Ebben a fejezetben a véletlen eseményekkel kapcsolatos két fontos objektummal ismerkedünk meg.
Egy véletlen kísérlet eseménytere az az halmaz, amely a kísérlet összes lehetséges kimenetelét lefedi. Egy véletlen eseménynél ezt a halmazt tekintjük az univerzumnak, azaz semmi más nem számít. Egyszerű kísérletek esetén lehet a kimenetelek halmaza, azonban bonyolultabb kísérleteknél sokszor ennél bővebb halmazt kell választanunk. Első példaként tekintsünk egy hagyományos kockadobást, ahol az érdekel minket, hogy hányas számot dobtunk. Az eseménytér ekkor , azaz a lehetséges kimenetelek halmaza. A második példa legyen az, hogy elkapunk egy véletlenül választott kabócát, és megmérjük a tömegét (milligrammokban). Ekkor az eseményteret a legkényelmesebb, ha -nek választjuk, még akkor is, ha a fenti halmaz elemeinek jelentős részére úgy gondolunk, hogy nem lehet a kísérlet kimenetele.
Gyakran egy kísérlet kimenetele egy, vagy több mérési eredmény, így az eseményterünk az összes lehetséges mérési eredmények sorozata, azaz egy részhalmaza valamely egész számmal.
Ha kísérletünk van eseményterekkel, akkor az direkt szorzat egy természetes választás azon összetett kísérlet eseményterére, amely abból áll, hogy az kísérletünket sorban végrehajtjuk. Speciálisan, ha egy darab alapkísérletünk van, melynek eseménytere , akkor a természetes eseménytér választás ahhoz az összetett kísérlethez, ami nem más, mint az alapkísérletünk alkalommal való megismétlése. Hasonlóan, ha végtelen sok kísérletünk van eseményterekkel, akkor a természetes eseménytere annak az összetett kísérletnek, mely az előző végtelen sok kísérlet egymás utáni elvégzéséből áll. Speciálisan, az egy adott kísérlet korlátlan sokszor való megismétlésének eseménytere Ez utóbbi egy igen fontos speciális eset, hisz a klasszikus valószínűségszámítás alapja egy rögzített esemény független ismételgetése.
Egy kísérlet eseményterének bizonyos részhalmazait eseményeknek nevezzük. Tehát az esemény nem más, mint a kísérlet egyes kimeneteinek halmaza. Minden egyes alkalommal, amikor elvégezzük a kísérletet, az esemény vagy bekövetkezik, vagy nem következik be, attól függően, hogy a kísérlet kimenetele eleme -nak, vagy sem. Intuitívan az esemény nem más, mint a kísérlet végkimenetelére vonatkozó értelmes mondat.
A Mértékelmélet című fejezetben tárgyalni fogjuk, hogy milyen tulajdonságokat kell, hogy teljesítsenek az események, mint halmazok családjai. Ez a fejezet első olvasásra kihagyható, nyugodtan feltehetjük, hogy a következőkben előkerülő részhalmazok mind események.
Speciálisan, maga az eseménytér egy esemény, amely definíció szerint mindig bekövetkezik. Másik triviális példa eseményre az üres halmaz: , ez definíció szerint sosem következik be.
A halmazalgebra szokásos szabályaival képezhetünk új eseményeket; ezek a szabályok felfoghatók úgy, mint egy arra vonatkozó szabályrendszer, hogy miket állíthatunk egy kísérletről. A következő feladatokban tegyük fel, hogy és események.
Igazoljuk, hogy pontosan akkor, ha bekövetkezése maga után vonja bekövetkezését.
Igazoljuk, hogy az az esemény, ami pontosan akkor következik be, ha vagy bekövetkezik.
Igazoljuk, hogy az az esemény, ami pontosan akkor következik be, ha és bekövetkezik.
Igazoljuk, hogy és pontosan akkor diszjunktak, ha kizáró események, azaz ha nem következhetnek be egyszerre.
Igazoljuk, hogy az az esemény, ami pontosan akkor következik be, ha bekövetkezik, de nem következik be.
Igazoljuk, hogy az az esemény, ami pontosan akkor következik be, ha nem következik be.
Igazoljuk, hogy az az esemény, amely akkor következik be, ha a fenti két esemény közül pontosan az egyik következik be. Ezt hívják az és események szimmetrikus differenciájának, és gyakran jelölik -vel.
Igazoljuk, hogy az az esemény, ami pontosan akkor következik be, ha az adott események közül mindkettő, vagy egyik sem következik be.
A Venn diagramm appletben figyeljük meg az és a halmazokból képezhető mind a 16 halmaz diagrammját.
Legyen most egy véletlen kísérlethez tartozó események osztálya, ahol egy megszámlálható indexhalmaz.
Igazoljuk, hogy a fenti osztály uniója az az esemény, ami pontosan akkor következik be, ha az osztályból legalább az egyik esemény bekövetkezik:
Igazoljuk, hogy a fenti osztály metszete az az esemény, ami pontosan akkor következik be, ha az osztályból mindegyik esemény bekövetkezik:
Igazoljuk, hogy páronként diszjunkt halmazok családja pontosan akkor, ha a benne lévő események páronként kizáróak; azaz egyszerre legfeljebb egyikük következhet be.
Legyen most események megszámlálhatóan végtelen sorozata.
Igazoljuk, hogy a következő esemény (amit néha limesz szuperiornak neveznek) pontosan akkor következik be, ha a fenti események közül végtelen sok bekövetkezik:
Igazoljuk, hogy a következő esemény (amit néha limesz inferiornak neveznek) pontosan akkor következik be, ha a fenti események közül véges sok kivételével mindegyik bekövetkezik:
A limesz szuperiort, és inferiort részletesen a konvergencia részben tárgyaljuk.
Tekintsünk egy véletlen kísérletet a hozzá tartozó eseménytérrel. Ekkor egy -ből -be képező függvényt (-értékű) valószínűségi változónak nevezünk. A valószínűségszámításban gyakoriak az olyan jelölések, melyek furcsák lennének a matematika más területein. Például a valószínűségi változókat általában nyomtatott, az ábécé vége felé szereplő nagy betűkkel jelölik.
A Mértékelmélet című fejezetben tárgyalni fogjuk, hogy milyen tulajdonságokat kell, hogy teljesítsenek a valószínűségi változók (és a függvények általában). Ez a fejezet első olvasásra kihagyható, nyugodtan feltehetjük, hogy a következőkben előkerülő függvények mind megfelelőek.
Szemléletesen az valószínűségi változó egy számunkra érdekes, a véletlen kísérlettől függő mennyiséget mér. Így az valószínűségi változó függ a véletlentől abban az értelemben, hogy a kísérlet végrehajtása előtt nem tudjuk teljes bizonyossággal megmondani az értékét. Minden egyes alkalommal, ahogy elvégezzük a kísérletet, valamely kimenet bekövetkezik, és az valószínűségi változó felveszi az értéket. Mint látni fogjuk, sokszor úgy beszélünk valószínűségekről, hogy magát az eseményteret nem is ismerjük, az rejtve marad.
Gyakran a valószínűségi változók értékkészlete valamely részhalmaza egy egész -ra. Ha , akkor ezt így jelölhetjük:
ahol egy valós értékű valószínűségi változó minden -re. Ezesetben -et általában véletlen vektornak nevezzük, ezzel is utalva arra, hogy az értékkészlete többdimenziós. De definiálható még ennél is bonyolultabb valószínűségi változó. Ha például a kísérletünk az, hogy választunk egyedet egy populációból, és mindnek feljegyezzük bizonyos méreteit, akkor a kísérletünk kimenetele egy vektorokból álló vektor:
ahol az -edik egyedhez tartozó mért értékeket tartalmazó vektor. Más eset is elképzelhető: előfordul, hogy a valószínűségi változó értéke egy végtelen sorozat, vagy egy halmaz (néhány konkrét példa található a következő feladatokban). Mindenesetre a lényeg az, hogy a valószínűségi változó egy -ből valamely más halmazba képező függvény.
Ha egy értékű valószínűségi változó, és egy részhalmaza -nek, akkor definiálhatjuk ősképét:
Vegyük észre, hogy ez egy esemény (azaz egy részhalmaza). Más szóval, egy, a valószínűségi változóra vonatkozó állítás egy eseményt definiál.
Az előző speciális esete, ha egyetlen elemből áll:
Tegyük most fel, hogy valós értékű valószínűségi változó. Ekkor az előzőek egy másik speciális esete:
Természetesen analóg állítás igaz, ha a nemnagyobb
jelöléseket szigorúan kisebb
-re cseréljük. A következő feladat azt a tényt fogalmazza meg, hogy egy függvény ősképe megőrzi a halmazműveleteket.
Legyen egy értékű valószínűségi változó, továbbá és részhalmazai. Igazoljuk, hogy
Általános függvényekkel az (a) feladat eredménye megszámlálható unióval is igaz, és ugyanígy, a (b) feladat eredménye igaz megszámlálható metszettel. Ennek bizonyításához nem szükséges új ötlet, csak a jelölés komplikáltabb.
Tekintsünk egy véletlen kísérletet az eseménytéren. Ekkor a kísérlet kimenetelére is gondolhatunk úgy, mint egy valószínűségi változóra. Jelölje tehát az identitás függvényt -en:
Ekkor nyilván egy valószínűségi változó, és az események, amelyeket segítségével definiálni tudunk, épp a kísérlet összes lehetséges eseményei:
Legyen egy másik, a kísérlettől függő valószínűségi változó, mely értékeit a halmazban veszi fel. Ekkor az változó függvénye, azaz létezik egy , -ből -be képező függvény, hogy épp és kompozíciója. Mi általában a szemléletes jelölést használjuk a helyett. Tehát
Nevezhetjük -et kimenetel változónak, -t pedig származtatott változónak. Azonban a valószínűségszámítás sok alapvető feladatában adott valamilyen valószínűségi változó, és nem érdekes, hogy az most egy kimenetel, vagy egy származtatott változó.
Egy esemény indikátor függvényét az indikátor változójának nevezzük. Ezen valószínűségi változó értéke azt árulja el, hogy bekövetkezett, vagy sem:
Igazoljuk, hogy ha egy olyan valószínűségi változó, amely csak a 0 és 1 értékeket veszi fel, akkor az esemény indikátor változója.
Az események halmazműveletei pedig megfelelnek az indikátor függvények analóg aritmetikai műveleteinek:
Legyenek és események. Igazoljuk, hogy
Az (a) feladat eredménye kiterjeszthető tetszőleges számú metszetre, a (b) feladat eredménye pedig tetszőleges számú unióra.
A valószínűségszámítás feladatait, módszereit, eredményeit gyakran különböző szerencsejátékokkal szemléltetjük: kártyával, dobókockával, érmedobással, urnákkal és golyókkal, stb. Ezek a példák nagyon hasznosak, hisz egyszerűek, és könnyen megérthető a véletlenség szerepe. Mindazonáltal a valószínűségszámítás módszerei nem csak szerencsejátékok esélylatolgatásaira alkalmasak. Helyesen arra kell gondolnunk, hogy a szerencsejátékokból kölcsönzött példák csak leegyszerűsített változatai valódi, fizikai motivációjú, összetettebb feladatoknak.
Az érmedobás kísérletben feldobunk különböző érmét, és a dobott értékeket feljegyezzük az vektorba (1-et írunk, ha fejet dobtunk, 0-t, ha írást). Ez egy általános példa darab Bernoulli kísérletre (amely nevét Jacob Bernoulli-ról kapta). Jelölje a fejek számát.
Az érmedobás kísérletben állítsuk be az paraméterértéket. Szimuláljunk 100 kísérletet, és számoljuk meg, hányszor következik be az esemény.
Az általános kockadobás kísérletben feldobunk különböző, oldalú kockát (ezek oldalai 1-től -ig be vannak számozva), és a dobott értékeket lejegyezzük az vektorba. Ez egy általános példa az multinomiális kísérletre. A speciális esetet nevezzük hagyományos kockadobásnak. Jelölje a dobott értékek összegét, a legkisebb, legnagyobb dobott értéket.
Tekintsük a kockadobás kísérletet két hagyományos kockával. Legyen az az esemény, hogy az első kockával 1-est dobunk, pedig az az esemény, hogy a dobott számok összege 7. Soroljuk fel a következő események elemeit:
A kockadobás kísérlet szimulációjában válasszunk igazságos érmét, és állítsuk be az paraméterértéket! Szimuláljunk 100 kísérletet, és számoljuk meg, hányszor következnek be az előző feladatban szereplő események!
Tekintsük a 20. feladat kísérletét 2 hagyományos kockával. Soroljuk fel tételesen a következő események elemeit:
A kockadobás kísérletben állítsuk be az paraméterértéket! Szimuláljunk 100 kísérletet, és számoljuk meg, hányszor következnek be az előző feladatban szereplő események!
Tekintsük a következő kísérletet: egy pár hagyományos kockát addig dobunk fel, amíg először azt nem látjuk, hogy a dobott számok összege 5 vagy 7. Jelölje azt az eseményt, hogy az utolsó dobásnál a dobott számok összege 5 (és nem 7). Ilyen típusú kísérletek fordulnak elő a craps nevű játékban.
Tegyük fel, hogy 3 hagyományos kockadobás eredményét feljegyeztük az vektorba. Valaki 1$-t fizet egy olyan játékért, amelyben 1$-t nyer minden egyes olyan kockadobásért, ahol a dobás eredménye 6-os. Jelölje a játékos nettó nyereményét. Ezt a játékot szokás madárketrecnek nevezni, részletes tárgyalása megtalálható a Szerencsejátékok fejezetben.
A kocka- és érmedobás kísérletében először feldobunk egy szabályos kockát, majd annyiszor dobunk fel egy pénzérmét, amennyit a kockánk mutat. Ezután feljegyezzük a kapott fej-írás sorozatot az vektorba (0-t írunk, ha írást, 1-et, ha fejet dobunk). Jelölje a kockával dobott számot, és a dobott fejek számát!
Szimuláljunk 10 darab kocka- és érmedobás kísérletet! Minden egyes alkalommal határozzuk meg az előző feladatban definiált , és valószínűségi változók értékeit! Hány alkalommal következett be az esemény?
Az érme- és kockadobás kísérletében először feldobunk egy érmét, majd ha ez fejet mutat, egy piros kockát, ha pedig írást mutat, egy kéket dobunk fel. Az érmedobás eredményét , a kockadobás eredményét pedig jelöli.
Az alap beállítások mellett szimuláljunk 100 darab érme- és kockadobás kísérletet! Hány alkalommal következett be az esemény?
Egy hagyományos francia kártyapakli az alábbi szorzathalmazzal modellezhető:
ahol az első koordináta a szám vagy figura (ász, 2-10, bubi, dáma, király), a második koordináta pedig a szín (treff, káró, kőr, pikk). Néha egy kártyát két egymás mellé írt szimbólum reprezentál, például .
A hagyományos kártyakísérletben visszatevés nélkül kiválasztunk kártyát egy hagyományos kártyapakliból, és a kártyákat feljegyezzük az vektorba, ahol az -edik kiválasztott kártya. Jelölje a kiválasztott kártyák halmazát (rendezés nélkül). Az eset a póker kísérlet, míg az eset a bridzs kísérlet. A póker játékról részletesebben a Szerencsejátékok fejezetben olvashatunk.
Tekintsük a kártyakísérletet az paraméterválasztással. Legyen az az esemény, hogy a húzott kártya dáma, pedig az az esemény, hogy kőr. Soroljuk fel az alábbi események elemeit:
A kártya kísérletben legyen . Szimuláljunk 100 kísérletet, és számoljuk meg, hányszor következnek be az előző feladatban szereplő események!
Tekintsünk egy bridzs kísérletet, azaz válasszunk 13 kártyát egy pakliból! A leggyakoribb pontozási rendszerben az ász 4 pontot, a király 3 pontot, a dáma 2 pontot, a bubi 1 pontot ér. A többi kártya 0 pontos. Jelölje a kiválasztott kártyák összpontszámát!
A kártya kísérletben állítsuk be az paraméterértéket. Szimuláljunk 100 kísérletet, és minden esetben határozzuk meg az előző feladatban definiált valószínűségi változó értékét!
Tekintsük a póker kísérletet, azaz 5 kártya kiválasztását egy pakliból. Határozzuk meg az alábbi események számosságát (minden esemény részhalmaza)!
Szimuláljunk 1000 darab póker kísérletet! Hányszor következtek be az előző feladatban definiált , és események?
A Buffon féle érmedobás kísérletben egy sugarú érmét dobunk fel egy olyan padló felett, melyet 1 egység oldalhosszúságú négyzet alakú csempékkel raktunk ki. Miután az érme földet ér, a középpontjának koordinátáit -vel jelöljük, ahol az origó annak a csempének a középpontja, amelyikre az érmeközéppont esik, a koordinátatengelyek pedig párhuzamosak a csemperács éleivel. Legyen az az esemény, hogy az érme csak egy csempéhez ér hozzá, és jelölje az érme középpont és a legközelebbi rácsközéppont távolságát.
Szimuláljunk 100 darab Buffon féle érmedobás kísérletet az paraméterválasztással! Minden egyes alkalommal figyeljük meg, hogy bekövetkezett-e az esemény, és határozzuk meg a valószínűségi változó értékét!
Tegyük fel, hogy van egy urnánk, benne különböző golyó, melyek meg vannak számozva 1-től -ig. A kísérletünk pedig az, hogy kiválasztunk golyót az urnából visszatevés nélkül, és feljegyezzük a golyók sorszámait az vektorba. Legyen a kiválasztott golyók (rendezetlen) halmaza. Ez a modell lényegében egy véges populációból való visszatevés nélküli mintavételezés.
Tekintsük az előző feladat urnamodelljét, most azonban legyen az urnában lévő golyók közül darab piros, a maradék darab pedig zöld. Ismét egy elemű mintát veszünk a golyókból. Ez a kísérlet lényegében egy kétpólusú populációból való visszatevés nélküli mintavételezés. Jelölje a kiválasztott piros golyók számát!
Egy árukészletben 40 hibátlan és 10 selejtes áru van. Visszatevés nélkül kiválasztunk 5 árut. Jelölje a kiválasztott selejtes áruk számát!
Szimuláljunk 100 darab urnák és golyók kísérletet az előző feladat paramétereivel! Figyeljük meg, milyen értékeket vesz fel az valószínűségi változó!
A rendszerek megbízhatóságának elméletében általában egy elemből álló rendszert tekintenek, melynek minden eleme működik, vagy elromlott. Az -edik elem állapotát jelzi az indikátor valószínűségi változó, amely 1 értéket vesz fel, ha az elem működik, és 0-t, ha nem működik. Tehát az indikátor valószínűségi változókból álló vektor az összes elem állapotáról információt szolgáltat. Tehát a kísérletünk eseménytere . Az egész rendszerre is értelmezhető, hogy működik, vagy elromlott, attól függően, hogy mely elemei működnek, és az elemek hogyan vannak összekötve egymással. Tehát a rendszer állapota is egy indikátor valószínűségi változó: . A rendszer állapota (működik, vagy sem), mint az elemek állapotának függvénye a struktúrafüggvény.
A soros kapcsolású rendszer pontosan akkor működik, ha minden komponense működik. Igazoljuk, hogy ekkor a rendszer állapota:
A párhuzamos kapcsolású rendszer pontosan akkor működik, ha van olyan komponense, amely működik. Igazoljuk, hogy ekkor a rendszer állapota:
Általánosabban, az -ből elemű rendszerek olyan elemű rendszerek, melyek pontosan akkor működnek, ha elemük működik. Vegyük észre, hogy a párhuzamos kapcsolású rendszerek -ből 1, a soros kapcsolású rendszerek -ből elemű rendszerek. Egy -ből elemű rendszert többségi döntésű rendszernek nevezhetünk.
Igazoljuk, hogy az -ből elemű rendszerek az alábbi formulával adhatók meg. A struktúrafüggvény ekkor polinom alakban is felírható.
Írjuk fel a 3-ból elemű rendszer állapotát az elemek állapotainak polinomjaként a esetek mindegyikében!
Néha a rendszert szokás gráffal vagy hálózattal ábrázolni. Ekkor az élek a rendszer elemeinek, a csúcsok pedig az elemek közti kapcsolatoknak felelnek meg. A rendszer pontosan akkor üzemel, ha két, előre rögzített csúcs (jelölje ezeket és ) között található működő elemekből álló út.
Határozzuk meg a Wheatstone híd állapotát az elemek állapotának függvényeként. Ezt a rendszert Charles Wheatstone-ról nevezték el.
Nem minden -ből -be képező függvény lehet struktúrafüggvény. Indokoljuk meg, miért várhatóak el a struktúrafüggvényektől az alábbiak:
A fent definiált megbízhatóságelméleti modell egy statikus modell. Természetesen kiterjeszthető dinamikus modellé úgy, hogy feltételezzük, hogy minden -re kezdetben az -edik elem működik, azonban egy véletlen időpontban elromlik (ekkor természetesen értékű). Tehát a kísérletünk lehetséges kimenetelei most a meghibásodási idők lehetséges realizációi, az eseménytér pedig .
Igazoljuk, hogy az -edik elem állapota a időpontban , továbbá a struktúrafüggvényt -sel jelölve a rendszer állapota a időpontban
Tegyük fel, hogy egy megengedett struktúrafüggvény. Igazoljuk, hogy a rendszer meghibásodási ideje
Egy radioaktív anyag véletlen időpontokban bocsát ki magából elemi részecskéket. Legyen az -edik részecske kibocsátási időpontja a valószínűségi változó, amely természetesen a intervallumon veszi fel az értékét. Ha megmérjük a kibocsátási-, más szóval felújítási-, vagy érkezési időpontokat, akkor a kísérletünk kimenetele a vektor, eseménytere pedig .
Szimuláljunk gamma kísérletet (egylépéses módban) különböző paraméterértékek mellett. Vizsgáljuk meg az érkezési időpontokat!
Jelölje a intervallumba eső kibocsátások számát! Igazoljuk, hogy
Szimuláljunk Poisson kísérletet (egylépéses módban) különböző paraméterértékek mellett. Vizsgáljuk meg az érkezési időpontokat egy fix intervallumon!
A kabóca kísérlet során Tennessee állam középső részén megfogtak egy kabócát, megmérték a testtömegét (grammban), a szárny hosszát és szélességét, a testhosszt (milliméterben), megvizsgálták még az alfaj típusát és a kabóca nemét.A kabóca adathalmaz 104 kísérlet eredményét tartalmazza.
Az alap M&M kísérlet abból áll, hogy vásárolunk egy zacskó M&Ms cukorkát, és megszámoljuk, hány piros, zöld, kék, narancs, és citromsárga színű cukorka van benne, majd megmérjük a zacskó grammokban kifejezett nettó tömegét. Az M&M adathalmazban 30 kísérleti eredmény található.