]>
Tekintsünk egy alap véletlen kísérletet egy megfigyelhető, valós értékű valószínűségi változóval. Az eloszlásának ismeretlen paramétere van, vagy egy paramétervektora, ami a paramétertérbeli értékeket vesz fel. Szokásos módon megismételjük a kísérletet -szer, hogy előállítsunk egy elemű véletlen mintát eloszlásából.
Így független valószínűségi változók sorozata, amelyek eloszlása eloszlása. A momentumok módszere egy módszer a paraméterek becsléseinek megkonstruálására, amik a minta momentumainak és az eloszlás momentumainak megfeleltetésén alapulnak. Legyen
így az -edik momentuma 0 körül. Jegyezzük meg, hogy hangsúlyoztuk ezen momentumok függését a paramétervektortól. egyszerűen várható értéke, amit rendszerint egyszerűen -vel jelölünk. A következőkben, legyen
így a minta -edik momentuma 0 körül. Hasonlóan, az minta mintaátlaga az eloszlásból. Kihangsúlyoztuk a mintamomentumok függését az mintától. Megjegyezzük, hogy a mintaátlag, amit egyszerűen -el jelölünk.
Az eddigiekből tudjuk, hogy a torzítatlan és konzisztens becslése minden -re. Így a paraméterekre vonatkozó becslések megkonstruálásához a
szimultán egyenletrendszert kell megoldanunk-ra függvényében. Figyeljük meg, hogy egyenletünk van ismeretlennel; van remény, hogy az egyenletek megoldhatók.
Tegyük fel, hogy egy elemű véletlen minta egy eloszlásból ismeretlen átlaggal és szórásnégyzettel. Mutassuk meg, hogy a momentumok módszerével kapott becslések -re és -re
Természetesen a hétköznapi mintaátlag, de , ahol a szokásos korrigált tapasztalati szórásnégyzet. A fejezet hátralévő részében összehasonlítjuk az és becsléseket. Emlékezzünk vissza, hogy torzítatlan és konzisztens szórásnégyzettel.
Mutasssuk meg, hogy . Így negatívan torzított, tehát általában alulbecsli -et.
Mutassuk meg, hogy aszimptotikusan torzítatlan!
Jelölje a negyedik centrális momentumot. Mutassuk meg, hogy
Mutassuk meg, hogy aszimptotikus relatív hatékonysága -hez viszonyítva 1!
Tegyük fel, hogy a mintaeloszlás normális, így . Mutassuk meg, hogy ebben az esetben
Így és egymás többszörösei; torzítatlan, de legalábbis ha a mintaeloszlás normális, átlagos négyzetes hibája kisebb. A következőkben idézzük fel, hogy a (mesterséges) feltételezés mellett, hogy ismert, természetes becslése
Továbbá torzítatlan és konzisztens szórásnégyzettel. Meglepő módon, ha a mintaeloszlás normális, akkor átlagos négyzetes hibája még -énél is kisebb.
Tegyük fel ismét, hogy a mintaeloszlás normális. Mutassuk meg, hogy
Futtassuk a normális eloszlás becslése kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, az mintanagyság és a és paraméterek különböző értékeire! Hasonlítsuk össze és empirikus torzítását és átlagos hibáját az elméleti értékeikkel! Melyik becslés jobb a torzítást tekintve? Melyik becslés jobb az átlagos négyzetes hibát tekintve?
Van néhány fontos egyparaméteres eloszláscsalád, amelyekre a paraméter a várható érték, ilyen például a Bernoulli eloszlás paraméterrel és a Poisson eloszlás paraméterrel. Ezekre a családokra a paraméter momentumok módszerével nyert becslése az mintaközép. Hasonlóképpen a normális eloszlás paraméterei, a várható érték és a szórásnégyzet, így a momentumok módszerével kapott becslések és .
Tegyük fel, hogy egy alak- és skálaparaméterű gamma eloszlású véletlen minta. Mutassuk meg, hogy és momentumok módszerével nyert becslései:
Futassuk a gamma becslés kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, néhány különböző mintanagyságra, alak- és skálaparaméterre! Figyeljük meg az és becslések empirikus torzítását és átlagos négyzetes hibáját!
Tegyük fel, hogy egy elemű bal- és 1 jobb-paraméterű béta eloszlású véletlen minta. Mutassuk meg, hogy momentumok módszerével kapott becslése:
.Futtassuk a béta becslés kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, néhány különböző mintanagyságra és paraméterre! Figyeljük meg az becslés empirikus torzítását és átlagos négyzetes hibáját!
Tegyük fel, hogy egy elemű alakparaméterű Pareto eloszlású véletlen minta. Mutassuk meg, hogy momentumok módszerével kapott becslése:
.Futtassuk a Pareto becslés kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, néhány különböző mintanagyságra és paraméterre! Figyeljük meg az becslés empirikus torzítását és átlagos négyzetes hibáját!