Ebben a fejezetben a korábbiaknál magasabb szinten tárgyaljuk a valószínűségi mezőket. Az Alapok fejezet Mértékelmélet részének ismeretanyagára fogunk részben támaszkodni.
Kiindulási pontunk egy véletlen kísérlet, és a hozzá tartozó eseménytér. Gyakran előfordul, hogy az eseménytér összes részhalmazát nem tekinthetjük eseménynek. Ugyanis a célunk természetesen az, hogy az eseményekhez valószínűségeket rendeljünk. Ez viszont nem tehető meg akárhogy, a valószínűségeknek ki kell elégíteniük a Kolmogorov axiómákat, és minél több halmazt tekintünk eseménynek, annál nehezebb a valószínűségeket úgy megadni, hogy ezek az axiómák teljesüljenek. Még ha az összes részhalmaz nem is esemény, akkor is mindenképp elvárjuk az események családjától, hogy zárt legyen a szokásos halmazműveletekre. Más szóval az események σ-algebrát kell, hogy alkossanak.
Formálisan, egy -en értelmezett pozitív mérték egy nemnegatív függvény, melynek értelmezési tartománya az σ-algebra, és teljesíti a megszámlálható additivitási axiómát, azaz ha megszámlálható páronként diszjunkt, -beli halmazok családja, akkor
Tehát egy valószínűségi mérték az halmazon egy olyan pozitív mérték -en, amelyre még is teljesül. Vegyük észre, hogy ettől lényegesen különböző mértékek is léteznek, hiszen ha egy tetszőleges mérték, akkor előfordulhat, hogy valamely halmazra. Ha viszont , akkor átskálázható úgy, hogy valószínűségi mértéket kapjunk.
Ahogy ezt már korábban is definiáltuk, egy valószínűségi mező három részből áll:
A σ-algebráknak nemcsak elméleti jelentőségük van, hanem a gyakorlat szempontjából is fontosak, ugyanis egy σ-algebrával kódolhatjuk az adott kísérlet esetén rendelkezésünkre álló részleges információkat. Ez a megközelítés nagyon fontos a valószínűségszámításban és a statisztikában is, de leginkább a sztochasztikus folyamatok elméletében használják. Legyen események olyan családja, amelyre igaz, hogy minden esetén tudjuk, hogy bekövetkezett, vagy sem. Ebből következik, hogy minden -ra meg tudjuk mondani, hogy bekövetkezett-e, ahol az által generált σ-algebra.
Legyen egy véletlen kísérlettől függő, -értékű valószínűségi változó. A következőkben feltesszük, hogy -n adott egy természetes σ-algebra, melyet -vel jelölünk. Ilyenkor precízen -et akkor nevezhetjük valószínűségi változónak, ha mint -ből -be történő leképezés, mérhető. Ez garantálja, hogy valóban esemény (azaz eleme az szigma-algebrának) minden -re. Így eloszlása, amit a leképezés definiál, valóban egy valószínűségi mérték a σ-algebrán.
Ekkor egy rész σ-algebra -ben, amelyet úgy nevezünk, hogy az által generált σ-algebra, jelölése . Ha megfigyeljük értékét, akkor el tudjuk dönteni, hogy egy -beli esemény bekövetkezett-e. Általánosabban tegyük fel, hogy egy valószínűségi változó minden -beli -re (ezek a valószínűségi változók nem feltétlenül ugyanabban a halmazban veszik fel az értéküket). Ha megfigyeljük értékét minden -re, akkor tudjuk, hogy tetszőleges -beli esemény bekövetkezett, vagy sem. Ez a gondolatmenet nagyon fontos a sztochasztikus folyamatok elméletében, lásd például a Markov láncokról szóló fejezetet.
Igazoljuk, hogy a null- és teljes mértékű halmazok családja egy rész σ-algebra (ezeket nevezhetjük lényegében determinisztikus eseményeknek).
Segítség: használjuk a Boole egyenlőtlenséget!
Legyen valószínűségi változók sorozata. Ekkor a sorozat farok szigma-algebrája
Egy eseményt farokeseménynek nevezünk. Tehát egy farokesemény olyan esemény, amely definiálható segítségével minden -re. Események egy tetszőleges sorozatára analóg módon definiálható a farok szigma-algebra (legyen az esemény indikátor valószínűségi változója minden -ra). Csökkenő, vagy növekvő események sorozata esetén a limesz farokesemény. Általánosabban a limesz inferior és a limesz szuperior is farokesemények, ahogy az az esemény is, hogy valós értékű valószínűségi változók sorozata konvergens (az előző események definíciói a Konvergencia című részben találhatók).
Legyen események egy sorozata.
Igazoljuk, hogy és a sorozat farok eseményei!
Igazoljuk, hogy a következő esemény: farok esemény a valós értékű valószínűségi változókból álló sorozatra!
A következő feladat állítása Kolmogorov nulla-egy törvény néven közismert (a nevét Andrey Kolmogorov matematikusról kapta). Az állítás lényege, hogy független valószínűségi változók farok σ-algebrája a lényegében determinisztikus események σ-algebrájának rész σ-algebrája.
Legyen az független valószínűségi változók farokeseménye. Igazoljuk, hogy vagy .
A 3. feladat és az 5. feladat következménye, hogy ha független valószínűségi változók sorozata, akkor valószínűsége 0 vagy 1. A második Borel-Cantelli lemma ad egy elégséges feltételt arra, hogy a valószínűség 1 legyen.
Sok esetben egy
valószínűségi mértéket nem tudunk expliciten definiálni az
σ-algebrán (tehát nem tudunk általános formulát
megadni, vagy minden
-ra
értékét meghatározni). Ehelyett tudjuk, hogy
-nek milyennek kell lennie egy
esemény családon. Ez alapján szeretnénk, ha igaz lenne, hogy
kiterjeszthető egy valószínűségi mértékké a
által generált σ-algebrára, és hogy ez a kiterjesztés egyértelmű.
Itt bizonyítás nélkül közlünk egy egzisztencia és unicitás tételt. Ehhez fel kell elevenítenünk néhány fogalmat. Az bizonyos részhalmazaiból álló halmazcsaládot algebrának nevezzük, ha tartalmazza magát -et, és zárt a komplementer és a véges unió képzésre (következésképp a véges metszet képzésre is). Ekkor egy valószínűségi mérték -n egy nemnegatív függvény, melyre , és amely eleget tesz a megszámlálható additivitási axiómának, amennyiben a megszámlálható unióval előállított halmaz -ba esik. Tehát végesen additív és részlegesen megszámlálhatóan additív. Az egzisztencia és unicitás tétel azt állítja, hogy egy algebrán értelmezett valószínűségi mérték egyértelműen kiterjeszthető egy -n értelmezett valószínűségi mértékké.
Továbbá, az részhalmazaiból álló halmazcsaládot π-rendszernek nevezzük, ha zárt a véges metszetre: ha és , akkor . Az unicitás tétel értelmében ha és -en értelmezett valószínűségi mértékek, és minden -re, ahol egy π-rendszer, melyre , akkor tetszőleges halmazra.
Példaként tekintsük az -en értelmezett standard (Borel) σ-algebrát. Ezt a véges, nyílt intervallumok családja generálja (amely a metszetre nézve nyilván zárt). Tehát egy valószínűségi mértéket -en teljesen meghatároznak a nyílt intervallumokon felvett értékei. Ráadásul a valós számok Borel σ-algebráját a alakú halmazok is generálják. Tehát egy -en értelmezett valószínűségi mértéket meghatároznak a fenti típusú intervallumokon felvett értékei. Ez az észrevétel még fontos lesz az eloszlásfüggvények vizsgálatánál.
Tegyük fel most, hogy adott darab halmaz: , a rajtuk értelmezett σ-algebrákkal. Ekkor a
szorzathalmaz természetes eseménytere annak az összetett kísérletnek, amely darab alapkísérlet végrehajtásából áll. Ekkor általában -n az
alakú szorzathalmazok által generált σ-algebrát tekintjük. A fenti típusú szorzathalmazok családja zárt a metszetképzésre, így egy -n értelmezett valószínűségi mértéket meghatároznak a szorzathalmazokon felvett értékei. Fontos speciális eset, amikor és minden -re. Ekkor annak az összetett kísérletnek az eseménytere, amely az egy darab alapkísérlet -szer való megismétléséből áll.
Az előző eset mintájára tekintsünk végtelen sok halmazt: , és mindegyikhez egy-egy σ-algebrát: . A
szorzathalmaz természetes eseménytere annak az összetett kísérletnek, amely végtelen sok alapkísérlet elvégzéséből áll. Általában -n az
alakú cilinder halmazok által generált σ-algebrát tekintjük. A fenti típusú halmazok családja zárt metszetképzésre, így egy -en értelmezett valószínűségi mértéket teljesen meghatároznak a rajtuk felvett értékei. Mint az előbb, fontos speciális eset, amikor és minden -re. Ekkor természetes eseménytere annak az összetett kísérletnek, amely egy darab alapkísérlet végtelen sokszor való megismétléséből áll.