]> Valószínűségi grafikonok
  1. Virtual Laboratories
  2. 8. Hipotézisvizsgálat
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7

7. Valószínűségi grafikonok

A valószínűségi grafikon egy illeszkedésvizsgálati próba, mint a khi-négyzet illeszkedésvizsgálati próba, de grafikus és közvetlen.

A próba származtatása

Tegyük fel, hogy valós értékű adatokat figyelünk meg: x 1 x 2 x n egy n elemű véletlen mintából. Arra a kérdésre szeretnénk választ kapni, hogy az adatok származhatnak-e egy folytonos eloszlásból, melynek eloszlásfüggvénye F . Először is, növekvő sorrendbe rendezzük az adatokat; ez megadja a megfigyelt adatok rendstatisztikáját: x n 1 x n 2 x n n

Mutassuk meg, hogy x n i az i n 1 rendű minta kvantilis!

Természetesen definíció szerint az i n 1 rendű eloszlás kvantilis

y n i F i n 1

Ha az adatok ténylegesen az eloszlásból származnak, akkor azt várhatjuk, hogy az

x n 1 y n 1 x n 2 y n 2 x n n y n n

pontok közel lesznek az y x átlóhoz, viszont a nagy eltérés ettől az egyenestől bizonyíték arra, hogy az adatok nem az eloszlásból származnak. Ezeknek a pontoknak az ábrázolását hívjuk valószínűségi grafikonnak.

A következő gyakorlatokban a normális, az exponenciális és az egyenletes eloszlásokra vizsgáljuk meg a valószínűségi grafikonokat.

A valószínűségi grafikon kísérletben legyen a mintaeloszlás standard normális eloszlás és a mintanagyság n 20 . Minden alábbi eloszlásra futtassuk a kísérletet ötvenszer, és figyeljük meg a valószínűségi grafikon geometriáját!

  1. Standard normális
  2. Egyenletes a 0 1 intervallumon
  3. Exponenciális 1 paraméterrel

A valószínűségi grafikon kísérletben legyen a mintaeloszlás egyenletes eloszlás a 0 1 intervallumon és a mintanagyság n 20 . Minden alábbi eloszlásra futtassuk a kísérletet ötvenszer, és figyeljük meg a valószínűségi grafikon geometriáját!

  1. Standard normális
  2. Egyenletes a 0 1 intervallumon
  3. Exponenciális 1 paraméterrel

A valószínűségi grafikon kísérletben legyen a mintaeloszlás exponenciális eloszlás 1 paraméterrel, a mintanagyság n 20 . Minden alábbi eloszlásra futtassuk a kísérletet ötvenszer, és figyeljük meg a valószínűségi grafikon geometriáját!

  1. Standard normális
  2. Egyenletes a 0 1 intervallumon
  3. Exponenciális 1 paraméterrel

Hely- és skálaparaméteres családok

Rendszerint az adatok illesztését nem egy bizonyos eloszláshoz próbáljuk meg, hanem inkább eloszlások egy paraméteres családjához (mint pl. normális, egyenletes, exponenciális család). Rendszerint rá vagyunk kényszerítve erre, mivel nem ismerjük a paramétereket; valójában az illeszkedésvizsgálat után következhet a paraméterbecslés. Szerencsére a valószínűségi grafikon módszernek van egy egyszerű kiterjesztése tetszőleges hely- és skálaparaméteres eloszláscsaládra.

Tegyük fel, hogy G egy adott eloszlásfüggvény. Idézzük fel, hogy a G -hez kapcsolódó hely- és skálaparaméteres család eloszlásfüggvénye:

F x G x a b ,  x

ahol a a helyparaméter és b 0 a skálaparaméter.

p 0 1 esetén jelölje z p a p -ed rendű kvantilist G -re és y p a p -ed rendű kvantilist F -re. Mutassuk meg, hogy

y p a b z p

Az 5. feladatból következik, hogy ha az F eloszlásfüggvénnyel konstruált valószínűségi grafikon közel lineáris (és főleg, ha közel van az átlós egyeneshez), akkor a G eloszlásfüggvénnyel konstruált valószínűségi grafikon közel lineáris lesz. Így felhasználhatjuk a G eloszlásfüggvényt anélkül, hogy ismernénk a hely- és skálaparamétereket.

A valószínűségi grafikon kísérletben legyen a mintaeloszlás normális, 5 átlaggal és 2 szórással! A mintanagyság n 20 . A következő teszteloszlások mindegyikére futtassuk a kísérletet ötvenszer, és figyeljük meg a valószínűségi grafikon geometriáját:

  1. standard normális
  2. egyenletes a 0 1 intervallumon
  3. exponenciális 1 paraméterrel

A valószínűségi grafikon kísérletben legyen a mintaeloszlás egyenletes eloszlás a 4 10 intervallumon! Legyen a mintanagyság n 20 . A következő teszteloszlások mindegyikére futtassuk a kísérletet ötvenszer, és figyeljük meg a valószínűségi grafikon geometriáját:

  1. standard normális
  2. egyenletes a 0 1 intervallumon
  3. exponenciális 1 paraméterrel

A valószínűségi grafikon kísérletben legyen a mintaeloszlás exponenciális eloszlás 3 paraméterrel! Legyen a mintanagyság n 20 . A következő teszteloszlások mindegyikére futtassuk a kísérletet ötvenszer, és figyeljük meg a valószínűségi grafikon geometriáját:

  1. standard normális
  2. egyenletes a 0 1 intervallumon
  3. exponenciális 1 paraméterrel

Adatelemzési gyakorlatok

Rajzoljuk fel a normális valószínűségi grafikont a Michelson fénysebesség adatokra! Értelmezzük az eredményeket!

Rajzoljuk fel a normális valószínűségi grafikont a Cavendish Föld sűrűség adatokra! Értelmezzük az eredményeket!

Rajzoljuk fel a normális valószínűségi grafikont a Short Nap-parallaxis adatokra! Értelmezzük az eredményeket!

Rajzoljuk fel a normális valószínűségi grafikont a sziromhossz változóra a Fisher írisz adatokból a következő esetekre! Hasonlítsuk össze az eredményeket!

  1. Minden eset
  2. Csak Setosa
  3. Csak Verginica
  4. Csak Versicolor

Az eredmények értelmezése

Reméljük, hogy a gyakorlatokból eljutottak néhány általános következtetéshez. Először is, a valószínűségi grafikonoknak igen kevés haszna van kis minta esetén. Például, ha csak öt pont van, lényegében lehetetlen megítélni a valószínűségi grafikon linearitását. Még nagy minta esetén is az eredmény elég kényes lehet. Különféle eloszlásokkal való kísérletezés segít a helyes ítélet meghozatalában.