy tetszőleges a és b 0 esetén:

T a Z a b V b n 1

Speciálisan ebből következik, hogy T a felírható az 1. feladatban szereplő alap próbafüggvények segítségével.

Mutassuk meg vagy idézzük fel, hogy T μ Student-féle t eloszlású n 1 szabadságfokkal!

Ez a változó volt az egyik pivot változó, amit felhasználtunk a Becslés a normál modellben alfejezetben. Amikor μ a , T a eloszlása mint nem-centrális t eloszlás ismert.

Szokás szerint k 0 esetén φ k illetve Φ k jelöli a k szabadságfokú t eloszlás sűrűség- illetve eloszlásfüggvényét. Továbbá p 0 1 esetén jelölje t k p ezen eloszlás p -ed rendű kvantilisét; azaz t k p Φ k p . k és p kiválasztott értékeire t k p megkapható a Student-féle t eloszlás táblázatból vagy a kvantilis appletből.

Mutassuk meg vagy idézzük fel a következő tulajdonságokat! A (d) rész az analízis inverzfüggvény tételéből következik.

  1. t k 1 p t k p
  2. t k p , ha p 0
  3. t k p , ha p 1
  4. t k p 1 φ k t k p

Hipotézis próbák

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és p 0 1 esetén a következő próba szignifikancia szintje α : Elutasítjuk μ σ μ 0 σ 0 versus μ σ μ 0 σ 0 -t akkor és csak akkor, ha T μ 0 t n 1 α p α  vagy  T μ 0 t n 1 1 p α . Ekvivalensen, elfogadjuk -t akkor és csak akkor, ha

M t n 1 1 p α S n μ 0 M t n 1 α p α S n
Confidence set

Jegyezzük meg, hogy a 33. feladatban szereplő próba a Becslés a normál modellben alfejezetben, a T μ pivot változóval konstruált konfidencia halmaz duálisa. Azaz a μ 0 σ 0 -ok halmaza, amire elfogadjuk -t α szinten, pontosan megegyezik a μ σ -ra vonatkozó 1 α szintű konfidencia halmazzal. Ez a halmaz látható a fenti ábrán. Megjegyezzük, hogy p az α szignifikancia szint aránya a pivot változó eloszlásának jobb farkában; 1 p az α aránya a bal farokban. Az egyenlő-farkú eset, amikor p 12 , a legáltalánosabban használt; ezt a próbát hívjuk torzítatlannak.

Mivel a próbafüggvény nem ad semmilyen információt σ -ról, nincs értelme ezt a paramétert a hipotézisbe bevonni.

Mutassuk meg, hogy tetszőleges α 0 1 és p 0 1 esetén a következő próba szignifikancia szintje α :

  1. Elutasítjuk μ μ 0 versus μ μ 0 -t akkor és csak akkor, ha T μ 0 t n 1 α p α vagy T μ 0 t n 1 1 p α
  2. Elutasítjuk μ μ 0 versus μ μ 0 -t akkor és csak akkor, ha T μ 0 t n 1 α t n 1 1 α
  3. Elutasítjuk μ μ 0 versus μ μ 0 -t akkor és csak akkor, ha T μ 0 t n 1 1 α

Az (a) részben a torzítatlan próba - p 12 - a leggyakrabban használt:

Elutasítjuk μ μ 0 versus μ μ 0 -t akkor és csak akkor, ha T μ 0 t n 1 1 α 2 vagy T μ 0 t n 1 1 α 2

A 34. feladatban szereplő próbák esetén mutassuk meg, hogy elfogadjuk -t α szignifikancia szinten akkor és csak akkor, ha μ 0 beleesik a megfelelő 1 α szintű konfidencia intervallumba!

Ezen próbák P -értéke kiszámítható az n 1 szabadságfokú t -eloszlás Φ n 1 eloszlásfüggvényének segítségével.

Mutassuk meg, hogy a 34. feladatban szereplő próbák P -értéke rendre:

  1. 2 1 Φ n 1 T 0
  2. 1 Φ n 1 T 0
  3. Φ n 1 Z 0

Az átlag próba kísérletben válasszuk a Student próbafüggvényt, és válasszunk normális mintaeloszlást σ 2 szórással, α 0,1 szignifikancia szintet, n 20 mintanagyságot és μ 0 0 -t! Futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal az eloszlás valódi μ várható értékének néhány értékére! μ minden értékére figyeljük meg a nullhipotézis elutasításának relatív gyakoriságát! Vázoljuk fel a tapasztalati erőfüggvényt!

Az átlag becslés kísérletben válasszuk a student pivot változót, és válasszunk normális mintaeloszlást 0 várható értékkel és 2 szórással! Legyen a konfidencia szint 0,90 és a mintanagyság 10 ! Mindhárom konfidencia intervallum típusra futtassuk a kísérletet hússzor, minden futás után frissítve! Állítsuk fel a megfelelő hipotéziseket és adjuk meg a szignifikancia szintet, és minden futás esetén adjuk meg a μ 0 -ra vonatkozó halmazt, amire a nullhipotézist el kellene utasítani!

A 34. feladatban szereplő próbák erőfüggvénye explicit kiszámítható a nem-centrális t eloszlásfüggvény segítségével. Az erőfüggvények grafikonjának alakja hasonló ahhoz az esethez, mikor σ ismert, és ahogy a 8. feladatban, a 9. feladatban és a 10. feladatban szerepelt.

Ha ismert egy σ 0 felső korlát a σ szórásra, akkor adott konfidencia szinthez és hibahatárhoz szükséges mintanagyságra vonatkozó konzervatív becslés megkapható a 14. feladat és a 15. feladat módszerével.

Feladatok

Robusztusság

Az alapfeltevésünk az volt, hogy a megalapozó minta eloszlása normális. Természetesen valós statisztikai problémák esetén valószínűtlen, hogy sokat tudunk a minta eloszlásáról, még arról sem, hogy vajon normális-e. Tegyük fel, hogy a tényleges megalapozó eloszlás nem normális. Amikor az n elég nagy, a mintaátlag eloszlása közelítően normális lesz a centrális határeloszlás tétel szerint, és így a μ átlagra vonatkozó próbák még közelítően érvényesek lehetnek. Másrészt a σ 2 szórásnégyzetre vonatkozó próbák kevésbé robusztusak, ha eltérünk a normalitástól. A következő feladatok ezeket a gondolatokat fejtik ki.

Az átlag próba kísérletben válasszuk a gamma eloszlást 1 alakparaméterrel és 1 skálaparaméterrel! A három különböző próba valamint különböző szignifikancia szintek, mintanagyságok és μ 0 értékek esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal! Minden konfiguráció esetén jegyezzük fel elutasításának relatív gyakoriságát! Amikor igaz, hasonlítsuk össze a relatív gyakoriságot a szignifikancia szinttel!

Az átlag próba kísérletben válasszuk a 0 4 intervallumon egyenletes eloszlást! A három különböző próba valamint különböző szignifikancia szintek, mintanagyságok és μ 0 értékek esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal! Minden konfiguráció esetén jegyezzük fel elutasításának relatív gyakoriságát! Amikor igaz, hasonlítsuk össze a relatív gyakoriságot a szignifikancia szinttel!

Hogy milyen nagynak kell lenni az n mintanagyságnak, hogy a próbák jól működjenek, természetesen a megalapozó eloszlástól függ; minél inkább eltér ez az eloszlás a normálistól, annál nagyobb n szükséges. Szerencsére a normálishoz tartó konvergencia gyors a centrális határeloszlás tétel szerint, és így, ahogy a gyakorlatban megfigyelhettük, viszonylag kis mintanagysággal (30 vagy több) is célt érhettünk a legtöbb esetben.

A szórásnégyzet próba kísérletben válasszuk a gamma eloszlást 1 alakparaméterrel és 1 skálaparaméterrel! A három különböző próba valamint különböző szignifikancia szintek, mintanagyságok és σ 0 értékek esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal! Minden konfiguráció esetén jegyezzük fel elutasításának relatív gyakoriságát! Amikor igaz, hasonlítsuk össze a relatív gyakoriságot a szignifikancia szinttel!

A szórásnégyzet próba kísérletben válasszuk a 0 4 intervallumon egyenletes eloszlást! A három különböző próba valamint különböző szignifikancia szintek, mintanagyságok és μ 0 értékek esetén futtassuk a kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal! Minden konfiguráció esetén jegyezzük fel elutasításának relatív gyakoriságát! Amikor igaz, hasonlítsuk össze a relatív gyakoriságot a szignifikancia szinttel!

Számítási feladatok

Egy bizonyos gépalkatrész hossza 10 centiméter elméletileg. Valójában a gyártási folyamat tökéletlensége miatt a tényleges hossz valószínűségi változó. A szórás a folyamat sajátosságai miatt nem változik az idők során. Történeti adatokból tudjuk, hogy a szórás nagy pontossággal 0,3. Másrészt az átlag különböző gyártási paraméterek módosításával befolyásolható, és így elég gyakran változhat valamilyen ismeretlen értékre. A következő próbát végeznénk el: μ 10 versus μ 10 .

  1. Tegyük fel, hogy egy 100 elemű mintára az átlag 10,1. Hajtsuk végre a próbát 0,1 szignifikancia szinten!
  2. Számítsuk ki (a) esetén a P -értéket!
  3. Számítsuk ki az (a)-beli próbára a próba erejét μ 10,05 -re!
  4. Számítsuk ki a közelítően szükséges mintanagyságot 0,1 szignifikancia szint és 0,8 erő esetén, ha μ 10,05 !

Egy bizonyos cég burgonya csipszének tömege a hirdetés szerint 250 gramm. Valójában a tömeg (grammban) valószínűségi változó. Tegyük fel, hogy egy 75 elemű mintára az átlag 248 és a szórás 5. Végezzük el a következő próbákat 0,05 szignifikancia szinten:

  1. μ 250 versus μ 250
  2. σ 7 versus σ 7

Egy telemarketing cégnél a telefonos kérelem hossza (másodpercekben) valószínűségi változó. Egy 50 hívásból álló mintára az átlag 310 és a szórás 25. Következtethetünk-e 0,1 szignifikancia szinten arra, hogy

  1. μ 300 ?
  2. σ 20 ?

Egy bizonyos farmon az őszibarack tömege szüret idején (unciában) valószínűségi változó. Egy százelemű minta esetén az átlag 8,2 és a szórás 1,0. Következtethetünk-e 0,01 szignifikancia szinten arra, hogy

  1. μ 8 ?
  2. σ 1,5 ?

Egy bizonyos típusú építési munkán az órabér valószínűségi változó 1,25 szórással. Egy 25 dolgozóból álló minta alapján az átlagbér 6,75 dollár volt. Következtethetünk-e 0,01 szignifikancia szinten arra, hogy μ 7,00 ?

A Michelson adatok esetén teszteljük le, hogy a fénysebesség nagyobb-e, mint 730 (+299000) km/sec 0,005 szignifikancia szinten!

A Cavendish adatok esetén teszteljük le, hogy a Föld sűrűsége kevesebb-e, mint 5,5-szerese a víz sűrűségének 0,05 szignifikancia szinten!

A Short adatok esetén teszteljük le, hogy a Nap parallaxisa különbözik-e 9 szögmásodperctől 0,1 szignifikancia szinten!

A Fisher írisz adatok esetén hajtsuk végre a következő próbákat 0,1 szinten!

  1. A Setosa íriszek átlagos sziromhossza különbözik 15 mm-től.
  2. A Verginica íriszek átlagos sziromhossza nagyobb, mint 52 mm.
  3. A Versicolor íriszek átlagos sziromhossza kisebb, mint 44 mm.